GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR

Transkript

1 ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN PR ZMA a. Tan m b. Düzgün Prizman n Özelikleri 6. PARALELYÜZ a. Tan m b. Paralelyüzün Özelikleric. Dik Paralelyüz 7. D KDÖRTGENLER PR ZMASI a. Tan m b. Dikdörtgenler Prizmas n n Özelikleri 8. KÜP a. Tan m b. Küpün Özelikleri 9. PR ZMANIN ALANI 10. PR ZMANIN HACM a. Tan m b. Dikdörtgenler Prizmas n n Hacmi c. Dik Prizman n Hacmi ç. E ik Prizman n Hacmi 11. EULER (ÖYLER) BA INTISI 12. CAVAL ER (KAVAL YE) LKES 13. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST I 1

2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Prizmatik yüzey neye denir? Nas l meydana gelir? Bunlara ait tan mlar ve aralar ndaki iliflkiyi kavrayabilecek, * Prizman n tan m n ve özeliklerini ö renebilecek, * Dik prizma, e ik prizma, düzgün prizma, paralelyüz gibi özel prizmalar n tan m n ve özeliklerini ayr ayr ö renebilecek, * Dikdörtgenler prizmas n n tan m n, özeliklerini, bunlara ait teoremleri ve uygula malar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Küpün tan m n ve özeliklerini ve bu özeliklerine ait uygulamalar yapabilecek, * Prizman n alan na ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Prizman n hacmine ait tan m, dikdörtgenler prizmas n n dik prizman n, e ik prizman n hacmine ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Bütün prizmalar aras ndaki Euler ba nt s n bulabilecek, * Dik prizma ve e ik prizma aras ndaki Cavalieri lkesini aç klayabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Kat cisimlerin alan ve hacimlerine ait konular daha iyi ö renebilmek için lkö retim Matematik ders kitaplar n gözden geçiriniz. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Elinizdeki yard mc kitaplardan faydalan n z. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 2

3 ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR (fiekil 1.1) deki gibi P ve Q düzlemleri birbirine paralel olup, d do rusu P d ü z l e m i n i K, Q düzlemini L noktas nda kesmektedir. fiekil 1.1 P düzlemi içinde ABCDE düzlemsel fleklinin çevresi üzerindeki her noktadan, [KL] do ru parças na paralel do rular çizildi inde, Q düzleminde A B C D E fl e k l i n i meydana getirir. Böylece oluflan flekle, prizmatik yüzey denir. [KL] do ru parças na, prizmatik yüzeyin ana do rusu denir. ABCDE düzlemsel fleklinin köflelerinden, [KL] do ru parças na çizilen parelel do rulara, yan ayr tlar d e n i r. Ard fl k iki yan ayr t aras nda kalan düzlem parças na, prizmatik yüzeyin yan yüzleri denir. Düzlemsel flekil kaç kenarl ise, o kadar yan yüzü vard r. Bir prizmatik yüzeyin bir düzlemle kesilmesinden elde edilen çokgene, düzlemsel kesit veya sadece kesit denir. E er kesit düzlemi yan ayr ta dik olursa, elde edilen kesite dik kesit denir. Bir prizmatik yüzeyin parelel iki düzlemle kesilmesinden elde edilen iki çokgen birbirine eflittir. Prizmatik yüzeyin dik kesitleri de birbirine eflittir. Bir prizmatik yüzeyin birbirine paralel düzlem kesitlerinden her birine, prizman n tabanlar denir. Prizmalar tabanlar n n flekillerine göre adland r l r. Üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizmas gibi. 3

4 2. PR ZMA a. Tan m Bir prizmatik yüzey ile bunun yan ayr tlar n kesen paralel iki düzlem taraf ndan s n rlanan cisme, prizma denir. Birbirine eflit olan kesit çokgenlere, prizman n tabanlar ve ABCD çokgenine alt taban, A B C D çokgenine üst taban denir (fiekil 1.2). fiekil 1.2 AA, BB, CC, DD ye prizman n yan ayr tlar, ABB A, BCC B,... dörtgenlerine prizman n yanal yüzleri denir. Bütün yanal yüzlerin alanlar toplam na yanal alan, tabanlar n alanlar ile yanal alan n toplam na tüm alan denir. Prizman n iki taban aras ndaki HH uzunlu una prizman n yüksekli i denir. Bir prizmada ayn yüz içindeki iki köfleyi birlefltiren [BA ] do ru parças na, bu prizman n yüz köflegeni denir. Bir prizmada, ayn yüz içinde bulunmayan iki köfleyi birlefltiren [BD ] do ru parças na da, bu prizman n cisim köflegeni denir. b. Prizman n Özelikleri 1. Bir prizman n yanal yüzleri, birer paralelkenard r. 2. Bir prizman n yan ay rtlar, birbirine paralel ve eflittir. 3. Bir prizman n dik kesitleri, birbirine eflittir. 4

