Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Transkript

1 Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim. Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. g nin a da türevi varsa, bu türevi f nin (a, b) de x e göre kısmi türevi olarak adlandırır ve f x (a, b) ile gösteririz: g(x) = f(x, b) olmak üzere f x (a, b) = g (a) (1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 164 Kısmi Türevler Türev tanımından, olduğundan, Denklem 1 g (a) = lim h 0 g(a + h) g(a) h f x (a, b) = lim h 0 f(a + h, b) f(a, b) h (2) biçimini alır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 2/ 164

2 Kısmi Türevler Benzer şekilde, f nin (a, b) de y göre kısmi türevi, f y (a, b) ile gösterilir ve x i sabit tutup, G(y) = f(a, y) tek değişkenli fonksiyonunun b de türevi alınarak bulunur: f y (a, b) = lim h 0 f(a, b + h) f(a, b) h (3) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 3/ 164 Kısmi Türevler Denklem 2 ve 3 de (a, b) noktası değiştirildiğinde, f x ve f y iki değişkenli fonksiyon olurlar. Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise kısmi türevleri f x ve f y aşağıda tanımlanan fonksiyonlardır: f x (x, y) = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h f y (x, y) = lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 4/ 164

3 Kısmi Türevler Kısmi türevler için gösterimler z = f(x, y) ise f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x, y) = f y = f y = z f(x, y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f yazarız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 5/ 164 Kısmi Türevler z = f(x, y) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulma kuralı 1. f x i bulmak için y değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin x e göre türevini alınız. 2. f y yi bulmak için x değişkenini sabit olarak düşünüp f(x, y) nin y e göre türevini alınız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 6/ 164

4 Örnek Örnek : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 ise f x (2, 1) ve f y (2, 1) değerlerini bulunuz. Çözüm : y yi sabit tutup x e göre türev alarak elde ederiz ve f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f x (2, 1) = = 16 buluruz. x i sabit tutup y ye göre türev alarak f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y f y (2, 1) = = 8 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 7/ 164 Örnek ( ) x Örnek : f(x, y) = sin 1 + y ise, f x ve f y yi hesaplayınız. Çözüm : Bir değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralını kullanarak ( ) ( ) ( ) f x x = cos x x 1 = cos 1 + y x 1 + y 1 + y 1 + y ( ) f x y = cos 1 + y elde ederiz. y ( ) ( ) x x = cos 1 + y 1 + y x (1 + y) 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 8/ 164

5 Örnek Örnek: Eğer z, x ve y nin x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 denklemi ile kapalı olarak tanımlanmış bir fonksiyonu ise z/ x ve z/ y yi bulunuz. Çözüm : z/ x i bulmak için y ye bir sabit gibi davranmaya özen göstererek eşitliğin her iki yanının x e göre kapalı türevini alırız. 3x 2 + 3z 2 z x + 6yz + 6xy z x = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 9/ 164 Örnek... 3x 2 + 3z 2 z x Bu denklemi z/ x için çözerek + 6yz + 6xy z x = 0 z x = x2 + 2yz z 2 + 2xy elde ederiz. Benzer şekilde y ye göre kapalı türev almak sonucunu verir. z y = + 2xz y2 z 2 + 2xy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 10/ 164

6 Türevlenebilirlik Teorem : Eğer f x ve f y kısmi türevleri (a, b) yakınında var ve (a, b) de sürekli ise, f, (a, b) de türevlenebilirdir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 11/ 164 Kısmi Türevlerin Yorumu Örnek : Eğer f(x, y) = 4 x 2 2y 2 ise, f x (1, 1) ve f y (1, 1) i bulunuz ve bu sayıları eğim olarak yorumlayınız. Çözüm : f x (x, y) = 2x ve f y (x, y) = 4y f x (1, 1) = 2 ve f y (1, 1) = 4 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 12/ 164

7 Kısmi Türevlerin Yorumu Şekil 1 : tan α = f x (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 13/ 164 Kısmi Türevlerin Yorumu Şekil 2 : tan β = f y (1, 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 14/ 164

8 İkiden Çok Değişkenli Fonksiyonlar Kısmi türevler üç ya da daha çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanabilir. Örneğin f, x, y ve z nin üç değişkenli bir fonksiyonu ise x e göre kısmi türevi y, z yi sabit tutup f(x, y, z) nin x e göre türevi alınarak bulunur. Eğer w = f(x, y, z) ise f x = w/ x, y ve z sabit tutulduğunda w nin x e göre değişme hızı olarak yorumlanabilir. Ancak, f nin grafiği dört-boyutlu uzayda olduğundan onu geometrik olarak yorumlayamayız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 15/ 164 Örnek Örnek : f(x, y, z) = e xy ln z ise f x, f y ve f z yi bulunuz. Çözüm : y ve z yi sabit tutup x e göre türev alarak f x = ye xy ln z bulunur. Benzer şekilde bulunur. f y = xe xy ln z ve f z = exy z Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 16/ 164

9 Örnek Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların birinci kısmi türevlerini bulunuz. (a) u = x x x2 n (b) u = sin(x 1 + 2x nx n ) Çözüm : (a) Bir değişikenli fonksiyonlar için Zincir kuralını kullanarak u 1 = x 1 2 x x x 1 = x2 n u 1 = x 2 2 x x x 2 = x2 n x 1 x x x2 n x 2 x x x2 n Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 17/ 164 Örnek... Genelleştirirsek, elde ederiz. u x i = x i x x , i = 1, 2,..., n x2 n Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 18/ 164

10 (b) Benzer şekilde, Genelleştirirsek, u x 1 = cos(x 1 + 2x nx n ) 1 u x 2 = cos(x 1 + 2x nx n ) 2 u x i = i cos(x 1 + 2x nx n ), i = 1, 2,..., n buluruz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 19/ 164 Yüksek Basamaktan Türevler Eğer f iki değişkenli bir fonksiyon ise f x ve f y de iki değişkenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (f x ) x, (f x ) y, (f y ) x, (f y ) y kısmi türevlerini düşünebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi türevleri olarak adlandırırız.eğer z = f(x, y) ise aşağıdaki gösterimleri kullanırız: (f x ) x = f xx = f 11 = ( ) f = 2 f x x x 2 = 2 z x 2 (f x ) y = f xy = f 12 = y ( ) f = 2 f x y x = (f y ) x = f yx = f 21 = ( ) f = 2 f x y x y = (f y ) y = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x y 2 = 2 z y 2 2 z y x 2 z x y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 20/ 164

11 Yüksek Basamaktan Türevler 2 f Dolayısıyla, f xy (diğer yazılışıyla ) önce x e sonra y ye görev y x türev almak anlamına gelir, diğer yandan f yx hesaplanırken bu sıra tersinedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 21/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 fonksiyonunun ikinci türevlerini bulunuz. Çözüm : Örnekte de f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 4y bulmuştuk. Bu nedenle f xx = x (3x2 + 2xy 3 ) = 6x + 2y 3 f xy = y (3x2 + 2xy 3 ) = 6xy 2 f yx = x (3x2 y 2 4y) = 6xy 2 f yy = y (3x2 y 2 4y) = 6x 2 y 4 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 22/ 164

