IV. BÖLÜM BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ ELEMANLAR (Davranış ve Tasarım)
4.1. GİRİŞ Betonarme yapı elemanları taşıdıkları yüklere bağlı olarak, moment, kesme kuvveti, burulma ve normal kuvvet (çekme ya da basınç) gibi kesit etkilerine maruz kalırlar. Eksenlerine dik olarak yapılan yüklemelerde, yapı elemanında kesme kuvveti ve eğilme momenti birlikte oluşmaktadır (Şekil 4.1). 64 Şekil 4.1. (a) Çerçeve, (b) Moment dağılımı (c) kesme kuvveti dağılımı Şekilden görüldüğü gibi, eksenine dik olarak yapılan yüklemede, açıklıkta eğilme momenti, mesnet bölgelerinde ise eğilme momenti yanında kesme kuvveti de oluşur. Yüklemeye bağlı olarak (kiriş ortasında tekil yük gibi) açıklıklarda da kesme kuvveti meydana gelir. Dolaysıyla da bu tür elemanların tasarımında eğilme momenti yanında kesme kuvvetinin de dikkate alınması gerekir. Bu bölümde kiriş, döşeme gibi eğilme momenti etkisindeki elemanların davranışları üzerinde durulmuş ve betonarme yapı elemanlarının eğilme momentine göre tasarımı verilmiştir. 4.2. BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ ELEMANLARIN DAVRANIŞI Eksenine dik olarak yüklenmiş, bw x h enkesit boyutunda, l açıklığında basit mesnetli bir açıklıklı kiriş dikkate alınsın. Bu kirişin görünmeyen ve uzunluğu
boyunca uzanan liflerden oluştuğu kabul edilsin (Şekil 4.2a). Bu kiriş, Pd düzgün yayılı yükle yüklendiğinde, yükün etkisiyle eğilmeye başlayacaktır (Şekil 4.2b). Şekil 4.2 Basit eğilme etkisindeki kiriş ve enkesiti 65 Şekilden de görüldüğü gibi, kirişin dış yükten dolayı oluşan eğilme nedeniyle alt lifler uzamaya, üst lifler de kısalmaya başlar. Dolayısıyla da bu liflerin boyları değişir. Kirişin ortasından geçen merkezi lifte ise uzama ve kısalma olmaz. Diğer bir deyişle lifin boyu aynı kalır. Liflerin boylarındaki uzama ve kısalmalardan dolayı gerilmeler oluşur. Kirişin alt bölgesindeki liflerin boyu uzadığından çekme gerilmesi, üst liflerin boyu kısaldığından, basınç gerilmesi meydana gelir. Kesitin ortasında bulunan ve boyunda herhangi bir değişiklik olmayan merkezi lif boyunca (yükün şiddeti ve donatı oranına bağlı olarak yeri değişebilir) herhangi bir gerilme oluşmaz. Dolayısıyla da basınç gerilmesi ile çekme gerilmesi arasındaki sınırı oluşturur. Bu nedenle de buna tarafsız eksen adı verilir(şekil 4.1b). Şekilden görüldüğü gibi, en fazla uzama ve kısalma en dış liflerde oluşur. Bu da en büyük gerilmelerin en dış liflerde oluşmasına neden olur. Betonun basınç dayanımı yüksek, çekme dayanımının ise düşük olduğu daha önceki bölümlerde belirtilmişti. Buna göre, yukarıda verilen kirişin, donatı kullanılmadan yalnızca beton ile üretildiğini kabul edelim. Yükleme ile birlikte kirişin altındaki lifler uzamaya, üstündeki lifler ise kısalmaya başlar. Kirişin alt
liflerinde oluşan birim uzama değeri, betonun çekmede birim uzama değerine ulaştığında, ilk çatlak olur ve kiriş ilk çatlakla birlikte taşıma gücünü ani ve gevrek bir şekilde kırılarak kaybeder (Şekil 4.3). Şekil 4.3. Beton bir kirişin eğilme etkisinde kırılması Donatısız bir kirişite, ilk çatlama olur olmaz taşıma gücünü kaybetmesinden dolayı, bu çatlağı oluşturan moment değeri, kesitin kırılma momenti olarak kabul edilir. Eğilme momenti etkisindeki bir kesitte oluşan gerilme değeri σ = M W (4.1) 66 bağıntısıyla hesaplanmaktadır. Bu bağıntıda, W mukavemet momentini, M eğilme momentini, σ ise kesitin en alt lifinde oluşan çekme gerilmesini göstermektedir. Burada, kesitin en alt lifinde oluşan çekme gerilmesi(σ), daha önceki bölümde de belirtildiği gibi, eğilmede çekme dayanımı, fctf olarak yerine konursa, kesitin çatlama momenti, Mcr; Mcr = fctf x W (4.2) ya da M cr = f ctf. I y (4.3) bağıntısıyla hesaplanır. Bu bağıntıda I, kesitin atalet momentini, y ise kesitin tarafsız ekseninden çekme bölgesindeki en dış life olan uzaklığını göstermektedir. Betonun çekmeye karşı dayanımının düşük olması nedeniyle, çekme etkisindeki elemanların çekme bölgelerinde, bu gerilmelerinin karşılanması amacıyla, çekme dayanımı yüksek betonarme çeliği olarak adlandırılan ve Bölüm 2 de özelikleri
verilen donatı yerleştirilir. Böylece betonarme kesitler oluşur. Ancak, bir elemanın betonarme olabilmesi için donatı ile betonun arasındaki aderansın (yapışmanın) tam olması gerekir. Diğer bir deyişle, betonarme bir elemanda, donatı ile beton birlikte uzamalı veya kısalmalıdır. Örnek 4.1. Beton dayanım sınıfı C25/30 olan bir kiriş kesitinin çatlama momentini hesaplayınız. Kirişin enkesit boyutları b w x h=250 mmx 500 mm dir. (Betonun karakteristik eksenel çekme dayanımı f ctk = 0.35 f ck, eğilmede çekme dayanımı f ctfk ise, eksenel çekme dayanımının iki katı alınabilir) Çözüm: Karakteristik eğilmede çekme dayanımı f ctfk =2 x 0.35 25 =3.5 MPa Eğilmede hesap çekme dayanımı f ctfd = 3.5 = 2.3 MPa olarak elde edilir. 1.5 Dikdörtgen bir kesitin atalet momenti I= bh 3 250x 500 12 = 3 12 = 500 I= 2604166668.67 mm 4, Mukavemet momenti ise, 250 W= bh2 6 = 10416667.67 mm3 Kesitin çatlama momenti, M cr = f ctfd x W = 23958335,64 Nmm ( 23.96 knm) olarak elde edilir. 67 Betonarme kesitlerde, betonun çekme dayanımının düşük olması nedeniyle, tarafsız eksene kadar kesitin çatladığı kabul edilir. Dolayısıyla da, kesitin alt bölgesinde oluşan çekme gerilmeleri donatı tarafından, üst bölgeleri ise beton tarafından karşılanır (Şekil 4.4). Şekil 4.4. Eğilme etkisindeki bir elemanda basınç ve çekme bölgesi Basit eğilme etkisindeki betonarme bir elemanda, çekme bölgesine yerleştirilen donatı, elemanın çatlamasına engel olamaz. Elemanın çekme bölgesinde oluşan ilk çatlaklar momentin büyük olduğu kesitte oluşur. Moment arttıkça bu çatlakların boyu ve genişliği artar ve yeni çatlaklar oluşur. Betonda çatlaklar asal çekme