5 3. D K PR ZMA a. Tan m Yan ayr tlar taban düzlemine dik olan prizmaya, dik prizma denir (fiekil 1.3). fiekil 1.3 b. Dik Prizman n Özelikleri 1. Bir dik prizman n yanal yüzleri dikdörtgendir. 2. Bir dik prizman n yan ayr tlar yüksekli e eflittir. 3. Taban ve yükseklikleri eflit olan iki dik prizma birbirine eflittir. 4. E K PR ZMA a. Tan m Yan ayr tlar taban düzlemine dik olmayan prizmalara, e ik prizma veya sadece prizma denir (fiekil 1. 4). fiekil

6 E ik prizmalarda, üst köflelerden herhangi birinden, taban düzlemine indirilen dikmenin uzunlu u, e ik prizman n yüksekli idir. b. E ik Prizman n Özelikleri 1. E ik prizman n, yan yüzleri paralelkenard r ve birbirine eflittir. 2. E ik prizman n, alt ve üst tabanlar birbirine eflittir. 3. E ik prizman n, dik kesit alanlar birbirine eflittir. 4. E ik prizmada dik kesit, tabanlara efl de ildir. 5. DÜZGÜN PR ZMA a. Tan m Tabanlar düzgün çokgen olan dik prizmaya, düzgün prizma denir (fiekil 1.5). fiekil 1.5 b. Düzgün Prizman n Özelikleri 1. Düzgün prizman n yanal yüzleri, birbirine eflit dikdörtgenlerdir. 2. Düzgün prizman n tabanlar, düzgün çokgendir. 3. Düzgün çokgenin yan ayr tlar, taban düzlemine diktir. 4. Düzgün prizman n taban köfleleri bir çember üzerindedir. Bu çemberin merkezlerini birlefltiren do ruya, eksen denir. 6

7 6. PARALELYÜZ a. Tan m Tabanlar paralelkenar olan prizmaya, paralelyüz denir (fiekil 1. 6). fiekil 1. 6 Bir paralelyüzün alt yüzüde paralelkenard r. Bu yüzlerden herhangi bir yüzü, taban olarak alabiliriz. Bir paralelyüzde oniki ayr t, sekiz köflesi ve dört tane de cisim köflegeni vard r. b. Paralelyüzün Özelikleri 1. Bir paralelyüzün ayr tlar, dörder dörder eflit ve pareleldir. 2. Bir paralelyüzün karfl l kl yüzleri, birbirine eflittir. 3. Bir paralelyüzün cisim köflegenleri, birbirini orta noktalar nda keserler. c. Dik Paralelyüz Tabanlar paralelkenar, yan ayr tlar tabana dik olan paralelyüze, dik paralelyüz denir (fiekil 1.7). Dik paralelyüzün tabanlar birer paralelkenar olup, karfl l kl yanal yüzler, birbirine eflit dikdörtgendir. 7

8 fiekil D KDÖRTGENLER PR ZMASI a. Tan m Tabanlar dikdörtgen olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizmas denir (fiekil1.8). fiekil 1.8 Dikdörtgenler prizmas nda, bir köflede kesiflen üç ayr ta, bu dikdörtgenle prizas n n boyutlar denir. Bu üç boyut, uzunluk, genifllik ve yüksekliktir. (fiekil 1.8) de, AB = a (uzunluk) BC = b (genifllik), CC = c (yükseklik) ile gösterilmifltir. 8

9 b. Dikdörtgenler Prizmas n n Özelikleri 1. Dikdörtgenler prizmas n n tüm yüzleri dikdörtgendir. 2. Dikdörtgenler prizmas n n 6 yüzü vard r. Karfl l kl yüzler birbirine efl ve paraleldir. 3. Dikdörtgenler prizmas n n, 12 ayr t vard r. Karfl l kl ayr tlar, birbirine paralel ve uzunluklar eflittir. 4. Dikdörtgenler prizmas n n, 8 tane köflesi vard r. 5. Dikdörtgenler prizmas nda, bir köflesinde kesiflen üç ayr t birbirine diktir. 6. Dikdörtgenler prizmas n n cisim köflegenleri, uzunlukça birbirine eflittir. Te o rem: Bir dikdörtgenler prizmas nda, bir cisim köflegeninin uzunlu unun karesi, bir köfleden ç kan üç ayr t n n uzunluklar n n karelerinin toplam na eflittir. Ispat: (fiekil 1. 9) daki ABC dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, fiekil 1. 9 AC 2 = AB 2 + BC 2 AC 2 = a 2 + b 2 dir. A AC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, A C 2 = AC 2 + AA 2 olup, AC 2 nin de eri yerine yaz l rsa, A C 2 = a 2 + b 2 + c 2 olarak bulunur. 9

10 ÖRNEK 1. 1 Ayr tlar n n uzunluklar 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenler prizmas n n cisim köflegeninin uzunlu unun kaç santimetre oldu unu bulal m. dir. Verilen dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar n n uzunluklar a= 3 cm, b= 4 cm ve c= 5 cm Ayr t uzunluklar a, b, c olan bir dikdörtgenler prizmas n n cisim köflegenin uzunlu u, k = a 2 +b 2 c 2 oldu undan, k = = = 50 = 5 2 cm olur 8. KÜP a. Tan m Tüm ayr tlar birbirine eflit olan dikdörtgenler prizmas na küp denir (fiekil 1.10). fiekil b. Küpün Özelikleri 1. Küpün, alt yüzü de kare olup birbirine eflittir. 2. Küpün, tüm ayr tlar n n uzunluklar birbirine eflittir. 3. Küpün, bir ayr t n n uzunlu u a birim ise, her yüzündeki yüz köflegen uzunlu u, a 2 birim ve cisim köflegen uzunlu u, a 3 birimdir. 4. Küpün, bir cisim köflegeni geçti i köfledeki ayr tlarla, eflit aç lar yaparlar. 5. Bir küpün bir kenar n n uzunlu u a, cisim köflegeninin uzunlu u k ise, küpün bir kenar n n uzunlu unun, cisim köflegenin uzunlu u cinsinden de eri, a = k 3 3 dür.