12 Yüksek Basamaktan Türevler Clairaut Teoremi : f, (a, b) noktasını içeren bir D dairesinde tanımlansın. Eğer f xy ve f yx fonksiyonlarının her ikisi de D de sürekli ise, f xy = f yx olur. 3 üncü ya da daha yüksek basamaktan kısmi türevler benzer şekilde tanımlanabilir. Eğer bu fonksiyonlar sürekli ise Clairaut teoreminden f xyy = f yxy = f yyx olduğunu gösterilebilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 23/ 164 Örnek Örnek : Eğer f(x, y, z) = sin(3x + yz) ise, f xxyz yi bulunuz. Çözüm : f x f xx f xxy f xxyz = 3 cos(3x + yz) = 9 sin(3x + yz) = 9z cos(3x + yz) = 9 cos(3x + yz) + 9yz sin(3x + yz) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 24/ 164

13 Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Bir değişkenli kalkülüste en önemli fikirlerden biri, türevlenebilen bir fonksiyonun grafiğinde bir noktaya odaklanıldığında, grafiğin teğet doğrusundan ayırt edilemediği ve fonksiyona doğrusal bir fonksiyon ile yaklaşabiliyor olmamızdır. Burada benzer fikirleri üç boyutta geliştireceğiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 25/ 164 Teğet Düzlem ve Doğrusal Yaklaştırımlar Türevlenebilen iki değişkenli bir fonksiyonun grafiği olan bir yüzeyde bir noktaya odaklandığımızda, yüzey gitgide bir düzleme (yüzeyin teğet düzlemi) benzeyecek ve fonksiyona iki değişkenli bir doğrusal fonksiyonla yaklaşabileceğiz. Ayrıca bir fonksiyonun diferansiyeli kavramını iki veya daha çok değişkenli fonksiyonlara genelleştireceğiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 26/ 164

14 Teğet Düzlem f nin kısmi türevleri sürekli olsun. z = f(x, y) yüzeyine P (x 0, y 0, z 0 ) noktasında teğet düzleminin denklemi z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 27/ 164 Örnek Örnek : z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzlemini bulunuz. Çözüm : f(x, y) = 2x 2 + y 2 olsun. Bu durumda, f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 olur. Bu nedenle (1, 1, 3) teki teğet düzleminin denklemi z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) ya da olarak verilir. z = 4x + 2y 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 28/ 164

15 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 29/ 164 Örnek... (1, 1, 3) e odaklandıkça z = 2x 2 + y 2 eliptik paraboloidinin teğet düzlemiyle daha çok çakışıyor göründüğüne dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 30/ 164

16 Doğrusal Yaklaştırımlar Örnekte f(x, y) = 2x 2 + y 2 fonksiyonunun (1, 1, 3) noktasındaki teğet düzleminin denkleminin z = 4x + 2y 3 olduğunu bulduk. Bu nedenle şekillerdeki görsel kanıtlar nedeniyle, iki değişkenli L(x, y) = 4x + 2y 3 doğrusal fonksiyonu, (x, y) noktası (1, 1) e yakınken f(x, y) fonksiyonuna iyi bir yaklaştırımdır. L fonksiyonu f nin (1, 1) deki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır ve f(x, y) 4x + 2y 3 yaklaştırımı f ye (1, 1) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 31/ 164 Doğrusal Yaklaştırımlar Örneğin, (1.1, 0.95) noktasında doğrusal yaklaştırım verir, bu da f(1.1, 0.95) 4(1, 1) + 2(0.95) 3 = 3.3 f(1.1, 0.95) = 2(1, 1) 2 + (0, 95) 2 = gerçek değerine oldukça yakındır. Ancak (2, 3) gibi (1, 1) den uzak bir nokta alırsak, artık iyi bir yaklaştırım elde etmeyiz. Gerçekten de f(2, 3) = 17 olmasına karşın L(2, 3) = 11 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 32/ 164

17 Doğrusal Yaklaştırımlar Genel olarak iki değişkenli bir f fonksiyonunun (a, b, f(a, b)) noktasındaki teğet düzlemi denkleminin z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olduğunu biliyoruz. Grafiği bu teğet düzlemi olan doğrusal fonksiyon L(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (4) f nin (a, b) deki doğrusallaştırması ve f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) (5) yaklaştırımı, f ye (a, b) deki doğrusal yaklaştırım ya da teğet düzlemi yaklaştırımı olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 33/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = xe xy nin (1, 0) da doğrusallaştırmasını bulunuz. Sonra bunu kullanarak f(1.1, 0.1) i yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm :Kısmi türevler f x (x, y) = e xy + xye xy f y (x, y) = x 2 e xy f x (1, 0) = 1 f y (1, 0) = 1 Doğrusallaştırma L(x, y) = f(1, 0) + f x (1, 0)(x 1) + f y (1, 0)(y 0) = 1 + 1(x 1) + 1 y = x + y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 34/ 164

18 Örnek... ve karşıgelen doğrusal yaklaştırım dir, bu nedenle xe xy x + y f(1.1, 0.1) = 1 olur. Bu sonucu, f(1.1, 0.1) in gerçek değeri olan 1.1e ile karşılaştırınız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 35/ 164 Diferansiyeller İki değişkenli türevlenebilen bir z = f(x, y) fonksiyonu için dx ve dy diferansiyellerini bağımsız değişkenler olarak tanımlarız; dolayısıyla onlara herhangi bir değer verilebilir. Buradan, aynı zamanda toplam diferansiyel olarak da adlandırılan, dz diferansiyeli dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy = z z dx + dy (6) x y olarak tanımlanır. Bazen dz yerine df gösterimi de kullanılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 36/ 164

19 Diferansiyeller Eğer, Denklem (6) da dx = x = x a ve dy = y = y b alınırsa, z nin diferansiyeli dz = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) olur. Böylece, diferansiyel gösterimi ile (5) teki doğrusal yaklaştırım olarak yazılabilir. f(x, y) f(a, b) + dz Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 37/ 164 Diferansiyeller Şekil 7 dz diferansiyelinin ve z artışının geometrik anlamını göstermektedir: (x, y), (a, b) den (a + x, b + y) ye değiştiğinde, dz teğet düzleminin yüksekliğindendeki değişimi, z ise z = f(x, y) yüzeyinin yüksekliğindeki değişimi temsil etmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 38/ 164

20 Örnek Örnek : Çözüm (a) Tanım (6) dan bulunur. (a) z = f(x, y) = x 2 + 3xy y 2 ise dz diferansiyelini bulunuz. (b) x, 2 den 2.05 e ve y, 3 ten 2.96 ya değiştiğinde z ile dz yi karşılaştırınız. dz = z z dx + dy = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy x y Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 39/ 164 Örnek... (b) x = 2, dx = x = 0.05, y = 3 ve dy = y = 0.04 yazarak dz = [2(2) + 3(3)] [3(2) 2(3)]( 0.04) = 0.65 buluruz. z nin değişimi z = f(2.05, 2.96) f(2, 3) = [(2.05) 2 + 3(2.05)(2.96) (2.96) 2 ] [ (2)(3) 3 2 ] = dur. z dz olduğuna ancak dz nin daha kolay hesaplandığına dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 40/ 164

