ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİ IV Mert Çağlar

Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy 34156 İstanbul http://web.iku.edu.tr/~mcaglar/ m.caglar@iku.edu.tr

Look within. Let neither the peculiar quality of anything nor its value escape thee. MARCUS AURLIUS Meditations, Book VI, 3 (Trans. by George Long, 1862)

İçindekiler Önsöz vii 1 R n üzerinde integrasyon 1 1.1 Jordan bölgeleri............................ 1 Problemler.............................. 12 1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali............ 13 Problemler.............................. 25 1.3 Ardışık integraller.......................... 26 Problemler.............................. 39 1.4 Değişkenlerin dönüşümü....................... 42 Problemler.............................. 54 1.5 Birimin ayrışımları.......................... 56 Problemler.............................. 69 1.6 Gama fonksiyonu ve hacim..................... 7 Problemler.............................. 79 2 Çok-değişkenli hesabın temel teoremleri 81 2.1 ğriler................................. 81 Problemler.............................. 93 2.2 Yönlendirilmiş eğriler........................ 95 Problemler.............................. 1 2.3 Yüzeyler................................ 11 Problemler.............................. 112 2.4 Yönlendirilmiş yüzeyler....................... 114 Problemler.............................. 122 2.5 Green ve Gauss Teoremleri..................... 124 Problemler.............................. 131 2.6 Stokes Teoremi............................ 134 Problemler.............................. 141 Kaynakça 145 v

vi İçindekiler Dizin 147

Önsöz 21/11 Bahar Dönemi nde İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-debiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde verdiğim Analiz IV (MC 411) dersinin notlarından oluşan bu derleme, bir önceki dönem aynı bölümde verdiğim Analiz III (MC 311) dersinin devamıdır. Ders kitabı olarak yine William R. Wade in An Introduction to Analysis [23] isimli kitabı kullanılmış ve notlar, temel olarak, bu kitabın ilgili bölümleri göz önüne alınarak oluşturulmuştur. Gerekli olan yerlerde Analiz III dersinin notlarına atıf yapılmış, ve bu atıflar önlerine III ibâresi konularak (III/Teorem 2.4.2 ya da III/ 1.4, Problem 1 gibi) verilmiştir. Bundan dolayı, okuyucunun Analiz III dersinin notlarını elinde bulundurması yararlı olacaktır: bu notlara http://udes.iku.edu.tr adresindeki ilgili sayfadan ulaşılabilir. Öklidyen uzaylar üzerinde integrasyon teorisinin ve bu teorinin esas sonuçlarının ele alındığı Analiz IV dersi, Analiz III dersiyle bir bütünlük arzetmektedir. Hâlihazırdaki ders notlarının verimli olarak kullanılabilmesi de, gereken alt-yapının edinilmesiyle mümkündür. Uğur Gönüllü, Analiz III dersinde olduğu gibi, bu derste de uygulamaları yürüttü ve notları gözden geçirdi. Kendisine teşekkür ederim. İstanbul, Mayıs 211 Mert Çağlar vii

1 R n üzerinde integrasyon Öklidyen uzaylar üzerinde integrasyon teorisi, aynı teorinin tek-değişkenli fonksiyonlar için geçerli olan araçlarının çok-boyutlu benzerleri elde edilerek kurulur. Temel olarak klâsik uzunluk, alan, ve hacim kavramlarının herhangi boyutlu uzaylardaki kümeler için tanımlanmasıyla inşâ edilen bu teori, bu bölümün konusudur. 1.1 Jordan bölgeleri Bu kısımda, bir-boyutlu Riemann integralinin inşâsında kullanılan parçalanışların çok-boyutlu benzerleri tanımlanacak ve bunların yardımıyla R n uzayının bazı özel alt-kümeleri sabitlenecektir. R n içinde bir (n-boyutlu) dikdörtgen R : = [a 1, b 1 ] [a n, b n ] = {x := (x 1,..., x n ) R n her j = 1,..., n için x j [a j, b j ]} (1.1.1) olsun. R dikdörtgeninin kenarlarının her birini alt-parçalara bölerek elde edilen n-boyutlu dikdörtgenlerin bir G := {R 1,..., R p } ailesine, R üzerinde bir ağ denir: bir başka deyişle R üzerinde bir ağ, her j = 1,..., n için, ν j N sayılarının ve [a j, b j ] aralığının P j := P j (G) := {x (j) k k = 1,..., ν j } parçalanışlarının; bir k {1,..., ν j } için I j := [x (j) k 1, x(j) k ] olmak üzere, G ailesi I 1 I n formundaki n-boyutlu dikdörtgenlerin bir koleksiyonu olacak biçimde var olduğu küme olarak tanımlanır. R üzerinde P ve H gibi iki ağ göz önüne alındığında, eğer her j = 1,..., n için P j (G) parçalanışı karşılık gelen P j (H) parçalanışından daha ince ise, G ağına H ağından daha incedir, denir. (1.1.1) yapısındaki n-boyutlu bir R dikdörtgeni için, R := (b 1 a 1 ) (b n a n ) sayısı R dikdörtgeninin hacmi olarak adlandırılır. (n = 1 olduğunda R sayısı R aralığının uzunluğu, n = 2 olduğunda ise aynı sayı R dikdörtgeninin alanı 1

2 1 R n üzerinde integrasyon olarak isimlendirilecektir.) Her ε > sayısı için, R (R ) ve R = R + ε gerçeklenecek biçimde bir R dikdörtgeninin var olduğu hemen gözlemlenebilir: her j = 1,..., n için, δ olduğunda b j a j + 2δ b j a j sağlandığından, yeterince küçük bir δ > sayısı R := [a 1 δ, b 1 + δ] [a n δ, b n + δ] dikdörtgeni R = R + ε koşulunu sağlayacak biçimde seçilebilir. Çok-değişkenli bir fonksiyonun integrali bu fonksiyonun tanım kümesini içeren bir Öklidyen uzayın alt-kümeleri üzerinde tanımlanmak istendiğinde iki- ve üçboyutlu uzaylardaki nesneler için geçerli olan standart kavramların genellemeleri olarak, ilgili alt-kümelerin alan larının ya da hacim lerinin ne anlama geldiklerinin belirlenmesi gerektiği görülür; bu ise, Öklidyen bir uzaydaki bir kümenin hacminin nasıl tanımlanması gerektiği sorusuna yol açar. Tanım 1.1.1. n-boyutlu bir R dikdörtgeninin bir alt-kümesi, ve R üzerinde bir ağ G := {R j j = 1,..., p} olsun. Boş küme üzerinden alınan toplam sıfır kabul edilmek koşuluyla, X X V (; G) := R j ve v(; G) := R j R j R j değerlerine, sırasıyla, kümesinin G ağına göre dış toplamı ve iç toplamı denir. Açıklama 1.1.2. Tanım nedeniyle, her G ağı için V ( ; G) = v( ; G) = olur; aynı zamanda, = olan her kümesi ve her G ağı için, v(; G) = gerçeklenir. Dış ve iç toplamlar, bir-boyutlu Riemann integrali kurulurken tanımlanan altve üst-toplamların çok-boyutlu benzerleridir. Bu benzerlik, aşağıdaki yardımcı sonuçların gösterdiği gibi, sadece tanımların genelleştirilmelerinden ibaret değildir. Lemma 1.1.3. R, n-boyutlu bir dikdörtgen ve R olsun. R üzerindeki her G ağı için, V (; G) v(; G) = V ( ; G) eşitliği sağlanır. Kanıt. R j G olsun. III/Açıklama 1.2.15 den, = olur; R j olması, o hâlde, R j ve kümelerinin arakesitlerinin boş küme olmadığını, aynı zamanda da R j kümesinin tarafından içerilmediğini gösterir. Diğer taraftan da, eğer R j ile kesişiyorsa, R j kümesi tarafından içerilmiyorsa, ve aynı zamanda R j = oluyorsa, bu durumda, (R n ) açık kümeler çifti R j

1.1 Jordan bölgeleri 3 dikdörtgenini ayırır; yani, III/ 1.4, Problem 1 nedeniyle dikdörtgenler bağlantılı olduğundan, bir çelişkiye ulaşılır. Böylece, R j olması için, R j ve kümelerinin kesişmelerinin ve R j kümesinin kümesinin bir alt-kümesi olmamasının gerekli ve yeterli olduğu görülür. Dolayısıyla, tanım gereğince, eşitliği sağlanır. V ( ; G) = V (; G) v(; G) Lemma 1.1.4. R, n-boyutlu bir dikdörtgen, R, ve R üzerinde iki ağ G ve H olsun. ğer G ağı H ağından daha ince ise, eşitsizlikleri gerçeklenir. v(; H) v(; G) V (; G) V (; H) Kanıt. v(; H) değeri ya sıfıra eşit ya da negatif-olmayan terimlerin bir toplamı olduğundan, her H ağı için v(; H) olduğu bârizdir. Diğer taraftan, eğer = ise, Açıklama 1.1.2 nedeniyle, gösterilmek istenen üçüncü eşitsizlik doğru olur; olması durumunda ise, R j içermesi R j olmasını gerektirdiğinden, V (; G) değerini belirleyen toplam v(; G) değerini belirleyen toplamın tüm terimlerini içerir. Her durum için, o hâlde, v(; G) V (; G) eşitsizliği sağlanır. Kanıtı tamamlamak için, ikinci ve dördüncü eşitsizliklerin de doğru oldukları gösterilmelidir; ispatları benzer olduğundan, sadece dördüncü eşitsizlik kanıtlanacak ve ikinci eşitsizliğin gösterilmesi okuyucuya bırakılacaktır. G ağı H ağından daha ince olduğundan, her Q H dikdörtgeni G ağına ait R j dikdörtgenlerinin bir sonlu birleşimidir. ğer Q ise, R j dikdörtgenlerinden bazıları kümesini keser, ancak bazıları kesmeyebilir. Böylece, ve denilerek, istenen I 1 := {R G R } I 2 := {R G I 1 Q olan bir Q H için, R Q} V (; H) = X R I 1 R + X R I 2 R X R I 1 R = V (; G) sonucuna ulaşılır.

