ÜN TE I YERYÜZÜNDE HAREKET

ÜN TE I YERYÜZÜNDE HAREKET 1. A rl k ve Yerin Çekim Alan 2. Serbest Düflme Hareketi 3. At fl Hareketi a) Düfley At fl Hareketi b) Yatay At fl Hareketi c) E ik At fl Hareketi 4. Dönme Haraketi, Yörüngesi Çember Olan Hareket 5. Kepler Kanunlar ve Newton un Genel Çekim Kanunu a) Kepler Kanunlar b) Newton un Genel Çekim Kanunu 6. Basit Harmonik Hareket a) Çember Üzerindeki Hareketli Noktan n, Çap Üzerindeki z Düflümünün Hareketi b) Sar ml Bir Yay n Basit Harmonik Hareketi c) Basit Sarkaç ÖZET Ö REND KLER M Z PEK fit REL M DE ERLEND RME SORULARI Ünite I ile lgili Problemler Ünite I ile lgili Test Sorular

BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? Bu bölümü çal flt n zda; kinci bölümde üzerinde durdu umuz a rl k kavram ile ilgili bilgilerinizi yerçekimi ivmesine ba l olarak ifade edebilecek, Serbest düflme, düfley at fl, yatay at fl, e ik at fl hareketi yapan cisimlerin hareketlerini çözümleyebilecek, Düzgün dairesel hareketi, aç sal yer de ifltirme, aç sal h z ve merkezcil ivmeyi anlayacak, Kütle çekim yasalar ndan yararlanarak serbest düflen cisimleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketlerine uygulayabileceksiniz. BU ÜN TEY NASIL ÇALIfiMALIYIZ? Bu bölümü çal flmaya bafllamadan önce ax + b = 0 ve ax 2 + bx + c = 0 denklemlerinin çözümünü yapabilmeli, trigonometrik bilgilerinizi, Vektörlerin toplanmas n ve bileflenlerine ayr lmas n, H z, ivme gibi fiziksel nicelikleri, Newton un II. Hareket Kanunu nu hat rlamal s n z. 2

1- A IRLIK VE YER N ÇEK M ALANI Yeryüzünde, belirli yükseklikten b rak lan cisimler yere do ru düfler. Bu düflme hareketi, cisimleri yerin merkezine do ru çeken bir kuvvetin etkisiyle gerçekleflir. Bu kuvvete yer çekimi kuvveti denir. Daha önceki bilgilerimize göre, bir cisme etkiyen yer çekimi kuvvetine o cismin a rl denildi ini ve G = m g ba nt s yla hesapland n biliyoruz. Eflitlikte çekimi kuvveti olup, yerin çekim alan fliddeti ad n al r. Nicelik A rl k Kütle g, birim kütle bafl na düflen yer Yerin çekim alan fliddeti Sembol G m g Birim N kg N/kg (m/s 2 ) Tablo 1.1 : Birim tablosu g nin büyüklü ü cismin bulundu u noktan n yerin merkezinden uzakl na ve co rafî enleme ba l olarak de iflir. Dünyam zda oldu u gibi di er gök cisimlerinin de çekim alanlar vard r. 2- SERBEST DÜfiME HAREKET Belirli bir yükseklikten ilk h zs z olarak düflmeye b rak lan cisimlerin a rl klar etkisiyle yere do ru yapt klar sabit ivmeli harekete serbest düflme hareketi denir. a b c fiekil 1. 1: Serbest düflme hareketi Grafik 1.1: Serbest düflme hareketinde, a. H z-zaman grafi i, b. vme-zaman grafi i, c. Konum-zaman grafi i 3

Serbest düflme hareketi ilk h zs z, düzgün h zlanan, düfley do rultulu ve afla yönlü harekettir (fiekil 1.1). Serbest düflme hareketinde grafik çizimlerinde cismin b rak ld yer bafllang ç noktas, hareket yönü ise (afla yön) + olarak seçilmifltir (Grafik 1.1). Hareket, 2.bölümde ö rendi imiz ilk h z olmayan düzgün h zlanan do rusal hareketin bütün özelliklerini tafl maktad r. Bundan dolay ilk h z s f r olan düzgün h zlanan do rusal hareket ba nt lar nda, a yerine g yaz l rsa serbest düflme hareketinde kullan lan ba nt lar elde edilir. Nicelik lk h z olmayan düzgün h zlanan do rusal harekette Serbest düflme hareketinde H z v = a. t v = g t Yol x = 1 2 a t2 h = 1 g g t2 Zamans z v2 = 2 a x v2 = 2 g h H z Tablo 1. 2 : Birim tablosu h:cismin b rak ld yükseklik t: düflme süresi g: yer çekimi ivmesi (yerin çekim alan fliddeti) Yukar da belirtilen serbest düflme hareketi ba nt lar, hava direncinin s f r oldu u ortamlarda (boflluk) geçerlidir. Ayr ca hava direncinin önemsiz oldu u ortamlarda da kullan l r. Hava direncinin oldu u ortamda serbest düflmeye b rak lan cismin h z artarken, hava direnci de artar. Bir süre sonra hava direnci cismin a rl na eflit hâle gelir. O anda cisme etki eden bileflke kuvvet s f rd r. Bu durumda cisim Newton un I. Hareket Kanununa (eylemsizlik prensibi) göre o andaki sabit h z yla hareketini sürdürür, bu sabit h za limit h z denir. ÖRNEK 1 125 metre yükseklikten serbest düflmeye b rak lan bir cisim yere kaç saniyede var r? (hava sürtünmesi önemsenmeyecek, g=10 m/s 2 al nacak) 4

