0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen e³itlikler elde edilebilir: (A) = a olan bir A kümesi dü³ünelim. A A (A ) = (A) a + 0 = a A a.0 = 0 A = F = {f f : A} = F = {f : } (A ) = (F ) = 1 a 0 = 1 (ii) (ii) 1a = a, a 1 = a, 1 a = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen e³itlikler elde edilebilir: (A) = a olan bir A kümesi dü³ünelim ve herhengi bir x ö esini seçelim. ({x}) = 1 dir. Buna göre A {x} A (A {x}) = (A) a.1 = a A {x} = F = {f f : {x} A} (A {x} ) = (F ) = a {x} A = G = {f : A {x} ({x} A ) = (G) = 1 1 a = 1
2 2. a ile b herhangi iki nicelik says ise ab = 0 (a = 0 b = 0) ab = 1 (a = 1 b = 1) ab= 0 <=> (a= 0 V b= 0) ab=1 <=> (a= l A b= 1) oldu unu gösteriniz. (A) = a ve (B) = b olan A ve B kümelerini alalm. ve herhengi bir x A ö esini seçelim. ({x}) = 1 dir. Buna göre a.b = 0 (A) (B) = ( ) (A B) = ( ) A B A = weeb = (A) = (B) = 0 (A) = a ve (B) = b olan A ve B kümelerini ile herhengi bir x, y ö elerini seçelim. ({x}) = ({x}) = 1 dir. Buna göre a.b = 1 (A) (B) = 1 (A B) = 1 A B ({x} {y}) A = ({x}) B = ({y}) (A) = 1 (B) = 1 3. a sonsuz bir nicelik says ve n sonlu bir nicelik says ise a+n = a oldu unu gösteriniz. a = (A) ve n = (B) olsun. B sonludur, dolaysyla saylabilir. Teorem 17.3.3 uyarnca A sonsuz ve B saylabilir bir küme ise A B A dr. (19.1) ve (19.2) ba ntlarndan, A B A a + n = a 4. a sonsuz bir nicelik says ise a + ℵ 0 = a oldu unu gösteriniz. a sonsuz a ℵ 0 ( b)a = b + ℵ 0
0.1. PROBLEMLER 3 olur. Buradan Kar³t olarak, a + ℵ 0 = (b + ℵ 0 ) + ℵ 0 = b + (ℵ 0 + ℵ 0 ) = b + 2ℵ 0 = b + ℵ 0 = a olur. 5. n sonlu bir nicelik says ise oldu unu gösteriniz. (i) n.ℵ 0 = (ii) (ℵ 0 ) n = (iii) nc = (iv) c n = a + ℵ 0 = a a ℵ 0 a sonsuz ℵ 0 + ℵ 0 + ℵ 0 +... ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0.ℵ 0.ℵ 0.... ℵ 0 = ℵ 0 c + c +... + c = c c.c.c....c = c Do al saylar kümesini ω ile, gerçel saylar kümesini R ile gösterelim. (ω) = ℵ 0 ve (R) = ℵ 1 = c simgelerini kullanaca z. Çözüm (i): {A i : (A i ) = ℵ 0,i = 1, 2, 3,... n, (i j A i A j = ) ko³ulunu sa layan sonlu bir kümeler ailesi seçelim. Sonuç 17.3.1 uyarnca saylabilir kümelerin sonlu tanesinin bile³imi saylabilir bir kümedir. Buradan Çözüm (ii): ω n A i ℵ 0 = n.ℵ 0 = ℵ 0 + ℵ 0 +... + ℵ 0 i=1 {A i : (A i ) = ℵ 0,i = 1, 2, 3,... n ko³ulunu sa layan sonlu bir kümeler ailesi seçelim. Sonuç 17.3.2 uyarnca saylabilir kümelerin sonlu tanesinin kartezyen çarpm saylabilir bir kümedir. Buradan ω n A i ℵ 0 = (ℵ 0 ) n = ℵ 0.ℵ 0.....ℵ 0 i=1
