: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

Transkript

1 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir. Yönlü do ru parças nda; bafllang ç noktas, ise bitim noktas d r. Tan m : ir d do rusu üzerinde;,, ve noktalar alal m. d do rusuna, ve önlü do ru parçalar n n tafl c s ; d do rusunun düzlemindeki konumuna da ve n n do rultusu denir. önlü do ru par- irbirine paralel olan do rular n do rultular an d r. ças nda ön, dan e do rudur. ve noktalar aras ndaki uzakl a, n n uzunlu u denir ve ile gösterilir. ir önlü do ru parças ; önü, uzunlu u ve do rultusu ile bellidir. E d Tan m : Tafl c lar an vea paralel olan önlü do ru parçalar na, paralel önlü do ru parçalar denir. d d d 1 E F G H,,, d ise // E, F d G, H d ve ise 1 d // d 1 EF // GH Tan m : Yönleri z t ve tafl c lar an vea birbirine paralel olan önlü do ru parçalar na, z t (ters) önlü do ru parçalar denir. d d1 d // z t önlü do ru parçalar d r. afllang ç ve bitim noktas an olan önlü do ru parças, ile gösterilir. önlü do ru parças n n uzunlu u s f r, önlü ve do rultusu belirsizdir. 135

2 Tan m : o rultular ve önleri an, uzunluklar eflit olan önlü do ru parçalar na, efl önlü do ru parçalar denir. ve efl önlü do ru parçalar fleklinde gösterilir. ve // ve = az l r. önlü do ru parças na d fl ndaki E noktas ndan EF // ve EF = olacak flekilde bir önlü do ru parças çizilir. urada, EF olur. d 1 E F d EF : Yandaki flekilde;, ve d dir. Uç noktalar, ve olan önlü do ru parçalar n azal m. : önlü do ru parças nda; bafllang ç, bitim noktas d r. önlü do ru parças nda; bafllang ç, bitim noktas d r. d do rusu önlü do ru parças n n do rultusudur. Yönü dan e do rudur.,, ve önlü do ru parçalar nda, bafllang ç ve bitim noktalar n söleiniz. d do rusu ukar da az lan önlü do ru parçalar n n tafl c s d r. d : fiekilde; d 1 // d ve = EF = KL = birim, = GH = MN = 1 birim ise birbirine efl önlü do ru parçalar n ve z t önlü do ru parçalar n azal m. E F d 1 H G K L M N d : EF ile KL ve ile MN n n önleri ve do rultular an, uzunluklar eflit oldu undan; EF KL ve MN d r. ve EF n n do rultular an, uzunluklar eflit olmas na karfl n önleri z t oldu undan; / EF d r. ile GH ;, EF, KL ile MN an önlü do ru parçalar d r. ile GH ;, EF, KL ile MN z t önlü do ru parçalar d r. üzlemde önlü do ru parçalar kümesinde tan ml efl ( ) olma ba nt s n n, denklik ba nt s oldu unu gösterelim. 1. Her önlü do ru parças kendine eflittir. dir. (ans ma özelli i). üzlemin her, önlü do ru parçalar için, olur. ( simetri özelli i) 3. üzlemin her, ve önlü do ru parçalar için, ve EF EF EF olur. (geçiflme özelli i) Yönlü do ru parçalar aras ndaki efl ( ) olma ba nt s n n; ans ma, simetri ve geçiflme özellikleri oldu undan, denklik ba nt s d r. u nedenle önlü do ru parçalar kümesinde efl olma ba nt s, kümei denklik s n flar na a r r. 136