fiekil 1. 2 h = 1 2 gt2 t 2 = 125 5 125 = 1 2 10t2 t 2 = 25 125 = 5t 2 t 2 = 5 2 t = 5 saniye 3- ATIfi HAREKET At fl hareketleri incelenirken hava direncinin olmad varsay lacak ve yeryüzüne yak n uzakl klar için yerin çekim alan fliddeti sabit al nacakt r. a. Düfley At fl Hareketi 1- Yukar dan Afla ya Düfley At fl Hareketi fiekil 1.3: Yukar dan afla ya düfley at fl Belirli bir yükseklikten afla do ru düfley olarak v o ilk h z yla at lan cisim düfley do rultuda ve afla yönlü düzgün h zlanan bir hareket yapar (fiekil 1.3). 2- Afla dan Yukar ya Düfley At fl Hareketi fiekil 1.4: Afla dan yukar ya düfley at fl Düfley do rultuda afla dan yukar ya do ru v o ilk h z yla at lan cisim, h z s f r oluncaya kadar yer çekimi kuvvetinin etkisiyle düzgün yavafllayan do rusal hareket yapar. H z s f r oldu u andan itibaren de serbest düflme hareketi yapar (fiekil 1.4). 5

Cismin h z n n s f r oldu u yüksekli e maksimum yükseklik denir ve h max = v o 2 ba nt s ile bulunur. 2g Cisim, maksimum yüksekli e ulafl ncaya kadar geçen süreye ç k fl süresi denir ve t ç k = v o g ba nt s ile bulunur. 2. bölümde ö rendi iniz ilk h zl düzgün de iflen hareket (düzgün h zlanan ve düzgün yavafllayan) ba nt lar nda a yerine g yaz larak düfley at fl hareketinde kullan lan ba nt lar elde edilir (Tablo 1.3). Nicelik Yukar dan lk h z olan Afla dan yukar ya lk h z olan düzgün afla ya düfley düzgün at fl h zlanan harekette at fl hareketinde yavafllayan hareketinde harekette. H z v = v o + at v = v o + gt v = v o - at v = v o - gt Yol x = v o t + 1 2 at2 h = v ot + 1 2 gt2 x = v ot - 1 2 at2 h = v ot - 1 2 gt2 Z a m a n s z H z v 2 = v o 2 + 2ax v 2 = v 0 2 + 2gh v 2 = v o 2-2ax v 2 = vo 2-2gh Tablo 1.3 : Birim tablosu ÖRNEK 2 Bir cisim yerden 60 m yükseklikten 20 m/s lik h zla, düfley olarak afla ya at l yor. Cismin; a. At ld ktan 1 saniye sonra yerden yüksekli ini, b. Yere çarpma h z n bulunuz. (g = 10 m/s 2 al nacak) 6 fiekil 1.5 a. 1 saniyede alaca yol, h 1 = v o t + 1 2 gt2 h 1 = 20. 1 + 1 10. 12 2 h 1 = 20 + 5 h 1 = 25 m h = h 1 + h 2 'den yerden yüksekli i, h 2 = h - h 1 h 2 = 60-25 h 2 = 35 m olarak bulunur. b. Yere çarpma h z, v 2 = v o 2 + 2gh'den v 2 = 20 2 + 2. 10. 60 v 2 = 400 + 1200 v 2 = 1600 v 2 = 40 2 v = 40 m/s olarak bulunur.

ÖRNEK 3 Bir cisim 80 m/s lik h zla düfley olarak afla dan yukar ya do ru at l yor. Cismin; a. Ç kabilece i maksimum yüksekli i, b. Bu yüksekli e ç k fl süresini bulunuz. (g= 10 m/s 2 al nacak) a. h max = v o 2 2g h max = 802 2.10 h max = 6400 20 h max = 320 m b. t ç k = v o g t ç k = 80 10 t ç k = 8 s olur. b) Yatay At fl Hareketi fiekil 1.6 da görüldü ü gibi belli bir yükseklikten yere paralel olarak v o h z ile f rlat lan cismin yapt harekete yatay at fl hareketi denir. Yatay do rultuda cisme hiçbir kuvvet etki etmedi inden, hareket süresince x do rultusundaki yatay h z de iflmez. v x = v o (sabit) y do rultusundaki düfley h z ise v y = gt dir. Cismin; fiekil 1.6: Yatay at fl hareketi Yatay do rultudaki hareketi düzgün do rusal hareket (sabit h zl hareket) oldu undan al nan yol, x = v o t, y = 1 2 gt2 Düfley do rultudaki hareketi ise serbest düflme hareketi oldu undan al nan yol, ba nt s ile hesaplan r. Hareketin herhangi bir an ndaki h z, v = v x 2 + v y 2, 7