21 Örnek Örnek : Bir dik dairesel koninin taban yarıçapı ve yüksekliği, her iki ölçümde de 0.1 cm kadar olası hata ile sırasıyla 10 cm ve 25 cm olarak ölçülmüştür. Diferansiyel kullanarak koninin hesaplanan hacmindeki maksimum hatayı yaklaşık olarak hesaplayınız. Çözüm : Taban yarıçapı r yüksekliği h olan koninin hacmi V = πr 2 h/3 tür. Dolayısıyla V nin diferansiyeli dv = V V dr + r h 2πrh πr2 dh = dr dh olur. Her iki hata en çok 0.1 olduğundan, r 0.1, h 0.1 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 41/ 164 Örnek... Hacimdeki maksimum hatayı bulmak için r ve h nin ölçümündeki maksimum hataları alırız. Böylece r = 10, h = 25 ile dr = 0.1 ve dh = 0.1 alırız. Bu da dv = 500π 3 100π (0.1) + (0.1) = 20π 3 verir. Böylece, hesaplanan hacimdeki maksimum hata yaklaşık 20πcm 3 63cm 3 dür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 42/ 164

22 Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Doğrusal yaklaştırım, türevlenebilme ve diferansiyeller ikiden çok değişkenli fonksiyonlar için benzer şekilde tanımlanabilir. Türevlenebilir bir fonksiyon için doğrusal yaklaştırım f(x, y, z) f(a, b, c)+f x (a, b, c)(x a)+f y (a, b, c)(y b)+f z (a, b, c)(z c) olur ve L(x, y, z) doğrusallaştırılması bu ifadenin sağ yanıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 43/ 164 Üç veya Daha Çok Değişkenli Fonksiyonlar Eğer w = f(x, y, z) ise w nin değişimi dir. w = f(x + x, y + y, z + z) f(x, y, z) dw diferansiyeli, bağımsız değişkenler dx, dy ve dz diferansiyelleri cinsinden dw = w w w dx + dy + x y z dz olarak tanımlanır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 44/ 164

23 Zincir Kuralı Birden çok değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralı nın her biri bir bileşke fonksiyonunun türevini veren birkaç türü vardır. Bunlardan ilki, z = f(x, y) ve x ve y değişkenlerinin her ikisinin de bir t değişkeninin fonksiyonu olduğu durumu ele alır. Bu, dolaylı olarak z nin, t nin bir fonksiyonu, z = f(g(t), h(t)) olması demektir ve Zincir Kuralı z nin, t nin fonksiyonu oılarak türevinin bulunması için bir formül verir. f nin türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. f x ve f y sürekli iken bunun sağlandığını anımsayınız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 45/ 164 Zincir Kuralı (1. Durum) Teorem 1: x = g(t) ve y = h(t) nin her ikisi de türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu olsun. O zaman z de t nin türevlenebilen bir fonksiyonudur ve olur. dz dt = f dx x dt + f dy y dt Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 46/ 164

24 Örnek Örnek : x = sin 2t ve y = cos t olmak üzere z = x 2 y + 3xy 4 ise t = 0 iken dz yi bulunuz. dt Çözüm Zincir Kuralı dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4 )(2 cos 2t) + (x xy 3 )( sin t) verir. x ve y için t cinsinden ifadeleri yerine yazmak gerekmez. t = 0 iken x = sin 0 = 0 ve y = cos 0 = 1 olduğunu kolayca görürüz. Bu nedenle olur. dz dt = (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)( sin 0) = 6 t=0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 47/ 164 Zincir Kuralı (1. Durum) Örnekdeki türev, (x, y) noktaları, parametrik denklemleri x = sin 2t, y = cos t olan C eğrisi üzerinde hareket eden, z nin t ye göre değişim hızı olarak yorumlanabilir. Özel olarak t = 0 iken (x, y) noktası (0, 1) olur ve dz dt boyunca (0, 1) den geçtiğimiz andaki artış hızıdır. = 6, C eğrisi Örneğin, z = T (x, y) = x 2 y + 3xy 4 fonksiyonu (x, y) noktasındaki sıcaklık ise, bileşke fonksiyonu z = T (sin 2t, cos t), C üzerindeki noktalardaki sıcaklığı, dz = 6 türevi de, sıcaklığın C boyunca dt değişimini temsil eder. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 48/ 164

25 Örnek Örnek : Bir mol ideal gazın P (kilopascal olarak) basıncı, V (litre olarak) hacmi ve T (Kelvin olarak) sıcaklığı P V = 8.31T eşitliğini sağlar. Sıcaklık 300K ve 0.1 K sn hızla artıyor ve hacmi 100L ve hızla artıyor ise basıncın değişim hızını bulunuz. 0.2 L sn Çözüm Eğer t saniye olarak geçen zamanı temsil ederse, belirtilen anda T = 300, dt dt = 0.1, V = 100, dv dt = 0.2 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 49/ 164 Örnek... olduğundan, Zincir Kuralı P = 8.31 T V dp dt = P T dt dt + P V dv dt = 8.31 dt V dt 8.31T V 2 dv dt = (300) (0.1) (0.2) = sonucunu verir. Basınç yaklaşık 0.042kP a/sn hızla azalmaktadır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 50/ 164

26 Zincir Kuralı (2. Durum) Teorem 2: z = f(x, y), x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu, x = g(s, t) ve y = h(s, t), s ve t nin türevlenebilen fonksiyonları olsun. Bu durumda olur. z s z t = z x x s + z y y s = z x x t + z y y t Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 51/ 164 Zincir Kuralı (2. Durum) Kolay hatırlayabilmek için aşağıdaki gibi bir diyagram çizilebilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 52/ 164

27 Örnek Örnek : x = st 2 ve y = s 2 t olmak üzere z = e x sin y ise, z s yi bulunuz. ve z t Çözüm Zincir Kuralı nın 2. Durumu nu kullanarak z s z t = z x x s + z y y s = (ex sin y)(t 2 ) + (e x cos y)(2st) = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t) = z x x t + z y y t = (ex sin y)(2st) + (e x cos y)(s 2 ) = 2ste st2 sin(s 2 t) + s 2 e st2 cos(s 2 t) elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 53/ 164 Zincir Kuralı (2. Durum) Zincir Kuralı nın 2. Durumu üç tür değişken içerir: s ve t bağımsız değişkenlerdir. x ve y ara değişkenler olarak adlandırılır ve z bağımlı değişkendir. Teorem 2 de her bir ara değişken için bir terim olduğuna ve her terimin bir değişkenli Zincir Kuralı na benzediğine dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 54/ 164

28 Kapalı Türev Alma F (x, y) = 0 şeklinde bir denklemin y yi x in türevlenebilen kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlandığını, başka bir deyişle, y = f(x) ve f nin tanım kümesindeki her x için, F (x, f(x)) = 0 olduğunu varsayalım. Eğer F türevlenebiliyorsa, Zincir Kuralı nın 1. Durumu nu kullanarak F (x, y) = 0 eşitliğinde her iki yanın x e göre türevini alabiliriz. Hem x hem de y, x in fonksiyonu olduğundan elde ederiz. F x dx dx + F y dy dx = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 55/ 164 Kapalı Türev Alma F x dx dx + F y dy dx = 0 Eğer F y 0 ise dx dx = 1 olduğundan dy dx i çözerek F dy dx = x F y = F x F y (7) elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 56/ 164