3 LIfiTIRMLR 1. Yandaki önlü do ru parças n n; bafllang ç noktas n, bitim noktas n, do rultusunu, önünü belirtiniz. d. Yandaki üçgeninin kenarlar n n orta noktalar ;, E ve F dir. irbirine efl önlü do ru parçalar n az n z. F E 3. Yandaki eflkenar dörtgeninden ararlanarak, afla da az lan ba nt lar n do ru a da anl fl olduklar n belirtiniz. a. b. c. d. VEKTÖR Tan m : Yönlü do ru parçalar aras ndaki efl olma denklik ba nt s ile ar lan denklik s n flar n n her birine, vektör denir. Vektörler Áu, Áv, Áw,... gibi harflerle gösterilir. Áu vektörü, önlü do ru parças na denk olan bütün önlü do ru parçalar n n temsilcisi olan vektördür. Tan m : afllang ç ve bitim noktas an olan vektörlere, s f r vektörü denir.... Á0 ile gösterilir. ir vektör; önü, do rultusu ve uzunlu u de iflmemek üzere er de ifltirebilir. öle vektörler, eflit vektörlerdir. Áu ve Áq eflit vektörler ise, Áu = Áq fleklinde gösterilir. vektörünün uzunlu u (normu), vea ile gösterilir. Normu (uzunlu u) 1 birim olan vektörü, birim vektör denir. Örne in; = 5 birim ise = 5 birimdir. = 5 birim ise = 5 birimdir. ve vektörlerinin do rultular ve önü an, uzunluklar eflit oldu undan, = vektörüdür. o rultular an önleri z t olan vektörlere ise, z t (ters) vektörler denir. fiekildeki EF ve GH, z t vektörlerdir. E u u u... F EF... u G F E G H M K GH v KL v v H MN... v d N L 137

4 Yandaki flekilde; ve vektörleri do rultular an, uzuklar eflit z t vektörler olup, = az l r. : Yandaki flekilde, paralelkenar nda eflit vektörleri azal m. : []//[] ve = = ve =, []//[] ve = = ve =, = ve,, noktalar do rusald r. = ve = olur. P NL T K ÜZLEME VERTÖRLER Tan m : nalitik düzlemde, ( 1, 1 ) ve (, ) noktalar verilsin. vektörüne eflit ve bafllang ç noktas orijin olan vektörüne, vektörünü çizelim. vektörünün er (vea konum) vektörü denir. = P oldu undan, P paralelkenard r. P(a,b) ise a= 1 ve b= 1 olur. u durumda; ( 1, 1 ) ve (, ) olmak üzere, vektörünün er vektörü, ( 1, 1 )=(a,b) olur. =(a,b) fleklinde gösterilir. a reel sa s na, P konum vektörünün birinci bilefleni; b reel sa s na da ikinci bilefleni denir. ir Vektörün Normu (Uzunlu u) =(a,b) vektörü verilsin. P = a + b bileflenleri cinsinden az l r. =(a,b) er vektörünün uzunlu u (normu), P vea P ile gösterilir. P P dik üçgeninden, nalitik düzlemde her ( 1, 1 ) noktas na, =( 1, 1 ) er vektörü karfl l k gelir. Her vektöre de analitik düzlemde bir nokta karfl l k gelir. vektörü erine Á vektörü de az labilir. : (,3), (3,5) noktalar verilior. nün er vektörünün bileflenlerini bularak uzunlu unu hesaplaal m. olur. P : =( 1, 1 )=(3,5 3)=(1,) P = =(1,) den, vektörünün birinci bilefleni 1 ve ikinci bilefleni vektörünün normu, P = P = a + b = 1 + = 5 birim bulunur. : (, 3) ve (a, 1) noktalar verilior. =5 birim ise a reel sa lar n bulal m. : =(a,1+3) = (a ) + 4 = 5 (a ) = 9 oldu undan a = 5 vea a = 1 bulunur. P P 5 3 ( 1, 1 ) P (, ) P(a, b) 3 P(a, b) P 138