H z n do rultusu ise; tgα = v y v ba nt s ndan bulunur. x y = g 2v o 2 x2 ba nt s ise hareketin yörünge denklemidir. ÖRNEK 4 3 m/s lik bir h zla yatay olarak f rlat lan bir cismin 0,4 saniye sonra h z kaç m/s olur? (g = 10 m/s 2 al nacak) Cismin 0,4 s sonraki h z n n yatay bilefleni Düfley bilefleni v y = g t 'den v y = 10.0,4 v y = 4 m/s bulunur. v x = v o = 3 m/s 2 olur. 0,4 s sonraki h z v = v x 2 + v y 2 v = 3 2 +4 2 v= 9 + 16 v = 25 v = 5 m/s c) E ik At fl Hareketi olarak bulunur. fiekil 1.7: E ik at fl hareketi 8

Yatayla α aç s yapacak flekilde v o h z ile f rlat lan cismin yapt harekete e ik at fl hareketi denir. E ik at fl hareketi, yatay bilefleni sabit h zl, düfley bilefleni ise sabit ivmeli hareket olan bileflik harekettir. E ik at fl hareketinde;. Cismin hareket yörüngesi T tepe noktas na göre simetriktir.. Cismin maksimum yüksekli e ç k fl süresi, inifl süresine eflittir.. H z n yatay bilefleni tüm hareket boyunca sabittir.. α = 45 için at fl uzakl (x mak ) maksimum olur. α fiekil 1.7 ye göre e ik at fl hareketi ile ilgili ba nt lar yazal m. Bafllang ç noktas ndaki h z n bileflenleri; v ox = v o cos α v oy = v o sin α Herhangi bir t an nda h z v ise, H z n bileflenleri; v x = v ox = v o cos α v y = v oy - gt = v o sin α - gt olur. Herhangi bir t an nda cismin bileflke h z ; v 2 = v x 2 + v y 2 v = v x 2 + v y 2 H z vektörünün do rultusu (yatayla yapt aç ) ise; tgα = v y v x ba nt s yla bulunur. Cismin herhangi bir t an nda bulundu u noktan n koordinatlar (konumu, yeri); x = v ox t = v o t cos α y = v oy t - 1 2 gt2 = v o t sin α - 1 2 gt2 olur. v y = 0 oldu u anda cisim maksimum yüksekli e ç kar. (T noktas ) h max = v o 2 sin 2 α 2g 9

t ç k fl = t inifl = v osin α g t uçufl = t ç k fl + t inifl t uçufl = 2v osin α g, Cismin havada kalma süresi; Cismin hareket süresinde yatay do rultuda ald yola at fl uzakl denir. x max = v o t cos α ba nt lar ndan bulunur. ÖRNEK 5 Yatayla 30 lik aç yapacak flekilde 40 m/s lik h zla f rlat lan bir cismin; a. Ç kabilece i maksimum yüksekli i, b. Bu yüksekli e ç k fl süresini, c. At ld noktadan ne kadar uzakl düflece ini bulunuz. (Hava sürtünmesi önemsenmeyecek, Sin 30 = 0,5, Cos 30 = 0,866, g =10 m/s 2 al nacak) a. h max = v o 2 sin 2 α = 402. (0,5) 2 = 1600.0,25 2g 2.10 20 b. t ç k fl = v osin α 40. 0,5 g = = 10 20 10 = 2 saniye c. x max = v o t cos α = 40. 2. 0,866 = 69,28 metre = 20 metre 4. DÖNME HAREKET, YÖRÜNGES ÇEMBER OLAN HAREKET Do ru boyunca ilerleyen bir cismi, hareketi yönünde etki eden bir kuvvet h zland r r, hareketine z t yönde etki eden bir kuvvet ise yavafllat r. Her iki durumda da hareket do rusald r. fiekil 1.8 deki gibi bir cisme etkiyen kuvvet h za daima dik olursa cisim dairesel hareket yapar. 10 fiekil 1.8: Dairesel harekette kuvvet ve h z vektörleri

Daire üzerindeki harekette h z n ve kuvvetin büyüklü ü sabit ise cismin yapt hareket düzgün dairesel harekettir. Dairesel Hareketle lgili Temel Kavramlar: I. Periyot ve Frekans Hareketlinin daire çevresi üzerinde bir kez dönmesi için geçen zamana periyot, birim zamandaki dönme (devir) say s na da frekans denir. Periyot T, frekans f sembolü ile gösterilir. kisi aras nda, ba nt s vard r. T. f = 1 veya T = 1 f II. Aç sal H z ve Çizgisel H z Yar çap vektörünün birim zamanda daire düzlemi içinde tarad (süpürdü ü) aç ya aç sal h z denir. w sembolü ile gösterilir. Cisim bir kez döndü ünde yar çap vektörü taraf ndan taranan aç 360 = 2π radyan oldu undan, w = 2π T = 2πf rad/s olur. Hareketlinin dairesel yörünge üzerinde birim zamanda ald yola çizgisel h z denir. v sembolü ile gösterilir. Cisim bir tam dönmeyi T sürede yapar 2π r yolunu (daire çevresini) al r. Buna göre çizgisel h z; v = 2πR T veya T = 1 T f f oldu undan, v = 2πfR fleklinde yaz l r. v = 2 fr fleklinde yaz l r. Hareketlinin çizgisel h z ile aç sal h z aras nda da, w = v eflitli i vard r. R Nicelik Periyot Frekans Aç sal H z Çizgisel H z Sembol T f w v Birim s 1/s veya s -1 Radyan /s m/s Tablo 1.4: Birim tablosu 11

