ÖABT 2015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri Çıkmış Sorular
Komisyon ÖABT Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-002-9 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1.Baskı: Ocak 2015, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Kutlu Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA (0312-394 55 90) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 13987 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
Sevgili Öğretmen Adayları, ÖN SÖZ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası 1) Alan Bilgisi Testi % 80 1-40 a) Analiz b) Cebir c) Geometri d) Uygulamalı Matematik % 24 % 16 % 16 % 24 2) Alan Eğitimi Testi % 20 41-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014 ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR? Matematik Nedir?...3 Mutlakçılar...3 Yarı Deneyselciler...4 Teorik-Uygulamalı Matematik...4 Klasik-Modern Matematik...4 Akademik-Okul Matematiği...4 Çözümlü Test...6 Çözümler...8 2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME Matematiği Öğrenme ve Öğretme... 11 Bilişsel Öğrenme Alanı... 11 Duyuşsal Öğrenme Alanı... 11 Devinişsel Öğrenme Alanı... 11 Davranışçı Yaklaşım... 11 Klasik Koşullanma... 11 Edimsel Koşullanma...12 Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım...12 Fonksiyonalist Yaklaşım...12 Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım...12 Yapılandırmacı Yaklaşım...12 Buluş Yoluyla Öğrenme...13 Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme)...14 Bilgi-İşlem Yaklaşımı...14 Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim)...14 Gerçekçi Matematik Eğitimi...14 Çoklu Zekâ Kuramı...15 Öğrenme Stilleri...15 Matematik Öğretimi Yöntemleri...15 Düz Anlatım Yöntemi...15 Tanımlar Yardımıyla Öğretim...15 Buluş Yoluyla Öğretim...15 Analizle Öğretim...16
vi Senaryo İle Öğretim...16 Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim...16 Kurallar Yardımıyla Öğretim...16 Deneysel Etkinliklerle Öğretim...16 Oyunlarla Öğretim...16 Çözümlü Test...17 Çözümler...19 3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Yeni Programın Özellikleri...23 Matematik Eğitiminin Genel Amaçları...24 Temel Beceriler...24 Problem Çözme...24 İletişim...25 Akıl Yürütme...25 İlişkilendirme...25 Duyuşsal Beceriler...25 Psikomotor Beceriler...26 Öz Düzenleme Yeterlikleri...26 Programın Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı...26 Programın Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı...26 4+4+4 Eğitim Sistemi...28 Çözümlü Test...30 Çözümler...32 4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME Problem Çözme...35 Problem Nedir?...35 Problem Çözme...35 Problemi Anlama...35 Çözüm İçin Plan Yapma...35 Planın Uygulanması...35 Değerlendirme...35 Problem Çözme Öğretimi...37 Sistematik Liste Yapma...37 Tahmin ve Kontrol...37 Diyagram Çizme...37
vii Bağıntı Bulma...38 Değişken Kullanma...38 Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma...38 Geriye Doğru Çalışma...38 Eleme...38 Tablo Yapma...38 Muhakeme etme...38 Problem Kurma...39 Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma...39 Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma...39 Cevabı Zihninde Tutarak Problem Kurma...39 Matematik Eğitiminde Problem Çözme...39 Problem Çözme İçin Öğretim...39 Problem Çözmeye İlişkin Öğretim...39 Problem Çözme İle Öğretim...39 Çözümlü Test...40 Çözümler...42 5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi...45 Temel Kavramların Öğretimi...46 Önerme Kavramı...46 Önermenin Olumsuzu (Değili)...46 Bileşik Önermeler...47 Veya Bağlacı (V) (Dahili Birleşim)...47 Ve Bağlacı...47 Koşullu Bağlaç...48 Karşılıklı Koşullu Bağlaç...48 Bileşik Önermelerin Özellikleri...48 Tek Kuvvet Özelliği...48 Değişme Özelliği...48 Birleşme Özelliği...48 Dağılma Özelliği...48 Totoloji ve Çelişki...49 Açık Önermeler ve İspat Teknikleri...50 Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler...50 İspat Teknikleri...50 İspat Çeşitleri...51 Doğrudan İspat...51 Dolaylı İspat...51