gerilmesine dik yönde oluştuğundan, kesme kuvvetinin olmadığı bölgelerde, eleman eksenine dik yöndedir. Yük artmaya devam ederse bu çatlaklar kesme kuvvetinin olduğu bölgede de oluşur. Ancak bu çatlaklar eleman ekseni ile belirli bir açıda eğimli olur. Basit eğilme etkisindeki betonarme bir elemanda, çekme bölgesine yerleştirilecek donatının etkin olarak görev yapabilmesi için, tarafsız eksenden uzakta olması diğer bir deyişle, kesitin alt kısmında bulunması gerekir. Bununla birlikte, donatıda oluşacak uzama veya kısalmanın betona iletilebilmesi için beton ile donatı aderansının tam olması gerektiği açıktır. Bunun için, kesitin alt kısmına yerleştirilecek donatının betonla tam olarak sarılması gerekir. Betonun donatıyı sarması için, donatı ile en dış lif arasındaki mesafenin (beton örtü kalınlığı) ihmal edilmemesi gerekir. Beton örtü kalınlığının, donatı beton aderansı yanında diğer faydaları Bölüm 2 de de ayrıntılı olarak verildiği gibi, donatıyı zararlı suların etkisinden dolayısıyla da korozyondan korumak, yangın nedeniyle donatıda oluşacak etkilerin azaltılması vb. faydaları da bulunmaktadır. Eğilme momenti ve eksenel yükün (bağımsız veya birlikte) etkimesi durumunda bir kesitin taşıma gücünün belirlenmesinde bazı kabullerin yapılması gerekmektedir. Bu kabuller aşağıda verilmiştir. 68 a) Enkesit boyutları uzunluklarına göre küçük olan yapı elemanlarının (moment sıfır noktaları arasındaki mesafenin en kesit yüksekliğine oranı 2 den büyük olan elemanlar) kesit taşıma gücünü kaybedene kadar düzlem kesitler düzlem kalır. Dolayısıyla da kesitin şekildeğiştirme diyagramı doğrusaldır (Şekil 4.5) b) Donatı ile beton arasında kenetlenme (aderansı) tamdır. Dolayısıyla da donatıdaki birim boy değişimi kendisini saran betonun boy değişimine eşittir. c) Çekme bölgesinde betonun, tarafsız eksene kadar çatladığı kabul edildiğinden, kesit dayanımına etkisi yoktur. d) Eğilme etkisindeki elemanda, kesitin basınç bölgesindeki betonun en dış lifindeki maksimum birim kısalma kapasitesi TS 500 e göre; εcu =0.003 olduğu (TS EN 1992-1-1 de εcu =0.0035 alınır) kabul edilir (Şekil 4.5).
e) Kesitin çekme bölgesindeki, tarafsız eksenden en uzakta, bulunan donatının birim uzama kapasitesinin εsu = 0.010 olduğu kabul edilir. Bu kabul nedeniyle, düzlem kesitler şekildeğiştirdikten sonra da düzlem kalırlar (Şekil 4.5). Düzlem kesitlerin şekildeğiştirdikten sonra da düzlem kalması kabulü, Bernoulli Hipotezi olarak bilinir ve aderans nedeniyle, donatı ve betonda oluşan uzama ve kısalmalar, tarafsız eksene olan uzaklıklarıyla orantılı olarak değişir. Bu kabul, kesitlerde uygunluk bağıntısının yazılmasına imkân verir. A s Şekil 4.5. Kesitin şekildeğiştirme diyagramı f) Kesit hesaplarında kullanılacak beton ve donatının gerilme-şekildeğiştirme diyagramları bellidir. Betonarme bir kesitin çekme bölgesinde, betonun çekme dayanımının küçük olması nedeniyle, kesitin tarafsız eksene kadar çatladığı kabul edilir ve bu bölgede gerilmeler donatı tarafından karşılanır. Kesitin taşıma gücüne ulaştığı anda, basınç bölgesindeki gerilme dağılımı, betonun tek eksenli merkezi basınç etkisi altında elde edilen, gerilme-şekildeğiştirme diyagramına benzerdir(şekil 4. 6). 69 Şekil 4.6 Betonun tipik gerilme şekildeğiştirme diyagramı
Betonun gerilme şekildeğiştirme diyagramı, her beton sınıfı için değişiklik gösterebileceği gibi, aynı karışım oranı ve aynı koşuşlarda üretilen betonda bile farklılıklar gösterir. Diğer bir deyişle, her bir beton sınıfı için tek bir gerilme şekildeğiştirme diyagramı tanımlanamaz. Ancak araştırmacılar, betonun gerilme şekildeğiştirme diyagramı ile ilgili birçok model tanımlamışlardır. Bu modeller konu ile ilgili teknik literatürde (*****) ayrıntılı olarak verilmiştir. Bununla birlikte, betonarme kesit hesaplarında gerilme dağılımının şekli değil, dağılımın vereceği bileşke kuvvetle bu bileşke kuvvetin moment kolu, dolayısıyla da uygulama noktası önemlidir. TS EN 1992-1-1 ve TS 500 de enkesit tasarımında dikkate alınacak gerilme-birim şekildeğiştirme ilişkisini Şekil 4.7 de verildiği gibi, parabol-dikdörtgen olarak tanımlamıştır. Ancak TS 500 de ε cu = 0.0030 alınır. 70 Şekil 4.7. Basınç etkisindeki betonun parabol-dikdörtgen gerilme-birim şekildeğiştirme diyagramı Standartlarda, yukarıda verilen parabol-dikdörtgen gerilme-şekildeğiştirme diyagramı yerine, bu diyagrama eşit veya daha güvenli sonuç elde edilmesi durumunda, çift eğimli doğrusal gerilme-birim şekildeğiştirme ilişkisinin kullanılabileceğini belirtilmektedir (Şekil 4.8). Şekil 4.8. Çift eğimli doğrusal gerilme-birim şekildeğiştirme ilişkisi
Daha önce de belirtildiği gibi, betonarme kesitlerin tasarımında, betonun gerilmebirim şekildeğiştirme diyagramı yerine, bu diyagramın vereceği bileşke kuvvet ve bu bileşke kuvvetin uygulama noktası önemlidir. Dolayısıyla da kesitin basınç bölgesinde bu şartları sağlayan herhangi bir diyagram seçilebilir. Betonarme kesitlerde dikdörtgen dağılımın bu özeliklerinin (bileşke kuvvet ve uygulama noktası) belirlenmesi için TS EN 1992-1-1 de, ve gibi iki bağımsız katsayı kullanılmıştır. Burada, maksimum basınç gerilmesinin beton hesap (tasarım) dayanımına oranı ya da eğilme durumunda meydana gelecek en büyük gerilmenin, merkezi basınç dayanımına oranı (TS 500 de 0.85 olarak alınır), ise, dikdörtgen basınç dağılımında, dikdörtgen derinliğinin tarafsız eksen derinliğine oranı ( a ), olarak tanımlanır. Dolayısıyla da, betonarme kesit hesaplarında, x betonun gerçek gerilme dağılımı yerine, bu diyagramı temsil edebilecek herhangi bir dağılım, beton basınç gerilmeleri dağılımı olarak kullanılabilir. Ancak uygulama kolaylığı nedeniyle, betonarme kesit hesaplarında, eşdeğer dikdörtgen gerilme diyagramı tercih edilmektedir (Şekil 4.9). 71 Şekil 4.9. Betonarme kesitin basınç bölgesinde gerilme diyagramları (TS EN 1992-1) Şekil 4.9 dan da görüldüğü gibi, eşdeğer dikdörtgen basınç dağılımının derinliği (a); tarafsız eksen (x) derinliğine oranı olan ve maksimum basınç gerilmesinin beton hesap (tasarım) dayanımına oranını gösteren katsayıları, TS EN 1992-1 e göre beton sınıfına bağlı olarak aşağıda verildiği gibi alınır.