29 Örnek Örnek : x 3 + y 3 = 6xy ise y nü bulunuz. Çözüm Verilen eşitlik F (x, y) = x 3 + y 3 6xy = 0 olarak yazılabilir, bu nedenle Denklem 20 olduğunu verir. dy dx = F x F y = 3x2 6y 3y 2 6x = x2 2y y 2 2x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 57/ 164 Kapalı Türev Alma Şimdi de F (x, y, f(x, y)) = 0 şeklindeki bir eşitliğin z yi z = f(x, y) olarak kapalı biçimde tanımlandığını varsayalım. Bu, f nin tanım kümesindeki her (x, y) için F (x, y, f(x, y)) = 0 olması anlamına gelir. Eğer F ve f türevlenebiliyorsa F z x = x F z F z y = y F z. (8) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 58/ 164

30 Örnek Örnek : Eğer x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 ise z x ve z y yi bulunuz. Çözüm F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz 1 olsun. Denklem 21 den z x = F x F z = 3x2 + 6yz 3z 2 + 6xy = x2 + 2yz z 2 + 2xy z y = F y F z = 3y2 + 6xz 3z 2 + 6xy = y2 + 2xz z 2 + 2xy elde ederiz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 59/ 164 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Şekil 3 deki hava haritası, bir coğrafi bölgedeki T (x, y) sıcaklık fonksiyonunun kontur haritasını göstermektedir. Şekil 3 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 60/ 164

31 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Kesit eğrileri, yada sıcaklık eğrileri, sıcaklığın aynı olduğu yerleri birleştirir. A gibi bir yerdeki T x kısmi türevi, A dan doğuya gidersek sıcaklığın yola göre değişim hızıdır. Ancak ya güneydoğuya doğru ya da başka bir yöne doğru giderken, sıcaklığın değişim hızını bilmek istiyorsak? Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 61/ 164 Yönlü Türevler ve Gradyan Vektörü Bu bölümde, iki ya da daha çok değişkenli bir fonksiyonun, herhangi bir yöndeki değişim hızını bulmamızı sağlayacak yönlü türev olarak adlandırılan bir türev tipini tanıtacağız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 62/ 164

32 Yönlü Türevler z = f(x, y) ise f x ve f y kısmi türevlerinin f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) h f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) h (9) olarak tanımlandığını ve z nin, x ve y yönündeki, başka bir deyişle i ve j birim vektörlerinin yönündeki değişim hızlarını temsil ettiklerini anımsayalım. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 63/ 164 Yönlü Türevler Şimdi z nin herhangi bir u = a, b birim vektörü yönündeki değişim hızını bulmak istediğimizi düşünelim. Tanım: f nin (x 0, y 0 ) noktasında bir u = a, b birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer varsa) D u f(x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb) f(x 0, y 0 ) h (10) limitidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 64/ 164

33 Yönlü Türevler Tanımı denklem 9 ile karşılaştırarak, ve olduğunu görürüz. u = i = 1, 0 ise D i f = f x u = j = 0, 1 ise D j f = f y Diğer bir deyişle f nin x ve y ye göre kısmi türeveri, yönlü türevin özel durumlarıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 65/ 164 Örnek Örnek: Şekil 3 i kullanarak, sıcaklık fonksiyonunun, Reno da güneydoğu yönündeki yönlü türevinin değerini yaklaşık olarak bulunuz. (Şekilde Renonun yanındaki noktaların arasındaki uzaklığı 75mil alınız.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 66/ 164

34 Örnek... Çözüm: Güneydoğuya dönük birim vektör u = ( i j)/ 2 olur ancak biz bu ifadeye gereksinim duymayacağız. Renodan güneydoğuya doğru bir doğru çizerek işe başlarız. (Bkz. şekil 4.) Şekil 4 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 67/ 164 Örnek... D u T yönlü türevini, bu doğrunun, T = 60 ve T = 70 eşsıcaklık eğrilerini kestiği noktalar arasındaki ortalama değişim hızı ile yaklaşık olarak buluruz. A nın güneydoğusundaki noktadaki sıcaklık T = 70 F ve A nın kuzaybatısındaki noktadaki sıcaklık T = 60 F dir. Bu noktalar arasındaki uzaklık 75 mil olduğundan, güneydoğu yönündeki sıcaklığın değişim hızı olur. D u T = F/mi Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 68/ 164

35 Yönlü Türevler Teorem: Eğer f, x ve y nin türevlenebilen bir fonksiyonu ise f nin her u = a, b yönünde yönlü türevi vardır ve olur. D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b (11) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 69/ 164 Gradyan Vektörü Teoremdeki denklem 11 den yönlü türevin, iki vektörün iç çarpımı olarak yazılabildiğine dikkat ediniz: D u f(x, y) = f x (x, y) a + f y (x, y) b = = f x (x, y), f y (x, y) a, b f x (x, y), f y (x, y) u (12) Bu iç çarpımdaki ilk vektör yalnızca yönlü türevleri hesaplamada değil, pek çok diğer durumda da ortaya çıkar. Bu nedenle ona özel bir ad verir (f nin gradyanı) ve özel bir sembol (grad f ya da del f olarak okunan f) ile gösteririz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 70/ 164

36 Gradyan Vektörü Tanım: f, x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonu ise, f nin gradyanı f ile gösterilen f(x, y) = vektör değerli fonksiyondur. f x (x, y), f y (x, y) = f x i + f y j (13) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 71/ 164 Örnek Örnek: Eğer f(x, y) = sin x + e xy ise, f(x, y) = f x, f y = cos x + ye xy, xe xy ve f(0, 1) = 2, 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 72/ 164

37 Gradyan Vektörü Gradyan vektörü için bu gösterim ile yönlü türev için 12 ifadesini olarak yazabiliriz. D u f(x, y) = f(x, y) u (14) Bu eşitlik, u yönündeki yönlü türevin, gradyan vektörünün u üzerine izdüşümü olduğunu belirtir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 73/ 164 Örnek Örnek: f(x, y) = x 2 y 3 4y fonksiyonunun (2, 1) noktasında v = 2 i + 5 j vektörü yönündeki yönlü türevi bulunuz. Çözüm: Önce (2, 1) noktasındaki gradyanı hesaplarız: f(x, y) f(2, 1) = 2xy 3 i + (3x 2 y 2 4) j = 4 i + 8 j v nin birim vektör olmadığına dikkat ediniz, ancak v = 29 olduğundan v yönündeki birim vektör olur. u = v v = 2 29 i j Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 74/ 164

38 Örnek... Bu nedenle, denklem 14 dan D u f(2, 1) = f(2, 1) u = ( 4 i + 8 j) ( 2 i + 5 ) j bulunur. = = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 75/ 164 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli fonksiyonlar için yönlü türevleri benzer bir şekilde tanımlayabiliriz. D u f(x, y, z), yine fonksiyonun u birim vektörü yönündeki değişim hızı olarak yorumlanabilir. Tanım: f nin (x 0, y 0, z 0 ) noktasında bir u = a, b, c birim vektörü yönündeki yönlü türevi (eğer bu limit varsa) D u f(x 0, y 0, z 0 ) = lim h 0 f(x 0 + ha, y 0 + hb, z 0 + hc) f(x 0, y 0, z 0 ) h (15) olarak tanımlanır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 76/ 164