viii Olmayana Ergi Yöntemi...51 Çelişki Bulma Yöntemi...51 Deneme Yöntemi...51 Aksine Örnek Verme Yöntemi...52 Çözümlü Test...53 Çözümler...55 6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi...59 Temel Kavramların Öğretimi...59 Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi...60 Kümelerle İşlemlerin Öğretimi...62 Birleşim İşlemi...62 Kesişim İşlemi...62 Fark İşlemi...62 Çözümlü Test...63 Çözümler...65 7. BÖLÜM: DOĞAL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Doğal Sayılar Öğretimi...69 Sayma Sistemleri...69 Doğal Sayılar...69 Onluk Sayma Sistemi...70 Doğal Sayıların Öğretimi...70 Eşitlik Özellikleri...70 Doğal Sayıların Kuvveti...71 Farklı Sayı Tabanları...72 Asal Sayılar...73 Bölünebilme Kuralları...74 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)...75 Çözümlü Test...77 Çözümler...79 8. BÖLÜM: TAM SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Tam Sayılar Öğretimi...83 Tam Sayılar...83 Tam Sayıların Öğretimi...83
ix Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi...84 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...85 Çarpma İşlemi Öğretimi...85 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...86 Bölme İşlemi Öğretimi...86 Çözümlü Test...87 Çözümler...89 9. BÖLÜM: MODÜLER ARİTMETİK ÖĞRETİMİ Modüler Aritmetik Öğretimi...93 Toplama ve Çarpma İşlemi...94 Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma...95 Çözümlü Test...96 Çözümler...98 10. BÖLÜM: RASYONEL SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Rasyonel Sayılar Öğretimi...101 Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi...103 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...104 Çarpma İşlemi Öğretimi...104 İşlem özelliklerinin öğretimi...105 Bölme İşlemi Öğretimi...106 Çözümlü Test...108 Çözümler... 110 11. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Gerçek Sayılar Öğretimi... 113 Karekök Kavramı... 114 Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi... 115 İşlem Özelliklerinin Öğretimi... 115 Çarpma İşlemi Öğretimi... 115 İşlem Özelliklerinin Öğretimi... 116 Bölme İşlemi Öğretimi... 116 Gerçek Sayılar... 117 Eşitsizlik Özellikleri... 117 Aralıklar... 118 Denklem Çözümü... 119 Çözümlü Test...120 Çözümler...122
x 12. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ Üslü ve Köklü Sayılar Öğretimi...125 Üslü Sayılar Öğretimi...125 Üslü Denklemler...126 Köklü Sayılar Öğretimi...127 Çözümlü Test...129 Çözümler...131 13. BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİ Polinomlar Öğretimi...135 Polinomlar Öğretimi...135 Polinomlar Kümesinde İşlemler...135 Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi...137 Toplama ve Çıkarma Öğretimi...137 Çarpma Öğretimi...138 Bölme Öğretimi...138 Çarpanlara Ayırma Öğretimi...140 Ortak Çarpan Parantezine Alma...140 Gruplandırma...140 Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması...140 a 2 + 2ab + b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...140 a 2-2ab + b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...141 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...142 a 2 - b 2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...142 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...143 x 3 - a 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...143 ax 2 + bx + c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...143 Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi...144 Çözümlü Test...146 Çözümler...148 14. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİ İkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi...151 İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi...152 İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri...155 Eşitsizlikler Öğretimi...156 İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi...159 Çözümlü Test...161 Çözümler...163