11 ÖRNEK 1. 2 Bir küpün, cisim köflegenin uzunlu u 6 3 cm oldu una göre, bu küpün bir kenar n n uzunlu u, kaç santimetre oldu unu bulal m. Verilen küpün cisim köflegeninin uzunlu u k = 6 3 cm dir. Bir kenar n n uzunlu u a ise, bu küpün bir kenar n n uzunlu u, cisim köflegenin uzunlu u cinsinden de eri a= k 3 3 oldu undan, a= = 18 3 = 6 cm olur. 9. PR ZMANIN ALANI Te o rem: E ik bir prizman n yanal alan, dik kesit çerçevesi ile yan ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. fiekil 1.11 fiekil 1.12 spat: Yukar daki (fiekil 1.11) de e ik prizma ile, (fiekil 1.12) de e ik prizman n aç n m görülmektedir. Bu prizman n yan ayr t n n uzunlu u AA, dik kesiti MNKL çokgeni olsun. Dik kesitin kenarlar, prizman n her biri paralelkenar olan yan yüzlerinin yükseklikleridir. Bu dört paralelkenar n alanlar toplam, e ik prizman n yanal alan na eflit olaca ndan, Yanal alan = AA. ( MN + NK + KL + LM ) dir. Buna göre, Yanal alan = (Yan ayr t uzunlu u). (Dik kesit çevresi) olur. 11

12 Bu teoreme göre afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bir dik prizman n yanal alan, taban çevresi ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = Ç. h d r. 2. Herhangi bir prizman n tüm alan, yanal alan ile taban alan n n iki kat n n toplam na eflittir. S = Y + 2G d r. 3. Dikdörtgenler prizmas n n bir köfleden ç kan ayr tlar n n uzunluklar a, b, c ise tüm alan, S = 2 (a. b + b. c + c. a) d r. 4. Bir kenar n n uzunlu u a birim olan bir küpün tüm alan, S = 6a 2 birimkaredir. ÖRNEK 1.3 Taban n n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan düzgün alt gen dik prizman n yüksekli i 8 cm dir. Bu prizman n yanal alan n n, kaç santimetrekare oldu unu bulal m. Verilen düzgün alt gen dik prizman n bir kenar n n uzunlu u a = 4 cm ve yüksekli i h = 8 cm dir. Yanal alan n bulmak için önce taban çevresini bulal m. Ç = 6. a ifadesinden, Ç = 6. 4 = 24 cm dir. Bu prizman n yanal alan : Y = Ç. h oldu undan, Y = = 192 cm 2 olur. 10. PR ZMANIN HACM a. Tan m Bir cismin uzayda kaplad yere, bu cismin hacmi denir. Bir hacmi ölçmek demek, seçilen bir birim hacmin, verilen hacim içerisinde, kaç defa bulundu unu aramak demektir. Bulunacak say ya, bu hacmin ölçümü denir. Bir kenar n uzunlu u birim olarak al nan her küp, hacim birimi olabilir. Bunlar mm 3, cm 3, dm 3, m 3, dam 3, hm 3, km 3 hacim birimi olarak kullan l r. Ölçümleri eflit olan iki hacim eflittir. Çünkü her ikisinde de, birim küplerden ayn miktarda var demektir. 12 Karfl t olarak, eflit iki hacmin, ölçümleri de eflittir. Hacimleri eflit olan cisimlerin flekilleri baflka baflka olabilir. Böyle iki cisme, eflde erli veya denk cisimler denir.

13 b. Dikdörtgenler Prizmas n n Hacmi Te o rem: Bir dikdörtgenler prizmas n n hacmi, bir köflesinden geçen üç ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. spat: Bir dikdörtgenler prizmas n n ayr t uzunluklar, a, b ve c birim olsun. Bu dikdörtgenler prizmas n n taban a. b birim kareye ayr l r (fiekil 1.13). fiekil 1.13 Her kare üzerine bir birimküp oturtularak, a. b birimküplük bir tabaka elde edilir (fiekil 1.14). fiekil

14 Dikdörtgenler prizmas n n yüksekli i c birim oldu undan, bu prizmalarda bu tabakalardan c tane vard r (fiekil 1.15). fiekil 1.15 O halde, dikdörtgenler prizmas n n hacmi, V = a. b. c birimküptür. Bu teoreme göre afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bir dikdörtgenler prizmas n n hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Boyutlar a, b ve c ile gösterilen bir dikdörtgenler prizmas nda, a. b çarp m dikdörtgenler prizmas n n taban alan, c ise yüksekli i oldu undan, hacmi, V = G. h d r. 2. Bir ayr t n n uzunlu u a birim olan bir küpün hacmi, V = a. a. a = a 3 b i r i m k ü p t ü r. ÖRNEK 1. 4 Boyutlar, a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 4 cm olan dikdörtgenler prizmas n n hacmini bulal m. Verilen dikdörtgenler prizmas n n boyutlar a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 4 cm dir. Bir dikdörtgenler prizmas n n hacmi: V = a. b. c oldu undan, V = = 192 cm 3 olur. 14