=0.80 =0.80-(fck-50)/400 =1.0 =1.0-(fck-50)/200 fck 50 MPa 50<fck 90 MPa fck 50 MPa 50<fck 90 MPa TS 500 de ise, taşıma gücüne erişildiği sıradaki beton basınç bölgesindeki gerilme dağılımı için, geçerliliği deneysel verilerle kanıtlanmış herhangi bir dağılım kullanılabilir (Şekil 4.10). Ancak, hesaplarda kolaylık sağlamak amacıyla, gerçek basınç gerilmesi dağılımı yerine, bileşkesi ve tatbik noktası aynı olacak şekilde herhangi bir diyagram kullanılabilir. Hesap kolaylığı için aşağıdaki özellikleri taşıyan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğunun kullanılması tercih edilir. TS 500 de tarafsız eksen derinliği, x yerine c olarak gösterilmiştir. 72 Şekil 4.10. Betonarme kesitin basınç bölgesinde gerilme diyagramları (TS 500) TS 500 e göre c, tarafsız eksen derinliğini, k1 eşdeğer gerilme bloğu derinliğinin tarafsız eksen derinliğine oranı, k3 ise 0.85 değerinde bir katsayı olarak tanımlanmıştır. Ancak k1 katsayısının betona göre 0.70 k1 0.85 arasında değişim gösterdiği belirtilmiştir. TS 500 e göre; k1=0.85 fck= 25 MPa betonlar için k1= 1-0.006fck 30 MPa fck 50 MPa betonlar için alınabileceği belirtilmiştir. verilmiştir. Buna göre hesaplanan k1 değerleri Tablo 4.1 de
Tablo 4.1. Eşdeğer basınç bloğu derinliği(k1) katsayıları Beton C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 k1 0.85 0.82 0.79 0.76 0.73 0.70 Tablodan görüldüğü gibi, TS 500 e göre eşdeğer basınç bloğu derinliği katsayısı beton basınç dayanımına göre değiştiği, TS EN 1992 de ise bu değerin C50 dayanım sınıfına kadar 0.80 olduğu görülmektedir. g) Donatının gerçek gerilme şekildeğiştirme diyagramı yerine (Şekil 4.11), hesaplarda gerilme-şekildeğiştirme diyagramının, ideal elasto-plastik olduğu kabul edilir (Şekil 4.12). Dolayısıyla da, donatıdaki gerilme akma gerilmesinden daha küçük ise (σ s f yk ), Es elastisite modülünü, ε s ise donatıdaki birim uzamayı göstermek üzere, donatıdaki gerilmenin değeri, σ s = E s ε s şeklinde hesaplanır. 73 Şekil 4.11. Donatı çeliğinin tipik gerilme-şekildeğiştirme diyagramı (TS EN 1992-1) Şekil 4.12. Donatının idealize edilmiş ve tasarım gerilme-şekildeğiştirme diyagramı (çekme ve basınç için)-ts EN 1992-1
h) Eksenel kuvvetin bulunduğu veya bulunmadığı durumlarda, kesit taşıma gücünü kaybedeceği anda, kesitte oluşması muhtemel birim şekildeğiştirme aralığı Şekil 4.13 de verildiği gibidir. Şekil 4.13. Betonarme kesitlerde oluşması muhtemel birim şekildeğiştirme aralıkları 74 Taşıma gücü sınır durumunda oluşabilecek birim şekildeğiştirme aralıkları aşağıda açıklanmıştır. 1 : Eksenel çekme ve küçük dış merkezli çekme durumunu göstermektedir. Bu tür elemanların enkesitleri tamamen çekme altındadır. Betonun çekme dayanımının çok küçük olması nedeniyle kesit tamamen çatlar, çekme kuvveti sadece donatı tarafından karşılanır (Şekil 4.14). Merkezi ve küçük dış merkezli çekme yükü etkisindeki elemanlarda, yük artırılmaya devam ederse, donatı akma sınırını aşar ve uzamaya devam eder. Elemanda göçme, donatının uzamasının, maksimum birim uzama değerine ulaşınca meydana gelir. Şekil 4.14. Çekme etkisindeki eleman
2 : Eğilme ve bileşik eğilme durumu Bu tür elemanlarda kesitin çekme bölgesi çatlamıştır(denge altı durum). Kesitin çekme bölgesinde bulunan donatı akma birim uzaması değerini (εs εsy) geçmiş daha sonra basınç bölgesindeki betonun birim kısalması, nihai birim kısalma değerine ulaşmıştır (εc =εcu). Bu tür elemanlarda göçme, çekme kırılması olarak gerçekleşir. Kırılma türü sünektir (Şekil 4.15). Şekil 4.15. Eğilme etkisindeki elemanda çekme kırılması 3 : Eğilme ve bileşik eğilme durumu Bu bölgede, donatının birim uzama değeri akama birim uzaması değerine ulaşmış, donatı akma sahanlığında uzamaya devam ederken betonun birim kısalması nihai birim kısalma değerine ulaşmıştır. Kesitin çekme bölgesinde bulunan donatı, 2 bölgesindekinden daha fazladır. Bu tür donatılı kesitlerde iki tür kırılma gözlenir. 75 Birinci durumda (dengeli durum); eğer kesitin çekme bölgesindeki donatının birim uzama değeri (ε s ), akma birim uzama değerine (ε sy ) ulaşır ulaşmaz, kesitin basınç bölgesindeki birim kısalma değeri (ε c ), nihai birim kısalma değerine (ε cu ) ulaşır (Şekil 4.16a). Bu tür elemanlarda göçme, basınç kırılması şeklinde olur ve davranış gevrektir. İkinci durumda ise (denge üstü durum), kesitin çekme bölgesindeki asal donatının birim uzama değeri (ε s ), henüz akma birim uzama değerine (ε sy ) ulaşmamış, ancak basınç bölgesinde betonun birim kısalması ( ε c ), nihai birim kısalma değerine ( ε cu ) ulaşmıştır (Şekil 4.16b). Bu tür elemanlarda da göçme basınç kırılması şeklinde olur ve davranış gevrektir.