Frekans birimi için devir/saniye, hertz (Hz) de kullan l r. Birim zaman için 1s, 1 dak, 1 h... al nabilir. III. Merkezcil vme ve Merkezcil Kuvvet Merkezcil kuvvetin dönme hareketi yapan cisme kazand rd ivmeye merkezcil ivme denir. Büyüklü ü, R ile a vektörleri ayn do rultulu ve z t yönlü oldu undan, a = - m4π2 R T 2 'den bulunur. Dairesel harekette cismin yörüngesinde dönmesini sa layan, h z vektörüne dik, merkeze yönelik bileflke kuvvete merkezcil kuvvet denir. Düzgün dairesel hareket yapan cisme ivme kazand ran kuvvet Newton un II. Hareket Kanunu na göre ; F = m a F = m v2 R = m w 2 R fleklinde olur. Merkezcil kuvvet; Çizgisel h za dik oldu undan ifl yapmaz. Yönü daima merkeze do rudur. Do rultusu sürekli de iflir. Yatay ve Düfley Düzlemde Düzgün Dairesel Hareket fiekil 1.9 daki gibi yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cismi yörünge üzerinde tutan (merkezcil kuvvet) ipteki gerilme kuvvetine eflittir. T = F = mv2 R 'dir. 12 fiekil 1.9:Yatay düzlemde dairesel hareket

Ayn cisme düfley do rultuda dairesel hareket yapt r ld nda (fiekil 1.10) Cismin a rl n n ip do rultusundaki bilefleni ile ipteki gerilme kuvvetinin bileflkesi merkezcil kuvveti verir. I. Cisim üstte iken: Merkezcil kuvvet, F = G + T üst pteki gerilme kuvveti, T üst = F - G = mv 2 R fiekil 1.10: Düfley düzlemde dairesel hareket - mg olur. II. Cisim yanda iken: Merkezcil kuvvet ipteki gerilme kuvvetine eflit olur. F = T yan = mv2 R dir. III. Cisim altta iken: Merkezcil kuvvet, F = T alt - G pteki gerilme kuvveti, T alt = F + G = mv2 R + mg olur. Cisim alt noktadan geçerken ipteki gerilme en fazlad r. Yatay düzlemde düzgün dairesel harekette ipteki gerilme kuvveti yörüngenin her noktas nda ayn iken, düfley düzlemde düzgün dairesel harekette ise ipteki gerilme kuvveti yörüngenin her noktas nda ayn de ildir. ÖRNEK 6 1 m uzunlu undaki bir ipin ucuna ba l 0,5 kg l k bir cisim yatay düzlemde 2 m/s lik h zla döndürüldü ünde ipteki gerilme kuvveti kaç N olur? 13

Cisim yatay düzlemde dönerken ipteki gerilme kuvveti merkezcil kuvvete eflittir. fiekil 1. 11 T = F = mv 2 R 0,5. 22 T = = 2 N 1 ÖRNEK 7 1 m uzunlu undaki bir ipin ucuna ba l 2 kg l k bir cisim düfley düzlemde 5 m/s lik h zla döndürülüyor. Cisim en üst, yan ve en alt noktada iken ipteki gerilme kuvveti kaç N olur? (g =10 m/s 2 al nacak) T üst = mv 2 R - mg T yan = mv 2 R T üst = 2. 52 1-2. 10 T yan = 2. 52 1 T alt = mv2 R T alt = 2. 52 1 T üst = 50-20 T yan = 2. 25 T alt = 50 + 20 T üst = 30 N T yan = 50 N T alt = 70 N + mg + 2. 10 Virajlar Dönen Araçlara Etkiyen Kuvvetler: Yatay yolda R yar çapl viraj dönen bir otomobilin d fla savrulmas n sürtünme kuvveti önler. O halde bir otomobilin yatay yoldan viraj güvenle dönebilmesi için, F sür F kmg mv 2 R v 2 k v2 Rg R olmal d r. 14 fiekil 1.12: E imli virajda bir otomobile etkiyen kuvvetler