15 ÖRNEK 1.5 Bir kenar n n uzunlu u 7 cm olan bir küpün hacmini bulal m. Verilen küpün bir kenar n n uzunlu u a = 7 cm dir. Bir kenar n n uzunlu u a olan küpün hacmi, V = a 3 oldu undan, V = 7 3 = = 343 cm 3 olur. c. Dik Prizman n Hacmi Bir dik prizman n hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Taban alan G, yüksekli i h olan bir dik prizman n hacmi, V = G. h d r. ÖRNEK 1. 6 Bir kare dik prizman n yüksekli i 8 cm dir. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 12 cm oldu una göre, bu kare dik prizman n hacmini bulal m. Verilen kare dik prizman n yüksekli i h = 8 cm ve taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 8 cm dir. Bir dik prizman n hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflit oldu undan, önce taban n n alan n bulal m. Taban alan : G = a 2 oldu undan, G = 12 2 = 144 cm 2 dir. Dik prizman n hacmi: V = G. h oldu undan, V = = 1152 cm 3 olur. ç. E ik Prizman n Hacmi Bir e ik prizman n hacmi, dik kesitinin alan ile bir yan ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. Bir e ik prizmada, K dik kesit alan n, l ise yan ayr t n gösterirse, V = K. l dir. Teorem: Bir e ik prizman n hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Bir e ik prizman n taban alan G, yüksekli i h ise, hacmi V = G. h d r. 15

16 spat: (fiekil 1.16) da, taban ABC üçgeni olan bir e ik prizman n dik kesiti DEF olsun. fiekil 1.16 Dik kesit düzlemi, ile taban düzlemi aras ndaki aç n n ölçüsü, s DKA = s CC H = α d r. (kenarlar birbirine dik aç lar oldu undan eflittir). Δ Δ A ABC = G ve A DEF = K ile gösterirsek, DEF üçgeni, ABC üçgeninin dik kesit düzlemi üzerindeki dik izdüflümü oldu undan, K = G. cos α d r. CHC dik üçgeninde, CC = l ve C H = h ise, cos α = h l dir. Buradan, l = h cos α olur. E ik prizman n hacmi, V= K.l oldu undan, buldu umuz de erleri yerine yazarsak, V = G. cos α. h cos α = G. h olur. ÖRNEK 1. 7 Taban n n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan kare prizman n yan ayr t n n uzunlu u 6 cm ve bu ayr t n n taban düzlemiyle yapt aç n n ölçüsü 60 oldu una göre, bu e ik kare prizman n hacmini bulal m. 16 Verilen e ik kare prizman n bir kenar n n uzunlu u a = 4 cm, yanal ayr t n n uzunlu u l = 6 cm ve yanal ayr t n n taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü a = 60 dir.

17 (fiekil 1.17) de, ABCD kare düzlemine B H = h dikmesini çizelim. fiekil 1.17 B BH dik üçgeninde, h = l. sin 60 dir. l = 6 cm ve sin 60 = 3 2 oldu undan, h = = 3 3 dür. G = a 2 ifadesinden, G = 4 2 = 16 cm 2 dir. E ik prizman n hacmi: V = G. h oldu undan, V = = 48 3 cm 3 olur. 11. EULER (ÖYLER) BA INTISI Bütün prizmalar aras na; Köfle say s + yüzey say s - ayr t say s = 2 ba nt s vard r. Bu ba nt, matematikçi Euler (Öyler) taraf ndan bulundu u için, kendi ad yla an l r. ÖRNEK 1. 8 Verilen üçgen prizma, dörtgen prizma ve alt gen prizman n, Euler ba nt s n sa lay p, sa lamad n gösterelim. Üçgen prizmada; 6 köfle, 5 yüzey ve 9 ayr t vard r. Dörtgen prizmada; 8 köfle, 6 yüzey ve 12 ayr t vard r. Alt gen prizmada; 12 köfle, 8 yüzey ve 18 ayr t vard r. 17

