Nokta (Skaler) Çarpım Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır. Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir yöntemdir. ve B vektörlerinin skaler çarpımı, B şeklinde yazılır ve skaler çarpım B diye okunur. ve B nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. B B cos 0 o 180 o 1
2 Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları : Değişme özelliği (komütatiflik ) Skaler ile çarpım Dağılma kuralı (distributiflik) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D B D B ab B a B a B B
3 Kartezyen vektör formülasyonu B cos B Formülünü kullanarak kartezyen birim vektörlerin çarpımını bulmak için kullanılabilir. Örneğin: 0 0 1 1 0 (1)(1) cos 90 1 (1)(1)cos0 j k k i k k j j j i i i o o
Uygulamalar Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama alanı vardır: 1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı B B cos cos 1 B ( ) B 0 180 B x B x y B y z B z 4
Uygulamalar 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması: a : a-a doğrultusundaki vektörünün bileşeni. nın izdüşümü de denir. a-a nın doğrultusu u a birim vektörüyle belirlenmişse, a vektörünün şiddeti skaler çarpımla bulunabilir. a a u a ( u 1) ua cos cos u şeklinde bulunur. a a 5
6 vektörünün dik bileşeni:. ' sin cos ) cos ( 2 2 1 bulunur den veya u u a a a a a 180 0 ) ( cos 1 B B
ÖRNEK 6 Şekilde verilen F kuvvetinin B çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz. (0; 0; 0) B (2; 6; 3) r B 2i 6 j 3k 7
8 0 0 1 1 0 (1)(1) cos 90 1 (1)(1)cos0 j k k i k k j j j i i i o o
Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bileşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemlerin çözümünde kullanılacaktır. Bölüm 3 9
Noktasal Cismin Dengesi Denge Koşulu: Bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa maddesel nokta dengededir. Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir. denge veya statik denge ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır. 10
Denge durumunu korumak için Newton un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir: bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir. F 0 Bu formül denge için gerekli koşul olmakla kalmayıp, aynı zamanda yeterli koşuldur. Bu durum Newton un ikinci hareket kanunu ile ortaya konur. F ma ma 0 a 0 Parçacık sabit hızla hareket etmekte veya durmaktadır 11
Serbest Cisim Diyagramı Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmak gerekir. Bunun için parçacığı çevresinden soyutlanmış ve serbest olarak gösteren bir şema çizilir. Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösteren bu çizime serbest cisim diyagramı denir. Serbest cisim diyagramını çizerken kullanılan iki bağlantı tipi : Yaylar İpler ve makaralar 12
Yaylar Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı olarak değişir. Yayların elastikliğini tanımlayan : yay sabiti (k) F ks s l l 0 l 0 F 0.4 m k 500 N / m ks (500N / m)(0.6m l 0.6 m l 0.4m) 100N 0.2 m F ks (500N / m)(0.2m 0.4m) 100N 13
İpler (Kablolar) ve Makaralar Tüm kabloların ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu kabul edilecektir. Kablolar sadece çekme kuvveti taşırlar ve bu kuvvet daima kablo doğrultusunda etki eder. Şekilde herhangi bir açısında, kablo uzunluğu boyunca sabit T gerilmesi oluşmaktadır. 14
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi Öncelikle yapılması gereken; Uygun bir parçacık belirlendikten sonra buna etkiyen kuvvetleri gösterebileceğimiz serbest cisim diyagramını basit bir şekilde çizmektir. 15
