Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek yarıçapının artış hızını ölçmekten çok daha kolaydır. Bağımlı hız problemlerindeki fikir, bir niceliğin değişim hızını (ölçümü daha kolay olabilen) diğer bir niceliğin değişim hızı cinsinden hesaplamaktır. Bunun için yöntem; iki niceliğe bağlı bir denklem bulmak ve sonra zincir kuralını kullanarak her iki tarafın zamana göre türevini almaktır. Örnek 1. Küresel bir balon içine hava pompalandığında balonun hacmi 100 cm 3 /sn hızla artıyor. Balonun çapı 50 cm olduğunda yarıçapındaki artış hızı ne kadardır? Çözüm: İki şeyi tanımlamakla başlıyoruz: verilen bilgi: havanın hacminin artış hızı 100cm 3 /sn dir. bilinmeyen: çap 50 cm olduğunda yarıçapın artış hızıdır. Anımsanması gereken ana düşünce değişim hızlarının türevler olduğudur. Bu problemde, hacim ve yarıçap t zamanına bağlı fonksiyonlardır. Hacmin zamana göre artış hızı dv/dt türevi ve yarıçapın artış hızı dr/dt türevidir. Verileni ve bilinmeyeni yeniden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: verilen: dv dt = 100 cm3 /sn bilinmeyen: r = 25 cm olduğunda dr dt dv/dt ve dr/dt arasında bağlantı kurmak için önce V ile r arasında kürenin hacim formülü ile bağlantı kuracağız: V = 4 3 πr3 Verilen bilgileri kullanmak için bu denklemin her iki tarafının t ye göre türevini alacağız. Sağ tarafın türevini almak için zincir kuralını kullanmaya gereksinim vardır: dv dt = dv dr dr dt = 4πr2 dr dt dv dt = 4πr2 dr dt. 1

2 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Şimdi bu denklemden bilinmeyeni çöze. dr dt = 1 dv 4πr 2 dt Eğer bu denklemde r = 25 ve dv/dt = 100 koyarsak dr dt = 1 4π(25) 2 100 = 1 25π elde ederiz. Buradan balonun yarıçapının (1/25π) cm/sn hızla arttığını görürüz. Örnek 2. 10 ft uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara dayanıyor. Merdivenin altı 1 ft/sn hızla kayarak duvardan uzaklaşırsa, merdivenin alt kısmının duvardan uzaklığı 6 ft olduğu anda üstünün duvardan aşağıya kayma hızı nedir? Çözüm: İlk olarak Şekil 4.1 deki gibi bir şema çize ve adlandıralım. Şekil 4.1: Merdivenin altından duvara olan uzaklık x ft ve merdivenin tepesinden yere olan uzaklık y ft olsun. Burada x ve y değerleri t (zaman) nin fonksiyonlarıdır. Bize dx/dt = 1 ft/sn olduğu veriliyor ve x = 6 ft olduğunda dy/dt değerini bulmamız isteniyor. Problemde, x ve y arasındaki ilişki Pisagor Teoremi ile elde edilir: x 2 + y 2 = 100

4.1. BAĞIMLI HIZ 3 Zincir kuralını kullanarak her iki tarafın t ye göre türevini alırsak olur ve bu denklemden isteneni çözersek 2x dx dt + 2y dy dt = 0 dy dt = x dx y dt buluruz. x = 6 olduğunda Pisagor Teoreminden y = 8 olur. Bu değerleri ve dx/dt = 1 i yukarıdaki denklemde yerine koyarsak dy dt = 6 8 (1) = 3 4 ft/sn elde ederiz. dy/dt nin negatif olmasının anlamı merdivenin üstünden yere olan uzaklığın (3/4) ft/sn oranında azalmasıdır. Diğer bir deyişle, merdivenin üstü duvardan (3/4) ft/sn hızla aşağıya doğru kaymaktadır. Örnek 3. Bir su tankı, taban yarıçapı 2 m ve yüksekliği 4 m olan ters çevrilmiş bir koni şeklindedir. Eğer tank içine 2 m 3 /da hızla su pompalanırsa, derinlik 3 m olduğu zaman su seviyesinin artış hızını bulunuz. Çözüm: İlk olarak Şekil 4.2 deki gibi bir çembersel koni çizip isimlendirme yapalım. V, r, h sırasıyla suyun t anındaki hacmi, yüzeyinin yarıçapı ve yüksekliği olsun. Burada t dakika ile ölçülmüştür. Şekil 4.2: Bize dv/dt = 2 m 3 /da olduğu veriliyor ve h = 3 m olduğunda dh/dt değerini bulmamız isteniyor. V ve h arasındaki ilişki V = 1 3 πr2 h denklemi ile verilir. Fakat V yi sadece h nin fonksiyonu olarak ifade etmek çok yararlıdır. r yi yok etmek için Şekil 4.2 deki benzer üçgenleri kullanırız. Buradan elde ederiz. Bunu V de terine yerleştirirsek r h = 2 4 ve r = h 2 V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h3