Araçlar n virajlar güvenle dönebilmesi için virajlara e im verilir. fiekil 4.12'deki otomobilin sürtünmesiz viraj dönebilmesi için G a rl ile yolun N tepki kuvvetinin bileflkesi F merkezcil kuvvete eflit olmal d r. Buna göre, F = G + N tan α = F G tan α = mv2 R mg tan α = v2 Rg bulunur. Virajl yollardaki e im, arac n h z na ve viraj n yar çap na ba l d r. k sürtünme kat say s e ime tan α eflit veya daha büyük olmal d r. ÖRNEK 8 H z 36 km/h olan bir otomobilin, yar çap 40 m olan viraj güvenle dönebilmesi için yolun e imi ne olmal d r? (g =10 m/s 2 al nacak) v= 36 km/h = 10 m/s R= 40 m tan α =? tan α = v2 Rg = 10 2 40. 10 = 100 400 = 0,25 Yolun yatay olmas halinde otomobilin güvenle dönebilmesi için k sürtünme kat say s ne olmal d r? 5- KEPLER KANUNLARI VE NEWTON UN GENEL ÇEK M KANUNU a. Kepler Kanunlar Kepler, gezegenlerin günefl etraf ndaki hareketlerini üç kanunla aç klam flt r. 1. Yörüngeler Kanunu : Her gezegen, odaklar ndan birinde günefl bulunan elips fleklinde bir yörünge üzerinde dolan r. 2. Alanlar Kanunu: Günefli gezegene birlefltiren yar çap vektörü eflit zaman aral klar nda eflit alanlar tarar. A alan = B alan 15

fiekil 1.13: Gezegenlerin günefl etraf ndaki hareketleri Gezegenler Günefl e yaklaflt nda h zl, uzaklaflt nda ise yavafl hareket eder. 3. Periyotlar Kanunu: Bütün gezegenler için, ortalama yörünge yar çap küpünün (R 3 ), bir dolan m süresinin karesine (T 2 ) oran sabittir. R 3 T 2 = K (sabit) K 3,4 x 1018 m 3 /s 2 dir. Ba nt daki ortalama yörünge yar çap, güneflten gezegene olan maksimum ve minimum uzakl klar toplam n n yar s d r. R ort = R min + R max 2 b. Newton un Genel Çekim Kanunu: Herhangi iki cisim birbirini kütleleri çarp m yla do ru orant l ve aralar ndaki uzakl n karesi ile ters orant l bir kuvvetle çeker. fiekil: 1.14: Kütle çekim kuvveti fiekil 1.14 te göre kütle çekim kuvvetinin büyüklü ü, F = G m 1m 2 R 2 ba nt s yla belirtilir. Ba nt daki G ye genel çekim sabiti denir ve de eri; 6,67 x10-11 N m 2 / kg 2 dir. 16

ÖRNEK 9 70 kg kütleli bir kifliye dünyan n uygulad çekim kuvveti (kiflinin a rl )? kaç N'dur? (M dünya = 6. 10 24 kg, R dünya = 6,4. 10 6 m, G = 6,67. 10-11 Nm 2 /kg 2 ) Dünya n n kütlesinin merkezinde topland düflünülürse Dünya ile kifli aras ndaki uzakl k Dünya n n yar çap na eflit olur. Buna göre Dünya n n adama uygulad çekim kuvveti, F = G M adamm dünya 2 R dünya F = 684 N bulunur. = 6,67. 10-11 Nm 2 /kg 2 (70kg) (6. 1024 kg) (6,4. 10 6 ) 2 6- BAS T HARMON K HAREKET Bir cismin iki nokta aras nda efl zamanl (periyodik olarak) ve de iflen ivmeli olarak yapt titreflim (devir) hareketine Basit harmonik hareket denir. fiekil 1.15 teki örnekleri inceleyiniz. Sar ml bir yay n ucuna ba l bir cismin afla -yukar (titreflim)hareketi Bir ipin ucundaki cismin bir do rultuda gidip-gelme (sal n m) hareketi Düzgün dairesel hareket yapan cismin, çap üzerindeki iz düflüm hareketi fiekil 1.15: Basit harmonik hareket 17

Basit harmonik hareket ile ilgili tan mlar: Uzan m (x): Herhangi bir anda cismin bulundu u noktan n denge konumuna (orijine) olan uzakl na denir. Genlik (r) : Uzan m n maksimum de erine denir. Çarp nt (aç sal frekans) (w): Hareketin aç sal h z na denir. Periyot (T): Cismin bir noktadan ayn yönde art arda iki geçifli aras nda geçen süreye yani bir titreflim için geçen süreye denir. Frekans (f) : Cismin saniyedeki titreflim say s na denir. a. Çember Üzerindeki Hareketli Noktan n Çap Üzerindeki z Düflümünün Hareketi a b c fiekil 1.16: Çember üzerindeki cismin çap üzerindeki iz düflümünün hareketi R yar çapl çember üzerinde düzgün dairesel hareket yapan m kütleli cisme ait fiekil 1.16 daki hareketin; R vektörünün yatay ve düfley bileflenleri b deki, cismin üzerine etki eden F mekezcil kuvvetin yatay ve düfley bileflenleri ise c' deki gibi olacakt r. R vektörü ile F merkezcil kuvvetin yönleri birbirine z t oldu undan; merkezcil kuvvetin de eri, F = -m 4π2 R 'den T 2 yatay ve düfley bileflenlerinin T de eri, yatay ve düfley bileflenlerinin de eri, F x = -m 4π2 x T 2 ve F y = -m 4π2 y T 2 'den bulunur. Bu durumda m kütleli cisim düzgün dairesel hareket yaparken, yatay ve düfley çaplar üzerindeki iz düflüm noktalar da ayn peryotlu titreflim hareketi yapar. 18