Şekil 4.16. Eğilme etkisindeki elemanlarda basınç kırılması Özetle, eğilme etkisindeki betonarme elemanlara yerleştirilecek asal donatının, elemanın kırılma şeklini etkilediği, projelendirmenin eleman davranışının basınç kırılmasına yol açmayacak şekilde yeterince sünek yapılmasının gerekliliği açıktır. 4.3. BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ ELEMANLARIN TASARIMI Düzlemlerine dik yüklemeye maruz elemanlar, daha önce de belirtildiği gibi, eğilme momenti, kesme kuvveti ve burulma momenti etkisindedir. Bu tür elemanlar kiriş ve döşemelerdir. Bir elemanın kiriş olarak tasarlanabilmesi için; Nd 0.1 Ac fck (4.4) 76 koşulunu sağlaması gerekmektedir. Burada, Nd eksenel yük (çekme ya da basınç), Ac enkesit alanı, fck ise karakteristik beton basınç dayanımını göstermektedir. Yukarıda verilen koşulun sağlanmaması durumunda elemanda dış yükten dolayı eğilme momenti yanında eksenel kuvvette oluşacağından, basit eğilme yerine kolonlarda olduğu gibi, bileşik eğilmeye göre tasarımının yapılması gerekmektedir. Betonarme elemanların davranışı yükleme şekline göre değişir. Örneğin normal kuvvet etkisinin büyük, moment etkisinin küçük olması durumunda gevrek davranış, normal kuvvet etkisinin küçük, moment etkisinin büyük olması durumunda ise sünek davranış görülür. Sünek davranış, bir elemanda yük taşıma kapasitesinde azalma olmadan şekildeğiştirme ya da yerdeğiştirme yapabilme özeliği olarak tanımlanır (Şekil 4.17). Süneklik en büyük yerdeğiştirmenin ya da şekildeğiştirmenin, elastik yerdeğiştirmeye ya da şekildeğiştrmeye oranı olarak da tanımlanmaktadır. Süneklik yapılarda, malzeme sünekliği (gerilmeşekildeğiştirme), kesit sünekliği (moment-eğrilik), eleman sünekliği (yük-
yerdeğiştirme) ve sistem sünekliği (yük yerdeğiştirme) olarak bilinir. Burada kesit sünekliği, elemanın sünekliğini, eleman sünekliği de sistemin sünek davranış göstermesini sağlar. Şekil 4.17 Dayanım şekildeğiştirme/yerdeğiştirme ilişkisi 4.3.1. Normal Donatılı Bir Kirişin Davranışı Normal donatılı (sünek davranış gösteren) bir kirişin yük altındaki davranışı (Moment-eğrilik ilişkisi) Şekil 4.18 de verilmiştir. 77 Şekil 4.18 Moment eğrilik ilişkisi Betonarme bir kiriş, kırılana kadar yüklenirse, kesit çatlama dayanımını ulaşıncaya kadar lineer elastik davrandığı kabul edilebilir. İlk çatlak oluşunca kesitin rijitliği değişir. Çatlamış kesitte yük artık donatı tarafından karşılanır. Yük artırmaya devam ederse, gerilmeler liften life aktarılarak(gerilme uyumu)
çatlaklar kesitte artmaya devam eder ve çatlamış kesitin eğilme rijitliği sürekli olarak azalır. Yük daha da arttıkça, çekme bölgesinde donatı akma dayanımına ulaşır ve kesitte plastik mafsal oluşur. Kesit, taşıma gücü momentine ulaşmıştır. Bu aşamada kesit yük almamaya başlar ve şekildeğiştirme artar. Ancak, kesiti plastik mafsal durumuna getiren moment, kesit tarafından taşınmaya devam eder. Bu aşamadan sonra kesitte aşırı şekildeğiştirme meydana gelir. Kesitin rijitliği ise oldukça azalmıştır. Basınç bölgesinde betonun birim kısalması, nihai birim kısalma değerine ulaşınca kesitte göçme olur. Bu aşamada, gerilme/moment henüz taşıma gücüne ulaşmamış kesitler tarafından taşınmaktadır. Bu da daha önce de belirtildiği gibi, kesitten kesite gerilme/moment uyumu (yeniden dağılım) adını alır. Çatlamış bir kesitin rijitlik değişimi Şekil 4.19 da verilmiştir. 78 Şekil 4.19 Eğilme rijitliğinin değişimi 4.3.2. Eğilme Etkisindeki Kesitlerde Donatı Oranına Bağlı Kırılma Türleri Eğilme etkisindeki betonarme elemanların çekme bölgelerinde kullanılan asal donatıların oranının, elemanın sünek davranış göstermesini sağlayacak şekilde olması gerekmektedir. Betonarme eğilme etkisindeki bir elemanda donatı oranı kesite yerleştirilen donatıların alanının (As), enkesit boyutuna (bwd) oranı olarak tanımlanır (Şekil 4.20). Şekil 4.20 Eğilme etkisindeki eleman enkesiti ve boyutları
Betonarme kesitlerde kırılma, asal donatının birim uzama ve basınç bölgesindeki betonun birim kısalma değerleri dikkate alınarak incelenebilir (Şekil 4.21). Şekil 4.21 Beton ve donatının gerilme-şekildeğiştirme ilişkileri Kritik donatılı kesitler ve kritik donatı oranı (ρ c ) Eğilme etkisindeki bir elemanda ilk mikro çatlağın oluşmasıyla kırılan kirişlerdeki momenti ancak karşılayabilecek donatı oranı kritik donatı oranı( ρ c ) olarak tanımlanır. Bu tür donatı oranına sahip elemanlar, hiç donatısı olmayan beton elemanlar gibi davranış gösterir. Bu kesitlerde basınç bölgesinde betonun birim kısalma değeri henüz nihai birim kısalma değerinden oldukça küçüktür. Ancak donatıda birim uzama, kesitte ilk mikro çatlak oluşur oluşmaz, akma birim uzamasına ulaşır. Kırılma ani ve gevrek olur(basınç kırılması). Dolayısıyla da kesitlere yerleştirilecek donatının oranı bu donatı oranından daha büyük olması istenir ve minimum donatı oranı (ρ min ) ile sınırlandırılır. 79 Şekil 4.22 Kritik donatılı bir kesitte oluşan birim şekildeğiştirme dağılımı Dengeli donatılı kesitler ve dengeli donatı oranı (ρ b ) Dengeli donatılı kesitler, çekme bölgesinde asal donatıların birim uzama değerinin (ε s ), akma birim uzama değerine ulaşır ulaşmaz, basınç bölgesindeki betonun birim kısalmasının (ε c ), nihai birim kısalma değerine ulaşmasını sağlayan donatı oranına(ρ b ) sahip kesitlerdir (Şekil 4.23). Bu kesitlerde donatının birim uzama değerinin akma birim uzamasına ulaşmasıyla, betonun birim kısalması aynı anda
nihai birim kısalma derine ulaşır. Bu tür donatı oranına sahip kesitlerde kırılma ani ve gevrektir(basınç kırılması). Dolayısıyla da bu donatı oranından kaçınmak gerekir. Şekil 4.23 Dengeli donatılı bir kesitte oluşa birim şekildeğiştirme dağılımı Denge altı donatılı kesitler ve denge altı donatı oranı (ρ) Dengeli altı donatılı kesitlerde, çekme bölgesindeki asal donatının birim uzama değeri (ε s ), akma birim uzama değerine ulaşır. Daha sonra basınç bölgesindeki betonun birim kısalması (ε c ), nihai birim kısalma değerine ulaşır. Bu davranışı sağlayan donatı oranına(ρ) sahip kesitlere denge altı donatılı (normal donatılı) kesitler adı verilir. Bu donatı oranı, denge altı donatı oranı ya da normal donatı oranı (ρ) adını alır(şekil 4.24). Bu tür donatı oranına sahip kesitlerde kırılma sünektir(çekme kırılması). Dolayısıyla da bu kesitlerin sünek davranışı göstermesi için bu donatı oranına sahip kesitler tasarlamak gerekir. Zira denge altı donatı oranına sahip elemanlarda, daha önce donatı akma birim uzama değerine ulaşacağından, aşırı şekildeğiştirmeler meydana geleceğinden sistemde göçmeyi haber verir. Yönetmeliklerde sadece denge altı donatı oranına izin vermektedir. 80 Şekil 2.24 Denge altı donatılı kesitte oluşan birim şekildeğiştirme dağılımı
Denge üstü donatılı kesitler ve denge üstü donatı oranı (ρ > ρ b ) Dengeli üstü donatılı kesitlerde, çekme bölgesindeki asal donatının birim uzama değeri (ε s ), akma birim uzama değerine henüz ulaşmamıştır (ε s << ε sy ). Ancak basınç bölgesindeki betonun birim kısalması (ε c ), nihai birim kısalma değerine ulaşmıştır. Bu davranışı sağlayan donatı oranına sahip kesitlere denge üstü donatılı (aşırı donatılı) kesitler adı verilir. Bu donatı oranı, denge üstü donatı oranı adını alır(şekil 4.25). Bu tür donatı oranına sahip kesitlerde kırılma ani ve gevrektir(basınç kırılması). Dolayısıyla da bu kesitlerin tasarlanmasına izin verilmez. Şekil 4.25 Denge üstü donatılı kesitte oluşan birim şekildeğiştirme dağılımı 81 4.4. BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ BETONARME KESİTLERİN HESABI Betonarme kirişlerin eğilme momentine göre tasarımında, tek donatılı dikdörtgen kesit, çift donatılı dikdörtgen kesit, tablalı kesit ve değişken geometriye sahip kesitlerle karşılaşılmaktadır. Daha önce de belirtildiği gibi, kirişler taşıma gücünü, donatı oranlarına bağlı olarak, çekme ya da basınç kırılması olarak kaybeder. Kesite yerleştirilen donatı oranı, dengeli donatı oranı dikkate alınarak isimlendirilir. Dengeli donatı oranına sahip kesitlerde kırılma ani ve gevrek (basınç kırılması) olur. Bu donatı oranına yönetmeliklerde izin verilmez. Herhangi bir kesitte bulunan donatının oranı dengeli donatı oranından büyük ise, denge üstü donatılı kesit (basınç kırılması), dengeli donatı oranından daha küçük ise denge altı donatılı kesit (çekme kırılması) adını alır. Donatı oranlarına bağlı kırılma türleri aşağıda verilmiştir. Dengeli donatılı kesitlerde (ρ = ρ b ) kırılma türü gevrektir. Denge üstü donatılı kesitlerde (ρ > ρ b ) kırılma türü gevrektir. Denge altı donatılı kesitlerde (ρ < ρ b ) kırılma türü sünektir.