5 ki Vektörün Eflitli i Á( 1, 1 ) ve Á(, ) vektörleri verilsin. Á = Á 1 = ve 1 = dir. : Á=(a+b,4), Á=( 1,b a) vektörleri verilior. Á=Á ise a+b de erini bulal m. : Á = Á (a+b,4) = ( 1,b a) a+b = 1 ve 4 = b a olur. a + b = 1 = 4 b = 1 ve a = 3 tür. uradan, a+b = 3+1 = bulunur. : (3,a) ve (b, ) noktalar verilior. = ( 3,) ise a+b de erini bulal m. : = (b 3, a) = ( 3,) b 3 = 3 b = 0, a = a = 4 a + b = 4 olur. ki Vektörün Toplam ve Fark nalitik düzlemde, Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) vektörleri verilsin. Á + Á = ( 1 +, 1 + ) ve Á Á = ( 1, 1 ) fleklinde tan mlan r. fiekilde, ve vektörlerinin toplam paralelkenar kural na göre vektörüdür. ( 1, 1 ) Á = ( 1, 1 ) = (, ) Á = (, ) paralelkenar nda, ( 1 +, 1 + ) dir. u durumda, Á + Á = Á = ( 1 +, 1 + ) ve (, ) = Á Á = ( 1, 1 ) olur. (X 1, +, + ) 1 (, ) : Á = ( 3,4) ve Á = (1,) vektörleri verilsin. Á + Á ve Á Á vektörlerini bulal m. ( 3, 4) + = (, 6 ) 6 4 : Á = ( 3,4) ve Á = (1,) vektörleri için, Á + Á = ( 1 +, 1 + ) = ( 3+1,4+)=(,6) Á Á = ( 1, 1 ) = ( 3 1,4 )=( 4,) olur. = ( 4, ) (1, ) : (1,) ve ( 3, ) noktalar ile Á = ( 1,5) vektörü verilior. + Á ve Á vektörlerini bulal m. : = Á Á = ( 3 1, ) = ( 4, 4) olur. Á + Á = ( 4, 4) + ( 1,5) = ( 4 1, 4 + 5) = ( 5,1) ve = ( 1,5) ( 4, 4) = ( 1 + 4,5 + 4) = (3,9) bulunur. 139

6 Vektörler Kümesinde Toplama flleminin Özellikleri üzlemde vektörler kümesi V olsun: 1. Á, Á V için Á, Á V dir. ki vektörün toplam ine bir vektör oldu undan, V vektörler kümesi toplama ifllemine göre kapal d r. Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) ise Á +Á=( 1 +, 1 + )=( 0, 0 )=Á V dir.. Á, Á V için Á + Á = Á + Á dür. V kümesinde toplama iflleminin de iflme özelli i vard r. Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) ise Á +Á=( 1 +, 1 + )=( + 1, + 1 )= Á + Á olur. 3. Á, Á, Á V için Á + (Á + Á)=(Á + Á) + Á dür. V kümesinde toplama iflleminin birleflme özelli i vard r. Á=( 1, 1 ), Á=(, ) ve Á=( 3, 3 ) ise, Á + (Á + Á)=( 1, 1 )+( + 3, + 3 )=( , )=( 1 +, 1 + )+( 3, 3 ) = (Á + Á) + Á oldu u görülür. 4. Á V için Á + Á0 = Á0 + Á = Á olur. Á0 vektörü, toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman d r. Á=( 1, 1 ) ve Á0=(0,0) ise Á +Á0=( 1 +0, 1 +0)=( 1, 1 )=Á olur. 5. Á V için Á + Á = Á + Á = Á0 olacak flekilde, Á = Á vard r. Á vektörüne, Á vektörünün toplama ifllemine göre tersi denir. Á=( 1, 1 ) ve Á= Á =( 1, 1 ) ise Á +Á=( 1 1, 1 1 )=(0,0)= Á0 dür. Á=( 1, 1 ) vektörünün toplama ifllemine göre tersi, Á =( 1, 1 ) vektörüdür. ir Vektörün ir Reel Sa ile Çarp m V vektörler kümesinde her Á = ( 1, 1 ) vektörü ve k R için k.á = k.( 1, 1 ) = (k. 1,k. 1 ) fleklinde tan mlan r. k.á = Á olsun. k < 0 ise, Á ile Á ters önlü ve Á = k Á, k > 0 ise, Á ile Á an önlü ve Á = k Á, k = 0 ise, Á = Á0 olur. k 0 ve Á = k.á ise; Á ve Á vektörlerinin do rultular an oldu undan, Á // Á dür. : Á = ( 1,) ve Á = (,3) vektörleri verilior. Á 3Á vektörünü bulal m. : Á = ( 1,), = (,3) vektörleri için, Á 3Á = ( 1,) 3(,3) = (,4) + ( 6, 9) = ( 6,4 9) = ( 8, 5) olur. : Á = (, 1), Á = (3,1) ve Á = (1, 4) vektörleri verilior. Á + Á = Á ise ve reel sa lar n bulal m. Á + Á = Á + 3 = 1 + = 4 : Á=(, 1), Á=(3,1) ve Á=(1, 4) vektörleri için, (, 1)+(3,1)=(1, 4) (, )+(3,)=(1, 4) (+3, +)=(1, 4) olur. uradan, denklem sistemi elde edilir. u sistemin çözümünden, 140 = 13 5, = 7 5 bulunur.