18 Prizmalardaki bu de erleri bir tabloda gösterelim fieklin smi Köfle Say s Yüzey Say s Ayr t Say s Sonuç Üçgen prizma =2 Dörtgen prizma =2 Alt gen prizma =2 O halde, Euler (Öyler) ba nt s n sa l yor. 12. CAVAL ER (KAVAL YE) LKES Tabanlar n n alanlar ve yükseklikleri eflit olan iki cismin, tabanlar na paralel ve tabanlardan ayn uzakl ktaki kesitlerinin alanlar eflit olursa, bu iki cismin hacimleri de eflit olur. Bu bilgiye dayanarak e ik prizmalar n hacimlerini, ayn taban ve ayn yükseklikteki dik prizmalar n hacimleri ile karfl laflt rabiliriz. O halde, taban alanlar ve tabanlardan eflit uzakl ktaki kesitlerin alanlar eflit olan e ik veya dik prizmalar n yükseklikleri eflit ise, hacimleri de eflit olur. Dik prizman n hacmi V = G. h oldu undan, ayn hacimli e ik prizman n hacmi de, V = G. h olur. 13. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 1.9 Bir dikdörtgenler prizman n ayr tlar n n uzunluklar 2, 3, 4 say lar ile orant l d r. Tüm alan 52 cm 2 oldu una göre, bu dikdörtgenler prizmas n n, hacminin kaç santimetreküp oldu unu bulal m. Dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar n n uzunluklar a, b, c olsun. Orant katsay s k ise, a 2 = b 3 = c = k d r. Buradan, a = 2k, b = 3k, c = 4k olur. 4 18

19 Tüm alan 52 cm 2 oldu undan, S = 2 a. b + a. c + b. c ifadesinde de erleri yerine yazarsak, 52 = 2k. 3k + 2k. 4k + 3k. 4k 52 =2 6k 2 + 8k k 2 52 =52 k 2 ise, k = 1 dir. Buradan, a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm dir. Dikdörtgenler prizmas n n hacmi: V = a. b. c ifadesinden, V = = 24 cm 3 olur. ÖRNEK 1.10 Taban n bir kenar n n uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan kare dik prizman n alan n n, kaç santimetrekare oldu unu bulal m. Verilen kare prizman n taban n bir kenar n n uzunlu u a = 6 cm ve yüksekli i h = 8 cm dir. Buna göre, kare prizman n Taban alan : G = a 2 = 6 2 = 36 cm 2 dir. Taban çevresi : Ç = 4. a = 4. 6 = 24 cm dir. Yan alan : Y = Ç. h = = 192 cm 2 dir. Tüm alan : S = Y + 2G = = 264 cm 2 olur. ÖRNEK Taban n bir kenar n n uzunlu u 2 cm ve yüksekli i 10 3 cm olan düzgün alt gen dik prizman n, hacminin kaç santimetreküp oldu unu bulal m. Verilen düzgün alt gen dik prizman n, taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 2 cm ve yüksekli i h =10 3 cm dir. 19

20 Düzgün alt genin taban, kenar uzunluklar ayn olan 6 tane eflkenar üçgenin toplam ndan meydana gelir. Bir eflkenar üçgenin alan : a2 3 4 = Düzgün alt genin taban alan : G = 6. = 3 cm 2 dir. 3 = 6 3 cm 2 dir. Düzgün alt genin hacmi : V = G.h = = 180 cm 3 olur. ÖRNEK 1.12 Cisim köflegeninin uzunlu u 15 cm ve taban n n uzun kenar 4cm, k sa kenar 3 cm olan, bir dikdörtgenler prizmas n n hacminin kaç santimetreküp oldu unu bulal m. Verilen dikdörtgenler prizmas n n cisim köflegen uzunlu u k = 15 cm ve taban n n uzun kenar a = 4 cm, k sa kenar b = 3 cm dir. Dikdörtgenler prizmas n n hacmini bulmak için, önce yüksekli i olan c kenar n n uzunlu unu bulal m. Cisim köflegenin uzunlu u, k = a 2 + b 2 + c 2 ve k 2 = a2 + b 2 + c2 oldu undan, 15 2 = c2 225 = c2, c2 = ; c2 = 200 ise, c = 10 2 cm dir. Dikdörtgenler prizmas n n hacmi : V = a. b. c ifadesinden, V = = cm 3 olur. ÖRNEK 1.13 Taban kenarlar n n uzunluklar 9 cm, 12 cm olan, bir dikdörtgen e ik prizman n, 8 cm uzunlu undaki yan ayr t n n, taban düzlemi ile 30 aç yapmaktad r. Bu prizman n hacminin kaç santimetreküp oldu unu bulal m. 20 fiekil 1.18

21 (fiekil 1.18) de, taban dikdörtgen olan e ik prizman n taban kenarlar n n uzunluklar a = 9 cm, b = 12 cm ve yan ayr t n n uzunlu u, l = 8 cm dir. Yan ayr t taban düzlemiyle 30 aç yapt ndan, B BH dik üçgeninde, sin 30 = h l ; 1 2 = h 8 ise, h = 4 cm dir. Dikdörtgen e ik prizman n; Taban alan : G = a. b = = 108 cm 2 dir. Hacmi : V = G. h = = 432 cm 3 olur. ÖRNEK 1.14 Boyutlar a, b ve c olan bir dikdörtgenler prizmas n n, boyutlar aras nda 1 a + 1 b + 1 c = 12 ba nt s oldu una göre, bu prizman n alan n n, hacmine oran n bulal m. Verilen dikdörtgenler prizmas n n boyutlar a, b ve c olsun. Bu boyutlar aras nda 1 a + 1 b + 1 c = 12 ba nt s veriliyor. Bu ba nt y sadelefltirsek, 1 a bc + 1 b ac + 1 c ab = 12 ; b. c a. b. c + a. c a. b. c + a. b a. b. c = 12 ; a. b + a. c + b. c a. b. c = 12 dir. (I) Dikdörtgenler prizmas n n alan, S = 2 (a.b + a.c + b.c) dir. Bunu, a. b + a. c + b. c = S 2 fleklinde yazabiliriz. Dikdörtgenler prizmas n n hacmi, V = a. b. c dir. Dikdörtgenler prizmas n n alan ve hacmi için buldu umuz de erleri (1) ba nt s nda yerine yaz l rsa S 2 V = 12 oldu undan, S = 24 olur. V 21