4 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI olur. Şimdi her iki tarafın t ye göre türevini alabiliriz: dv dt = π dh h2 4 dt ve böylece dh dt = 4 dv πh 2 dt dir. h = 3m ve dv/dt = 2m 3 /da yı yerine koyarsak buluruz. dh dt = 4 π(3) 2 2 = 8 9π 4.2 Maksimum ve Minimum Değerler 0.28 m/da Diferansiyel hesabın en önemli uygulamalarından biri, bir işi yapmanın en iyi yolunu bulmak olan optimizasyon problemleridir. Maliyeti minimum yapmak için bir kutunun şekli nasıl olmalıdır? Bir uzay mekiğinin maksimum ivmesi ne olmalıdır? (Bu ivmenin etkilerine katlanmak zorunda olan astronotlar için önemli bir sorudur.) Bu problemler bir fonksiyonun maksimum ya da minimum değerlerini bulmaya indirgenebilir. Şimdi ilk olarak maksimum ve minimum değerlerle tam olarak ne demek istediğimizi açıklayalım. Tanım 1. f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır. f(c) sayısına f nin D deki maksimum değeri denir. Benzer olarak, D içindeki her x için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f(c) sayısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve minimum değerlerine f nin uç değerleri denir. Şekil 4.3: Şekil 4.3, d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak minimuma sahip olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Bu grafik üzerindeki en üstteki noktanın (d, f(d)) ve en alttaki noktanın (a, f(a)) noktası olduğuna dikkat ediniz.

4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 5 Tanım 2. x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu (ya da [ göreli maksimum) vardır denir. ] Bunun anlamı c yi içeren bir açık aralık içindeki her x için f(c) f(x) olmasıdır. Benzer olarak, x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f nin c noktasında bir yerel minimumu vardır denir. Örnek 4. Her x için ve herhangi bir n tamsayısı için 1 cos x 1 cos 2nπ = 1 olduğundan, f(x) = cos x fonksiyonu (yerel ve mutlak) minimum değeri olan 1 i sonsuz kez alır. Benzer olarak herhangi bir n tamsayısı için cos(2n + 1)π = 1 fonksiyonun minimum değeridir. Örnek 5. f(x) = x 2 ise her x için x 2 0 olduğundan f(x) f(0) dır. Dolayısıyla f(0) = 0 değeri f nin mutlak (ve yerel) minimum değeridir. Bu y = x 2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir. Bununla beraber, parabol üzerinde en üst nokta yoktur ve bu yüzden bu fonksiyonun maksimum değeri de yoktur.

6 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Örnek 6. Şekil 4.4 de gösterilen f(x) = x 3 fonksiyonunun grafiğinden, fonksiyonun hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerinin olmadığını görüyoruz. Aslında yerel uç değerleri yoktur. Şekil 4.4: Şekil 4.5 de f(x) = 3x 4 16x 3 + 18x 2 1 x 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Şekil 4.5: Buradan f(1) = 5 in yerel maksimum ve f( 1) = 37 nin mutlak maksimum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir yerel maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur.] Ayrıca f(0) = 0 yerel minmum ve f(3) = 27 hem yerel hem de mutlak minimumdur. Burada f nin x = 4 de ne yerel ne de mutlak maksimum olmadığına dikkat ediniz.

4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 7 Theorem 1. f fonksiyonu bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, c ve d sayıları, [a, b] kapalı aralığında olmak üzere, f(c) mutlak maksimum değerini ve f(d) mutlak minimum değerin alır. Şekilde, Uç Değer Teoreminin hipotezlerinden birini kaldırdığımızda (süreklilik ya da kapalı aralık) fonksiyonun uç değerlere sahip olması gerekmediğini gösterir. Uç Değer Teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söyler, fakat bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şey söylemez. Yerel uç değerleri arayarak işe başlayalım. Şekil 4.6, c de bir yerel maksimumu ve d de bir yerel minimumu olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve minimum noktalarda teğet doğruları yataydır ve bunun sonucu olarak her birinin eğimi 0 dır. Türevin teğet doğrusunun eğimi olduğunu biliyoruz. Bu nedenle f (c) = 0 ve f (d) = 0 dır. Şekil 4.6: Fermat teoremi bu sonucun türevlenebilir fonksiyonlar için daima doğru olduğunu söyler.