4 1 R n üzerinde integrasyon Lemma 1.1.5. R, n-boyutlu bir dikdörtgen ve R olsun. ğer G ve H aileleri R üzerinde iki ağ ise, olur. v(; G) V (; H) (1.1.2) Kanıt. G ve H ağlarından daha ince olan, R üzerinde bir ağ I olsun böyle bir ağ, örneğin, her j = 1,..., n için P j (I) := P j (G) P j (H) alınarak elde edilebilir. Lemma 1.1.4 den, o hâlde, gerçeklenir. v(; G) v(; I) V (; I) V (; H) Tanım 1.1.6. R n ve kümesini içeren n-boyutlu bir dikdörtgen R olsun. (i) kümesinin iç hacmi, değeridir. (ii) kümesinin dış hacmi, değeridir. Vol () := sup{v(; G) G ailesi R üzerinde bir ağ} Vol () := inf{v (; G) G ailesi R üzerinde bir ağ} Açıklama 1.1.7. Tanım 1.1.6 ile verilen iç ve dış hacim, G ağları üzerinde alınan, R dikdörtgeninden bağımsızdır: Bunu görmek için, kümesini içeren R ve Q dikdörtgenleri göz önüne alınsın. İki dikdörtgenin kesişimi yine bir dikdörtgen olduğundan, genelliği bozmaksızın, Q R olduğu varsayılabilir. İlk olarak, Q içermesinin de gerçeklendiği özel durum incelensin. R üzerinde keyfî bir ağ G olsun, ve Q := [c 1, d 1 ] [c n, d n ] olmak üzere R üzerinde G ağı, her j = 1,..., n için P j (G ) := P j (G) {c j, d j } alınarak tanımlansın. (R üzerinde bu şekilde oluşturulan G ağını, Q dikdörtgeninin uç-noktalarını G ağına ekleyerek elde edilen ağ, olarak adlandıralım.) Bu durumda, G ağı G ağından daha ince ve H := G Q ailesi Q üzerinde bir ağ olur; Q R olması V (; H ) = V (; G ) eşitliğini gerektirdiğinden, o hâlde, Lemma 1.1.4 kullanılarak, inf V (; H) V (; H ) = V (; G ) V (; G) Q üzerinde H

1.1 Jordan bölgeleri 5 elde edilir. Bu son eşitsizliklerin R üzerindeki G ağları üzerinden infimumu alınarak da, inf V (; H) inf V (; G) Q üzerinde H R üzerinde G eşitsizliğine ulaşılır. Ters yöndeki eşitsizliği elde etmek için, Q üzerinde keyfî bir H ağı göz önüne alınsın. H, R dikdörtgeninin uç-noktalarını H ağına ekleyerek elde edilen ağ olsun. Bu durumda, Q R içermelerinden dolayı V (; H) = V (; H ) inf V (; G) R üzerinde G sağlanır, ve bu son eşitsizliğin Q üzerindeki H ağları üzerinden infimumu alınarak inf V (; H) inf V (; G) Q üzerinde H R üzerinde G eşitsizliğine ulaşılır. Böylece, Q R olması durumunda inf V (; H) = inf V (; G) Q üzerinde H R üzerinde G eşitliğinin sağlandığı görülür. Şimdi, Q R içermelerinin sağlandığı genel durum göz önüne alınsın. ε > sayısı sabitlensin ve Q, R dikdörtgenleri, Q (Q ) (R ) içermeleri ve Q = Q + ε, R = R + ε eşitlikleri sağlanacak biçimde alınsın. Böylece, Q (Q ) (R ) olduğundan, ve inf V (; H) inf V (; H) = inf V (; G) Q üzerinde H Q üzerinde H R üzerinde G inf V (; G) + ε, R üzerinde G inf V (; H) + ε inf V (; H) = inf V (; G) Q üzerinde H Q üzerinde H R üzerinde G inf V (; G) R üzerinde G eşitsizlikleri elde edilir. Sonuç olarak, dış hacmin R dikdörtgeninden bağımsız olduğu görülmüş olur. Benzer argümanlarla, iç hacmin de R dikdörtgenine bağlı olmadığı sonucuna ulaşılır. İç ve dış hacim kavramlarının iyi-tanımlı olmaları, aşağıdaki isimlendirmeleri anlamlı kılar.

6 1 R n üzerinde integrasyon Tanım 1.1.8. R n olsun. ğer Vol () = Vol () ise, kümesine bir Jordan bölgesi denir. Bu durumda Vol () = Vol () değeri kümesinin hacmi (ya da, Jordan içeriği) olarak adlandırılır, ve Vol () ile gösterilir. ğer n = 1 ise, Vol () değerine kümesinin uzunluğu denir ve l() olarak gösterilir; n = 2 olması durumunda ise, Vol () değeri kümesinin alanı olarak isimlendirilir ve Alan () ile gösterilir. Vol () = özelliğini gerçekleyen bir kümesine, sıfır-hacimli denir. Tanım 1.1.1 nedeniyle boş küme üzerinden alınan toplamlar sıfır kabul edildiğinden, o hâlde, Vol ( ) = Vol ( ) = olur: yani, boş küme sıfır-hacimlidir. Jordan bölgelerinden oluşan bir aile := { l l N} olsun. Her j k için j k kümesi sıfır-hacimli ise ailesinin örtüşmeyen kümelerden oluştuğu, her j k için j k = olması durumunda ise ailesinin ikişerikişer ayrık kümelerden oluştuğu, söylenir. Tanım gereğince, ikişer-ikişer ayrık kümelerden oluşan bir aile örtüşmeyen kümelerden oluşur; bu önermenin tersi ise, genel olarak doğru değildir (bkz. Problem 6). Aşağıdaki basit gözlem, Jordan bölgelerini karakterize etmek için kullanılabilecek sonuçlardandır. Lemma 1.1.9. R n uzayının her sınırlı alt-kümesi için, Vol () Vol () sağlanır. Buna ek olarak, kümesinin bir Jordan bölgesi olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul, Vol () Vol () eşitsizliğinin gerçeklenmesidir. Kanıt. Tanım 1.1.8 nedeniyle, kanıtı bitirmek için ilk cümlede verilen eşitsizlikleri göstermek yeterlidir. kümesini içeren bir dikdörtgen R olsun, ve R üzerinde bir H ağı sabitlensin. R üzerinde tanımlı G ağları üzerinden (1.1.2) eşitsizliklerinin supremumu alınırsa, Vol () V (; H) sonucuna ulaşılır; bu son eşitsizliklerin R üzerinde tanımlı H ağları üzerinden infimumlarına geçilerek de, istenen elde edilir. Şimdi de, dikdörtgenlere kısıtlandığında, yapılan hacim tanımının klâsik hacim kavramıyla uyuştuğunu göreceğiz. Teorem 1.1.1. ğer R kümesi n-boyutlu bir dikdörtgen ise, R bir Jordan bölgesidir ve Vol (R) = R eşitliği sağlanır. Kanıt. Lemma 1.1.9 dan dolayı, istenenler, Vol (R) R Vol (R) eşitsizlikleri gösterilirse elde edilmiş olur. Şimdi, G := {R} ailesi R üzerinde bir ağ olduğundan, tanım nedeniyle R = V (R; G) Vol (R) gerçeklenir. Diğer taraftan, ε > sayısı sabitlenerek R := [a 1, b 1 ] [a n, b n ]