xi 15. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ Olasılık ve İstatistik Öğretimi...167 Olasılık Öğretimi...168 Toplama Yoluyla Sayma İlkesi...169 Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi...169 Permütasyon...169 Dönel (Dairesel) Permütasyon...170 Tekrarlı Permütasyon...170 Kombinasyon...170 Binom Açılımı...171 Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar...171 Olay Çeşitleri...172 Kesin ve İmkânsız Olaylar...172 Tümleyen Olay...173 Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar...173 Bağımlı ve Bağımsız Olaylar...173 Koşullu Olasılık...174 Olasılık Çeşitleri...174 İstatistik Öğretimi...176 Veri Toplama...176 Tablo ve Grafikler...176 Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri...178 Aritmetik Ortalama...178 Tepe Değer (Mod)...178 Ortanca (Medyan)...179 Açıklık (Ranj)...179 Çeyrekler Açıklığı...179 Standart Sapma...179 Standart Puan...180 Çözümlü Test...181 Çözümler...183 16. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİ Trigonometri Öğretimi...187 Yönlü Açılar Öğretimi... 188 Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi... 189 Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri... 191
xii Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi... 192 Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi... 192 Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi... 193 Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi... 193 Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formüllerinin Öğretimi... 193 Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi... 194 Çözümlü Test...196 Çözümler...198 17. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ Karmaşık Sayılar Öğretimi...201 Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma...203 Karmaşık Sayılarda Çarpma ve Bölme...204 Karmaşık Kökler...204 Karmaşık Sayının Çember İle İlişkisi...205 Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi...205 Karmaşık Sayının Kuvveti...206 Karmaşık Sayının Kökleri...207 Çözümlü Test...208 Çözümler...210 18. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi...213 Üstel Fonksiyon...214 Logaritma Fonksiyonu...215 Onluk ve Doğal Logaritma...215 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri...216 Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler...216 Çözümlü Test...218 Çözümler...220 19. BÖLÜM: TÜMEVARIM VE DİZİLER ÖĞRETİMİ Tümevarım ve Diziler Öğretimi...223 Tümevarım...224 Toplam Sembolü...225 Çarpım Sembolü...226 Diziler...226 Monoton Diziler...227
xiii Aritmetik Dizi...227 Geometrik Dizi...228 Çözümlü Test...230 Çözümler...232 20. BÖLÜM: MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ÖĞRETİMİ Matris, Determinant ve Doğrusal Denklem Sistemleri Öğretimi...235 Matrisler...236 Matrislerde Toplama ve Çıkarma İşlemi...237 Matrislerde Çarpma İşlemi...238 Bir Matrisin Tersi...239 Bir Matrisin Devriği (Transpozu)...239 Doğrusal Denklem Sistemleri...239 Determinantlar...240 Ek (Adjoint) Matris...241 Çözümlü Test...242 Çözümler...244 21. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİ Fonksiyon Öğretimi...247 Fonksiyon Kavramı... 248 Bağıntı Kavramı... 248 Sıralı İkili... 248 Kartezyen Çarpım... 249 Bağıntı... 249 Bağıntının Tersi... 250 Bağıntının Özellikleri... 251 Yansıma Özelliği... 251 Simetri Özelliği... 251 Ters Simetri Özelliği... 251 Geçişme Özelliği... 251 Denklik ve Sıralama Bağıntıları... 251 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi... 252 Venn Şeması ile Gösterim... 253 Liste Biçiminde Gösterim... 253 Grafiklerle Gösterim... 253 Cebirsel Gösterim... 254 Fonksiyonların Grafiği... 255 Fonksiyon Türleri... 255
xiv Ters Fonksiyon... 256 Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar... 257 Çift ve Tek Fonksiyon... 257 Fonksiyonlarda İşlemler... 258 Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi... 258 Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi... 259 Parçalı Fonksiyonlar... 259 Mutlak Değer Fonksiyonu... 260 Çözümlü Test... 261 Çözümler...263 22. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ Limit ve Süreklilik Öğretimi...267 Limit...268 Süreklilik...271 Çözümlü Test...273 Çözümler...275 23. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ Türev ve İntegral Öğretimi...279 Türev... 281 Türevin Uygulamaları... 282 Belirli İntegral... 283 Belirsiz İntegral... 284 Belirli İntegralin Uygulamaları... 285 Çözümlü Test...287 Çözümler...289 Kaynaklar...291
MATEMATİK NEDİR?