8 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Theorem 2. Fermat Teoremi : f (c) = 0 dır. Eğer f, c noktasında yerel maksimuma ya da minimuma sahip ve f (c) varsa f (c) = 0 olduğunda f nin c noktasında maksimumu ya da minimumu olması gerekmez. (Diğer bir deyişle, Fermat teoreminin tersi genelde doğru değildir.) Şekil 4.7: f (0) = 0 fakat maksimum yada minimum yok Şekil 4.8: f(0) = 0 minimum değer fakat f (0) yok. Tanım 3. f bir fonksiyonu ve c sayısı f nin tanım kümesi içinde olsun. Eğer f (c) = 0 ya da f (c) yoksa c ye f nin bir kritik sayısı denir.

4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 9 Örnek 7. f(x) = x 3/5 (4 x) fonksiyonunun kritik sayılarını bulunuz. Çözüm: Çarpım kuralı ile f (x) = 3 5 x 2/5 (4 x) + x 3/5 ( 1) = 3(4 x) 5x 2/5 x 3/5 = 3(4 x) 5x 5x 2/5 = 12 8x 5x 2/5 olur. [Aynı sonuç, ilk olarak f(x) = 4x 3/5 x 8/5 yazılarak elde edilebilir.] Böylece, f (x) = 0 dan f (x) = 12 8x 5x 2/5 12 8x = 0 olur. Buradan x = 3 2 elde ederiz. x = 0 noktasında türev yoktur. Sonuç olarak, 3 ve 0 kritik sayılardır. 2 Kritik sayının tanımından sonra Fermat teoremi aşağıdaki gibi de yazılabilir: Theorem 3. Eğer f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c noktası f nin bir kritik sayısıdır. Kapalı Aralık Yöntemi Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksiyonun mutlak maksimum ya da minimum değerlerini bulmak için: 1. f nin (a, b) deki kritik sayılardaki değerlerini bulunuz. 2. Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz. 3. 1. ve 2. adımlardaki değerlerin en büyüğü mutlak maksimum değeri, en küçüğü ise mutlak maksimum değeridir. Örnek 8. f(x) = x 2 sin x, 0 x 2π fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini tam olarak bulunuz. Çöüzüm: f(x) = x 2 sin x fonksiyonu [0, 2π] aralığında süreklidir. f (x) = 1 2 cos x olduğundan, cos x = 1 2 f (x) = 0 olur. Bu x = π/3 ya da 5π/3 iken olur. Bu kritik noktalardaki f değerleri f(π/3) = π 3 2 sin π 3 = π 3 3 0.684853 f(5π/3) = 5π 3 2 sin 5π 3 = 5π 3 + 3 6.968039 dir. Uç noktalarda f nin aldığı değerler f(0) = 0 ve f(2π) = 2π 6.28 dir. Bu dört değeri karşılaştırdığımızda mutlak minimum değeri f(π/3) = π 3 3, mutlak maksimum değeri ise f(5π/3) = 5π 3 + 3 olarak bulunur.