1.1 Jordan bölgeleri 7 olduğu varsayılırsa, δ için b j a j 2δ b j a j j = 1,..., n için geçerli olduğu kullanılarak, yakınsamasının her Q := [a 1 + δ, b 1 δ] [a n + δ, b n δ] olarak alındığında R Q < ε sağlanacak biçimde yeterince küçük bir δ > sayısının seçilebileceği görülür. Her j = 1,..., n için P j (G) := {a j, a j + δ, b j δ, b j } parçalanışı vâsıtasıyla elde edilen ağ G ile gösterilirse, o hâlde, G ağına ait olan ve R tarafından kapsanan tek dikdörtgenin Q olduğu sonucuna ulaşılır; bu ise, tanım kullanıldığında, Vol (R) v(r; G) = Q > R ε, yani Vol (R) > R ε olması demektir: bu son eşitsizliğin ε için limiti alınarak da, Vol (R) R elde edilir ve kanıt tamamlanır. Lemma 1.1.11. R n olsun. kümesinin sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi olabilmesi için, Vol () = olması gerekli ve yeterlidir. Buna ek olarak, eğer kümesi sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi ve ise, kümesi de sıfır-hacimli bir Jordan bölgesidir. Kanıt. ğer Vol () = ise, Tanım 1.1.8 kullanılarak, Vol () = olduğu görülür. Tersine, eğer Vol () = ise, Lemma 1.1.9 ve Tanım 1.1.8 den dolayı, Vol () = Vol () = Vol () = olarak elde edilir. Son olarak, kümesi sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi ve olsun. Hipotez ve supremum tanımı kullanılırsa, Vol ( ) Vol () = sonucuna ulaşılır; bu ise kümesinin, ilk ispatlanan önermeden dolayı, Vol ( ) = koşulunu gerçekleyen bir Jordan bölgesi olması demektir. Açıklama 1.1.12. Lemma 1.1.11 den dolayı, sıfır-hacimli bir kümenin her altkümesi bir Jordan bölgesidir. Bu ifadedeki sıfır-hacimli olma koşulu kaldırılamaz: R 2 içindeki R := [, 1] [, 1] birim karesinin Jordan bölgeleri olmayan alt-kümeleri vardır. Gerçekten, := {(x, y) R 2 x, y Q [, 1]} olarak tanımlanırsa, R j koşulunu sağlayan hiçbir R j dikdörtgeni var olmadığından, her G ağı için v(; G) = olur; diğer taraftan, eğer R j dikdörtgeni R tarafından içeriliyorsa, R j olur, yani R j gerçeklenir.

8 1 R n üzerinde integrasyon Dolayısıyla, R üzerindeki her G ağı için V (; G) = 1 olduğu görülür; bu ise olması anlamına gelir. Vol () = < 1 = Vol () Aşağıdaki netice, sınırlı bir kümenin bir Jordan bölgesi olup olmadığını belirlemek için kullanılabilecek bir diğer yöntemi önerir. Teorem 1.1.13. Sınırlı bir R n kümesinin bir Jordan bölgesi olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul, kümesinin sıfır-hacimli olmasıdır. Kanıt. kümesini içeren bir dikdörtgen R, ve R üzerinde bir ağ G olsun. Lemma 1.1.3 ve Tanım 1.1.6 nedeniyle, V ( ; G) = V (; G) v(; G) Vol () Vol () olur; bu ise, tüm G ağları üzerinden infimum alındığında, Vol ( ) Vol () Vol () (1.1.3) olması demektir. Öte yandan, ε > sayısı sabitlendiğinde, Vol () + ε > V (; H 1 ) ve Vol () ε < v(; H 2 ) gerçeklenecek biçimde R üzerinde H 1 ve H 2 ağları bulunur. Böylece, R üzerinde alınan ve H 1 ve H 2 ağlarının her birinden daha ince olan bir ağ G ise, Lemma 1.1.4 den, Vol () + ε > V (; G) ve Vol () ε < v(; G) olduğu görülür. Bu son eşitsizlikler çıkarılıp Lemma 1.1.3 kullanılarak, o hâlde, V ( ; G) = V (; G) v(; G) < Vol () Vol () + 2ε elde edilir, yani Vol ( ) < Vol () Vol () + 2ε olur; bu ise, ε için limit alındığında, Vol ( ) < Vol () Vol () sonucuna ulaştırır. Bu son eşitsizlik, (1.1.3) ile birlikte, Vol ( ) = Vol () Vol () eşitliğini gerektirir. Dolayısıyla, Tanım 1.1.8 sebebiyle, kümesinin bir Jordan bölgesi olabilmesi için Vol ( ) = olmasının gerekli ve yeterli olduğu görülür: Lemma 1.1.11 den dolayı kümesinin bir Jordan bölgesi olabilmesi için gerekli ve yeterli koşul, o hâlde, kümesinin sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi olmasıdır.

1.1 Jordan bölgeleri 9 Teorem 1.1.14. R n olsun. kümesinin sıfır-hacimli olması için gerek ve yeter şart, her ε > sayısına karşılık aynı hacimli (yani, her birinin ayrıt uzunluğu aynı ve s olan) Q k küplerinin sonlu bir {Q k k = 1,..., p} ailesinin p[ k=1 Q k gerçeklenecek biçimde bulunmasıdır. ve px k=1 Q k < ε Kanıt. kümesi sıfır-hacimli ve ε > olsun. Bu durumda, Vol () = olduğundan, hacim tanımından dolayı bir G := {R 1,..., R q } ağı, q[ j=1 R j ve qx j=1 R j < ε 2 olacak biçimde vardır. ğer gerekiyorsa kenar uzunlukları yeterli miktarda artırılarak, genelliği bozmaksızın, R j dikdörtgenlerinin P her birinin kenar uzunluklarının rasyonel sayılar oldukları ve q j=1 R j < ε koşulunun sağlandığı varsayılabilir. (Bu şekilde elde edilen dikdörtgenlerin ailesinin artık örtüşmeyen kümelerden oluşmayabileceği göz önüne alınmalıdır.) Rasyonel sayılar olan R j dikdörtgenlerinin kenar uzunlukları, o hâlde, ortak bir paydaya sahiptir bu sayı d olsun. Böylece, yeterince ince bir ağ kullanılarak her R j dikdörtgeninin, ν j N sayıları k = 1, 2,..., ν j için Q (j) k küplerinin her birinin ayrıt uzunluğu s := 1/d olacak şekilde seçilerek, P Q (j) k küplerine parçalanabileceği görülür. Bu ise, her ν j = 1,..., q için R j = j olduğundan, istenen k=1 Q(j) k ν qx X j j=1 k=1 Q (j) k = qx j=1 R j < ε sonucuna ulaştırır. Tersine, verilen koşulu sağlayan Q k küpleri bulunsun. Her k = 1,..., p için Q k := [a (k) 1, b(k) 1 ] [a(k) n, b (k) n ] olsun, ve Q k küplerinin birleşimlerini içeren bir R dikdörtgeni alınsın. Bu durumda, her j = 1, 2,..., n için, {a (1) j, b (1) j,..., a (p) j, b (p) j } uç noktaları, artan bir sırada, R dikdörtgeninin j inci kenarının bir parçalanışı olacak biçimde dizilebilir: yani, her Q k kübü R j dikdörtgenlerinin bir birleşimi olacak şekilde, yeterince

1 1 R n üzerinde integrasyon ince bir G := P {R 1,..., R q } ağı bulunur. Bu ise, hipotez nedeniyle her ε > için p V (; G) k=1 Q k < ε sağlandığından, Vol () < ε eşitsizliğinin her ε > için gerçeklenmesi, yani Vol () = olması anlamına gelir: kümesi, o hâlde, sıfır-hacimlidir. Sonuç 1.1.15. ğer 1 ve 2 kümeleri Jordan bölgeleri ise, 1 2 kümesi de bir Jordan bölgesidir, ve eşitsizliği gerçeklenir. Vol ( 1 2 ) Vol ( 1 ) + Vol ( 2 ) Kanıt. 1 ve 2, Jordan bölgeleri olsun. Teorem 1.1.14 den, her biri sıfır-hacimli olan iki kümenin birleşimi de sıfır-hacimlidir; III/ 1.2, Problem 7 (c) nedeniyle ( 1 2 ) 1 2 içermesi de sağlandığından, Teorem 1.1.13 kullanılarak, 1 2 kümesinin bir Jordan bölgesi olduğu görülür. Şimdi, 1 2 kümesini içeren bir dikdörtgen üzerinde alınan bir ağ G olsun. ğer bu ağa ait olan bir R j dikdörtgeni 1 2 kümesini kesiyorsa, bu dikdörtgen, 1 veya 2 kümesini keser; dolayısıyla, V ( 1 2 ; G) toplamındaki her terim V ( 1 ; G) veya V ( 2 ; G) toplamında bulunur. Böylece, ilgili her G ağı için, Vol ( 1 2 ) V ( 1 2 ; G) V ( 1 ; G) + V ( 2 ; G) koşulunun sağlandığı görülür. Bu son eşitsizliğin G ağları üzerinden en büyük altsınırına geçilerek de, Vol ( 1 2 ) Vol ( 1 )+Vol ( 2 ) eşitsizliğine ulaşılır. Bu kısımda son olarak, Jordan bölgelerinin fonksiyonlar altındaki görüntülerinin hangi koşullar altında yine Jordan bölgeleri olduklarını göreceğiz. Teorem 1.1.16. V R n sınırlı ve açık bir küme, R n bir Jordan bölgesi, ve φ : V R n fonksiyonu V üzerinde bire-bir ve sürekli-diferansiyellenebilir olsun. ğer V ise ve V üzerinde φ oluyorsa, o zaman φ() kümesi bir Jordan bölgesidir. Kanıt. III/Teorem 2.4.2 den φ( ) kümesi açık, ve III/Teorem 1.6.6 dan φ() kümesi kompakt, yani Heine-Borel Teoremi nden kapalı olur; bunlar kullanılarak, III/Teorem 1.2.14 (ii) & (iii) nedeniyle, φ( ) (φ()) ve φ() φ() içermelerinin sağlandığı görülür. Böylece, φ fonksiyonu da bire-bir olduğundan, (φ()) = φ() (φ()) φ() φ( ) = φ( ) = φ( ) elde edilir. Bu ise, Teorem 1.1.13 sebebiyle, φ( ) kümesinin sıfır-hacimli olduğu gösterilirse kanıtın tamamlanacağı anlamına gelir.