39 Üç Değişkenli Fonksiyonlar f(x, y, z) türevlenebilir ve u = a, b, c ise D u f(x, y, z) = f x (x, y, z) a + f y (x, y, z) b + f z (x, y, z) c (16) dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 77/ 164 Üç Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu için, f ya da grad f ile gösterilen gradyan vektörü f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) veya kısaca f = f x, f y, f z = f x i + f y j + f z k olur. Bunun, sonucunda, iki değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, yönlü türev için denklem 16 olarak yazılabilir. D u f(x, y, z) = f(x, y, z) u (17) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 78/ 164

40 Örnek Örnek: f(x, y, z) = x sin(yz) ise, (a) f nin gradyanını ve (b) f nin (1, 3, 0) da v = i + 2 j k yönündeki yönlü türevini bulunuz. Çözüm: (a) f nin gradyanı f(x, y, z) = f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z) = sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz) olur Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 79/ 164 Örnek... (b) (1, 3, 0) da f(1, 3, 0) = 0, 0, 3 buluruz. v = i + 2 j k yönündeki birim vektör u = 1 6 i j 1 6 k dir. Bu nedenle denklem 17 D u f(1, 3, 0) = f(1, 3, 0) u = 3 k ( 1 6 i j 1 6 k ) ( = 3 1 ) 3 = 6 2 sonucunu verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 80/ 164

41 Yönlü Türevi Maksimum Yapmak f iki yada üç değişkenli bir fonksiyon olsun ve verilen bir noktada f nin tüm yönlü türevlerini düşünelim. Bunlar, f nin tüm yönlerdeki değişim hızını verir. Şu soruları sorabiliriz: bu yönlerin hangisinde f en hızlı değişir ve maksimum değişim hızı nedir? Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 81/ 164 Yönlü Türevi Maksimum Yapmak Teorem: f iki ya da üç değişkenli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. D u f( x) yönlü türevinin maksimum değeri f( x) dir ve bu değere, u vektörü, gradyan vektörü f( x) ile aynı yönde iken erişir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 82/ 164

42 Örnek Örnek: Uzayda bir (x, y, z) noktasındaki derece Santigrad olarak ölçülen T sıcaklığının x, y, z metre cinsinden ölçülmek üzere T (x, y, z) = 80/(1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) olduğunu varsayalım. (1, 1, 2) noktasında hangi yönde sıcaklık en hızlı artar? Maksimum artış hızı nedir? Çözüm: T nin gradyanı T = T x i + T y j + T z k 160x = (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 i 320y (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 j 480z (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 k Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 83/ 164 Örnek... T = 160 (1 + x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) 2 ( x i 2y j 3z k) olur. (1, 1, 2) noktasında gradyan vektörü olur. T (1, 1, 2) = ( i 2 j + 6 k) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 84/ 164

43 Örnek... Teoremden, sıcaklık, gradyan vektörü T (1, 1, 2) = 5 8 ( i 2 j + 6 k) yönünde, ya da i 2 j + 6 k yönünde ya da ( i 2 j + 6 k)/ 41 birim vektörü yönünde en hızlı artar. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 85/ 164 Örnek... Maksimum artış hızı gradyan vektörünün boyudur: T (1, 1, 2) = 5 8 i 2 j + 6 k = Bu nedenle, sıcaklığın maksimum artış hızı 5 41/8 4 C/m olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 86/ 164

44 Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise iki değişkenli f fonksiyonunun (a, b) de bir yerel maksimumu vardır. [ Bu, (a, b) merkezli bir dairedeki her (x, y) için f(x, y) f(a, b) ] olması demektir. f(a, b) sayısı yerel maksimum değeri olarak adlandırılır. (a, b) yakınındaki her (x, y) için, f(x, y) f(a, b) ise f(a, b) yerel minimum değeridir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 87/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Tanımdaki eşitsizlikler, f nin tanım kümesindeki her (x, y) noktasında sağlanıyorsa, f nin, (a, b) de mutlak maksimumu (veya mutlak minimumu) vardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 88/ 164

45 Maksimum ve Minimum Değerler Birden çok maksimum ve minimumu olan bir fonksiyonun grafiği Şekil 5 de görülmektedir. Yerel maksimumları dağ tepeleri ve yerel minimumları vadi tabanları olarak düşünebiliriz. Şekil 5 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 89/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Teorem : f nin, (a, b) noktasında yerel maksimum ya da yerel minimumu var ve orada f nin birinci basamaktan kısmi türevleri varsa f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 90/ 164

46 Maksimum ve Minimum Değerler Teoremin bir sonucunun gradyan vektörü gösterimiyle f(a, b) = 0 olarak ifade edilebileceğine dikkat ediniz. Teğet düzlemi denkleminde f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 yazarsak, z = z 0 elde ederiz. Bu nedenle, teoremin geometrik yorumu, yerel maksimum ya da yerel minimumda teğet düzleminin yatay olması gerektiğidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 91/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Eğer, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 ya da bu kısmi türevlerden biri yoksa (a, b) noktası, f nin bir kritik noktası (ya da durağan noktası) dır deriz. Teorem fonksiyonun (a, b) de yerel maksimum ya da yerel minimumu varsa, (a, b) nin f nin bir kritik noktası olduğunu söyler. Ancak, bir değişkenli kalkülüste olduğu gibi, her kritik nokta bir yerel maksimum ya da yerel minimuma yol açmaz. Bir kritik noktada fonksiyonun yerel maksimumu veya yerel minimumu olabilir veya bunlardan hiçbiri olmayabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 92/ 164

47 Maksimum ve Minimum Değerler İkinci Türevler Testi İki değişkenli bir f fonksiyonunun ikinci basamaktan kısmi türevleri (a, b) merkezli [ bir dairede sürekli, f x (a, b) = 0 ve f y (a, b) = 0 olsun başka bir deyişle (a, b), f nin ] bir kritik noktası olsun. Bu durumda olmak üzere, D = D(a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2 (a) D > 0 ve f xx (a, b) > 0 ise f(a, b) bir yerel minimumdur. (b) D > 0 ve f xx (a, b) < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimumdur. (c) D < 0 ise f(a, b) bir yerel maksimum veya yerel minimum değildir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 93/ 164 Maksimum ve Minimum Değerler Not 1 (c) durumunda (a, b) noktası, f nin bir eyer noktası olarak adlandırılır ve f nin grafiği (a, b) noktasında teğet düzleminin bir yanından diğer yanına geçer. Not 2 D = 0 ise test hiçbir bilgi vermez. f nin (a, b) de yerel maksimum veya yerel minimumu olabilir veya (a, b), f nin bir eyer noktası olabilir. Not 3 D nin formülünü anımsamak için onu bir determinant olarak yazmak yaralı olur: D(x, y) = f xx f xy = f xxf yy (f xy ) 2 f yx f yy Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 94/ 164

48 Örnek Örnek : f(x, y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek f x = 2x 2 f y = 2y 6 2x 2 = 0 ve 2y 6 = 0 denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 1 ve y = 3. Kritik nokta (1, 3) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 95/ 164 Örnek... Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(1, 3) = 4 > 0 ve f xx = 2 olduğundan ikinci türev testinin (a) şıkkından (1, 3) noktasının yerel minimum olduğu ortaya çıkar. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 96/ 164

49 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 97/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = y 2 x 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 2x f y = 2y Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek 2x = 0 ve 2y = 0 denklemlerini elde ederiz. Buradan tek kök bulunur: x = 0 ve y = 0. Kritik nokta (0, 0) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 98/ 164