22 ÖRNEK Boyutlar 12 cm, 9 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgenler prizmas n n birbirine en uzak iki noktas n birlefltiren do ru parças n n u z u n l u u n u n kaç santimetre oldu unu bulal m. Boyutlar a = 12 cm, b = 9 cm ve c = 6 cm olan dikdörtgenler prizmas n n birbirine en uzak iki noktas birlefltirilirse, cisim köflegeni elde edilir. Buna göre, cisim köflegenini bulmak için, k = a 2 + b 2 + c 2 ifadesinden, k = = = 261 = 3 29 cm olur. ÖRNEK Bir küpün hacminin say ca alan na eflit olmas için bir ayr t n n uzunlu unun kaç birim oldu unu bulal m. Bir küpün bir ayr t n n uzunlu u a birim olsun. Bir küpün hacmi : V = a 3 br 3 dür. Bir küpün alan : S = 6. a 2 br 2 dir. V = S oldu undan, a 3 = 6a 2 ise, a = 6 birim olur. ÖRNEK 1.17 Hacmi 162 cm 3 olan bir dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar 1, 2 ve 3 say lar ile orant l oldu una göre, bu prizman n tüm alan n n kaç santimetrekare oldu unu bulal m. Verilen dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar a, 2a, 3a olsun. Dikdörtgenler prizmas n n hacmi : V = a. 2a. 3a = 6a 3 dür. 6a 3 = 162 ; a 3 = 27 ise a = 3 tür. Buna göre, dikdörtgenler prizmas n n ayr tlar n n uzunluklar 3 cm, 6 cm ve 9 cm dir. Bu prizman n tüm alan : S = 2 (a.b + b.c + a.c) ifadesinden, S = 2 ( ) = 2 ( ) = 2 (99) = 198 cm 2 olur. 22

23 ÖRNEK 1.18 Dik kesit alan 12 cm 2 olan bir e ik prizman n, yan ayr t n n uzunlu u 8 cm oldu una göre, hacmini bulal m. Verilen e ik prizman n kesit alan K = 12 cm 2 ve yan ayr t n n uzunlu u l = 8 cm dir. E ik prizman n hacmi : V = K. l ifadesinden, V = = 96 cm 3 olur. 23

24 ÖZET * Prizmatik yüzey: P ve Q düzlemleri birbirine paralel olsun. Herhangi bir d do rusu P düzlemini K, Q düzlemini L noktas nda kessin. P düzlemi içinde herhangi bir düzlemsel fleklin çevresi üzerindeki her noktadan, [KL] do ru parças na paralel do rular çizildi inde, oluflan flekle prizmatik yüzey denir. * Prizma: Bir prizmatik yüzey ile, bunun yan ayr tlar n kesen paralel iki düzlem taraf ndan s n rlanan cisme, prizma denir. Prizman n iki taban aras ndaki uzakl a, prizman n yüksekli i denir. * Dik prizma: Yan ayr tlar taban düzlemine dik olan prizmaya, dik prizma denir. * E ik prizma: Yan ayr tlar taban düzlemine dik olmayan prizmalara, e ik prizma denir. E ik prizman n yan yüzleri paralelkenard r. * Düzgün prizma: Tabanlar düzgün çokgen olan dik prizmaya, düzgün prizma denir. Düzgün prizman n taban köfleleri bir çember üzerindedir. Bu çemberin merkezlerini birlefltiren do ruya eksen denir. * Paralelyüz: Tabanlar paralekenar olan prizmaya, paralelyüz denir. Bir paralel yüzde oniki ayr t,sekiz köflesi ve dört tane de cisim köflegeni vard r. Bir paralelyüzün cisim köflegenleri, birbirini orta noktalar nda keserler. * Dik paralelyüz: Tabanlar paralelkenar, yan ayr tlar tabana dik olan paralelyüze, dik paralelyüz denir. Dik paralelyüzün tabanlar birer paralelkenar olup, karfl l kl yan yüzler birbirine eflit dikdörtgendir. * Dikdörtgenler prizmas : Tabanlar dikdörtgen olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizmas denir. Dikdörtgenler prizmas nda bir köflede kesiflen üç ayr ta, bu dikdör t g e n l e r prizmas n n boyutlar denir. * Bir prizmada, ayn yüz içindeki iki köfleyi birlefltiren do ru parças na, bu prizman n yüz köflegeni denir. * Bir prizmada, ayn yüz içinde bulunmayan iki köfleyi birlefltiren do ru parças na, bu prizman n cisim köflegeni denir. * Bir dikdörtgenler prizmas nda bir cisim köflegeninin uzunlu unun karesi, bir köfleden ç kan üç ayr t n n uzunluklar n n karelerinin toplam na eflittir. k 2 = a 2 + b 2 + c 2 d i r. * Küp : Tüm ayr tlar birbirine eflit olan dikdörtgenler prizmas na, küp denir. Bir küpün bir ayr t n n uzunlu u a birim ise, her yüzünün yüz köflegen uzunlu u a birim, cisim köflegen uzunlu u ise, a 3 birimdir. 24