1.adım: parçacık çevresinden soyutlanarak, serbest kaldığı düşünülerek genel hatlarıyla çizilir. 2.adım: parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetler gösterilir. Bu kuvvetler cismi hareket ettirmeye çalışan aktif kuvvetler ve/veya hareketi önleme eğilimi olan kısıtlamalar ve mesnetlerin neden olduğu tepki (reaktif) kuvvetleri dir. 3.adım: bilinen kuvvetler uygun büyüklük (şiddet) ve doğrultularla (yön) işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin şiddet ve yönü ise harfle gösterilir. Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor, ancak yönü ve şiddeti bilinmiyorsa, kuvvet yönünü tanımlayan ok ucu varsayıma göre seçilir. Doğru yön şiddet bulunduktan sonra işaretlenir. Tanım gereği şiddet daima pozitiftir, çözüm negatif bir skaler verirse eksi işareti kuvvetin ucunun veya yönünün başta varsayılanın tersi yönde olduğunu gösterir. 16
Örnek 7 C noktasının serbest cisim diyagramını çiziniz. 17
Düzlemsel Kuvvet Sistemleri 0 F xi F F x 0 F y F 0 y j 0 x-y düzleminde bulunan kuvvetlerin dengede olması için vektörel toplamın sıfır olması gerekir. Bu vektörel denklemin sıfıra eşit olması için x ve y bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır. Bu iki denklem en çok iki bilinmeyen kuvvetin bulunması için kulanılır. Denklemlerde kuvvetlerin yönleri de dikkate alınmalıdır. 18
Skaler gösterim Bileşenlerin gösteriminde skaler notasyon kullanılacaktır. Her bir bileşenin yönü serbest cisim diyagramında bileşenin ok yönüne karşı gelen bir cebirsel işaret ile ifade edilir. Bir kuvvet bileşeninin işareti bilinmiyorsa, alınan yön pozitif olur, çözüm negatif çıkarsa kuvvet yönünün ters olduğu anlaşılır. Örneğin, F x 0 F 10 0 F 10N 19
Örnek 8 D silindiri 60 kg dır. B ve BC kablolarında oluşan çekme kuvvetlerini bulunuz. 20
21
Örnek 9 8 kg lık lambanın şekildeki gibi taşınabilmesi için C kablosunun uzunluğu ne olmalıdır? l B =0.4 m (deforme olmamış boy) 22
23
Ödev 7 W Şekilde gösterilen kablolarda 0.5 kn un üzerinde çekme kuvveti oluşmaması için asılı olan kovanın ağırlığını (W) bulunuz. 24
Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Parçacık dengesinin sağlanması için: Parçacık üzerine etkiyen kuvvetler i, j, k bileşenlerine ayrılırsa: Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını göstermektedir, 0 dır. Bu denklemler ile en fazla 3 bilinmeyen kuvvet bulunabilir. 25
Örnek 10 40 N luk sandığı taşımak için kullanılan kablolarda oluşan kuvvetleri bulunuz. 26
27
Kuvvet Sistemleri Bir kuvvetin bir nokta veya eksene göre momentinin bulunması Bir noktadan geçmeyen kuvvet sistemlerinin bileşkelerinin bulunması Kuvvet çiftinin oluşturduğu momentin bulunması İki ve üç boyutlu kuvvetler için moment hesaplanması Moment bir cismi döndürmeye çalışır, denge ise cismin dönmemesini gerektirir. Bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cismi etki çizgisinin dışında bir nokta etrafında döndürmeye çalışır. Bu döndürme eğilimine tork veya daha sık kullanıldığı şekliyle moment denir. 28
Bir kuvvetin momenti Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti (M), kuvvetin cismi o nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsünü gösterir. M 0 = F. d Momentin şiddeti, F kuvvetinin şiddeti ile orantılıdır ve F kuvvetine dik olan moment kolu d ile orantılıdır. (b) de moment kolu daha kısa! d =dsin (d <d) (c) de =0 d =0 M=0 29