1.1 Jordan bölgeleri 11 Her x için, B r (x) V içermesi sağlanacak biçimde bir r := r x > sayısı seçilsin. kümesi sınırlı olduğundan, kümesi kompakttır; bu nedenle, bir N N ve j = 1,..., N için, x j noktaları ve r j := r xj yarıçapları, N[ j=1 B rj (x j ) H := N[ j=1 B rj (x j ) olacak biçimde vardır: H kümesi, o hâlde, kompakttır, ve H H V olur. Tanımından dolayı sınırlı olan bir dikdörtgen III/ 1.4, Problem 1 nedeniyle aynı zamanda kompakt ve konveks olduğundan, III/Sonuç 2.3.4 nedeniyle (sadece H kümesine ve φ fonksiyonuna bağlı olan) bir M > sabiti, H kümesinin içinde kalan her R dikdörtgeni için, φ(x) φ(y) M x y (1.1.4) eşitsizliği tüm x, y R noktaları için gerçeklenecek biçimde vardır. Şimdi, ε > sayısı sabitlensin. kümesi sıfır-hacimli ve H kümesinin kapalı bir alt-kümesi olduğundan, Teorem 1.1.14 den, p[ j=1 Q j ve px j=1 Q j < ε M n n n/2 (1.1.5) olacak biçimde, her birinin ayrıt uzunluğu aynı ve s olan ve her j = 1,..., p için Q j H koşulunu sağlayan Q 1,..., Q p küpleri bulunur; bu ise, her j = 1,..., p için Q j = s n olduğundan, (1.1.5) kullanıldığında, ε 1/n ε 1/n 1 s < = pm n n n/2 p M n olması anlamına gelir. Her x, y Q j için x y s n olduğundan, (1.1.4) nedeniyle her φ(q j ) kümesi, ayrıt uzunluğu (ε/p) 1/n değerinden kesin küçük olan bir R j kübünün içinde kalır; dolayısıyla, özellikleri de sağlanır. φ( ) p[ j=1 R j ve px j=1 R j < ε

12 1 R n üzerinde integrasyon Son olarak, kümesi kompakt olduğundan, III/Teorem 1.6.6 dan φ( ) kümesinin de kompakt, yani kapalı olduğu da görülür. Sonuç itibariyle, φ( ) kümesinin küçük hacimli küplerle örtülebileceği kanıtlanmış olur. O hâlde, Teorem 1.1.14 den, φ( ) kümesi sıfır-hacimlidir. Problemler 1. R n uzayının her sonlu alt-kümesinin sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi olduğunu kanıtlayınız; sonlu kelimesi sayılabilir kelimesiyle değiştirilirse, aynı önermenin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz. 2. R n bir Jordan bölgesi olsun. (a) ve kümelerinin Jordan bölgeleri olduklarını gösteriniz. (b) Vol ( ) = Vol () = Vol () olduğunu kanıtlayınız. (c) Vol () > olması için, olmasının gerekli ve yeterli olduğunu ispatlayınız. 3. R n olsun. kümesinin bir x R n noktası kadar ötelenmesi x + := {y R n bir z için, y = x + z} olarak; kümesinin bir α > skaleri oranında genleştirilmesi ise α := {y R n bir z için, y = αz} olarak tanımlanır. (a) kümesinin bir Jordan bölgesi olması için x + kümesinin bir Jordan bölgesi olmasının gerekli ve yeterli olduğunu, ve bu durumda Vol (x + ) = Vol () eşitliğinin sağlandığını kanıtlayınız. (b) kümesinin bir Jordan bölgesi olması için α kümesinin bir Jordan bölgesi olmasının gerekli ve yeterli olduğunu, ve bu durumda Vol (α) = α n Vol () eşitliğinin sağlandığını kanıtlayınız. 4. 1 ve 2 kümeleri R n içinde Jordan bölgeleri olsun. (a) ğer 1 2 ise, Vol ( 1 ) Vol ( 2 ) olduğunu gösteriniz. (b) 1 2 ve 1 2 kümelerinin Jordan bölgeleri olduklarını kanıtlayınız. (c) ğer 1 ve 2 örtüşmeyen kümeler ise, Vol ( 1 2 ) = Vol ( 1 ) + Vol ( 2 ) olduğunu gösteriniz. (d) ğer 2 1 ise, Vol ( 1 2 ) = Vol ( 1 ) Vol ( 2 ) eşitliğini kanıtlayınız. (e) Vol ( 1 2 ) = Vol ( 1 ) + Vol ( 2 ) Vol ( 1 2 ) olduğunu ispatlayınız. 5. (a) f : [a, b] R bir sürekli fonksiyon olsun. {(x, f(x)) R 2 x [a, b]} kümesinin, R 2 içinde, alanı sıfıra eşit olan bir Jordan bölgesi olduğunu kanıtlayınız. (b) (a) kısmındaki sonucun, sürekli kelimesi integrallenebilir ya da sınırlı kelimesiyle değiştirildiğinde yine geçerli olup olmadığını belirleyiniz. 6. Her ağın, örtüşmeyen Jordan bölgelerinden oluşan bir aile olduğunu ispatlayınız. 7. V R n sınırlı ve açık bir küme, ve φ : V R n fonksiyonu V üzerinde süreklidiferansiyellenebilir olsun.

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 13 (a) ğer kümesi sıfır-hacimli ve V ise, φ() kümesinin sıfır-hacimli olduğunu ispatlayınız. (b) ğer φ fonksiyonu bire-bir, her x V için φ (x), ve her k N için k V koşulunu sağlayan kümelerden oluşan { k k N} ailesi örtüşmeyen Jordan bölgelerinden oluşuyor ise, {φ( k ) k N} ailesinin örtüşmeyen Jordan bölgelerinden oluştuğunu kanıtlayınız. 8. R n kümesi sınırlı ise ve sonlu sayıda yığılma noktasına (bkz. III/Tanım 1.5.2 (i)) sahipse, kümesinin bir Jordan bölgesi olduğunu ispatlayınız. 9. (a) Bir B r(a) açık topunun sınırının B r(a) = {x x a = r} ile verildiğini kanıtlayınız. (b) Her a R n ve her r için, B r(a) açık topunun bir Jordan bölgesi olduğunu gösteriniz. 1. R n olsun. Her ε > sayısına karşılık, kümesinin bir örtülüşü P (bkz. III/Tanım 1.3.13 (i)) olan sayılabilir bir {R k k N} dikdörtgenler ailesi k=1 R k < ε olacak biçimde bulunabiliyorsa, kümesi sıfır-ölçülü olarak adlandırılır. (a) ğer R n kümesi sıfır-hacimli ise, kümesinin sıfır-ölçülü olduğunu kanıtlayınız. (b) ğer R n kümesi sayılabilir ise, kümesinin sıfır-ölçülü olduğunu gösteriniz. (c) R 2 içinde, sıfır-ölçülü fakat alanı sıfırdan farklı olan, hattâ bir Jordan bölgesi bile olmayan, bir kümesinin var olduğunu kanıtlayınız. 1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali Bir-boyutlu durum ve bir önceki kısımda geliştirilen yapılar göz önüne alındığında, bir R n Jordan bölgesi üzerinde tanımlı, gerçel-değerli bir f fonksiyonunun Riemann integralinin {(x, t) x, t f(x)} kümesinin hacmi olması gerektiği; aynı zamanda da bu hacme, tabanları üzerinde bir ağa ait olan ve yükseklikleri t = f(x) değerlerini yaklaşık olarak veren (n + 1)-boyutlu dikdörtgenler kullanılarak ulaşılabileceği tahmin edilebilir. Bu kısmın amacı, bu tahminin doğru olduğunu göstermektir. Tanım 1.2.1. R n bir Jordan bölgesi, f : R bir sınırlı fonksiyon, kümesini kapsayan n-boyutlu bir dikdörtgen R, ve R dikdörtgeni üzerinde bir ağ G := {R 1,..., R p } olsun. (i) Her j = 1,..., p için M j := sup f(x) olmak üzere, x R j U(f, G) := X R j M j R j değerine, f fonksiyonunun G ağına göre üzerindeki üst toplamı denir.