10 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Ortalama-Değer Problemi Theorem 4. Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise a ve b arasında ya da denk olarak eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) = f (c)(b a) Bu teoremin akla uygun olduğunu geometrik bir yorumla görebiliriz. Şekil 4.9 türevlenebilir iki fonksiyonun grafikleri üzerinde A(a, f(a)) ve B(b, f(b)) noktalarını göstermektedir. Şekil 4.9: 4.3 Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi 4.3.1 Artan ve Azalan Fonksiyonlar Kural 1. Artan/Azalan Testi (a) Bir aralıkta f (x) > 0 ise, bu aralıkta f artandır. (b) Bir aralıkta f (x) < 0 ise, bu aralıkta f azalandır. Bu testin adına kısaca Ar/Az Testi diye. Örnek 9. f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 + 5 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 11 Çözüm: f (x) = 12x 3 12x 2 24x = 12x(x 2)(x + 1) Ar/Az Testi ni kullanmak için nerede f (x) > 0, nerede f (x) < 0 olduğunu bilmek zorundayız. Bu f (x) in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 12x, x 2 ve x + 1 dir. Gerçel doğruyu uç noktaları 1, 0, 2 kritik sayıları olan aralıklara böle ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştire. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. Dolayısıyla f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 + 5 fonksiyonunu (, 1) aralığında AZALAN, ( 1, 0) aralığında ARTAN, (0, 2) aralığında AZALAN, (2, ) aralığında ise ARTAN dır. 4.3.2 Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Daha önce f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c nin f nin bir kritik sayısı olması gerektiğini(fermat Teoremi), fakat her kritik sayıda bir maksimum ya da minimumun ortaya çıkmayacağını hatırlayalım. Bunun sonucu olarak bir kritik sayıda f nin bir yerel maksimumu ya da minimumu olup olmadığını anlayacağımız bir teste ihtiyacımız var. Kural 2. Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksiyonunun bir kritik sayısının c olduğunu varsayalım. (a) Eğer f türevi c de pozitiften negatife değişirse, f nin c de bir yerel maksimumu vardır. (b) Eğer f türevi c de negatiften pozitife değişirse, f nin c de bir yerel minimumu vardır. (c) Eğer f türevi c de işaret değiştirmezse (f, c nin iki yanında pozitif ya da negatif ise), f nin c de yerel maksimumu ve minimumu yoktur. Örnek 10. f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 + 5 fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum değerlerini bulunuz. Çözüm: Bu fonksiyonun önceki örnekteki fonksiyon olduğunu anımsayınız. O örnekteki çizelgeden f türevinin 1 noktasında negatiften pozitife değiştiğini görürüz. Dolayısıyla f( 1) = 0, Birinci Türev Testi ile bir yerel minimum değeridir. Benzer şekilde f türevi, 2 de negatiften pozitife değişir. Burada f(2) = 27 de bir yerel minimum değeridir. Ayrıca f(0) = 5 bir yerel maksimum değeridir, çünkü f türevi 0 da pozitiften negatife değişir.

12 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.3.3 Bükeylik Tanım 4. Bir f fonksiyonunun f türevi bir I aralığı üzerinde artan bir fonksiyon ise f fonksiyonu (ya da grafiği) I üzerinde dışbükeydir denir. Eğer f türevi bir I aralığı üzerinde azalan bir fonksiyon ise f fonksiyonu I üzerinde içbükeydir denir.

4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 13 Tanım 5. Bir eğrinin bükeyliğinin yönünün değiştiği noktaya büküm noktası denir. Şekildeki eğri P de dışbükeylikten içbükeyliğe ve Q da içbükeylikten dışbükeyliğe değişir. Dolayısıyla P ve Q noktaları eğrinin büküm noktalarıdır. Kural 3. Bükeylik Testi (a) I aralığındaki her x için f (x) > 0 ise I üzerinde f nin grafiği dışbükeydir. (b) I aralığındaki her x için f (x) < 0 ise I üzerinde f nin grafiği içbükeydir. Bükeylik Testi nin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri veren aşağıdaki testtir. Kural 4. İkinci Türev Testi: f türevinin c nin yakınında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f (c) = 0 ve f (c) > 0 ise f nin c de bir yerel minimumu vardır. (b) f (c) = 0 ve f (c) < 0 ise f nin c de bir yerel maksimumu vardır. NOT f (c) = 0 olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez. Diğer bir deyişle, bu noktada bir maksimum veya bir minimum olabilir ya da her ikisi de olmayabilir. Bu test f (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir. Böyle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testi ni kullanmak çoğu kez daha kolaydır. Örnek 11. y = x 4 4x 3 eğrisinin bükeyliğini, büküm noktalarını, yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz.

14 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Eğer f(x) = x 4 4x 3 ise f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) olur. Kritik sayıları bulmak için birinci türevi 0 a eşitleriz. f (x) = 12x 2 24x = 12x(x 2) f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) = 0 Buradan x = 0 ve x = 3 elde ederiz. İkinci türev testini kullanabilmek için f nü kritik sayılarda hesaplarız. f (0) = 0 f (3) = 36 > 0 f (3) = 0 ve f (3) > 0 olduğu için f(3) = 27 yerel minimumdur. f (0) = 0 olduğu için ikinci türev testi 0 kritik sayısı için bir bilgi vermez. Fakat x < 0 ve 0 < x < 3 için f (x) < 0 olduğu için birinci türev testi f(x) in 0 da yerel minimum veya maksimumunun olmadığını söyler. İkinci türevin köklerini: olarak buluruz. f (x) = 12x(x 2) = 0 x = 0 veya x = 2 (0, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 15 Örnek 12. f(x) = x 2/3 (6 x) 1/3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım. f (x) = 4 x x 1/3 (6 x) 2/3 f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 x = 4 olduğunda f (x) = 0 ve x = 0 ya da x = 6 olduğunda f (x) tanımlı olmadığından 0, 4, 6 noktaları kritik sayılardır. Gerçel doğruyu uç noktaları 0, 4, 6 kritik sayıları olan aralıklara böle ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştire. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. f, x = 0 da işaret değiştirdiği için f(0) = 0 yerel minimumdur. f, x = 4 te işaret değiştirdiği için f(4) = 2 5/3 yerel maksimumdur. f, x = 6 da işaret değiştirmediği için burada yerel maksimum/minimum yoktur. f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 İkinci türev testi yalnızca x = 4 te kullanılabilir, çünkü x = 0 da ve x = 6 da f yoktur. f ni inceleye (6, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