4.4.1. Tek Donatılı Kesitler Dengeli donatı oranına sahip kirişler, denge üstü donatılı kirişlerde olduğu gibi, gevrek kırılmaktadır. Bu tür donatılı kesitlerde, donatı aktığı anda basınç bölgesindeki beton da nihai birim kısalma değerine ulaştığından, yeterli şekildeğiştirme yapma olanağı yoktur. Yönetmeliklerde donatı oranı için konulan üst sınırlarla, gevrek davranış önlenmektedir. Bu nedenle burada denge altı donatılı (normal donatılı) kesitlerin taşıma gücü bağıntıları çıkartılmıştır. Ancak, sınır durum oluşturması nedeniyle dengeli donatılı kesitlerin taşıma gücü ayrıntılı olarak irdelenmektedir. 4.4.1.1. Dikdörtgen Kesitli Dengeli Donatılı Kesitlerin Hesabı Şekilde verilen kirişin açıklık ortası kesitinin dengeli donatı oranına sahip olduğu kabul edilsin. Bu durumda kesitteki dengeli donatı oranı; ρ b = A sb b w d (4.5) şeklindedir. Bu kesitte donatıda birim uzama, akma birim uzama değerine basınç bölgesindeki betonun birim kısalma değeri de nihai birim kısalma değerine ulaşmıştır. Dolayısıyla da ε s = ε sy ve ε c = ε cu olur. 82
Bir mühendislik probleminin çözümü, denge denklemleri, uygunluk denklemlerinin yazılması ve malzemenin gerilme-şekildeğiştirme diyagramının belli olması durumunda, kolaylıkla yapılabilmektedir. Uygunluk bağıntısı ε cu ε sy = c b d c b ya da C b d = ε cu ε cu +ε sy (4.6) olarak yazılabilir. Burada, a b = k 1 c b olduğundan, yukarıdaki uygunluk denkleminden cb çekilir ve ab yerine yazılırsa; c b = buradan da, a b = k 1 ε cu ε cu +ε sy d ε cu ε cu +ε sy d (4.7) haline gelir. Denge denklemleri Kuvvet denge denklemi 83 ΣF = 0 F c = 0.85f cd a b b w F s = A sb buradan F c = F s 0.85f cd a b b w = A sb buradan, a b = A sb 0.85f cd b w (4.8) olur. Bu bağıntıda Asb çekilir ve ab yerine (4.7) bağıntısı yazılırsa; A sb = 0.85f cdb w a b buradan A sb = 0.85f cdb w d (k 1 ε cu ε cu +ε sy ) (4.9) şekline gelir. Betonarme bir kesitte donatı oranı ρ b = A sb b w d yerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa dengeli donatı oranı; olduğundan Asb değeri ρ b = 0.85f cd (k 1 ε cu ε cu +ε sy ) (4.10)
olarak elde edilir. Dengeli donatı durumunda kesitte bulunan asal donatı akma dayanımına ulaşmış (σ s = ε sy E s olduğundan akma dayanumına ulaştığından σ s = alınır), basınç bölgesinde ise betonun birim kısalması nihai birim kısalma değerine ulaşmıştır (ε c = ε cu ). Bu durumda donatıdaki akma birim uzama değeri ε sy = olur. Donatının elastisite modülü E E s = 2x10 5 N/mm 2, betonun nihai s birim kısalma değeri ise ε cu = 0.003 olduğu kabulüyle (4.10) bağıntısı ile verilen dengeli donatı oranı; ρ b = 0.85f cd (k 1 0.003 0.003+ Es ) Burada her bir taraf Es ile çarpılır ve gerekli düzenleme yapılırsa, ρ b = 0.85 k 1 f cd ( 600 600+ ) (4.11) olarak hesaplanabilmektedir. Bu bağıntıda, betonun hesap dayanımı fcd ve donatının hesap akma dayanımı fyd, N/mm 2 olarak dikkate alınacaktır. Betonarme kesitlere yerleştirilecek donatının oranı, dengeli kırılmanın oluşmaması için, bu donatı oranına izin verilmez. Yönetmeliklerde maksimum donatı oranı ile kesitlere yerleştirilecek donatının oranı sınırlandırılmıştır. k1 beton dayanım sınıfına bağlı bir katsayıdır. Bu katsayı daha önce de belirtildiği gibi, TS 500-2000 de, 84 k1=0.85 fck= 25 MPa betonlar için k1= 1-0.006fck 30 MPa fck 50 MPa betonlar için TS EN 1992-1-1 de ise bu katsayı (k1 yerine λ olarak gösterilmiştir). λ = 0.80 λ = 0.8 (f ck 50)/400 fck 50 MPa için 50 MPa<fck 90 MPa için olarak tanımlanmıştır. TS 500 de tanımlanan k1 değerleri beton dayanım sınıfına göre Tablo 4,1 de verilmiştir.
Moment denge denklemi (ΣM = 0) Dengeli donatı oranına sahip bir betonarme kesitte, Fc veya Fs bileşke kuvvetin tatbik noktasına göre moment alınırsa; olur. M rb = F s Z b = F c Z b Buradan M rb = F s Z b = A sb (d a b 2 ) olarak yazılır. Bu bağıntıda (4.8) bağıntısında a b yerine yazılırsa, kesitin direnme momenti, 85 A sb M rb = A sb (d 1 ) (4.12) 2 0.85f cd b w şeklinde hesaplanır. Mühendislikte hesap pratikliği sağlamak amacıyla, denge denklemlerinin sadeleştirilmesiyle elde edilen, yardımcı tablolar kullanılabilir. Bu tabloların hazırlanması için mekanik anlamı olmayan bazı terimler tanımlanabilir. Buna göre dengeli mekanik donatı oranı ψ b ; ψ b = A sb b w d f cd (4.13) olarak tanımlanır. ρ b = A sb b w d olduğundan mekanik donatı oranı; ψ b = ρ b (4.14) f cd olarak yazılır. Buna göre (4.13) bağıntısı, (4.12) bağıntısında yerine yazılır ve gerekli düzenleme yapılırsa;
M rb = A sb d(1 0.59ψ b ) (4.15) şekline gelmektedir. Burada A sb = ρ b b w d olduğundan Mrb; M rb = b w d 2 ρ b (1 0.59ρ b f cd ) (4.16) olur. Bu bağıntıdan da görüldüğü gibi direnme momenti, elemanın enkesit boyutlarına, donatı oranına ve malzeme dayanımlarına bağlıdır. Bağıntı (4.16) da verilen enkesit özelikleri dışında kalan ifadeler, herhangi bir fiziksel anlamı olmayan bir katsayı (kmb) ile gösterilirse; k mb = ρ b (1 0.59ρ b f cd ) (4.17) ve yazılırsa; ψ b = ρ b f cd olduğundan, buradan fyd çekilir (4.17) bağıntısında yerine k mb = ψ b f cd (1 0.59ψ b ) (4.18) 86 haline gelir. (4.18) bağıntısı ile ψ b seçilir ve beton sınıfına bağlı olarak kmb hesaplanır. ψ b nin seçilmesinden sonra bağıntı (4.14) ile ρ b hesaplanır ve bir tablo haline getirilebilir. Örnek olarak, seçilen bazı ψ b değerlerine karşılık gelen, C25 ve S420 (B420 C) dayanım sınıflarına sahip bir kesit için kmb ve ρ b değerleri aşağıda verilmiştir.