25 * E ik bir prizman n yanal alan, dik kesit çevresi ile yan ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. Yanal alan = (Dik kesit çevresi). (yan ayr t uzunlu u) * Bir dik prizman n yanal alan, taban çevresi ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = Ç. h d r. * Herhangi bir prizman n tüm alan, yanal alan ile taban alan n n iki kat n n toplam na eflittir. S = Y + 2. G d r. * Dikdörtgenler prizmas n n bir köfleden ç kan ayr tlar n n uzunluklar a, b ve c ise, tüm alan S = (a. b + b. c + c. a) d r. * Bir kenar n n uzunlu u a birim olan bir küpün tüm alan, S = 6a 2 br 2 dir. * Bir dikdörtgenler prizmas n n hacmi, bir köflesinden geçen üç ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. V = a. b. c birimküptür. * Bir dörtgenler prizmas n n hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflittir. V = G. h d r. * Bir ayr t a birim olan bir küpün hacmi, V = a 3 birimküptür. * Bir e ik prizman n hacmi, dik kesitinin alan ile bir yan ayr t uzunlu unun çarp m na eflittir. Hacim = (Dik kesitinin alan ). (yan ayr t uzunlu u) * Bir dik prizman n hacmi, taban alan ile, yüksekli inin çarp m na eflittir. Taban alan G, yükseklik h ise, V = G. h d r. * Euler ba nt s : Bütün prizmalar aras nda, Köfle say s + yüzey say s - ayr t say s = 2 ba nt s vard r. Bu ba nt ya Euler ba nt s denir. * Cavalieri lkesi: Tabanlar n n alanlar ve yükseklikleri eflit olan iki cismin tabanlar na paralel ve tabanlardan ayn uzakl ktaki kesitlerinin alanlar eflit olursa, bu iki cismin hacimleri de eflit olur. 25

26 ALIfiTIRMALAR 1. Afla da, ayr tlar n n uzunluklar verilen dikdörtgenler prizmas n n, alanlar n ve hacimlerini bulunuz. a) a = 3 cm b = 15 cm c = 6 cm b) a = 2,6 cm b = 3,8 cm c = 4, 4 cm c) a = 10 cm b = 4 cm c = 20 cm 2. Afla da, bir ayr t n n uzunlu u verilen küplerin, alanlar n ve hacimlerini bulunuz. a) a = 7cm b) c) a = 2 3 cm a = 2 3 cm 3. Bir dik üçgen dik prizman n tabanlar n n dik kenarlar uzunluklar 6 cm ve 8 cm dir. Bu prizman n yüksekli i 12 cm oldu una göre, tüm alan n bulunuz. 4. Eflkenar üçgen dik prizman n bir taban kenar n n uzunlu u 8 cm ve yüksekli i 10 cm oldu una göre, prizman n hacmini bulunuz. 5. Boyutlar 5 cm, 6 cm ve 2 5 cm olan dikdörtgenler prizmas n n cisim köflegeninin uzunlu unu bulunuz. 6. Taban yamuk olan bir dik prizman n yüksekli i 12 cm dir. Taban ayr tlar n n uzun luklar, 3 cm, 4 cm, 5 cm ve 6 cm oldu una göre, bu prizman n yanal alan n bulunuz. 7. Yanal alan 96 cm 2 ve bir taban ayr t n n uzunlu u 6 cm olan kare dik prizman n, hacmini bulunuz. 8. Bir yan ayr t n n uzunlu u 8 cm olan paralelyüzün taban alan 24 cm 2 dir. Bir yan ayr t ile taban düzlemi aras ndaki aç n n ölçüsü 30 oldu una göre, bu parale lyüzün hacmini bulunuz

27 9. Hacmi cm 3 olan bir düzgün alt gen dik prizman n yüksekli i 9 cm dir. Bu prizman n bir taban ayr t n n uzunlu unu bulunuz. 10. E ik kare prizman n 16 cm uzunlu undaki bir yan ayr t ile taban düzlemi aras ndaki aç s n n ölçüsü 30 d r. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 8 cm oldu una göre, bu e ik kare prizman n hacmini bulunuz. 11. Ayr tlar n n uzunluklar 2, 3, 4 say lar ile orant l olan bir dikdörtgenler priz mas n n tüm alan 208 cm 2 oldu una göre, bu dikdörtgenler prizmas n n hacmini bulunuz. 12. Taban eflkenar üçgen olan bir dik prizman n yüksekli i 18 cm ve yanal alan 216 cm 2 dir. Bu dik prizman n hacmini bulunuz. 13. Bir dik yamu un taban kenarlar n n uzunluklar, 7 cm ve 4 cm ve dik kenar n n uzunlu u ise, 4 cm dir. Bu dik yamu u taban kabul eden ve yüksekli i 12 cm olan dik prizman n tüm alan n bulunuz. 14. Bir kenar n n uzunlu u 10 cm olan küpün alan, taban kenarlar n n uzunluklar 20 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenler prizmas n alan na eflittir. Buna göre, dikdört genler prizmas n n hacmini bulunuz. 15. Taban kenarlar n n uzunluklar a cm ve b cm, yüksekli i c cm olan bir dikdört genler prizmas nda, a, b ve c nin aritmetik ortalamas 10 dur. Taban çevresi 40 cm oldu una göre, bu dikdörtgenler prizmas n n yanal alan n bulunuz. 27