7 VEKTÖRLER N R REEL SYI LE ÇRPIMININ ÖZELL KLER Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) vektörleri verilsin. k, p R ise: 1. k.(á+á)=ká+ká dür. k.(á+á)=k.( 1 +, 1 + )=(k 1 +k,k 1 +k )=(k 1,k 1 )+(k,k )=k.( 1, 1 )+k.(, )=k.á+ká olur.. (k+p)á=ká+pá dür. (k+p)á=(k+p)( 1, 1 ) = ((k+p). 1, (k+p). 1 )=(k 1 +p 1, k 1 +p 1 ) = (k 1, k 1 ) + (p 1, p 1 ) = k.( 1, 1 ) + p.( 1, 1 ) = ká+pá olur. 3. k.(p.á) = p.(k.á) = (k.p)á dür. k.(p.á) = k.(p.( 1, 1 )) = k.(p 1,p 1 ) = (kp 1,kp 1 ) = (kp)( 1, 1 ) = k.p.á olur Á = 1( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) = Á 1.Á = 1( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) = Á 0.Á = 0( 1, 1 ) = (0,0) = Á0 k.á0 = k(0,0) = (0,0) = Á0 olur. K VEKTÖRÜN PRLELL Á Á0, Á Á0 ve k 0 olmak üzere, Á=k.Á Á // Á dür. Á=( 0, 0 ) ve Á=( 1, 1 ) ise ( 0, 0 )=k( 1, 1 ) ( 0, 0 )=(k 1,k 1 ) 0 = k 1 ve 0 = k 1 eflitliklerinden, 0 1 = 0 1 = k olacakt r. ulunan oran, iki vektörün paralellik flart d r. : Á= (a 1,) ve Á (3, 4) vektörleri verilior. Á // Á ise Á vektörünün normunu bulal m. : // Á Á=kÁ dür. (a 1,)=k(3, 4) (a 1,)=(3k, 4k) a 1=3k ve = 4k olur. uradan, a 1 3 = 4 = k a = 1 bulunur. 9 Á= 1 dir. Á vektörünün normu, Á = olur = 5 4 = 5 1, = 3, : (3, ), ( 1,5) noktalar ile Á=(a, a+1) vektörleri verilior. // Á ise a de erini bulal m. : = = ( 1,5) (3, )=( 1,5)+( 3,)=( 4,7) 4 // Á 8a 4=7a 14 a= a = 7 a +1 3 bulunur. : Á=(,1), Á=( 1,4) ve Á=(0, 3) vektörleri verilior. + 3 vektörünün uzunlu- unu bulal m. : = Á Á=( 1,4) (,1)=( 3, 3) ve = Á Á= (0, 3) ( 1,4)=(1, 7) bulunur. + 3 = ( 3,3)+3(1, 7)=( 6+3,6 1)=( 3, 15) bulunur. Vektörün uzunlu u ise, + 3 = ( 3) +( 15) = = 34 = 3 6 birim 141