14 1 R n üzerinde integrasyon (ii) Her j = 1,..., p için m j := inf f(x) olmak üzere, x R j L(f, G) := X R j m j R j değerine, f fonksiyonunun G ağına göre üzerindeki alt toplamı denir. (iii) İnfimum ve supremumlar R üzerindeki tüm G ağları üzerinden alınmak koşuluyla, ve (L) f(x) dx := (L) (U) f(x) dx := (U) f dv := sup L(f, G) G f dv := inf U(f, G) G değerleri, sırasıyla, f fonksiyonunun üzerindeki alt integral i ve üst integral i olarak adlandırılır. (iv) ğer (L) f(x) dx = (U) f(x) dx (1.2.1) ise, f fonksiyonuna üzerinde (Riemann) integrallenebilirdir, denir; bu durumda (1.2.1) ile verilen ortak değer f fonksiyonunun üzerindeki (Riemann) integral i olarak adlandırılır ve f(x) dx veya f dv R sembolleriyle gösterilir. n = 2 ve n = 3 olduğunda f dv integrali için, sırasıyla, gösterilimleri de kullanılır. f da ve f dv Açıklama 1.2.2. Her j = 1,..., p için m j M j olduğundan, her sınırlı f fonksiyonu ve her G ağı için L(f, G) U(f, G) olur. Açıklama 1.2.3. R dikdörtgeni üzerindeki iki ağ G ve H, ve G ağı H ağından daha ince ise, L(f, H) L(f, G) U(f, G) U(f, H)

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 15 sağlanır: Gerçekten, daha ince olan G ağı H ağına her seferinde bir dikdörtgen eklenerek sonlu sayıda adımda elde edilebileceğinden, Açıklama 1.2.2 ve durumun simetrisi nedeniyle, U(f, G) U(f, H) eşitsizliğini n-boyutlu bir P dikdörtgeni için G := {P } H özel durumunda göstermek yeterlidir; aynı zamanda, genelliği bozmaksızın, P / H olduğu da varsayılabilir. O hâlde, ayrık P ve R j P dikdörtgenlerinin birleşimi olan bir R j dikdörtgeni P dikdörtgenini içereceğinden, M := sup f(x), M := sup f(x), ve M := sup f(x) x (R j P ) x P x R j olmak üzere, Teorem 1.1.1 ve 1.1, Problem 4 (c) kullanılarak, elde edilir. U(f, G) U(f, H) = M R j P + M P M R j M R j P + M P M R j = Lemma 1.2.4. R n bir Jordan bölgesi, f : R bir sınırlı fonksiyon, ve kümesini kapsayan n-boyutlu bir dikdörtgen R olsun. (i) R üzerindeki her G ve H ağı için, olur. L(f, G) U(f, H) (ii) f fonksiyonunun üzerindeki alt ve üst integralleri vardır, değerleri R dikdörtgenine bağlı değildir, ve (L) eşitsizlikleri gerçeklenir. f(x) dx (U) f(x) dx Kanıt. Her j = 1,..., n için P j (I) := P j (G) P j (H) alınarak kurulan I ağı G ve H ağlarının her birinden daha ince olduğundan, Açıklama 1.2.3 den, L(f, G) L(f, I) U(f, I) U(f, H) sağlanır, yani (i) doğru olur. Diğer taraftan, (i) nedeniyle R üzerindeki her G ve H ağı için L(f, G) U(f, H) olduğundan, bu eşitsizliğin R üzerindeki tüm G ağları üzerinden supremumu alınarak (L) f(x) dx U(f, H)

16 1 R n üzerinde integrasyon elde edilir; yani, f fonksiyonunun üzerindeki alt integrali vardır ve sonludur. Bu son eşitsizliğin R üzerindeki tüm H ağları üzerinden infimumu alınarak da, hem f fonksiyonunun üzerindeki üst integralinin de var ve ilgili alt integralden büyük ya da eşit olduğu, hem de bu integralin R dikdörtgenine bağlı olmadığı elde edilir böylece (ii) de kanıtlanmış olur. Teorem 1.2.5. R n bir Jordan bölgesi ve f : R bir sınırlı fonksiyon olsun. f fonksiyonunun üzerinde integrallenebilir olması için gerek ve yeter şart, her ε > için bir G ağının olacak biçimde var olmasıdır. U(f, G) L(f, G) < ε (1.2.2) Kanıt. f fonksiyonu üzerinde integrallenebilir olsun, ve ε > sayısı sabitlensin. Bu durumda, tanım gereğince, kümesini kapsayan ve keyfî olarak sabitlenen bir R dikdörtgeni üzerinde G 1 ve G 2 ağları, ve U(f, G 1 ) < (U) L(f, G 2 ) > (L) f(x) dx + ε 2 f(x) dx ε 2 olacak biçimde bulunur. Her j = 1,..., n için P j (G) := P j (G 1 ) P j (G 2 ) denilerek G ağının G 1 ve G 2 ağlarının her birinden daha ince olduğu göz önüne alınırsa, Açıklama 1.2.3 ve (1.2.1) kullanılarak, U(f, G) L(f, G) U(f, G 1 ) L(f, G 2 ) < (U) f(x) dx + ε 2 (L) f(x) dx + ε 2 = ε elde edilir yani, (1.2.2) eşitsizliği her ε > için sağlanır. Tersine, her ε > için bir R G ağı, (1.2.2) sağlanacak biçimde var olsun. Tanım 1.2.1 (iii) nedeniyle (U) f(x) dx U(f, G) ve (L)R f(x) dx L(f, G) olduğundan, Lemma 1.2.4 (ii) ve (1.2.2) kullanılarak, (U) f(x) dx (L) f(x) dx = (U) f(x) dx (L) U(f, G) L(f, G) < ε f(x) dx sonucuna ulaşılır; bu ise, her ε > için doğru olduğundan, (1.2.1) eşitliğini gerektirir: f fonksiyonu, o hâlde, üzerinde integrallenebilirdir.

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 17 Teorem 1.2.6. R n bir Jordan bölgesi ve f : R fonksiyonu üzerinde düzgün sürekli 1 ise, f fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir. Kanıt. ε > ve kümesini içeren bir dikdörtgen R olsun. f fonksiyonu üzerinde düzgün sürekli olduğundan bir δ > sayısı, x, y ve x y < δ olması f(x) f(y) < ε/ R olmasını gerektirecek biçimde vardır. R üzerinde bir G := {R 1,..., R p } ağı, her j = 1,..., p için, x, y R j olduğunda x y < δ eşitsizliği gerçeklenecek incelikte alınsın. Böylece, Tanım 1.2.1 (i) ve (ii) de kullanılan M j ve m j değerleri R j olan her j için M j m j ε/ R koşulunu sağladıklarından, U(f, G) L(f, G) ε R X R j R j ε elde edilmiş olur; bu ise, Teorem 1.2.5 den, f fonksiyonunun üzerinde integrallenebilir olması demektir. Teorem 1.2.6 nın kullanışlı bir sonucu, bir Jordan bölgesinin hacminin integrasyon yoluyla hesaplanabilir olduğudur. Sonuç 1.2.7. R n bir Jordan bölgesi ise, olur. Vol () = 1 dx Kanıt. Teorem 1.2.6 nedeniyle, f 1 fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir. R koşulunu sağlayan bir dikdörtgen R, ve R dikdörtgeni üzerinde bir ağ G := {R 1,..., R p } olsun. ğer boş küme değilse, R j olması R j olmasını, R j olması ise R j olmasını gerektirir; yani, v(; G) L(1, G) U(1, G) V (; G) eşitsizlikleri her G ağı için doğru olur. Boş küme üzerinden alınan toplam sıfır kabul edildiğinden, ilgili eşitsizlikler = durumunda da sağlanır. O hâlde, gerçeklenir. 1 Bkz. III/Tanım 1.6.11. Vol () = sup v(; G) G 1 dx inf V (; G) = Vol () G