Yukarıda verildiği gibi her beton ve donatı sınıfı için ayrı ayrı tablo halinde getirilebilir. Böylece, bir kesitin direnme momenti; M rb = k mb b w d 2 (4.19) haline gelmektedir. 4.4.1.2. Denge Altı (Normal Donatılı) Kesitlerin Hesabı Yönetmelik gereği betonarme kesitlerde dengeli donatı oranına sahip kesitlerin oluşturulmasına izin verilmemektedir. Ancak denge altı donatılı kesitlerin oluşturulmasına izin verilmektedir. Bu nedenle bir önceki başlık altında çıkartılan uygunluk bağıntısı, kuvvet ve moment denge denklemleri burada da geçerlidir. 87 Uygunluk bağıntısı ε cu = c ε sy d c Kuvvet denge denklemi (Fc=Fs) buradan 0.85f cd a b w = A s ve a= A s 0.85f cd b w A s = 0.85f cdb w a
yazılabilir. c=a/k1 olarak hesaplanır. Kesitte gerilme bloğu derinliği a=k1.c, tarafsız eksen derinliği ise Moment denge denklemleri (ΣM = 0) M r = F s Z = F c Z M r = F s Z = A s (d a 2 ) burada As yerine yazılırsa, M r = 0.85 f cdb w a (d a 2 ) (4.20) olur. Enkesit tasarımında dış yük etkisinde oluşan hesap momenti Md bellidir. Bu durumda tasarım için gerilme bloğu derinliğinin bilinmesi gerekmektedir. Dikdörtgen gerilme bloğu derinliğinin hesaplanmasında (4.20) bağıntısında Mr yerine Md yazılarak gerekli düzenlemeler yapılırsa aşağıda verilen ikinci derece bir denklem elde edilir. 0.85 2 f cdb w a 2 0.85f cd b w a d + M d = 0 (4.21) 88 Bu denklem çözülürse, a 1,2 = d d 2 2M d 0.85f cd b w şeklinde iki kök elde edilir. Bu köklerden anlamlı olan sonuç a olarak alınır. Kesitin taşıyabileceği moment (direnme momenti); M r = 0.85f cd b w a (d a 2 ) ya da (4.22) M r = A s (d a 2 ) bağıntılarından biriyle hesaplanabilir. Betonarme hesap sonucunda Mr>Md olması durumunda kesit üzerine etkiyen momenti dayanım yönünden belli bir ihtimalle sağlamıştır. Aksi durumda, kesitin donatısını ya da boyutlarını değiştirmek gerekir.
4.4.2. Eğilme Etkisindeki Elemanların Boyutlandırılması ve Donatı Hesabı 4.4.2.1. Enkesit Boyutları ve Asal Donatı İle ilgili Koşullar Betonarme eğilme elemanlarında kesit hesabı, elemanın öngörülen davranışı gösterecek şekilde yapılmaktadır. Bu nedenle eleman enkesit boyutları ve donatı oranı, arzulanan davranışı sağlayacak şekilde seçilmelidir. Eğilme momenti etkisindeki betonarme elemanlardan kirişlerin minimum enkesit boyutları aşağıda verildiği gibi olmalıdır (TS 500-2000). 89 Betonarme kirişlerde asal donatı çapı en az 12 mm olmalıdır. Enkesit yüksekliği 600 mm den büyük olan kirişlerde gövde donatısı bulundurulmalıdır. Gövde donatısının alanı en az, A sl = 0.001 b w d (4.23) olmalıdır. Bu donatı gövdenin iki yüzünde eşit olarak en az 12 mm çaplı donatı çubukları ile, donatıların aralığı en az 300 mm olacak şekilde düzenlenmelidir. 1- Davranışın sünek olması için geçilmemesi gereken üst sınır (ρ max ) Bir kesite yerleştirilmesi gereken donatı oranı, dengeli donatı oranının 0.85 inden büyük olmamalıdır. Bir kesite donatı oranı ρ; ρ= b w A s d ρ max = 0.85ρ b olmalıdır. Bununla birlikte asal çekme donatısı oranı hiçbir zaman 0.02 den fazla olamaz.
Betonarme elemanların sünek davranış gösterebilmesi için, donatı oranının minimum donatı oranından da küçük olmaması gerekmektedir. Minimum donatı oranı, kesitte ilk çatlama momentini karşılayacak kritik donatı oranından daha büyük olacak şekilde yönetmeliklerde tanımlanmıştır. Buna göre TS 500-2000 de eğilme etkisindeki elemanlar için minimum donatı oranı ρ min ; ρ min = 0.80 f ctd olarak verilmiştir. Buna göre sünek davranış gösterecek (çekme kırılması) bir elemanda donatı oranı ρ min ρ { ρ max 0.02 olmalıdır. Dolayısıyla da, bu kesitlere denge altı donatılı kesitler adı verilmektedir. Bu şekilde donatılmış kesitler sünek davranış gösterir. 2-Sehim hesabı gerektirmeyen donatı oranı (ρ def ) Eğilme etkisindeki elemanların sehimleri, kullanım sınır durumunu geçmemesi gerekmektedir. Bazı kesitlerin enkesit boyutları bazı nedenlerle gereğinden daha küçük olabilmektedir. Bu durumda elemanın sehim yapıp yapmadığı sehim hesabı yapılarak gösterilmelidir. Betonarme elemanlarda sehim hesabı yapılmak istenmiyorsa, maksimum donatı oranından daha küçük bir donatı oranı ile kesitin boyutlandırılması gerekir. Ancak bu donatı oranı yönetmeliklerde zorunlu değildir. Buna göre kullanım sınır durumu çerçevesinde kesitte kullanılması 90 gereken donatı oranı ρ ρdef olması gerekmektedir. Sehim hesabı gerektirmeyecek donatı oranı için teknik literatürde tavsiye edilen donatı oranı; ρ ρ def = 0.235 f cd olmalıdır. Buna göre kesitteki donatı oranı ρ def ρ ρ max ise, elemanın sehim yapma ihtimalinin bulunabileceği, mutlaka kullanım sınır durumunu sağlamak için sehim hesabının yapılması gerektiği unutulmamalıdır. Bilindiği gibi kullanım sınır durumunda yük ve malzeme katsayıları (γ m, γ f = 1.0) alınır. Sehim hesabı
sonunda, elemanlar için yönetmeliklerde verilen sehim sınırları aşılmayacak şekilde eleman enkesit yüksekliği artırılmalıdır. Özetle, betonarme yapı ya da yapı elemanlarının davranışı asal çekme donatısının oranına bağlıdır. Davranış, farklı donatı oranları kullanılarak kontrollü bir şekilde değiştirilebilir. TS EN 1992-1-1/Nisan 2009 da kirişlerde eğilme momentini karşılayacak asal çekme donatıların minimum ve maksimum alanları ile ilgili bazı sınırlandırmalar getirilmiştir. Buna göre, asal çekme donatıların minimum alanı ile ilgili her ülke için kendi milli ekinde verilebileceği belirtilmekte, önerilen değerin ise; A s,min = 0.26 f ctm f yk b t d 0.0013 b t d (4.24) olduğu belirtilmiştir. Burada bt kesitin çekme bölgesinin ortalama genişliğidir. Kesitin tabla kısmı basınç etkisinde olan bir tablalı kesitlerde (T), bt hesaplanırken sadece kesitin gövde kısmı dikkate alınır. fctm ise betonun eksenel çekme dayanımının ortalama değeridir ve aşağıda verildiği gibi alınır. 91 ( f ctm = 0.30 f 2 3 ) ck C50/60 f ctm = 2.12 ln (1 + ( f cm )) > C50/60 10 A s,min değerinden daha az donatı alanına sahip kesitlerin betonarme olmadığı kabul edilmektedir. Kesitlere yerleştirilecek donatıların maksimum alanı ise, yine her ülke için kendi milli ekinde verilebileceği ancak önerilen değerin 0.04 Ac olduğu belirtilmektedir. 4.4.2.2. Normal Donatılı (Denge Altı) Kesitlerin Hesabı ve Denetimi Eğilme etkisindeki elemanların kesit hesabı, davranışın sünek olması için verilen kısıtlar çerçevesinde yapılması gerekmektedir. Kesit hesabında, dış yükten etkisindeki moment (Md), malzeme ve enkesit boyutları bilinmektedir. Hesapta, sünek davranış sağlanacak şekilde, bu momenti taşıyabilecek asal çekme donatısı alanı, çap ve sayısı belirlenir.