b. Sar ml Bir Yay n Basit Harmonik Hareketi fiekil 1.17: Yaydaki uzamalar n kuvvetle de iflimi Esnek bir yay n ucuna bir cisim as l rsa yay uzar (fiekil 1.17). Uzama miktar as lan cismin a rl ile do ru orant l d r (Grafik 1.2). A rl k-uzama grafi indeki do runun e imi, tan α = G x = k fleklinde yaz l r. Orant kat say s olan k ye yay n esneklik kat say s ya da yay sabiti denir. A rl k ile uzama aras ndaki ba nt, G = kx dir. Yay taraf ndan, yay s k flt rmak veya uzatmak için uygulanan kuvvete eflit ve z t yönde bir kuvvet uygulan r. Bu kuvvete geri ça r c kuvvet denir. F yay = - kx (-) iflareti uzama veya s k flma ile kuvvetin z t yönlü oldu unu gösterir. Basit harmonik hareketin peryodu, T = 2π m k ba nt s ndan bulunur. 19

Bileflik yay sistemleri için yay sabiti; I. Yaylar n Seri Ba lanmas II. Yaylar n Paralel Ba lanmas fiekil 1.18 Seri ba lanan yaylarda toplam uzama, yaylardaki uzamalar n toplam na eflittir. Buna göre; x = x 1 + x 2 olur. Yaylar n hepsine ayn kuvvet etkir. F = k x den bulunan x = F k de eri eflitlikte yerine yaz l rsa, F = F + F olur. k sis k 1 k 2 Sistemin k sabiti için 1 k sis = 1 k 1 + 1 k 2 elde edilir. E er, k 1 = k 2 = k ise k sis = k/2 olur. fiekil 1.19 Paralel ba lanan yaylarda sisteme etki eden kuvvet yaylara etki eden kuvvetlerin toplam na eflittir. Buna göre; F sis = F 1 + F 2 olur. Yaylardaki uzamalar ayn d r. k sis x = k 1 x + k 2 x sistemin k sabiti için den k sis = k 1 + k 2 elde edilir. E er, k 1 = k 2 = k ise k sis = 2 k olur. Nicelik Kuvvet Uzama-s k flma Yay sabiti Sembol F x k Birim N m N/m Tablo 1.5: Birim tablosu 20

ÖRNEK 10 Yay sabitleri 10 N/m ve 40 N/m olan eflit boydaki iki yay n ucuna fiekil 1.20 deki gibi 0,32 kg l k bir cisim as l yor. Yaylar, a. Seri b. Paralel ba land nda sistemlerin yay sabiti ve periyodu ne olur? (π = 3 al nacak) a. Seri ba land nda 1 = 1 + 1 k sis k 1 k 2 1 = 1 k sis 10 + 1 40 k sis = 8 N/m T = 2p m k 0,32 T = 2.3 8 T = 2. 3 (0,02) 2 T = 6. 0,02 T = 0,12 saniye olur. c. Basit Sarkaç fiekil 1.20 b. Paralel ba land nda k sis = k 1 + k 2 k sis = 10 + 40 k sis = 50 N/m T = 2p m k 0,32 T = 2. 3 50 T = 2. 3 0,0064 T = 6 (0,08) 2 T = 6. 0,08 T = 0,48 saniye olur. Basit sarkaç, a rl ihmal edilen l boyundaki bir ipin ucuna as lm fl kütleden oluflur (fiekil 1.21). Sarkaç A ve B noktalar aras nda gidip-gelme fleklinde basit harmonik hareket yapar. Cismin A noktas ndan B noktas na gidip, tekrar A noktas na dönmesi için geçen süre sarkac n periyodunu verir. 21

Periyot T = 2π l g ba nt s yla bulunur. fiekil 1.21: Basit Sarkaç Ba nt dan basit sarkac n periyodunun; Sarkac n boyunun karekökü ile do ru orant l oldu u, Yerin çekim alan fliddetinin karekökü ile ters orant l oldu u, Cismin kütlesine ba l olmad görülür. Periyodu 2 saniye olan sarkaca, saniyeleri vuran sarkaç denir. ÖRNEK 11 40 cm boyundaki basit sarkac n; a. Periyodunu (iki nokta aras nda gidip-gelme süresi), b. Frekans n (saniyedeki sal n m say s ) bulunuz. (g =1 0 m/s 2, π = 3 al nacak) a. T = 2π l g T = 2. 3 T = 6 0,04 0,4 10 T = 6 (0,2) 2 T = 6. 0,2 T = 1,2 saniye b. f = 1 T f = 1 1,2 f 0,8 sal n m / saniye 22