18 1 R n üzerinde integrasyon Bir-boyutlu durumdakine benzer biçimde, integral lineer bir fonksiyondur. Teorem 1.2.8. R n bir Jordan bölgesi, f, g : R fonksiyonlar, ve α bir skaler olsun. (i) ğer f ve g fonksiyonları üzerinde integrallenebilir ise, αf ve f + g fonksiyonları da üzerinde integrallenebilirdir, ve ve eşitlikleri sağlanır. αf(x) dx = α (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx (1.2.3) f(x) dx + g(x) dx (1.2.4) (ii) ğer tarafından kapsanan 1 ve 2 kümeleri örtüşmeyen iki Jordan bölgesi ve f fonksiyonu 1 ve 2 üzerinde integrallenebilir ise, f fonksiyonu 1 2 üzerinde integrallenebilirdir, ve olur. 1 2 f(x) dx = 1 f(x) dx + 2 f(x) dx (1.2.5) Kanıt. α = olması durumunda (1.2.3) eşitliği bâriz olduğundan ve α < iken aynı eşitlik α sayısı ve pozitif işaretli durum göz önüne alınarak elde edilebileceğinden, α > olsun. ε > sayısı sabitlensin ve buna istinâden bir G ağı, U(f, G) ε < f(x) dx < L(f, G) + ε (1.2.6) eşitsizlikleri gerçeklenecek biçimde alınsın. Bu durumda, U(αf, G) = αu(f, G) ve L(αf, G) = αl(f, G) olduğu gözlemlenerek (1.2.6) eşitsizlikleri α ile çarpılırsa, elde edilir; yani, ve U(αf, G) αε < α f(x) dx < L(αf, G) + αε inf U(αf, G) < α f(x) dx + αε G sup L(αf, G) > α G f(x) dx αε

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 19 olur. Son iki eşitsizliğin ε için limiti alınarak da, yani inf G U(αf, G) α f(x) dx sup L(αf, G), G (U) αf(x) dx α f(x) dx (L) αf(x) dx sonucuna ulaşılır: Lemma 1.2.4 (ii) den, o hâlde, (1.2.3) sağlanır. (1.2.4) eşitliğini görmek için, ε > sayısı sabitlenerek bir G ağı, ve U(f, G) ε < U(g, G) ε < f(x) dx < L(f, G) + ε g(x) dx < L(g, G) + ε sağlanacak biçimde alınsın. Bu eşitsizlikler toplanarak, U(f, G) + U(g, G) 2ε < f(x) dx + g(x) dx < L(f, G) + L(g, G) + 2ε elde edilir; diğer taraftan, tanım nedeniyle U(f + g, G) U(f, G) + U(g, G) ve L(f + g, G) L(f, G) + L(g, G) eşitsizlikleri sağlandığından, U(f + g, G) 2ε < f(x) dx + g(x) dx < L(f + g, G) + 2ε olur. Bu son eşitsizliklerde G ağları üzerinden infimum ve supremum, ve sonra ε için limit alınarak da yani (U) inf U(f + g, G) f(x) dx + G (f(x) + g(x)) dx g(x) dx sup L(f + g, G), G f(x) dx + g(x) dx (L) (f(x) + g(x)) dx sonucuna ulaşılır: yine Lemma 1.2.4 (ii) den, o hâlde, (1.2.4) sağlanır. Böylece (i) kanıtlanmış olur. (ii) ile verilen (1.2.5) eşitliğini elde etmek için, Ω := 1 2 ( 1 2 ) denilsin ve III/ 1.2, Problem 7 (c), Teorem 1.1.13, Sonuç 1.1.15, ve Lemma

2 1 R n üzerinde integrasyon 1.1.11 in ikinci kısmı hipotezle birlikte kullanılarak, Vol (Ω) = olduğu gözlemlensin. Diğer taraftan, ε > sayısı sabitlenerek i = 1, 2, 3 için G i ağları; i = 1, 2 için ve U(f, G i ) ε < i f(x) dx < L(f, G i ) + ε, (1.2.7) V (Ω; G 3 ) < ε (1.2.8) gerçeklenecek biçimde alınsın. G 1, G 2, ve G 3 ağlarının her birinden daha ince bir ağ G := {R 1,..., R p }; ve her j = 1,..., p için olmak üzere, M j := sup f(x) x R j ( 1 2) M := max 1 j p M j olsun. Son olarak, I 1 := {j R j 1 }, I 2 := {j R j 2 }, ve I 3 := {j / I 1 I 2 R j ( 1 2 ) } olarak tanımlansın. Şimdi, eğer j I 3 ve R j ( 1 2 ) = ise, bu durumda R j 1 veya R j 2 olur; dolayısıyla, X j I 3 M j R j M V (Ω; G) (1.2.9) sağlanır. G ağı, her i = 1, 2, 3 için, G i ağından daha ince olduğundan da, (1.2.7), (1.2.8), ve (1.2.9) kullanılarak, U(f, G) = X j I 1 M j R j + X j I 2 M j R j + X j I 3 M j R j U(f, G 1 ) + U(f, G 2 ) + M V (Ω; G) < 1 f(x) dx + 2 f(x) dx + (2 + M)ε elde edilir; bu ise, G ağları üzerinden infimum ve sonra ε için limit alındığında inf U(f, G) f(x) dx + f(x) dx, G 1 2

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 21 yani (U) f(x) dx f(x) dx + f(x) dx 1 2 1 2 sonucuna ulaştırır. Benzer argümanlar kullanılarak, (L) 1 2 f(x) dx 1 f(x) dx + 2 f(x) dx olduğu da görülür. (1.2.5) eşitliği, o hâlde, Lemma 1.2.4 (ii) den dolayı sağlanır. Böylece (ii) de kanıtlanmış olur. Riemann integralinin önemli bir özelliği, integrand sıfır-hacimli bir küme üzerinde değiştiğinde aynı kalmasıdır. Sonuç 1.2.9. R n bir Jordan bölgesi ve g : R bir sınırlı fonksiyon olsun. (i) ğer kümesi sıfır-hacimli ise, g fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve g(x) dx = olur. (ii) ğer f : R fonksiyonu üzerinde integrallenebilir ve := {x f(x) g(x)} kümesi sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi ise, g fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve g(x) dx = f(x) dx eşitliği sağlanır. Kanıt. (i) ε > sayısı sabitlensin ve M := sup x g(x) olsun. kümesi sıfır-hacimli olduğundan, V ( ; G) < ε/m olacak biçimde bir G ağı vardır. Dolayısıyla, ε < M V ( ; G) U(g, G) M V ( ; G) < ε, yani (U) R g(x) dx = olur. Benzer argümanlar, (L) R g(x) dx = eşitliğinin de gerçeklendiğini gösterir. g fonksiyonu, o hâlde, üzerinde integrallenebilen ve R g(x) dx = olan bir fonksiyondur.

22 1 R n üzerinde integrasyon (ii) İlk kısımdan dolayı, g fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir ve g(x) dx = f(x) dx eşitliği sağlanır; diğer taraftan üzerinde g f olduğundan, g fonksiyonu üzerinde de integrallenebilirdir. Teorem 1.2.8 (ii) kullanılarak, o hâlde, g fonksiyonunun üzerinde integrallenebilir olduğu ve g(x) dx = = eşitliğinin sağlandığı görülür. g(x) dx + f(x) dx + g(x) dx f(x) dx = f(x) dx Açıklama 1.2.1. Sonuç 1.2.9 dan dolayı f fonksiyonunun, kümesinin tamâmı üzerinde tanımlı olmadığı durumlarda da üzerindeki integrali tanımlanabilir: bir Jordan bölgesi ve kümesi sıfır-hacimli olmak üzere, eğer f fonksiyonu üzerinde tanımlı ve f(x), x ise; g(x) :=, x ise; fonksiyonu üzerinde integrallenebilir ise, f(x) dx := g(x) dx olarak tanımlanır. Bu nedenle, örneğin, 1.1, Problem 1 sebebiyle her sonlu küme sıfır-hacimli olduğundan, 2 x 2 1 2 x 1 dx = (x + 1) dx = 4 olur. Dolayısıyla, f : R integrallenebilirdir, ifadesinin f fonksiyonunun kümesinin sıfır-hacimli bir alt-kümesi üzerinde tanımlı olmayabileceği ihtimâlini içerdiği gözden kaçırılmamalıdır. Teorem 1.2.11 (İntegraller İçin Karşılaştırma Teoremi). R n bir Jordan bölgesi ve f, g : R fonksiyonları üzerinde integrallenebilir olsun.