Kesit hesabı için TS 500 de verilen kısıtlar aşağıda verilmiştir. Minimum donatı oranı: Kesite yerleştirilecek donatı oranı minimum donatı oranından daha az olamaz. Maksimum donatı oranı: Kesite yerleştirilecek donatı oranı maksimum donatı oranından daha fazla olamaz. ρ min ρ ρ max TS 500 e göre minimum donatı oranı : ρ min = 0.8 f ctd Maksimum donatı oranı : ρ max = 0.85 ρ b Tek donatılı kesitler için dengeli donatı oranı (ρ b ) : ρ b = 0.85 k 1 f cd ( 600 600+ ) şeklinde hesaplanır. Kesit hesapları, daha önce de belirtildiği gibi, uygunluk bağıntısı ve denge denklemelerdi yardımıyla yapılmaktadır. 92 1) Fc= Fs 0.85f cd a b w = A s A s = 0.85f cd a b w Bu bağıntıdan görüldüğü gibi, eşdeğer gerilme bloğu derinliği a ve donatı alanı As bilinmemektedir. Dolayısıyla da moment denge denklemine gerek duyulur.
2) ΣM = 0 M d = F s Z = A s (d a 2 ) Burada As yerine yazılır ve gerekli düzenleme yapılırsa ikinci derece denklem elde edilir. 0.85 2 f cdb w a 2 0.85f cd b w a d + M d = 0 Bu denklemin anlamlı kökü, gerilme bloğu derinliğini verir. a 1,2 = d d 2 2M d 0.85f cd b w Gerilme bloğu derinliği belirlendikten sonra, kesitin tarafsız eksen derinliği c hesaplanabilir (a=k1 c). Bir kesitte tarafsız eksen derinliği belli olması durumunda, gerilme bloğu derinliği, denge denklemleri yazmadan kolaylıkla hesaplanabilir. 93 Gerilme bloğu derinliği belirlendikten sonra kuvvet denge denklemlerinden elde edilen bağıntılarda yerine yazılarak donatı alanı As belirlenir ve kısıtlarda verilen değerlerle karşılaştırılarak, uygun görülmesi durumunda çap ve adet belirlenerek kesite yerleştirilir. Bu çözüm daha önce denge denklemleri yardımıyla çıkartılan ve tablolaştırılmış değerler yardımıyla da yapılabilir. Buna göre; M d = k m b w d 2 buradan k m = M d hesaplanır ve malzeme özeliklerine bağlı olarak hazırlanmış b w d2 tablodan ρ değeri alınır (Tablo 4.2). Bu değer kısıtlar arasında kalıyorsa, As hesaplanır.
A s = ρ b w d Kesit denetiminde ise, kesitin boyutları, malzeme özelikleri ve donatı alanı bellidir. Kesitin mevcut hali ile ne kadar moment taşıyacağı ve bu momenti taşırken davranışının nasıl olacağı belirlenir. Kesit denetiminde kuvvet denge denklemleri yazılarak gerilme bloğu derinliği hesaplanır. 0.85f cd a b w = A s a = A s 0.85 f cd b w Buradan kesitin taşıyabileceği Mr momenti; M r = 0.85f cd b w a (d a 2 ) 94 ya da M r = A s (d a 2 ) olarak hesaplanır. Burada Mr Md ise kesit taşıma gücü açısından yeterli bir emniyete sahip olduğu kabul edilir. Kesitin taşıma gücünü çekme ya da basınç kırılması ile kaybedip kaybetmeyeceği ise minimum ve maksimum donatı oranları hesaplanarak belirlenir. Burada da, denge denklemleri yardımıyla hazırlanmış tablo yardımıyla hesaplar yapılabilir.
Tablo 4.2. Tek donatılı kesitler içim km ve ρ değerleri 95
4.4.3. Tek Donatılı Dikdörtgen Kesitlerin Hesap ve Tasarımına ait Sayısal Örnekler Örnek 1) Şekilde en kesit boyutları verilen kirişin açıklık ortasında hesaplanan moment, Md= 135 knm dir. Bu kesite yerleştirilecek donatı alanını, donatı çapını 16 mm alarak sayısını belirleyiniz. Malzeme C25/30, S420 (B420 C). Net beton örtü kalınlığı cc=20 mm, etriye çapı 8 mm dir. Çözüm: Betonun hesap dayanımı, Donatının hesap akma dayanımı Betonun hesap çekme dayanımı fcd= 17 MPa fyd= 365 MPa fctd= 1.2 MPa 96 Kesit için geçerli olacak kısıtlar: Minimum donatı oranı Dengeli donatı oranı ρ min = 0.8 f ctd = 0.8 1.2 365 = 0.0026 ρ b = 0.85 k 1 f cd ( 600 600+ ), ρ b = 0.85 0.85 17 365 ( 600 600+365 ) = 0.021 Maksimum donatı oranı ρ max = 0.85ρ b, ρ max = 0.85 0.021 = 0.0179 Kesitte kullanılması gereken donatı oranı 0. 0026 ρ { 0.0179 0.02 olmalıdır. arasında
1) ΣF = 0 buradan Fc=Fs olur. Fc= 0.85 fcd bw a Fs= As fyd 0.85 fcd bw a = As fyd a = A s 0.85 f cd b w, A s = 0.85 f cd b w a Buradan görüldüğü gibi eşdeğer gerilme bloğu a ve donatı alanı As bilinmemektedir 2) Moment denge denklemi ΣM = 0 M d = F c (d a 2 ), M d = 0.85 f cd b w a (d a 2 ) M d = F s (d a 2 ), M d = A s (d a 2 ) olur. Eşdeğer gerilme bloğu derinliği a nın hesabı için, kuvvet denge denklemlerinden elde edilen As, moment denge denkleminde yerine yazılırsa; 97 1 2 0.85 f cd b w a 2 0.85 f cd b w d a + M d = 0 Şeklinde ikinci derece bir denklem elde edilir. Bu denklemin anlamlı kökü eşdeğer gerilme bloğu derinliği olarak alınır. 1 2 0.85 17 250 a2 0.85 17 250 464 a + 135 10 6 = 0 1806.25 a 2 1676200 a + 135. 10 6 = 0 Bu denklemden eşdeğer gerilme bloğu derinliği a= 89.83 mm elde edilir. denklemin kökü Bu a 1,2 = d d 2 2M d 0.85f cd b w şeklinde de doğrudan hesaplanabilir. Eşdeğer gerilme bloğu belli olduktan sonra,