ÖZET Serbest düflme ve düfley at fl hareketleri, yer çekimi alan fliddetinin etkisi alt nda yap lan düzgün de iflen do rusal harekettir. Yatay at fl hareketi, yatay do rultuda düzgün do rusal (sabit h zl hareket), düfley do rultuda ise serbest düflme hareketi olan bileflik bir harekettir. E ik at fl hareketi, yatay bilefleni sabit h zl, düfley bilefleni ise sabit ivmeli hareket olan bir bileflik harekettir. Dönen bir cismin birim zamanda yapt aç sal yer de ifltirmeye aç sal h z denir. Ayn cismin birim zamanda yapt aç sal h z de iflimine aç sal ivme denir. Daire çevresi üzerinde sabit bir h zla yap lan harekete düzgün dairesel hareket denir. Düzgün dairesel harekette çizgisel h z ile aç sal h z aras nda, v = wr ba nt s vard r. Düzgün dairesel hareket yapan bir cisme fliddeti, F = m v2 R olan ve daima dairenin merkezine do ru yönelmifl bir merkezcil kuvvet etki eder. e imi, Virajl yollarda güvenli i sa lamak için yola, iç k sma do ru e im verilir. Yolun tan α = m v2 Rg formülüne uymal d r. Kepler, gezegenlerin hareketlerini üç kanun ile ifade etmifltir. Newton un Kütle Çekimi Kanunu na göre aralar ndaki uzakl k R olan m 1 ve m 2 kütleli iki cisim birbirlerini, ile verilen bir kuvvetle çekerler. Yeryüzüne düflen cisimler, Dünya etraf nda dönen uydular ve Günefl etraf nda dolanan gezegenler bu kanuna uyarlar. F = G m 1m 2 R 2 23

Ö REND KLER M Z PEK fit REL M 1-125 m yükseklikte uçmakta olan bir helikopterden b rak lan bir cisim kaç saniye sonra yere çarpar? (g = 10 m/s 2 al nacak) h = 1 2 gt2 125 = 1 2 10t2 t 2 = 25 t 2 = 5 2 t = 5 s 2-1. sorudaki cismin, 2 saniyede yere çarpmas için kaç m/s lik h zla düfley do rultuda afla do ru f rlat lmas gerekir? h = v o t + 1 2 gt2 125 = v o 2 + 1 10. 22 2 125 = 2v o + 20 2v o = 125-20 2v o =105 v o = 52,5 m/s 3-45 m yükseklikteki bir noktadan yatay do rultuda 60 m/s h zla f rlat lan bir cisim kaç metre uzakta yere çarpar (g = 10 m/s 2 al nacak) Cismin yere düflme süresi, h = 1 2 gt2 den 45 = 1 2 10t2 45 = 5t 2 t 2 = 9 t 2 = 3 2 t = 3 s olur. Yatay olarak ald yol, x = v o t x = 60. 3 x = 180 m olur. fiekil 1. 22 24

4- Yerden, yatayla 53 aç yapacak flekilde ve 200 m/s lik h zla at lan bir cismin 2 saniye sonundaki, a. H z, b. Bulundu u noktan n koordinatlar nedir? Sin 53 = 0,8, Cos 53 = 0,6, g =10 m/ s 2 fiekil 1.23 b. Yatay düzlemde al nan yol ; v ox = vocos 53 v ox = 200. 0,6 v ox = 120 m/s Hız; v = v oy = vosin 53 - gt v oy = 200. 0,8-10. 2 v oy = 160-20 v oy = 140 m/s v2 ox + v2 oy = 120 2 + 140 2 v = 34 000 v = 185 m/s olur. x = v ox. t = 120. 2 = 240 m Düfley düzlemde al nan yol; y = v oy t - 1 2 g t 2 = 140. 2-1 2 10. 22 = 280-20 = 260 m Koordinatlar ; (x, y) (240,260) 5-3 radyan n a. Kaç derece, b. Kaç devir oldu unu bulunuz. (π = 3 al nacak) a. 2 π radyan = 360 oldu undan 3. 360 3. 360 3. 360 = 2π 3 2.. 360 3 = 180 2π. 2 2. 3 = 1 b. 2 π radyan = 1 devir 3. 1 2π = 3 2. 3 = 1 2 = 0,5 devir 25

6- Tekerleklerinin yar çap 0,5 m olan bir otomobil hareket ederek 10 saniyede 50 m/s lik h za ulafl yor. Otomobil tekerle inin aç sal h z nedir? w = v r w = 50 0,5 w = 100 rad / s 7-6 m yar çapl çembersel yörüngede saniyede 3 devir yaparak dönen 2 kg kütleli cismin; a. Çizgisel h z n (v), b. Merkezcil ivmesini (a), c. Merkezcil kuvvetini (F) bulunuz. (π = 3 al nacak) R = 6 m f = 3 s -1 m = 2 kg a. T = 1 f v = 2πR T T = 1 3 s v = 2. 3. 6 1 3 v = 36 1 3 v = 108 m b. a = v2 R a = 108 2 6 a = 1944 m/s 2 c. F = m v 2 R F = 2 (108)2 6 F = 2. 1944 F = 3888 N 8- Tekerleklerle yol aras ndaki sürtünme kat say s 0,1 olan bir araban n, 400 m yar çapl yatay bir viraja güvenle girebilmesi için h z kaç m/s olmal d r? ( g= 10 m/s 2 al nacak) k = 0,1 R = 400 m v =? k v 2 Rg den v 2 = k. R. g v 2 = 0,1. 400. 10 v 2 = 400 v 2 = 20 2 v = 20 m/s 26