50 Örnek... Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 2 f xy = 0 f yy = 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = = 4 D(0, 0) = 4 < 0 olduğundan ikinci türev testinin (c) şıkkından (0, 0) noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 99/ 164 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 100/ 164

51 Örnek Örnek : f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini ve eyer noktalarını bulunuz. Çözüm : Önce kritik noktaları buluruz: f x = 4x 3 4y f y = 4y 3 4x Bu kısmi türevleri 0 a eşitleyerek denklemlerini elde ederiz. x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 101/ 164 Örnek... x 3 y = 0 ve y 3 x = 0 denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözmek için birinci denklemden bulunan y = x 3 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarız. Bu bize aşağıdaki denklemi verir. 0 = (x 3 ) 3 x = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 + 1) = x(x 2 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 102/ 164

52 Örnek... x(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) = 0 Buradan üç gerçel kök bulunur: x = 0, 1, 1. Kritik noktalar (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) olur. Daha sonra da ikinci türevleri ve D(x, y) yi hesaplarız: f xx = 12x 2 f xy = 4 f yy = 12y 2 D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 103/ 164 Örnek... D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 144x 2 y 2 16 D(0, 0) = 16 < 0 olduğundan ikinci türevler testinin (c) şıkkından başlangıç noktasının eyer noktası olduğu ortaya çıkar; başka bir deyişle f nin, (0,0) da yerel maksimum ya da yerel minimumu yoktur. D(1, 1) = 128 > 0 ve f xx (1, 1) = 12 > 0 olduğundan testin (a) şıkkından f(1, 1) = 1 in yerel minimum olduğunu görürüz. Benzer şekilde D( 1, 1) = 128 > 0 ve f xx = 12 > 0 olduğundan f( 1, 1) = 1 de yerel bir minimumdur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 104/ 164

53 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 105/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz ve sınıflandırınız. Ayrıca f nin grafiğindeki en yüksek noktayı da bulunuz. Çözüm : Birinci basamaktan kısmi türevler f x = 20xy 10x 4x 3 f y = 10x 2 8y 8y 3 olduğundan kritik noktaları bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmeliyiz. 2x(10y 5 2x 2 ) = 0 (18) 5x 2 4y 4y 3 = 0 (19) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 106/ 164

54 Örnek... Denklem (18) den x = 0 veya 10y 5 2x 2 = 0 olması gerekir. Birinci durumda (x = 0) Denklem 19, 4y(1 + y 2 ) = 0 şekline gelir, buradan y = 0 bulunur ve (0, 0) bir kritik noktadır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 107/ 164 Örnek... İkinci durumda (10y 5 2x 2 = 0), x 2 = 5y 2.5 (20) ve bunu Denklem (19) de yerine yazarsak 25y y 4y 3 = 0 elde ederiz. Şimdi üçüncü dereceden 4y 3 21y = 0 (21) denklemini çözmek zorundayız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 108/ 164

55 Örnek... Bir bilgisayar veya grafik çizen hesap makinesi kullanarak Şekil?? daki gibi, g(y) = 4y 3 21y fonksiyonunun grafiğini çizersek, Denklem (21) ün üç gerçel kökü olduğunu görürüz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 109/ 164 Örnek... Şekli büyüterek kökleri 4 basamağa kadar buluruz: y y y (Bunun yerine Newton yöntemini veya başka bir kök bulma yöntemini kullanabiliriz.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 110/ 164

56 Örnek... Denklem (20) den bunlara karşı gelen x değerleri olarak verilir. x = ± 5y 2.5 y 2, 5452 için x in bu değere karşılık gelen gerçel bir değeri yoktur. y 0, 6468 için x ±0, 8567 olur. y 1, 8984 için x ±2, 6442 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 111/ 164 Örnek... Böylece aşağıdaki tabloda incelenen toplam 5 kritik nokta vardır. Tüm sayılar iki ondalık basamağa yuvarlanmıştır. Kritik nokta fnin değeri f xx D Sonuç (0,0) yerel maksimum (±2.64, 1.90) yerel maksimum (±0.86, 0.65) eyer noktası Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 112/ 164

57 Örnek... Aşağıdaki şekillerde, f nin grafiğini iki açıdan gösterir ve yüzeyin aşağı doğru açıldığını görürüz. [Bu, f(x, y) nin ifadesinden görülerbilir: x ve y büyük iken baskın terimler x 4 2y 4 olur.] Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 113/ 164 Örnek... f nin yerel maksimum noktalarındaki değerlerini karşılaştırarak, f nin mutlak maksimum değerinin f(±2.64, 1.90) 8.50 olduğunu görürüz. Diğer bir deyişle, (±2.64, 1.90, 8.50), f nin grafiğindeki en yüksek noktalardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 114/ 164

58 Örnek Örnek : (1,0,-2) noktasından x + 2y + z = 4 düzlemine olan en kısa uzaklığı bulunuz. Çözüm : Herhengi bir (x, y, z) noktasından (1, 0, 2) noktasına uzaklık d = (x 1) 2 + y 2 + (z + 2) 2 olur, ancak (x, y, z), x + 2y + z = 4 düzlemi üzerinde olduğundan, z = 4 x 2y sağlanır, bu nedenle bulunur. d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 115/ 164 Örnek... Daha yalın olan d 2 = f(x, y) = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 ifadesini minimum yaparak d yi minimum yapabiliriz. f x = 2(x 1) 2(6 x 2y) = 4x + 4y 14 = 0 f y = 2y 4(6 x 2y) = 4x + 10y 24 = 0 denklemlerini çözerek olduğunu buluruz. ( 11 6, 5 ) 3 noktasının tek kritik nokta Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 116/ 164

59 Örnek... f xx = 4, f xy = 4, ve f yy = 10 olduğundan, D(x, y) = f xx f yy (f xy ) 2 = 24 > 0 ve f xx > 0 ( 11 dır ve ikinci türevler testinden f nin 6, 5 ) noktasında bir yerel 3 minimumu vardır. Sezgisel olarak bu yerel minimumun gerçekte bir mutlak minimum olduğunu görürüz çünkü verilen düzlemde (1, 0, 2) ye en yakın bir nokta olmalıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 117/ 164 Örnek... x = 11 6 ve y = 5 3 ise d = (x 1) 2 + y 2 + (6 x 2y) 2 = (5 ) ( ) ( ) = olur. (1, 0, 2) den x + 2y + z = 4 düzlemine en yakın uzaklık 5 6/6 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 118/ 164

60 Örnek Örnek : 12m 2 lik bir kartondan üstü açık bir dikdörtgen kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : Şekil 6 daki gibi kutunun uzunluk, genişlik ve yüksekliği (metre olarak) x, y, ve z olsun. Kutunun hacmi dir. V = xyz Şekil 6 : Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 119/ 164 Örnek... Kutunun dört yan yüzünün ve tabanının alanının 2xz + 2yz + xy = 12 oluşunu kullanarak V yi yalnızca x ve y nin fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Yukarıdaki eşitlikten z yi çözersek, z = buluruz, bu nedenle V nin ifadesi olur. 12 xy 2(x + y) 12 xy V = xy 2(x + y) = 12xy x2 y 2 2(x + y) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 120/ 164