4 Çözüm (iii): Örnek 19.6.7 ve (i) e³itli i kullanlrsa, nicelik saylar aritmeti inden, c 2.c = 2.2 ℵ0 2 ℵ0.2 ℵ0 = ( 2 ℵ0) 2 = 2 2.ℵ0 = 2 ℵ0 (i) e³itli inden = c yazlabilir. Buradan c 2.c c c = 2.c sonucu Artk Sonlu Tümevarm lkesinden, istenen ba nt çkarlabilir. Çözüm (iv): R n = R R R e³itli inde Örnek 19.6.7 ve (i) ba ntlar kullanlrsa, nicelik saylar aritmeti inden, (R n ) = (2 ℵ0 ) n = 2 n.ℵ0 = 2 ℵ0 = c yazlabilir. Buradan, c n = (R n ) = c sonucu 6. A³a daki e³itlikleri sa laynz: (i) ℵ 0 = 1 + 2 + 3 +... n +... (ii) ℵ 0 = 1 + 2 2 + 2 3 +... 2 n +... (iii) ℵ 0 = ℵ 0 + ℵ 0 + ℵ 0 + + ℵ 0 + = ℵ 0.ℵ 0 (iv) c = 1.2.3.4... n... (v) (vi) c = ℵ 0.ℵ 0.ℵ 0 ℵ 0 = ℵ ℵ0 0 c = c.c.c... = c ℵ0 (vii) c = c + c + c + + c + = c.ℵ 0 Çözüm (i): Her n N için (A n ) = n olan ayrk bir {A n } kümeler dizisi alalm. A n kümelerinin her biri sonludur; dolaysyla herbirisi saylabilir. Teorem
0.1. PROBLEMLER 5 17.3.5 uyarnca, saylabilir sayda saylabilir kümelerin bile³imi saylabilir. O halde Çözüm (ii): N A n (N) = (A n ) n=1 ℵ 0 = n=1 n n=1 ℵ 0 = 1 + 2 + 3 + + n + Her n N için (A n ) = n olan ayrk bir {A n } kümeler dizisi alalm. A n kümelerinin her biri sonludur. Önerme 18.3.7 uyarnca P(A n ) 2 An dir. A n sonlu oldu undan 2 An sonludur, dolaysyla saylabilir. Teorem 17.3.5 uyarnca, saylabilir sayda saylabilir kümelerin bile³imi saylabilir. O halde olur. Çözüm (iii): N P(A n ) (N) = (P(A n )) ℵ 0 = ℵ 0 = (2 An ) (2 n ) ℵ 0 = 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 n + Her n N için A n ω ve (A n ) = ℵ 0 olan ayrk bir {A n } kümeler dizisi alalm. A n kümelerinin her biri saylabilir. Teorem 17.3.5 uyarnca, saylabilir sayda saylabilir kümelerin bile³imi saylabilir. O halde N A n (N) = (A n ) ℵ 0 = n ℵ 0 = ℵ 0 + ℵ 0 + ℵ 0 + + ℵ 0 + = ℵ 0.ℵ 0 Çözüm (iv):
6 Yukardaki sonuçlar kullanarak 1.2.3.4... n... ℵ 0.ℵ 0.ℵ 0... ℵ 0... = (ℵ 0 ) ℵ0 = c (Teorem 19.7.7 den) yazabiliriz. Bu ise c 1.2.3.4... n... c demektir; ki buradan e³itli i Çözüm (v): Teorem 19.7.7 de oldu u gösterildi. Çözüm (vi): Yukardaki ba ntlardan yazlabilir. Çözüm (vii): c = 1.2.3.4... n... c = ℵ ℵ0 0 = ℵ 0.ℵ 0.ℵ 0... ℵ 0... c c.c.c... c... = c.ℵ 0 = 2 ℵ0.2 ℵ0.2 ℵ0... 2 ℵ0... = ( 2 ℵ0) ℵ 0 = 2 ℵ02 = 2 ℵ0 = c yazlabilir. Buradan e³itli i c c + c + c + + c + = c.ℵ 0 c.c.c c = c ℵ0 = c ((vi) dan ) c c.ℵ 0 c c = c.ℵ 0