9- Yay sabiti 125 N/m olan bir yay n ucuna 5 kg kütleli bir cisim as lm flt r. Denge konumundan bir miktar çekilerek titreflime b rak lan kütlenin yapaca hareketin peryodu kaç saniyedir? (π=3 al nacak) k = 125 N/m m = 5 kg T =? T = 2π m k T = 2. 3 5 125 T = 6 1 25 T = 6 1 2 T = 6 1 5 5 2 T = 6 5 T = 1,2 s 10-10 m/s lik h zla düfley olarak afla dan yukar ya do ru at lan cismin ç kabilece i maksimum yükseklik, maksimum yüksekli e ç k fl süresi nedir? (g= 10 m/s 2 al nacak) v 2 = v o 2-2 g h 0 = v o 2-2 g h max v o 2 = 2 g h max h max = v o 2 2g h max = 10 2 2. 10 h max = 100 20 h max = 5 m v = v o - g t 0 = v o - g t ç k fl v o = g t ç k fl t ç k fl = v o g t ç k fl = 10 10 t ç k fl = 1 s 27

. DE ERLEND RME SORULARI a) BÖLÜM LE LG L PROBLEMLER 1-5,4 m yükseklikteki bir tramplenden 6 m/s lik h zla havuza atlayan yüzücü suya kaç m/s lik h zla çarpar? 3π 2-2 rad/s lik aç sal h zla dönen bir pla n dönme ekseninden 10 cm uzaktaki bir noktan n çizgisel h z kaç m/s dir? (π = 3 al nacak) 3- Aralar nda belirli bir uzakl k bulunan iki kütle aras ndaki çekim kuvveti 54 N dur. Bu iki kütle aras ndaki uzakl k 3 kat na ç kar l rsa aralar ndaki çekim kuvveti kaç N olur? 4- Afla dan yukar ya düfley olarak v o ilk h z yla at lan cismin 60 m yükseklikteki h z, ilk h z n n yar s na eflit oluyor. Cismin ilk h z kaç m/s dir? 5- Kuvvet - uzan m grafi i Grafik 1.3 teki gibi olan esnek yay n, yay sabiti nedir? Grafik 1.3: Problem 1.5 28

b) BÖLÜM LE LG L TEST SORULARI 1- Yerin çekim alan fliddetinin (g) de eri ile ilgili afla daki yarg lardan hangileri do rudur? I. Yerin merkezinde s f rd r. II. Yer yüzeyinde en büyüktür. III. Yer yüzeyinden uzaklaflt kça azal r. A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) I.II ve III 2- Bir yay n ucuna ba l 0,5 kg kütleli cisim, sal n m peryodu 0,6 saniye olan basit harmonik hareket yapmaktad r. Yay n kuvvet sabiti kaç N/m dir? (π = 3 al nacak) A) 3 B) 5 C) 9 D) 50 3- Bir kuleden b rak lan tafl 6 saniye sonra yere çarp yor. Buna göre afla dakilerden hangisi do rudur? (g = 10 m/s 2 al nacak) Kulenin yüksekli i (m) Tafl n Yere Çarpma h z (m/s) A 180 60 B 120 90 C 90 120 D 60 180 29

4- E ik at fl hareketinde at fl uzakl n n maksimum olabilmesi için cisim kaç derecelik aç ile at lmal d r? A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 5- Tekerleklerle yol aras ndaki sürtünme katsay s 0,1 olan bir otomobilin, 225 m yar çapl yatay bir viraja güvenle girebilmesi için h z kaç m/s olmal d r? (g=10 m/s 2 al nacak) A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 45 6- Yatay at fl hareketi ile ilgili afla daki bilgilerden hangileri do rudur? I. Kütleye ba l de ildir. II. Yatay h z sabit ve v o ilk h za eflittir. III. Düfley h z her saniye g kadar artar. IV. Herhangi bir andaki h z yörüngeye te ettir. A) I ve II B) III ve IV C) II, III ve IV D) I, II, III ve IV 30

7- E ik at fl hareketi yapan bir cisim ile ilgili afla daki bilgilerden kaç tanesi do rudur? E ik at fl hareketi kütleye ba l de ildir. Tepe noktas nda h z s f r olur. H z n yatay bilefleni hareket süresince de iflmez. Cismin yörünge tepesine ç k fl süresi, inifl süresine eflittir. E ik at larak at ld seviyeye düflen cismin ilk h z ile son h z eflittir. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 8- fiekildeki basit sarkaç ile yayl sarkac n periyotlar eflit oldu una göre, basit sarkac n ip uzunlu u kaç m dir? (g = 10 m/s 2 al nacak) A) 0,2 B) 0, 5 C) 1,0 D) 1,5 31

9- fiekildeki sarmal yay n ucuna 2 kg l k cisim as ld nda yay n denge konumuna göre 2 cm uzad gözleniyor. Buna göre sarmal yay n k yay sabiti kaç N/m dir? (g = 10 m/s 2 al nacak) A) 100 B) 200 C) 400 D) 1000 10- Bir tüfekle 50 m uzakl ktaki bir a aca yatay do rultuda atefl ediliyor. Mermi a ac n, tüfek do rultusundan 0,2 m afla s na isabet etti ine göre, merminin tüfekten ç k fl h z kaç m/s dir? (g = 10 m/s 2 al nacak ) A) 200 B) 250 C) 500 D) 1000 32