61 Örnek... Kısmi türevleri hesaplar ve V x = y2 (12 2xy x 2 ) V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 buluruz. V maksimum ise V/ x = V/ y = 0 olur, ancak x = 0 veya y = 0, V = 0 verir, bu nedenle denklemlerini çözmeliyiz. 12 2xy x 2 = xy y 2 = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 121/ 164 Örnek... Bunlar, x 2 = y 2 ve x = y olmasını gerektirir. (Bu problemde x ve y nin her ikisinin de pozitif olması gerektiğine dikkat ediniz.) x = y bu denklemlerden birinde yazılırsa 12 3x 2 = 0 elde ederiz, bu da x = 2, y = 2, ve z = 1 verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 122/ 164

62 Örnek... Bunun bir yerel maksimum verdiğini, ikici türev testini kullanarak gösterebiliriz, ya da problemin fiziksel doğası gereği bir maksimum hacim olması ve bunun bir kritik noktada olması gerektiğinden, x = 2, y = 2, z = 1 de ortaya çıktığını söyleyebiliriz. Dolayısıyla V = = 4 olur ve kutunun maksimum hacmi 4m 3 dür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 123/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Bir değişkenli bir f fonksiyonu için uç değer teoremi, eğer f bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise f nin bir mutlak maksimum ve bir mutlak minimum değerinin olduğunu söyler. Kapalı aralık yönteminden, bunları f yi yalnızca kritik noktalarda değil ayrıca a ve b uç noktalarında hesaplayarak bulduk. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 124/ 164

63 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler İki değişkenli fonksiyonlar için de benzer bir durum vardır. Nasıl bir kapalı aralık uç noktalarını içeriyorsa, R 2 de bir kapalı küme, sınır noktalarını içeren bir kümedir. [ (a, b) merkezli her daire hem D ye ait olan hem de D ye ait ] olmayan noktalar içeriyorsa, (a, b) D nin bir sınır noktasıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 125/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Örneğin, x 2 + y 2 = 1 çemberi içindeki ve üzerindeki tüm noktaları içeren D = {(x, y) x 2 + y 2 1} dairesi bir kapalı kümedir çünkü tüm sınır noktalarını (bunlar x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki noktalardır) içerir. Ancak bir tek sınır noktası bile dışarıda bırakıldıysa küme kapalı olmaz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 126/ 164

64 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 127/ 164 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler R 2 de bir sınırlı küme bir daire içinde kalan bir kümedir. Diğer bir deyişle kapsamı sonlu olan bir kümedir. Böylece, kapalı ve sınırlı küme terimleriyle, uç değer teoreminin aşağıdaki iki boyutlu benzerini ifade edebiliriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 128/ 164

65 Mutlak Maksimum ve Minimum Değerler Kapalı, sınırlı bir D kümesinde sürekli bir f fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için 1. f nin D içindeki kritik noktalarında f nin değerini bulunuz. 2. f nin D nin sınırındaki uç değerlerini bulunuz ve 2. adımlarda bulunan en büyük değer mutlak maksimum, en küçük değer mutlak minimum değeridir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 129/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = x 2 2xy + 2y fonksiyonunun D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2} dikdörtgenindeki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. Çözüm : f bir polinom olduğundan, kapalı ve sınırlı D dikdörtgeninde süreklidir, bu nedenle f nin hem mutlak maksimumu hem de mutlak minimumunun olduğunu söyler. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 130/ 164

66 Örnek... Yukarıdaki birinci adıma göre, önce kritik noktaları buluruz. Bunlar f x = 2x 2y = 0 f y = 2x + 2 = 0 iken oluşur, bu nedenle tek kritik nokta (1, 1) dir. f nin oradaki değeri f(1, 1) = 1 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 131/ 164 Örnek... Şekil 7 : 2. adımda Şekil 7 de gösterilen L 1, L 2, L 3, ve L 4 doğru parçalarından oluşan D nin sınırında f nin değerlerini inceleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 132/ 164

67 Örnek... L 1 üzerinde y = 0 olduğundan olur. f(x, 0) = x 2 0 x 3 Bu, x in artan bir fonksiyonu olduğundan minimum değeri f(0, 0) = 0 ve maksimum değeri f(3, 0) = 9 dur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 133/ 164 Örnek... L 2 üzerinde x = 3 olduğundan olur. f(3, y) = 9 4y 0 y 2 Bu, y nin azalan bir fonksiyonu olduğundan maksimum değeri f(3, 0) = 9 ve minimum değeri f(3, 2) = 1 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 134/ 164

68 Örnek... L 3 üzerinde y = 2 olduğundan olur. f(x, 2) = x 2 4x x 3 Tek değişkenli fonksiyonlardaki yöntemler ile ya da f(x, 2) = (x 2) 2 olduğu gözlemiyle bu fonksiyonun minimum değerinin f(2, 2) = 0 ve maksimum değerinin f(0, 2) = 4 olduğunu görürüz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 135/ 164 Örnek... Son olarak L 4 üzerinde x = 0 olduğundan f(0, y) = 2y 0 y 2 olur ve maksimum değer f(0, 2) = 4 ve minimum değer f(0, 0) = 0 dır. Bu nedenle sınırda f nin maksimum değeri 4 ve minimum değeri 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 136/ 164

69 Örnek adımda, bu değerleri kritik noktadaki f(1, 1) = 1 değeri ile kıyaslarız ve f nin D deki maksimum değerinin f(3, 0) = 9 ve minimum değerinin f(0, 0) = f(2, 2) = 0 olduğu sonucuna varırız. Şekil 8, f nin grafiğini göstermektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 137/ 164 Şekil 8 : Lagrange Çarpanları Lagrange Çarpanları Yöntemi f(x, y, x) nin g(x, y, z) = k, k R kısıtlaması altında maksimum ve minimum değerlerini bulmak için (bu değerlerin var olduğunu varsayarak): (a) f(x, y, z) = λ g(x, y, z) ve g(x, y, z) = k denklemlerini sağlayan tüm x, y, z ve λ değerlerini bulunuz. (b) (a) adımında bulunan tüm noktalarda f nin değerini hesaplayınız. Bunların en büyüğü f nin maksimum, en küçüğü f nin minimum değeridir. λ sayısı Lagrange çarpanı olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 138/ 164

70 Lagrange Çarpanları f = λ g vektör denklemini bileşenleri cinsinden yazarsak (a) daki eşitlikler f x = λg x f y = λg y f z = λg z g(x, y, z) = k biçimini alır. Bu, dört x, y, z ve λ bilinmeyenlerinin dört denklemlik bir sistemidir, ancak λ bilinmeyeninin açık değerini bulmak zorunda değiliz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 139/ 164 Lagrange Çarpanları İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yöntemi biraz önce açıklanan yöntemin benzeridir. f(x, y) nin g(x, y) = k kısıtlaması altında uç değerlerini bulmak için f(x, y) = λ g(x, y) ve g(x, y) = k denklemlerini sağlayan x, y ve λ değerlerini ararız. Bu da, üç bilinmeyenli üç denklemi çözmek demektir: f x = λg x f y = λg y g(x, y) = k Lagrange yönteminin ilk uygulaması olarak daha önce çözdüğümüz aşağıdaki problemi tekrar düşünelim. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 140/ 164