16 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Eğrinin (0, 0) ve (6, 0) noktalarında düşey teğetleri olduğuna dikkat ediniz. Çünkü, x 0 ve x 6 iken f (x). Örnek 13. f(x) = e 1/x fonksiyonunun asimptotlarla birlikte birinci ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz. Çözüm: f nin grafiğini çizmek için ilk olarak y = 1 yatay asimptotu (kesik çizgi ile gösterilmiştir) ile eğrinin asimptotlarının yakınındaki parçalarını çizeriz. Bu parçalar itler hakkındaki bilgileri ve f nin hem (, 0) hem de (0, ) da azalan olduğunu yansıtır. Burada f(0) tanımlı olmamasına karşın, x 0 iken f(x) 0 olduğuna dikkat edilmelidir. Şekil9(b) de büküm noktası ve bükeylik ile ilgili bilgileri birleştirerek grafiği tamamlarız. f nin tanım kümesi {x x 0} kümesidir. Dolayısıyla x 0 iken f nin sağdan ve soldan itlerini hesaplayarak düşey asimptotlarını kontrol edebiliriz. olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. Bu x = 0 ın düşey asimptot olduğunu gösterir. x 0 + iken 1/x x 0 e1/x = + x 0 iken 1/x olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. x 0 e1/x = 0

4.3. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 17 x, iken 1/x 0 ve x e1/x = e 0 = 1 dır. Yani y = 1 yatay asipmtottur. Şimdi f nin birinci türevini hesaplayalım. Zincir kuralı ile f (x) = e1/x x 2 dir. Her x 0 için x 2 > 0 ve e 1/x > 0 olduğundan, her x 0 için f (x) < 0 dır. Dolayısıyla f fonksiyonu, (, 0) ve (0, ) aralıklarında azalandır. Kritik sayı olmadığından, f nin yerel maksimum/minimum u yoktur. İkinci Türev: e 1/x > 0 ve x 4 > 0 olduğundan, ve f (x) = x2 e 1/x ( 1/x 2 ) e 1/x (2x) x 4 = e1/x (2x + 1) x 4 x > 1 2 x < 1 2 (x 0) iken f (x) > 0 iken f (x) < 0 olur. Böylece eğri (, 1 1 1 2 ) aralığında iç bükey, ( 2, 0) ve (0, ) aralıklarında dış bükeydir. ( 2, e 2 ) noktası büküm noktasıdır.

18 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.4 Belirsizlik Durumları ve L Hospital Kuralı Theorem 5. L Hospital Kuralı a noktasının yakınında (belki a noktası dışında), f ve g fonksiyonlarının türevlenebilir ve g (x) 0 olduğunu varsayalım. ya da f(x) = 0 ve g(x) = 0 x a x a f(x) = ± ve g(x) = ± x a x a olsun.(diğer bir ifadeyle 0 0 ya da belirsizliği olsun.) O zaman, sağ taraftaki it varsa (ya da veya ise), f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) olur. NOT L Hospital Kuralı aynı zamanda tek yönlü itler, sonsuzdaki ve eksi sonsuzdaki itler için de geçerlidir. Diğer bir ifadeyle x a yerine x a +, x a, x ve x sembollerinden biri gelebilir. Örnek 14. x 1 ln x itini bulunuz. x 1 Çözüm: x 1 olduğundan L Hospital Kuralı nı uygulayabiliriz: ln x = ln 1 = 0 ve (x 1) = 0 x 1 x 1 ln x x 1 = x 1 1 = x 1 x = 1 d (ln x) dx = d dx (x 1) 1 x 1 1/x Örnek 15. x e x itini hesaplayınız. x2 Çözüm: olduğundan L Hospital Kuralı ile x ex = ve x x2 = x e x x 2 = x e x 2x