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 23 (i) Her x için f(x) g(x) ise, olur. f(x) dx g(x) dx (ii) ğer m ve M, her x için m f(x) M koşulunu sağlayan iki skaler ise, bu durumda eşitsizlikleri gerçeklenir. m Vol () f(x) dx M Vol () (iii) f fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir, ve eşitsizliği sağlanır. f(x) dx f(x) dx (1.2.1) Kanıt. (i) ğer üzerinde f g ise, her G ağı için L(f, G) L(g, G) olur; bu son eşitsizliğin G ağları üzerinden supremumu alınarak da, istenen elde edilir. (ii) Sonuç 1.2.7, (1.2.3) eşitliği, ve ilk kısımdaki netice kullanılarak, m Vol () = m dx f(x) dx olduğu görülür. (iii) ε > sayısı sabitlenerek bir G := {R 1,..., R p } ağı, yani U(f, G) ε < olacak biçimde seçilsin. Bu durumda, sup x R j f(x) dx < L(f, G) + ε, M dx = M Vol () U(f, G) L(f, G) < 2ε (1.2.11) f(x) inf f(x) x R j olduğundan, (1.2.11) den dolayı sup x R j f(x) inf f(x) x R j U( f, G) L( f, G) U(f, G) L(f, G) < 2ε

24 1 R n üzerinde integrasyon gerçeklenir: yani, f fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir. Diğer taraftan da, f f f sağlandığından, ilk kısımdaki sonuç kullanılarak yani (1.2.1) elde edilir. f(x) dx f(x) dx f(x) dx, Teorem 1.2.12 (İntegraller İçin Ortalama Değer Teoremi). R n bir Jordan bölgesi, f, g : R fonksiyonları üzerinde integrallenebilir, ve her x için g(x) olsun. (i) inf x koşulunu sağlayan bir c sayısı, c f(x) c sup f(x) (1.2.12) x g(x) dx = eşitliği sağlanacak biçimde vardır. (ii) (1.2.12) koşulunu sağlayan bir c sayısı, c Vol () = eşitliği sağlanacak biçimde vardır. f(x)g(x) dx (1.2.13) f(x) dx Kanıt. (i) Hipotezden dolayı, fg fonksiyonu üzerinde integrallenebilirdir (bkz. Problem 3). m := inf x f(x) ve M := sup x f(x) olsun. üzerinde g olduğundan, Teorem 1.2.11 (i) kullanılarak, m g(x) dx f(x)g(x) dx M g(x) dx (1.2.14) R R olduğu görülür. ğer g(x) dx = ise, (1.2.14) den R f(x)g(x) dx = olur ve (1.2.13) eşitliği her c sayısı için gerçeklenir; g(x) dx olması durumunda ise, (1.2.13) eşitliği R f(x)g(x) dx c := g(x) dx R için sağlanır. (ii) İlk kısımda elde edilen sonuç g 1 fonksiyonuna uygulanarak elde edilir.

1.2 Jordan bölgeleri üzerinde Riemann integrali 25 Problemler 1. f(x, y) := xy fonksiyonunun, her m N için P j (G m) := {k/2 m k =, 1,..., 2 m } parçalanışları tarafından j = 1, 2 için üretilen G m ağına göre [, 1] [, 1] karesi üzerindeki alt ve üst toplamlarını hesaplayınız; bunları kullanarak, olduğunu gösteriniz. lim (U(f, G m) L(f, G m)) = m 2. (a) D ve kümeleri R n içinde Jordan bölgeleri, ve D olsun. ğer f : R fonksiyonu üzerinde integrallenebilir ise, f fonksiyonunun D üzerinde integrallenebilir olduğunu gösteriniz. (b) ğer f : R n R sürekli ise, f fonksiyonunun R n içindeki her Jordan bölgesi üzerinde integrallenebilir olduğunu ispatlayınız. 3. R n bir Jordan bölgesi ve f, g : R fonksiyonları üzerinde integrallenebilir olsun. (a) fg fonksiyonunun üzerinde integrallenebilir olduğunu kanıtlayınız. (b) Her x için (f g)(x) := max{f(x), g(x)} ve (f g)(x) := min{f(x), g(x)} olarak tanımlanan f g ve f g fonksiyonlarının üzerinde integrallenebilir olduklarını ispatlayınız. 4. (a) R n bir Jordan bölgesi, üzerinde integrallenebilir bir fonksiyon f : R, ve her k N için üzerinde integrallenebilir f k : R fonksiyonlarından oluşan bir dizi (f k ) k N olsun. ğer (f k ) k N fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna üzerinde düzgün yakınsıyorsa (bkz. III/ 1.6, Problem 9 (b)), olduğunu ispatlayınız. lim k (b) R 2 içindeki her Jordan bölgesi için lim k f k (x) dx = f(x) dx cos(x/k)e y/k da limitinin var olduğunu gösteriniz, ve bu limit değerini hesaplayınız. 5. R n bir açık Jordan bölgesi ve x olsun. ğer f : R fonksiyonu üzerinde integrallenebilir ve x noktasında sürekli ise, olduğunu gösteriniz. 1 lim r + Vol (B r(x )) f(x) dx = f(x ) B r(x )

26 1 R n üzerinde integrasyon 6. R n bir açık Jordan bölgesi, f, g : R fonksiyonlar, ve x olsun. f ve g fonksiyonlarının üzerinde integrallenebilir oldukları ve g fonksiyonunun x noktasında sürekli olduğu varsayılsın. Bu koşullar altında limitinin var olması için 1 I := lim r + Vol (B r(x )) 1 J := lim r + Vol (B r(x )) f(x) dx B r(x ) f(x)g(x) dx B r(x ) limitinin var olmasının gerekli ve yeterli olduğunu, ve bu durumda J = g(x )I eşitliğinin sağlandığını kanıtlayınız. 7. R n içinde kompakt ve bağlantılı olan bir Jordan bölgesi H, ve H üzerinde sürekli bir fonksiyon f : H R olsun. (a) ğer g : H R fonksiyonu H üzerinde integrallenebilir ise ve negatif değerler almıyorsa, bir x H noktasının f(x ) g(x) dx = H olacak biçimde var olduğunu kanıtlayınız. (b) ğer H ise, f(x)g(x) dx H f(x) dx = f(x ) Vol (H) H eşitliği sağlanacak biçimde bir x H noktasının var olduğunu ispatlayınız. 8. H R n bir kompakt Jordan bölgesi, H R n sıfır-hacimli bir Jordan bölgesi, ve sınırlı bir f : H R fonksiyonu H H üzerinde sürekli ise, f fonksiyonunun H üzerinde integrallenebilir olduğunu ispatlayınız. 9. V R n bir açık küme R ve f : V R sürekli olsun. ğer V kümesinin içerdiği her Jordan bölgesi için f(x) dx = ise, V üzerinde f olduğunu kanıtlayınız. 1. (Lebesgue Teoremi). R n bir Jordan bölgesi ve f : R bir sınırlı fonksiyon olsun. f fonksiyonunun üzerinde integrallenebilir olması için, bu fonksiyonun üzerindeki süreksizlik noktalarından oluşan kümenin sıfır-ölçülü (bkz. 1.1., Problem 1) olmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayınız. 1.3 Ardışık integraller 1.2 kısmında çok-değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan Riemann integrali, pek çok Jordan bölgesi üzerinde, kısmî integraller (bkz. III/ 2.1) kullanılarak hesaplanabilir. Katlı integralleri hesaplamanın en kullanışlı yollarından biri olan bu metod, bu kısımda incelenecektir.

1.3 Ardışık integraller 27 j, k {1,..., n} ve j k olmak üzere, eğer f(x 1,..., x k,..., x j,..., x n ) fonksiyonu x k [c, d] ve x j [a, b] olduğunda tanımlanmış ise, d b c a f(x 1,..., x n ) dx j dx k := d c b a f(x 1,..., x n ) dx j dx k değerine eşitliğin sağ yanındaki integraller var oldukça, bir ardışık integral denir. Yüksek-mertebeli ardışık integraller benzer biçimde tanımlanır. Sâdelik açısından, ilk olarak iki-boyutlu R durum ele alınacaktır: Tanım 1.2.1 b (iii) n = 1 durumunda işletilerek (L) a φ(x) dx ve (U)R b a φ(x) dx simgelerinin, bir φ : [a, b] R fonksiyonunun [a, b] üzerindeki, sırasıyla, alt ve üst integrallerini gösterdikleri hatırlanmalıdır. Lemma 1.3.1. R := [a, b] [c, d] iki-boyutlu bir dikdörtgen ve f : R R fonksiyonu sınırlı olsun. ğer her x [a, b] için f(x, ) fonksiyonu [c, d] üzerinde integrallenebilir ise, bu durumda b d (L) f da (L) f(x, y) dy dx R a c (1.3.1) olur. (U) b a d c f(x, y) dy dx (U) R f da Kanıt. {x,..., x k } ve {y,..., y l }, sırasıyla, [a, b] ve [c, d] aralığının birer parçalanışı olmak üzere, her i = 1,..., k ve j = 1,..., l için R ij := [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] olsun. Bu durumda R üzerinde bir ağ, G := {R ij i = 1,..., k, j = 1,..., l} biçiminde bir ailedir. ε > sayısı sabitlenerek U(f, G) ε < (U) R f da (1.3.2) eşitsizliği gerçeklenecek biçimde bir G ağı alınsın, ve her (i, j) indis çifti için M ij := sup (x,y) R ij f(x, y) denilsin. Şimdi, [a, b] üzerinde tanımlı, gerçel-değerli ve sınırlı herhangi φ ve ψ fonksiyonları için (U) R b a φ(x) dx = P k i=1 (U)R x i x i 1 φ(x) dx ve (U) b a (φ(x) + ψ(x)) dx (U) b a φ(x) dx + (U) b a ψ(x) dx