3 MATEMATİK NEDİR? Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise medeniyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şekiller, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonksiyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir. Örnek İki çift sayının çarpımı, çifttir. önermesinde matematiksel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır? A) İndirgeme B) Genelleme C) Soyutlama D) Tümevarım E) Tümdengelim Çözüm İki çift sayının çarpımı çifttir. önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğruluğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. Genelden özele şeklinde özetlenebilen bu düşünce yapısı tümdengelimdir. Cevap E Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir: 1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti. 2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti. Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çıkaracak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci nin meşhur tavşan probleminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsadığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı doğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır. Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda kendi kendine yeterlik özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmaktadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur. Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlamlandırmak, tam anlamıyla matematik yapmak demektir. Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler amaç olarak matematik görüşünü savunurken uygulamalı matematikçiler ise araç olarak matematik görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir. Örnek Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir? A) Sosyoloji-Psikoloji B) Dil-Mantık C) Fizik-Kimya D) Tıp-Biyoloji E) Tarih-Edebiyat Çözüm Matematiğin kendi kendine yeterlik özelliği olduğu hatırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır. Cevap B Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmektedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır. Mutlakçılar Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir. Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebileceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temeller üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır. Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantıktan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kurallarına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savunanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.
4 Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terimler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler matematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir. Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullanmadan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğruluğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tümevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meşhur sezgiciler Brouwer ile Poincare dir. Yarı Deneyselciler Lakatos a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematikçiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir. Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak gelenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukları, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein a göre, matematiksel ve mantıksal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gramerini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur. Örnek Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Deneyselci yaklaşım C) Mutlakçı yaklaşım D) Formalist yaklaşım E) Mantıkçı yaklaşım Çözüm Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nesne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler. Cevap D Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-modern matematik, akademik-okul matematiği gibi. Teorik-Uygulamalı Matematik Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teorik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi entelektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur." Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur. Klasik-Modern Matematik Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel işlemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir geometrinin ele alındığı matematiktir. 1960 lı yıllarda ABD de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanılarak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi görünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970 li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır. Akademik-Okul Matematiği Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı matematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin amacı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır. Okul matematiği Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz? sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili Ne öğretelim? ve Nasıl öğretelim? konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere aktarılması, okul matematiğinin işidir. Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düzeyinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen matematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-
5 tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matematiğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır. Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir: Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme Zihinsel bağımsızlığı geliştirme Estetik değerleri geliştirme Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma Toplumun gelişmesine katkıda bulunma Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci; Matematiğe değer vermeyi öğrenir, Matematiksel düşünme becerisi kazanır, Matematiği iletişim aracı olarak kullanır, Problem çözme becerisi kazanır. Örnek Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır? A) Okul öncesi B) İlköğretim C) Ortaöğretim D) Yükseköğretim (Fen fakültesi) E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi) Çözüm Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir. Cevap D