4.4. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 19 dir. x iken e x ve 2x olduğundan L Hospital Kuralı uygulanabilir: buluruz. e x x x 2 = e x x 2x = e x x 2 = Örnek 16. x π sin x itini bulunuz. 1 cos x Çözüm: Eğer burada L Hospital Kuralı nı koşullarını kontrol etmeden uygularsak elde ederiz. Bu yanlıştır! x π sin x 1 cos x = x π cos x sin x = x π sin x 1 cos x x π iken paydaki sin x 0 olmasına rağmen paydadaki 1 cos x ifadesi sıfıra yaklaşmaz. Dolayısıyla burada L Hospital Kuralı uygulanamaz. Aslında bu iti hesaplamak kolaydır, çünkü fonksiyon süreklidir ve payda π de sıfırdan farklıdır: x π sin x 1 cos x = sin π 1 cos π = 0 1 ( 1) = 0 4.4.1 Belirsiz Çarpımlar Eğer ise f(x) = 0 ve g(x) = (ya da ) x a x a f(x)g(x) x a itinin değerinin, eğer varsa, ne olacağı açık değildir. Bu tür it, 0 türü belirsizlik olarak adlandırılır. f g çarpımını bölüm şeklinde yazarak bu durumu ele alabiliriz: f g = f 1/g ya da f g = g 1/f Verilen iti 0 0 ya da türü belirsizliğe dönüştürüp böylece L Hospital Kuralı nı kullanabiliriz. Örnek 17. x ln x itini hesaplayınız. x 0 +

20 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Verilen it belirsizdir. Çünkü x 0 + için birinci çarpan (x), 0 a yaklaşırken ikinci çarpan (ln x), a yaklaşır. x = 1/(1/x) yazarak x 0 + iken 1/x elde ederiz. Dolayısıyla L Hospital Kuralı nı uygulayarak buluruz. ln x x ln x = x 0 + x 0 + 1/x = x 0 + = x 0 +( x) = 0 1 x 1 x 2 NOT Bu örneği çözerken bir başka seçenek x x ln x = x 0 + x 0 + 1/ ln x yazmak olabilirdi. Bu 0 0 türü belirsizlik verir, ama L Hospital Kuralı nı uygularsak baştakinden daha karmaşık bir ifade elde ederiz. Genelde belirsiz bir çarpımı yeniden yazarken daha basit bir it elde edeceğimiz durumu seçmeye çalışırız. 4.4.2 Belirisiz Farklar ise f(x) = ve g(x) = x a x a [f(x) g(x)] x a iti türü belirsizlik olarak adlandırılır. Farkı bölüme çevirerek 0 0 ya da çalışırız. türü belirsizlik elde etmeye Örnek 18. x tan x) itini hesaplayınız. x (π/2) (sec Çözüm: x (π/2) iken sec x ve tan x olduğundan verilen it belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırız: x tan x) x (π/2) (sec = ( 1 x (π/2) cos x sin x ) cos x = 1 sin x x (π/2) cos x = cos x x (π/2) sin x = 0 x (π/2) iken 1 sin x 0 ve cos x 0 olmasının, L Hospital Kuralı nı uygulamayı haklı çıkardığına dikkat ediniz. 4.4.3 Belirsiz Kuvvetler itinden çeşitli belirsizlik durumları ortaya çıkar. x a [f(x)]g(x)

4.4. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 21 x a f(x) = 0 ve x a g(x) = 0 0 0 türü x a f(x) = ve x a g(x) = 0 türü x a f(x) = 1 ve x a g(x) = ± 1 türü Bu üç durumdan her biri ya doğal logaritma alarak: y = [f(x)] g(x) ise ln y = g(x) ln f(x) yada üstel fonksiyon şeklinde yazarak: [f(x)] g(x) g(x) ln f(x) = e (Bu yöntemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların türevlerini bulurken kullanıldığını anımsayınız.) Her iki durumda da 0 türü g(x) ln f(x) belirsiz çarpımını elde ederiz. Örnek 19. x 0 +(1 + sin 4x)cot x itini hesaplayınız. Çözüm: İlk olarak x 0 + iken 1 + sin 4x 1 ve cot x olduğundan verilen itin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. y = (1 + sin 4x) cot x olsun. O zaman ln y = ln[(1 + sin 4x) cot x ] = cot x ln(1 + sin 4x) olur, = ln(1 + sin 4x) ln y = x 0 + x 0 + tan x ln(1 + sin 4x) tan x ( 0 0 belirsizliği) dolayısıyla L Hospital Kurali ile = x 0 + 4 cos 4x 1+sin 4x sec 2 x = 4 buluruz.buraya kadar ln y nin itini hesapladık. Fakat biz y nin itini bulmak istiyoruz. Bunu bulmak için y = e ln y olduğunu kullanalım: x 0 +(1 + sin 4x)cot x = y = x 0 + x 0 eln y = e 4 + Örnek 20. x 0 xx itini bulunuz. +