28 1 R n üzerinde integrasyon özelliklerinin sağlandığı gözlemlenirse, (U) b a d c f(x, y) dy dx = kx i=1 kx (U) i=1 j=1 kx lx i=1 j=1 xi lx x i 1 j=1 xi (U) olarak elde edilir; bu ise, (1.3.2) kullanıldığında, (U) b a d c f(x, y) dy lx yj x i 1 yj y j 1 f(x, y) dy y j 1 f(x, y) dy! dx dx M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) = U(f, G) dx < (U) R f da + ε olması anlamına gelir. Bu son eşitsizliğin ε için limiti alınarak da, (U) b a d c f(x, y) dy dx (U) sonucuna ulaşılır. Benzer argümanlar kullanılarak (L) b a d c f(x, y) dy dx (L) R R f da f da eşitsizliği de elde edilebileceğinden, Lemma 1.2.4 (ii) göz önüne alınarak, (1.3.1) eşitsizliklerinin sağlandıkları görülür. Artık, uygun koşullar altında, bir dikdörtgen üzerinde alınan iki-katlı bir integralin ardışık integraller vâsıtasıyla hesaplanabileceğini gösterebiliriz. Teorem 1.3.2 (Fubini Teoremi). R := [a, b] [c, d] iki-boyutlu bir dikdörtgen ve f : R R bir fonksiyon olsun. Her x [a, b] için f(x, ) fonksiyonunun [c, d] üzerinde, her y [c, d] için f(, y) fonksiyonunun [a, b] üzerinde, ve f fonksiyonunun R üzerinde integrallenebilir olduğu varsayılsın. Bu durumda, R f da = b eşitlikleri gerçeklenir. a d c f(x, y) dy dx = d c b a f(x, y) dx dy (1.3.3)

1.3 Ardışık integraller 29 R d Kanıt. Her x [a, b] için, g(x) := c f(x, y) dy olsun. f fonksiyonu R üzerinde integrallenebilir olduğundan, Lemma 1.3.1 nedeniyle R f da = (U) b a g(x) dx = (L) b a g(x) dx olur: yani, g fonksiyonu [a, b] üzerinde integrallenebilirdir, ve (1.3.3) ile verilen ilk eşitlik sağlanır. x ve y değişkenlerinin rolleri değiştirilerek R f da = d c b a f(x, y) dx olduğu da görülürse, o hâlde, (1.3.3) ile verilen ikinci eşitlik de elde edilmiş olur. Açıklama 1.3.3. Fubini Teoremi nin hipotezi, f fonksiyonu [a, b] [c, d] dikdörtgeni üzerinde sürekli olduğunda gerçeklenir. Diğer taraftan, (1.3.3) ile verilen ikinci eşitlik, ardışık bir integralde integrasyon sırasının değiştirilebileceğini gösterir: bu, kimi durumlarda, bir değişkene göre hesaplanması zor ya da, elemanter yöntemlerle imkânsız olan integrallerin kolaylıkla alınabilmelerini sağlar. Örnek 1.3.4. Koşulları gerçeklendiğinden dolayı Fubini Teoremi kullanılarak 1 1 y 3 e xy2 dydx integralinde integrasyon sırası değiştirilirse, bu integralin değeri olarak elde edilir. 1 1 y 3 e xy2 dxdy = 1 dy y(e y2 1) dy = e 2 2 Açıklama 1.3.5. Fubini Teoremi nin hipotezindeki, f fonksiyonunun R üzerinde integrallenebilir olması koşulu kaldırılamaz: f(x, ) ve f(, y) fonksiyonlarının [, 1] üzerinde integrallenebilir olduğu, fakat ilgili ardışık integrallerin eşit olmadığı bir f : R 2 R fonksiyonu vardır. Gerçekten, f(x, y) := 8 < : 2 2n, (x, y) [2 n, 2 n+1 ) [2 n, 2 n+1 ), n N ise; 2 2n+1, (x, y) [2 n 1, 2 n ) [2 n, 2 n+1 ), n N ise;, diğer durumlarda;

3 1 R n üzerinde integrasyon olarak tanımlanırsa, her y [, 1) için f(x, y ) fonksiyonu sadece iki tane sıfırdan farklı değer alır ve [, 1) üzerinde (x değişkenine göre) integrallenebilirdir: örneğin, y [2 n, 2 n+1 ) olduğunda, x [2 n, 2 n+1 ) için f(x, y ) = 2 2n ve x [2 n 1, 2 n ) için f(x, y ) = 2 2n+1 olur; dolayısıyla, f(x, y ) fonksiyonu [, 1) üzerinde sınırlıdır, ve 1 f(x, y ) dx = 2 n+1 2 n 2 2n dx 2 n 2 n 1 2 2n+1 dx = 2 n 2 n = (1.3.4) gerçeklenir. x [, 1/2) olduğunda da benzer durum f(x, y) fonksiyonu için geçerlidir; ancak x [1/2, 1) olduğunda, f(x, y) fonksiyonu sıfırdan farklı tek bir değer (y [1/2, 1) için f(x, y) = 4) alır. Sonuç olarak 1 1 f(x, y) dydx = 1 1/2 olur. Ancak diğer taraftan, (1.3.4) nedeniyle, 1 1 1 1/2 f(x, y) dxdy = 4 dydx = 1 eşitliği sağlanır: yani, ardışık integraller eşit değildir. Bu durumda, Fubini Teoremi nden, f fonksiyonunun [, 1) [, 1) üzerinde integrallenebilir olmadığı da gözden kaçırılmamalıdır bu küme üzerinde f fonksiyonu sınırlı bile değildir. Açıklama 1.3.6. Ardışık integrallerin var ve eşit olmaları, çok-değişkenli bir fonksiyonun ilgili bölge üzerinde integrallenebilir olmasını gerektirmez: f(x, ) ve f(, y) fonksiyonlarının [, 1] üzerinde integrallenebilir ve integrallerinin eşit olduğu, fakat f fonksiyonunun [, 1] [, 1] üzerinde integrallenebilir olmadığı, bir sınırlı f : R 2 R fonksiyonu vardır. Gerçekten, ( p 1, (x, y) = f(x, y) := 2 n, q 2 n, < p, q < 2 n, n N ise;, diğer durumlarda; olarak tanımlanırsa, x = p/2 n olması ancak bir q = 1, 2,..., 2 n 1 için y = q/2 n olduğunda f(x, y) = 1 olmasını gerektirir. Dolayısıyla, her x [, 1] için, sonlu sayısa y değeri dışında f(x, y) = olur; bu ise, her x [, 1] için 1 f(x, y) dy =

1.3 Ardışık integraller 31 olması demektir. Benzer argüman, dx integrali için de geçerlidir. Böylece, 1 1 f(x, y) dydx = 1 1 f(x, y) dxdy = eşitliğine ulaşılır. Şimdi, f fonksiyonunun integrallenebilir olmadığını görmek için, [, 1] [, 1] karesinin içinde dejenere-olmayan bir R j := [a, b] [c, d] dikdörtgeni göz önüne alındığında, [a, b] ve [c, d] aralıklarının her birinin hem irrasyonel hem de p/2 n formunda noktalar içerdikleri gözlemlensin. Bu, [, 1] [, 1] dikdörtgeni üzerindeki bir G := {R j } ağı için, M j (f) = 1 ve m j (f) = eşitliklerinin her j için doğru, yani U(f, G) L(f, G) = 1 = 1 olması anlamına gelir: Teorem 1.2.5 den, o hâlde, f fonksiyonu [, 1] [, 1] üzerinde integrallenebilir değildir. Açıklama 1.3.7. f fonksiyonunun [, 1] [, 1] üzerinde ve her y [, 1] için f(, y) fonksiyonunun [, 1] üzerinde integrallenebilir olduğu, fakat sonsuz sayıda x [, 1] değeri için f(x, ) fonksiyonunun [, 1] üzerinde integrallenebilir olmadığı bir f : R 2 R fonksiyonu vardır:, x = veya x yahut y irrasyonel ise; f(x, y) := 1/q, x, y Q ve indirgenmiş formda x = p/q ise; olarak tanımlanırsa, ([, 1] Q) [, 1] üzerinde, f fonksiyonunun sürekli ve sıfıra eşit olduğu görülür. Böylece, Lebesgue Teoremi nden (bkz. 1.2, Problem 1), R := [, 1] [, 1] karesi üzerinde f fonksiyonunun RR integrallenebilir olduğu elde edilir. İlgili alt toplamlar hesaplanarak da, R f da = eşitliğine ulaşılır. Benzer argümanlar kullanılarak, R her y [, 1] için f(, y) fonksiyonunun [, 1] 1 üzerinde integrallenebilir ve f(x, y) dx = olduğu da görülür. Dolayısıyla, 1 1 f(x, y) dx dy = R f da = sonucuna ulaşılır. Öte yandan, sıfırdan farklı her x Q için f(x, ) fonksiyonu hiçbir yerde sürekli olmadığından, bu fonksiyon [, 1] üzerinde integrallenebilir değildir: Fubini Teoremi nden, o hâlde, diğer sırada alınan ardışık integral var olamaz. Fubini Teoremi, iki-katlı bir integralin bir dikdörtgen üzerinde nasıl hesaplanabileceği hakkında bilgi verir. Aşağıdaki sonuç, dikdörtgensel olmayan bölgeler üzerinde integral hesabının yapılabilmesiyle ilgilidir.