0.1. PROBLEMLER 7 7. R den R ye 2 c tane fonksiyon oldu unu gösteriniz. F = {f f : R R} olsun. F = R R dir. Bunun nicelik says (F ) = ( R R) = c c = (2 ℵ0 ) c = (2) c.ℵ0 = 2 c olur. Son e³itli i yazarken Problem 6 (v) e³itli i kullanlm³tr. 8. R den R ye c = 2 ℵ0 tane sürekli fonksiyon oldu unu gösteriniz. C = {f f : R R sürekli} olsun. Bir f fonksiyonunun sürekli olmas için yo un bir alt küme üzerinde sürekli olmas gerekli ve yeterlidir. Ayrca, salt metri e göre R Birinci Saylabilme Belitini sa lad ndan, R üzerinde bir fonksiyonun sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul dizisel sürekli olmasdr. Buna göre her f C yerine f nin Q yo un alt kümesine kstlanm³ f Q : Q R fonksiyonunu alabiliriz. f f Q bire bir ve örten bir e³le³medir. Simgeleri basitle³tirmek için f Q yerine f Q simgesini kullanalm. Buna göre, C Q = {f Q f Q : Q R sürekli} olmak üzere C C Q olacaktr. E³güçlü bu iki kümenin nicelik saylar e³ittir. Öyleyse, a³a daki ba ntlar yazabiliriz. C C Q (C) = (C Q ) dir. F = R R dir. Bunun nicelik says olur. (C) = (R Q ) (C) = c ℵ0 (C) = c (F ) = ( R R) = c c = (2 ℵ0 ) c = (2) c.ℵ0 = 2 c 9. Cebirsel olmayan gerçel saylara transandant saylar denilir. Bu saylarn niceli inin c oldu unu gösteriniz. Cebirsel saylar kümesininsaylabilir oldu u Teorem 17.3.7 ile gösterilmi³tir. Cebirsel saylar C ile, transandant saylar T ile gösterelim. R = C T ve C T = dir. R = C T (R) = (C) + (T ) ba nts kullanlrsa, C saylabilir bir küme oldu undan T nin saylamaz sonsuz bir küme oldu u görülür. Öte yandan, Teorem 17.3.3 gere ince, C T T (C T ) = (T ) olacaktr. Bunu yukardaki ba nt ile birle³tirirsek, (R) = c = (C) + (T ) = (T ) e³itli i bulunur.
8 10. a b ise her d nicelik says için a + d b + d ve ad bd oldu unu gösteriniz. (bkz. Önerme 19.5.3) 11. a, b, d herhangi üç nicelik says ise oldu unu gösteriniz. (bkz. Önerme 19.5.3) a b a d b d b d a b a d 12. Bir kümeler ailesi üzerindenicelik saylarnn e³it olmas ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz. A B (A) = (B) diye tanmlanan ba ntsnn (8.1) (8.3) ko³ullarn sa lad kolayca görülür. 13. ω ω nn saylamaz oldu unu gösteriniz. oldu r Örnek 19.7.7 de gösterildi. (ω ω ) = ℵ ℵ0 0 = c 14. A = {0}, B = { 1 n n = 1, 2, 3,...} olmak üzere 1 2, x A x f(x) = 1+2x, x B x x [0, 1] A B fonksiyonu tanmlanyor. f nin [0, 1] kapal aral ndan (0, 1) açk aral na örten bir fonksiyon oldu unu ama bire-bir olmad n gösteriniz. Buradan [0, 1] ile (0, 1) aralklarnn nicelik saylarnn ayn oldu u sonucunu çkarnz. f nin örten oldu u apaçktr. f(0) = 1/2 ve f(1) = 1/2 oldu undan fonksiyon bire-bir de ildir.
0.1. PROBLEMLER 9 v