A s = M d (d a 2 ), A s = 135 10 6 365 (464 89.83 = 882.55 mm2 ) 2 ya da A s = 0.85 f cd b w a, A s = 0.85 17 250 89.83 365 = 889.07 mm 2 elde edilir. Burada moment denge denklemleri ile kuvvet denge denklemleri yardımıyla hesaplanan As değerleri arasındaki fark, yuvarlatma neticesinde olmaktadır. Bu fark önemsenmeyecek kadar küçüktür. Kesite yerleştirilecek donatının oranı ρ = A s = 889.07 = 0.0077 ρ b w d 250 464 min = 0.0026 Buna göre, kesite yerleştirilecek donatı oranı minimum donatı oranından büyüktür. Eğer minimum donatı oranından küçük olsaydı, minimum donatı oranı dikkate alınarak yeni bir As hesaplanır ve kesite yerleştirilir. Kesite yerleştirilecek donatı sayısı n = A s A s = 889.07 201.06 = 4.42 adet elde edilir. Kesite yerleştirilecek donatı sayısı her zaman bir üste yuvarlanır (n= 5 adet). 98 Kesite yerleştirilen donatının alanı A s = 5 201.06 = 1005.3 mm 2 Buna göre kesitteki donatı oranı: ρ = A s = 1005.3 = 0.0087 b w d 250 464 Buna göre; ρ min = 0.0026 ρ = 0.0087 { ρ max = 0.0179 0.02 olduğundan kesitin kırılması çekme kırılmasıdır. Davranış sünektir. Tablo yardımıyla çözüm: Enkesit detayı k m = M d b w d 2 = 135 10 6 250 464 2 = 2.508 Tablodan ρ = 0.00763 ρ min = 0,0026 A s = ρ b w d = 0.00763 250 464 = 885.08 mm 2
Denge denklemleri ile elde edilen As ile tablo yardımıyla elde edilen As arasında önemsiz oranda farklılıklar çıkabilmektedir. Bunun nedeni, yuvarlatma ve sadeleştirmelerden kaynaklanmaktadır. n = A s = 885.08 = 4.4 adet A s 201.06 Buna göre kesite yerleştirilecek donatı sayısı n= 5 adet (5Ø16) Görüldüğü gibi, denge denklemleri kullanılarak oluşturulan tablolar yardımıyla hesap daha pratik hale gelmektedir. Örnek 2) Şekilde verilen kirişin açıklık ortasında asal çekme donatısı olarak 16 mm çapında 4 adet donatı kullanılmıştır. Enkesit boyutları 300 mm x 600 mm ve faydalı yüksekliği (d) 564 mm dir. Malzeme C30/37- B420 C olduğuna göre; a) Kesitin taşıyabileceği maksimum momenti hesaplayınız. b) Tarafsız eksen derinliğini belirleyiniz. c) Bu kesit taşıma gücünü nasıl kaybeder? 99 Çözüm 2: Malzeme C30/37-B420 C Betonun hesap dayanımı, Donatının hesap akma dayanımı Betonun hesap çekme dayanımı fcd= 20 MPa fyd= 365 MPa fctd= 1.2 MPa a) Burada enkesiteki asal donatının alanı bilinmektedir. Kuvvet denge denklemi yazılarak eşdeğer gerilme bloğu derinliği belirlenebilir.
As= 804.25 mm 2 Kuvvet denge denkleminden: 0.85 fcd bw a = As fyd a = A s 0.85 f cd b w = 804.25 365 = 57.56 mm2 0.85 20 300 Moment denge denkleminden: M r = A s (d a 2 ), M r = 804.25 365 (564 57.56 2 ) = 157.11 106 Nmm M r = 157.11 knm olarak elde edilir. b) Tarafsız eksen derinliği C30/37 beton sınıfı için k1= 0.82 a = k 1 c buradan c = a k 1 = 57.56 0.82 elde edilir. = 70.2 mm 100 c) Kesit taşıma gücünü nasıl kaybedeceği donatı oranlarına bakarak karar verilir. Kesitte buluna donatının oranı ρ = A s = 804.25 = 0.0048 b w d 300 564 Minimum donatı oranı ρ min = 0.8 f ctd = 0.8 1.2 365 = 0.0026 Dengeli donatı oranı ρ b = 0.85 k 1 f cd 600 ( ) = 0.85 0.82 20 600 + 365 ( 600 600 + 365 ) = 0.024 Maksimum donatı oranı ρ max = 0.85 ρ b = 0.85 0.024 = 0.02 Buna göre; ρ min = 0.0026 ρ = 0.0048 { ρ max = 0.02 0.02 Kesit sünek davranış gösterir. Denge altı donatılıdır. Çekme kırılması olur.
Tablo yardımıyla hesap: As= 804.25 mm 2 ρ = A s b w d = 804.25 300 564 = 0.00475 k m = 1.65 M r = k m b w d 2 M r = 1.65 300 564 2 = 157.46 10 6 Nmm M r = 157.46 knm olarak hesaplanır. Örnek 3) Şekilde verilen sürekli kirişin mesnet kesitinde, sabit yükten dolayı M g = 15 knm, haraketli yükten dolayı ise M q = 8 knmm moment değerleri hesaplanmıştır. Tarafsız eksenin enkesit yüksekliğinin yarısından geçtiği kabulüyle, kesite yerleştirilmesi gerekli donatı alanını, donatı çapını 12 mm alarak sayısını ve enkesit detayını çiziniz (Hesaplarda faydalı yükseklik d=465 mm olarak anılacaktır). Malzeme C30/37, B420 C 101 Çözüm 3). Yukarıda verilen şekilden de görüldüğü gibi, kiriş açıklık ortası enkesitinde çekme altta, basınç ise üsttedir. Mesnet bölgesinde de çekme üstte, basınç altta oluşmaktadır. Bu nedenle asal çekme donatıları enkesitin üst bölgesine yerleştirilir.
M d = 1.4 M g + 1.6 M q M d = 1.4 15 + 1.6 8 = 33.8 knm Malzeme: C30/37 fcd = 20 MPa fctd= 1.2 MPa k1 = 0.82 B420 C için fyd= 365 MPa Tarafsız eksen (c), enkesit yüksekliğinin ortasından geçtiği kabulüyle çözüm istenmektedir. Bu durumda c= 250 mm dir. Tarafsız eksen belli olunca basınç bölgesine etkiyecek eşdeğer gerilme bloğu derinliği (a) da bellidir. a = k 1 c a = 0.82 250 = 205 mm Denge denklemleri yazılırsa: Fs= Fc, A s = 0.85 f cd b w a M d = A s (d a 2 ) A s = M d (d a 2 ) = 33.8 106 365(465 205 2 ) = 255.46 mm2 102 Minimum donatı oranı ρ min = 0.8 f ctd = 0.8 1.2 365 = 0.0026 ρ = A s b w d = 255.46 250 465 = 0.0022 < ρ min = 0.0026 Hesaplanan donatı oranı, minimum donatı oranından daha küçük olduğundan, donatı alanı minimum donatı oranına göre hesaplanarak enkesite yerleştirilir. A s = ρ b w d A s = 0.0026 250 465 = 302.25 mm 2 Donatı sayısı n = A s = 302.5 = 2.67 adet 3 adet 12 (3 12) A s 153.94 As= 339.3 mm 2 Kesite yerleştirilecek donatının oranı; ρ = A s b w d = 339.3 250 465 = 0.0029
f cd 600 ρ b = 0.85 k 1 ( ), ρ 600 + f b = 0.85 0.82 20 yd 365 ( 600 600 + 365 ) = 0.0237 ρ max = 0.85ρ b, ρ max = 0.85 0.0237 = 0.02 ρ min = 0.0026 ρ = 0.0029 { ρ max = 0.02 0.02 Kesit sünek davranış gösterir. Enkesit detayı; 103
104