6 ÇÖZÜMLÜ TEST 1. Seda Öğretmen öğrencilerine matematiğin doğası konusunda fasulye bitkisinin helis eğrisi şeklinde büyüdüğü, bal peteklerinin her zaman altıgen olduğu, insan yüzünün uzunluğunun genişliğine oranının sabit olduğu gibi örnekler vermektedir. Buna göre Seda Öğretmen'in matematiğin doğasına ilişkin hangi görüşe sahip olduğu söylenebilir? A) Matematik icattır. B) Matematik keşiftir. C) Matematik hayattır. D) Matematik mutluluktur. E) Matematik mucizedir. 4. Bir sınıftaki öğrencilerden bazılarının matematiksel bilgiye ilişkin görüşleri aşağıdaki gibidir. I. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı deneysel etkinliklerden elde edilmiştir. II. Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. III. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı doğal afetlerle mücadele sırasında elde edilmiştir. Buna göre öğrenci görüşlerinden hangisi doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 2. Pelin Öğretmen öğrencilerine bir çember yayı üzerinde 2 nokta işaretletir, iki noktayı birleştirerek çember içinde oluşan bölge sayısını buldurur. Sonra aynı işlemi çember üzerinde 3, 4 ve 5 nokta işaretleterek tekrar ettirir. Bu etkinlikten hareketle öğrencilerden çember üzerinde işaretlenen nokta sayısı ile çember içinde oluşan bölge sayısı arasında bir ilişki olup olmadığını düşünmelerini ister. Öğrencilerin alınan n nokta için 2n-1 bölge bulunduğunu söylemeleri üzerine, etkinliği son kez çember üzerinde 6 nokta alarak tekrar etmelerini ister. Pelin Öğretmen bu etkinlikle hangi düşünme yapısına dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) İndirgeme B) Özelleştirme C) Tümevarım D) Tümdengelim E) Soyutlama 5. Aşağıdakilerden hangisi matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir? A) Matematiğe değer verme B) Matematiğin önemini anlama C) Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme D) Farklı alanlarda matematikten yararlanma E) Matematik dersinde başarılı olma 3. Kaan Öğretmen öğrencilerine Bir dişi arının hem annesi hem babası vardır. Buna karşın erkek arının yalnız annesi vardır. Buna göre elinizde bir erkek arı olsa, bu arı 10 nesil geriden kaç arıdan gen almıştır? sorusunu yönelterek hangi bilgiye dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) Fourier serisi B) Taylor dizisi C) McLaurin serisi D) Fibonacci dizisi E) Cauchy dizisi 6. Matematik bilgisinin doğasına ilişkin farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı ve yarı deneyselci felsefeler çıkmıştır. Aşağıdakilerden hangisi mutlakçı yaklaşımı savunan bilim adamlarından değildir? A) Lakatos B) Hilbert C) Frege D) Russell E) Poincare
7 7. Matematiksel doğruların her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kaldığını ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açık olduğunu ileri sürenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Formalist yaklaşım C) Mantıkçı yaklaşım D) Yarı deneyselci yaklaşım E) Geleneksel yaklaşım 8. Klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları uygulaması ülkemizde hangi yıllarda terk edilmiştir? A) 1950 li yıllar B) 1960 lı yıllar C) 1970 li yıllar D) 1980 li yıllar E) 1990 lı yıllar 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan ve matematik felsefesinin önemli mantıkçılarından biri olan bilim adamı hangisidir? A) Peano B) Russell C) Pascal D) Poincare E) Cantor 10. Sevgi Öğretmen öğrencilerini gruplara ayırarak sınıfta işlediği konu ile ilgili yeni kavramlar üzerinde tartışmalarını ister. Sevgi Öğretmen'in bu etkinliği yapmasının öncelikli amacı aşağıdakilerden hangisidir? A) Matematiğe değer verme B) Problem çözme C) Matematikte öz güven sağlama D) Matematiksel düşünme E) Matematik dilini kullanma
8 ÇÖZÜMLER 1. Derste verilen örnekler doğada matematiğin var olduğu ve insanoğlunun bu durumu yaşarken fark ettiğine yönelik olup Seda Öğretmen'in Matematik keşiftir. görüşünü benimsediği söylenebilir. Cevap B 6. Hilbert, Russell, Poincare ve Frege mutlakçı görüşe sahip iken Lakatos yarı deneyselci olarak mutlakçı yaklaşımı savunanlardan değildir. Cevap A 2. Pelin Öğretmen öncelikle öğrencilerine sonlu sayıda özel durum üzerinden bir genelleme yaptırmış, sonrasında ise yaptıkları genellemenin hatalı olduğunu fark etmelerini sağlamıştır. Yeter sayıda özel durumdan hareketle matematiksel ilişkiler üzerinde genelleme yapmak Tümevarımsal düşünme yapısını işaret etmektedir. 7. Yarı deneyselci yaklaşıma göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır. Cevap D Cevap C 3. Kaan Öğretmen'in sormuş olduğu arı probleminin çözümünde önceki nesillerden gen veren arı sayıları öğrencileri 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, dizisine ulaştıracak olup bu dizi matematikte Fibonacci dizisi olarak bilinir. 8. 1970 li yılların başında klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları terk edilerek ülkemizde modern matematik müfredatı uygulanmaya başlanmıştır. Cevap C Cevap D 4. Öğrencilerin matematiksel bilgiye ilişkin görüşlerinden sadece Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. bilgisi yani yalnız II doğrudur. Cevap B 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan mantıkçı görüşe sahip İtalyan matematikçi Giuseppe Peano dur. Cevap A 5. Matematik dersinde başarılı olma, matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir. Cevap E 10. Sevgi Öğretmen'in öğrencilerinin matematiksel kavramlar üzerinde tartışmalarını istemesinin öncelikli amacının öğrencilerin matematik dilini kullanarak iletişim kurmalarını sağlamak olduğu söylenebilir. Cevap E