Moment daima F ve d yi içeren düzleme dik bir eksen etrafında etkimektedir. Ve bu eksen düzlemi, O noktasında kesmektedir. Şiddeti M 0 = F. d olan momentin doğrultusu sağ el kuralı kullanılarak belirlenir. Momentin birimi; Nm, kncm 30
Bileşke Moment Bir kuvvet sistemi x-y düzleminde yer alırsa, her bir kuvvetin O noktasına göre momenti z ekseni yönünde olacaktır. Sistemin bileşke momenti, bütün kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı alınarak bulunabilir, çünkü bütün moment vektörleri aynı doğrultudadır. Moment saatin tersi yönündeyse (+), saat yönündeyse (-) Sağ el kuralına göre baş parmak sayfa düzleminin dışına doğru (+z ekseni) ise (+), içine (-z ekseni) doğruysa (-) 31
Örnek 11 32
Örnek 12 Etkiyen dört kuvvetin O noktasında oluşturduğu bileşke momentin değerini bulunuz. Pozitif moment yönü, +k yönünde, yani saatin tersi yönünde olduğu kabulü ile: 33
F kuvveti her zaman dönme etkisi yaratmayabilir. F kuvveti noktasında M =F.d momenti kadar döndürmeye çalışıyor, ancak gerçek döndürme etkisi B mesnetinin kaldırılması halinde oluşur. Çiviyi çıkarmak için F H kuvvetinin O noktasında yaratmış olduğu momentin, F N çivi kuvvetinin yaratmış olduğu momentten büyük olması gerekir. 34
Vektörel çarpım (çapraz çarpım) Bir kuvvetin momenti, kartezyen vektörler kullanılarak ifade edilebilir. Bundan önce vektör çarpımında kullanılacak olan çapraz çarpıma bakalım. ve B vektörlerinin vektörel (çapraz) çarpımı sonucu C vektörü elde edilir. C B C vektörünün şiddeti de şu şekilde bulunabilir: C Bsin 35
YÖN: C vektörünün yönü, ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Sağ el kuralı ile belirlenir. Parmaklarımızı dan B ye doğru kıvırdığımızda başparmağımızın gösterdiği yön C vektörünün yönünü gösterir. C vektörünün yönü, u c birim vektörüyle karakterize edilebilir. C C B Bsin ( Bsin ) u c 36
Vektör çarpım kuralları asosiyatif özellik her durumda şiddet aynı doğrultu aynı Distributif özellik 37
Kartezyen vektör formülasyonu Kartezyen birim vektörlerinin çapraz çarpımlarını bulmak için: ve B vektörlerinin vektörel çarpımı : Bu terimler düzenlenirse : 38
Kartezyen vektör formülasyonu Vektörel çarpım, determinant formunda da ifade edilebilir. Bu determinant (3 satır ve 3 kolona sahip) üç minör kullanılarak hesaplanır. Determinant hesabı için minörlerin bulunması Bu üç bileşen toplanır ve determinant bulunur : 39
Bir kuvvetin momenti: Vektör formülasyonu Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti M 0 r F O noktasında F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörü Vektörel çarpım ile belirlenen moment doğru şiddet ve doğru yöne sahip olacaktır. 40
Şiddet M 0 r F M 0 rf sin F( r sin ) Fd = r ve F vektörleri arasındaki açı d = dik mesafe Yön Sağ el kuralına göre momentin yönü belirlenir. 41
M 0 Taşınabilirlik (Transmisibilite) ilkesi r F r F r 1 2 3 F Vektörel çarpım işlemi, üç boyutlu problemlerde sıklıkla kullanılır. Çünkü kuvvetin etki çizgisinden O noktasına olan dik mesafeyi bulmaya gerek yoktur. O noktasından F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine ölçülen r vektörü moment hesabı için kullanılabilir. F kuvveti etki çizgisinin herhangi bir yerine etkiyebilir, ve O noktasında aynı moment etksini yaratır. 42
Momentin kartezyen vektör formülasyonuna göre bulunması + + Konum vektörü bileşenleri Kuvvet vektörü bileşenleri 43
Bir kuvvet sisteminin bileşke momenti M r F Bir kuvvet sisteminin O noktasına göre bileşke momenti şöyle bulunur: r0 i i i 44
Örnek 13 O noktasında oluşan moment değerini ve yönünü bulunuz. 45
46