22 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Herhangi bir x > 0 için 0 x = 0, ama herhangi bir x 0 için x 0 = 1 olduğundan bu itin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. Fonksiyonu üstel şekilde yazarak devam edebiliriz: x x = (e ln x ) x = e x ln x daha önce L Hospital kuralını kullanarak x ln x = 0 olduğunu gösterdik. Dolayısıyla x 0 + x 0 xx = + x 0 ex ln x = e 0 = 1 dir. + 4.5 Optimizasyon Problemleri Örnek 21. 2400 ft çiti olan bir çiftçi, bu çit ile bir kenarı ırmağa sınır olan dikdörtgensel bir arazi çevirmek istiyor. Irmak boyunca çit çekmesine gerek yoktur. En büyük alana sahip arazinin boyutları nedir? Çözüm: Bu problemde neler olduğunu hissetmek için birkaç özel durumu deneye. Aşağıda (ölçeklenmemiş), 2400 ft lik teli kullanmanın olası yollarından üçünü göstermektedir. Sığ, geniş bölgeleri ya da derin, dar bölgeleri denediğimizde küçük alanlar elde ettiğimizi görüyoruz. En büyük alanı arada bulunan şeklin vereceği akla yatkındır. Şekil 4.10 genel durumu göstermektedir. Dikdörtgenin A alanını maksimum yapmak istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdörtgenin derinliği ve genişliği olsun. Bu durumda A yı x ve y cinsinden ifade ederiz: Şekil 4.10: A = xy A yı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu nedenle y yi x cinsinden yazarak yok edeceğiz. Bunun için, telin toplam uzunluğunun 2400 ft olduğu bilgisini kullanırız. Buradan, 2x + y = 2400

4.5. OPTIMIZASYON PROBLEMLERI 23 olur. Bu denklemden y = 2400 2x elde ederiz ve buluruz. A = x(2400 2x) = 2400x 2x 2 A = 2400x 2x 2 x 0 ve x 1200 (aksi takdirde A < 0) olduğuna dikkat ediniz. Şimdi A(x) = 2400x 2x 2 0 x 1200 fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Türev A (x) = 2400 4x dir. Kritik sayıları bulmak için, 2400 4x = 0 denklemini çözerek, x = 600 buluruz. A nın maksimum değeri ya bu kritik sayıda ya da aralığın bir uç noktasında oluşur. A(0) = 0, A(600) = 720000 ve A(1200) = 0, olduğundan, Kapalı Aralık Yöntemi maksimum değeri A(600) = 720000 olarak verir. [Alternatif olarak, her x için A (x) = 4 < 0 olduğundan A daima iç bükeydir ve x = 600 deki yerel maksimum bir mutlak maksimum olmalıdır.] Sonuç olarak, dikdörtgensel bölgenin derinliği 600 ft ve genişliği 1200 ft olmalıdır. Örnek 22. 1 L yağ koymak için silindir biçiminde bir teneke kutu yapılmak isteniyor. Metal maliyeti minumum olan kutu üretmek için boyutları bulunuz. Çözüm: Şekil 4.11 deki gibi, yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindir çiziniz. Şekil 4.11: Metal maliyetini minimum yapmak için, silindirin toplam yüzey alanını (alt, üst ve yan) minumum yaparız. Şekil 4.12 den, kenarların, boyutları 2πr ve h olan bir dikdörtgensel levhadan yapıldığını görürüz. Bu nedenle silindirin yüzey alanı A = 2πr 2 + 2πrh olur. h yi yok etmek için hacmin 1L olarak verildiğini, 1000 cm 3 alarak kullanırız. Böylece πr 2 h = 1000 den h = 1000 (πr 2 )

24 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Şekil 4.12: olur.bunu A nın ifadesinde yerine koyarsak elde ederiz. Şimdi A = 2πr 2 + 2πr A(r) = 2πr 2 + 2000 r ( ) 1000 πr 2 = 2πr 2 + 2000 r r > 0 fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz.kritik sayıları bulmak için A(r) nin türevini alırız: A (r) = 4πr 2000 r 2 = 4(πr3 500) r 2 Burada πr 3 = 500 olduğunda A (r) = 0 olur. Bu nedenle tek kritik sayı r = 3 500 π dir. A nın tanım kümesi (0, ) olduğundan bir önceki örnekteki gibi uç noktaları kullanamayız. Ama r < 3 500 π için A (r) < 0 ve r > 3 500 π için A (r) > 0 olduğunu, dolayısıyla A nın kritik sayısının solundaki her r için azaldığını ve sağındaki her r için arttığını gözlemleyebiliriz. Böylece, r = 3 500 π mutlak minimumu vermelidir. [Alernatif olarak, r 0+ iken A(r) ve r iken A(r) olduğundan, A(r) nin bir minumum değeri olmalı ve bu minimum değer kritik sayıda meydana gelmelidir. Bkz. Şekil 4.13] Şekil 4.13:

4.5. OPTIMIZASYON PROBLEMLERI 25 r = 3 500 π değerine karşılık gelen h değeri h = 1000 πr 2 = 1000 500 π(500/π) 2/3 = 2 3 π = 2r dir. Böylece kutunun maliyetini minimum yapmak için yarıçap 3 500 π olmalıdır. Örnek 23. y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz. cm ve yükseklik yarıçapın iki katı, yani çap Çözüm: (x, y) ve (1, 4) noktaları arasındaki uzaklık ile verilir. (Bkz. Şekil 4.14) d = (x 1) 2 + (y 4) 2 Şekil 4.14: Ama, (x, y) parabolün üzerindeyse, x = y 2 /2 dir ve d nin ifadesi (1 d = ) 2 2 y2 1 + (y 4) 2 olur. (İkinci seçenek, y = 2x alarak d yi yalnızca x cinsinden ifade edebilirdik.) d yi minimum yapmak yerine karesini minimum yapacağız: d 2 = f(y) = ( ) 1 2 2 y2 1 + (y 4) 2 (d 2 nin minimumu ile d nin minimumunun aynı noktada meydana geldiğine, ama d 2 ile çalışmanın d ile çalışmaktan daha kolay olduğuna dikkat ediniz.) Türev alırsak ( ) 1 f (y) = 2 2 y2 1 y + 2(y 4) = y 3 8

26 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI elde ederiz, dolayısıyla y = 2 olduğunda f (y) = 0 olur. y < 2 için f (y) < 0 ve y > 2 için f (y) > 0 olduğunu gözlemleyiniz. Buradan Mutlak Uç Değerler için Birinci Türev Testi ne göre mutlak minimum y = 2 de meydana gelir. (Yalnızca, problemin geometrik yapısından ötürü en yakın noktanın olduğunun fakat en uzak noktanın olmadığının açık olduğunu söyleyebilirdik.) Karşı gelen x değeri x = y 2 /2 = 2 dir. Böylece y 2 = 2x parabolü üzerinde (1, 4) noktasına en yakın olan nokta, (2, 2) noktasıdır. 4.6 Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım 6. Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda tutarsak, f nin bir ilkelini bulmak zor değildir. F (x) = 1 3 x3 ise F (x) = x 2 = f(x) dir. Fakat G(x) = 1 3 x3 + 100 fonksiyonu da G (x) = x 2 yi sağlar. Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir. Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 1 3 x3 + C biçimindeki her fonksiyon f nin bir ilkelidir. Theorem 6. F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C herhangi bir sabit olmak üzere, F (x) + C (4.1) f nin I üzerindeki en genel ilkelidir. Örnek 24. Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz. (a) f(x) = sin x (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = x n, n 1 Çözüm: (a) F (x) = cos x ise F (x) = sin x olur. Bu nedenle sin x in bir ilkeli cos x dir. Teoremden en genel ilkeli G(x) = cos x + C dir. (b) d dx (ln x) = 1 olduğunu anımsayınız. Bu nedenle (0, ) aralığında 1/x in genel ilkeli ln x + C dir. Aynı zamanda, her x 0 için d dx (ln x ) = 1 x olduğunu öğrenmiştik. Teorem, f(x) = 1/x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir aralıkta ln x + C olduğunu söyler. Özel olarak, (, 0) ve (0, ) aralıklarının her birinde bu doğrudur. Böylece f nin genel ilkeli { F (x) = ln x + C 1 eğer x > 0 ln( x) + C 2 eğer x < 0

4.6. BIR FONKSIYONUN İLKELI 27 dir. (c) x n nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı nı kullanırız. Aslında, n 1 ise, ( ) d x n+1 (n + 1)xn = = x n dx n + 1 n + 1 dir. Böylece f(x) = x n nin genel ilkeli F (x) = xn+1 n + 1 + C olur. f(x) = x n bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n 0 için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n 1) ise bu 0 ı içermeyen herhangi bir aralıkta geçerlidir.