71 Örnek Örnek : 12 m 2 büyüklüğünde bir kartondan, kapağı olmayan dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Böyle bir kutunun maksimum hacmini bulunuz. Çözüm : x, y ve z sırasıyla kutunun, metre olarak, boyu, eni ve yüksekliği olsun. O zaman V = xyz nin g(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12 kısıtlaması altında maksimumunu bulmak istiyoruz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 141/ 164 Örnek... Lagrange yöntemini kullanarak V = λ g ve g(x, y, z) = 12 olacak şekilde x, y, z ve λ değerlerini ararız. Bu bize denklemlerini verir. V x = λg x V y = λg y V z = λg z 2xz + 2yz + xy = 12 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 142/ 164

72 Örnek... Bunlar da biçimini alır. yz = λ(2z + y) (22) xz = λ(2z + x) (23) xy = λ(2z + 2y) (24) 2xz + 2yz + xy = 12 (25) Denklem sistemlerini çözmenin genel kuralları yoktur. Bazen yaratıcılık gereklidir. Bu örnekte (22) yi x ile (23) ü y ile ve (24) ü z ile çarparsak sol tarafların aynı olacağını fark etmiş olabilirsiniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 143/ 164 Örnek... Bunu yaparak elde ederiz. xyz = λ(2xz + xy) (26) xyz = λ(2yz + xy) (27) xyz = λ(2xz + 2yz) (28) λ = 0 olması (22), (23) ve (24) den yz = xz = xy = 0 olmasını gerektirdiğinden ve bu da (25) ile çelişeceğinden, λ 0 olması gerektiğini gözlemleriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 144/ 164

73 Örnek... (26) ve (27) den λ(2xz + xy) = λ(2yz + xy) 2xz + xy = 2yz + xy olur, bu da xz = yz sonucunu verir. Ancak z 0 olduğundan (z = 0 olması V = 0 verirdi) x = y olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 145/ 164 Örnek... (27) ve (28) den 2yz + xy = 2xz + 2yz buluruz, bu da 2xz = xy verir ve böylece (x 0 olduğundan) y = 2z olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 146/ 164

74 Örnek... x = y = 2z yi (25) de yerine koyarsak 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 elde ederiz. x, y ve z nin tümü pozitif olduğundan önceki gibi z = 1, x = 2 ve y = 2 buluruz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 147/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki uç değerlerini bulunuz. Çözüm : g(x, y) = x 2 + y 2 = 1 kısıtlaması altında f nin uç değerlerini bulmamız isteniyor. Lagrange çarpanları kullanarak, f = λ g ve denklemlerini çözeriz, g(x, y) = 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 148/ 164

75 Örnek... bunlar f x = λg x f y = λg y g(x, y) = 1 2x = 2xλ (29) 4y = 2yλ (30) x 2 + y 2 = 1 (31) olarak yazılabilir. (29) dan x = 0 veya λ = 1 olur. x = 0 ise (31) den y = ±1 bulunur. λ = 1 ise (30) dan y = 0 olur ve (31) den x = ±1 verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 149/ 164 Örnek... Bu nedenle f, (0, 1), (0, 1), (1, 0) ve ( 1, 0) noktalarında uç değerlere sahip olabilir. f yi bu noktalarda hesaplayarak buluruz. f(0, 1) = 2 f(0, 1) = 2 f(1, 0) = 1 f( 1, 0) = 1 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 = 1 çemberi üzerindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri ise f(±1, 0) = 1 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 150/ 164

76 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 151/ 164 Örnek Örnek : f(x, y) = x 2 + 2y 2 fonksiyonunun x 2 + y 2 1 dairesi üzerinde uç değerlerini bulunuz. Çözüm : f nin kritik noktalardaki değerlerini sınırdaki değerleri ile karşılaştırırız. f x = 2x ve f y = 4y olduğundan (0, 0) tek kritik noktadır. f nin o noktadaki değerini, az önceki örnekte bulduğumuz sınırdaki uç değerler ile karşılaştırırız: f(0, 0) = 0 f(±1, 0) = 1 f(0, ±1) = 2 Bu nedenle f nin x 2 + y 2 1 dairesindeki maksimum değeri f(0, ±1) = 2 ve minimum değeri f(0, 0) = 0 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 152/ 164

77 Örnek Örnek : x 2 + y 2 + z 2 = 4 küresi üzerindeki (3, 1, 1) noktasına en yakın ve en uzak noktaları bulunuz. Çözüm : Bir (x, y, z) noktasından (3, 1, 1) noktasına uzaklık d = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 dir, ancak bunun yerine uzaklığın karesi d 2 = f(x, y, z) = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 nin maksimum ve minimumlarını aramak işi kolaylaştırır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 153/ 164 Örnek... Kısıtlama (x, y, z) noktasının küre üzerinde olması ya da g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4 olmasıdır. Lagrange çarpanları yöntemine göre f = λ g ve g = 4 denklemlerini çözeriz. Bu da denklemlerini verir. 2(x 3) = 2xλ (32) 2(y 1) = 2yλ (33) 2(z + 1) = 2zλ (34) x 2 + y 2 + z 2 = 4 (35) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 154/ 164

78 Örnek... Bu denklemleri çözmenin en kolay yolu (32), (33) ve (34) den x, y ve z yi λ cinsinden bulup bu değerleri (35) de yerine yazmaktır. (32) den x 3 = xλ ya da x(1 λ) = 3 ya da x = 3 1 λ elde ederiz. [ (32) den λ = 1 olanaksız olduğundan 1 λ 0 olduğuna dikkat ediniz.] Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 155/ 164 Örnek... Benzer şekilde (33) ve (34) verir. Bu nedenle (35) den y = 1 1 λ z = 1 1 λ 3 2 (1 λ) (1 λ) 2 + ( 1)2 (1 λ) 2 = 4 bulunur, bu da (1 λ) 2 = 11 4, 1 λ = ± 11/2 verir, buradan bulunur. λ = 1 ± 11 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 156/ 164

79 Örnek... λ nın bu değerlerine karşı gelen (x, y, z) noktaları ( 6 2,, 2 ) ve ( 6 11, 2 11, ) 2 11 dir. f nin bu noktaların ilkinde daha küçük değere sahip olduğu kolayca görülür, böylece en yakın nokta ( 6 11, 2, 2 ) ve en uzak nokta ( 6 11, 2 11, ) 2 11 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 157/ 164 İki Kısıtlama Şimdi de g(x, y, z) = k ve h(x, y, z) = c şeklinde iki kısıtlama (yan koşul) altında bir f(x, y, z) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için f(x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) (36) olacak şekilde (Lagrange çarpanları olarak adlandırılan) λ ve µ sayıları kullanılır. Bu durumda Lagrange yöntemi, x, y, z, λ ve µ bilinmeyenli beş denklemi çözerek uç değerleri aramaktır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 158/ 164

80 İki Kısıtlama Bu denklemler, Denklem(36) yı bileşenleri cinsinden yazarak ve kısıtlayıcı denklemleri kullanarak elde edilir: f x = λg x + µh x f y = λg y + µh y f z = λg x + µh x g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 159/ 164 Örnek Örnek : f(x, y, z) = x + 2y + 3z fonksiyonunun x y + z = 1 düzlemi ile x 2 + y 2 = 1 silindirinin arakesit eğrisi üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 160/ 164