28 TEST I 1. Boyutlar 4 cm, 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizmas n n tüm alan, kaç cm 2 d i r? A) 104 B) 192 C) 208 D) Bir kenar n n uzunlu u 5 cm olan bir küpün tüm alan, kaç cm 2 dir? A) 125 B) 150 C) 175 D) Cisim köflegenin uzunlu u 4 3 cm olan bir küpün hacmi, kaç cm 3 dür? A) 64 B) 96 C) 128 D) Yüz köflegenin uzunlu u 7 2 cm olan bir küpün yanal alan, kaç cm 2 dir? A) 147 B) 196 C) 294 D) Bir taban kenar n n uzunlu u 4 cm ve yüksekli i 5 3 cm olan bir düzgün alt gen prizman n hacmi, kaç cm 3 dür? A) 120 B) 240 C) 360 D) Bir taban ayr t n n uzunlu u 4 cm ve yüksekli i 8 cm olan kare dik prizman n tüm alan, kaç cm 2 dir? 28 A) 128 B) 130 C) 156 D) 160

29 7. Bir dikdörtgenler prizmas n n taban ayr tlar n n uzunlu u, di erinin 2 kat d r. Yüksekli i 12 cm olan bu prizman n hacmi 96 cm 3 oldu una göre, taban n n k sa kenar n n uzunlu u kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 8. Taban alan 32 cm 2 olan bir e ik prizman n, bir yan ayr t n n uzunlu u 8 3 cm dir. Bu prizman n yan ayr t n n taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 oldu una göre, bu prizman n hacmi kaç cm 3 tür? A) 256 B) 384 C) 432 D) Dik taban ayr tlar n n uzunluklar 6 cm ve 8 cm olan bir üçgen dik prizman n yük sekli i 10 cm dir. Bu prizman n tüm alan, kaç cm 2 dir? A) 240 B) 288 C) 320 D) Hacmi 48 cm 3 olan bir dikdörtgenler prizmas n n kenarlar n n uzunluklar 1, 2 ve 3 say lar ile orant l oldu una göre, en uzun kenar n n uzunlu u, kaç cm dir? A) 2 B) 4 C) 6 D) Üç farkl yan yüzünün alanlar 3 cm 2, 6 cm 2 ve 8 cm 2 olan dikdörtgenler priz mas n n hacmi, kaç cm 3 tür? A) 12 B) 24 C) 32 D) 48 29

30 12. Hacimleri eflit olan iki prizmadan birinin taban alan, di erinin taban alan n n üç kat d r. Buna göre, yüksekliklerinin oran kaçt r? A) 1 9 B) 1 6 C) 1 3 D) Bir beflgen dik prizman n taban kenarlar n n uzunluklar 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm ve yüksekli i 12 cm dir. Bu dik prizman n yanal alan, kaç cm 2 dir? A) 120 B) 180 C) 220 D) (fiekil 1.19) daki küpte, [D B] cisim köflegeni, [D A] yüz köflegenidir. D AB üçgeni için afla daki ifadelerden hangisi do rudur? A) kiz kenar dik üçgendir. B) Çeflit kenar dik üçgendir. C) Dar aç l ikizkenar üçgendir. D) Genifl aç l ikizkenar üçgendir. fiekil

31 15. Bir kare dik prizman n hacmi 200 cm 3, yüksekli i 8 cm dir. Bu kare dik prizman n taban n bir kenar n n uzunlu u, kaç cm dir? A) 3 B) 4 C) 5 D) (fiekil 1.20) deki üçgen dik prizman n tüm ayr tlar n n uzunluklar birbirine eflittir. Bu üçgen dik prizman n hacmi cm 3 oldu una göre. bir ayr t n n uzun lu u kaç cm dir? A) 1 B) 2 C) 3 D) Boyutlar 26 cm, 18 cm ve 2 cm olan 6 kitap, üst üste konuldu unda, kaç cm 3 lük yer kaplar? A) 4824 B) 5258 C) 5422 D) 5616 fiekil

32 18. Bir kenar n n uzunlu u 6 cm olan, küp fleklindeki kutunun içine 2 cm, 3 cm, 4 cm boyutlar ndaki küçük kutulardan, kaç tane yerlefltirebiliriz? A) 3 B) 4 C) 6 D) Ayr tlar n n toplam uzunlu u 60 cm olan küp fleklindeki cismin hacmi, kaç cm 3 tür? A) 27 B) 64 C) 125 D) Dikdörtgenler prizmas fleklindeki bir su deposunun uzunlu u 4 m, geniflli i 3m, yük sekli i 5 metredir. Depo tamamen su ile doludur. Bu depoya 36 m 3 daha fazla su alabilmesi için, yüksekli i kaç metre olmal d r? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 32