8 LIfiTIRMLR 1. nalitik düzlemde; ( 1,3), (, 3) ve ( 1, 4) noktalar verilior., ve vektörlerinin bileflenlerini bulunuz.. Á=(3,5), Á=(0, 4), Á=( 7,0) ve Á=(, 5) vektörlerini analitik düzlemde gösteriniz. 3. (,5) ve (1,1) noktalar verilior. vektörünü ve konum (er) vektörünü analitik düzlemde gösteriniz. vektörünün normunu bulunuz. 4. (7, 5) ve (a, 3) noktalar verilior. =17 ise a reel sa lar n bulunuz. 5. (,3), ( 5, 1), (a, ) ve (4,b) noktalar verilior. = ise a ve b reel sa lar n bulunuz. 6. Á=(3, 1) ve Á=(6,11) vektörleri verilior. a) Á ve Á vektörlerinin toplama ifllemine göre terslerini bulunuz. b) Á + Á ve Á Á vektörlerini bulunuz. c) ve vektörlerini bulunuz. 7. (,7), ( 6,3) ve ( 3,4) noktalar verilior. a) + ve vektörlerini bulunuz. b) ve 3 + vektörlerini bulunuz. 8. Á + Á= ( 4, 5) ve Á 3Á=( 18, 5) ise Á ve Á vektörlerini bulunuz. 9. = (8, 3) ve Á= ( 1, 9) ise Á nu hesapla n z. 10. Á= ( 1, ), Á= (4, 1) ve Á= ( 16, 11) vektörleri verilior. Á + Á= Á eflitli ini sa laan ve reel sa lar n bulunuz. 11. Á=(3, 1) ve Á=(a+1, 3 a) vektörleri verilior. Á // Á ise a de eri kaçt r? 1. =(5, 8) ve Á=(3, k) vektörleri verilior. Á // Á ise k de eri kaçt r? 13. (7, 4) ve (4, a) noktalar ile Á= (6, 8) vektörü verilior. // Á ise vektörünün uzunlu- unu bulunuz. 14

9 R M VEKTÖR Tan m : Uzunlu u 1 birim olarak vektöre, birim vektöre denir. Á = 1 birim ise, Á vektörü birim vektördür. : Á= 5 1, vektörünün birim vektör oldu unu gösterelim : Á = = birim olur = = 1 u durumda Á vektörü birim vektördür. nalitik düzlemde Áe 1 = (1, 0) ve Áe = (0, 1) birim vektörlerine, taban birim vektörler denir. u vektörler; standart (temel vea baz) birim vektörleri olarak da adland r l r. Áe 1 ata birim vektörü, ÁΙ ile Áe düfle birim vektörü, Áj ile gösterilir. ir Á vektörü ile an önde ve do rultuda ÁΙ gibi bir birim vektör vard r. Á=( 1, 1 ) vektörü ile an do rultu ve e = (0, 1) e 1 = (1, 0) öndeki birim vektör, ÁÁΙ = 1. vea = ( 1, 1 ) ÁÁΙ = , dir. Çünkü I 1 ÁÁΙ = birim = = ve ÁÁΙ = k.á k = > 0 = 1. oldu undan, ÁÁΙ ile Á vektörleri an önde ve do rultudad r. : Á=( 1, ñ3) vektörü ile an do rultudaki birim vektörleri bulal m. : Á=( 1, ñ3) vektörü için, Á = ( 1) + ( 3) = dir. Á ile an öndeki birim vektör, ÁΙ 1 = Á ile ters öndeki birim vektör, ÁΙ = 1. = 1 ( 1, 3) = 1, 3 1. = 1 ( 1, 3) = 1, ve bulunur.

10 VEKTÖRLER N L NEER LEfi M Tan m : Á ve Á vektörleri verilsin., R olmak üzere.á +.Á= Á ise Á vektörüne, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi denir. V vektörler kümesinin her eleman Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde az labiliorsa; {Á, Á} kümesi V kümesini gerer (örter) denir. Örne in, Á= ( 5, 3) ve Á= (, 7) vektörleri için, Á= Á Á= ( 1, 1) Á= 4Á+3Á= ( 14, 33) vektörleri Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimidir. : Á=(, 3) vektörünü, Á= ( 1,3) ve Á= (1, ) vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde azal m. : Á= (, 3) vektörü Á= ( 1, 3) ve Á= (1, ) vektörlerinin lineer bileflimi ise;, R olmak üzere, Á= Á+Á dür. (, 3)= ( 1, 3)+(1, ) ve (, 3) = ( +, 3 ) olur. + = denklem sisteminde, = 1 ve = 3 olur. uradan, Á= Á 3Á fleklinde az l r. 3 = 3 : Á = ( 1, 0) ve Á=(0,) vektörleri verilior. {Á, Á} kümesinin V= RR vektörler kümesini gerdi ini gösterelim. : Á V için Á + Á = Á = (a,b) olsun. ( 1, 0) + (0, ) = (a, b) (, 0) + (0, ) = (a, b) (, )=(a, b) den = a ve = b bulunur. Á vektörü, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde az ld ndan {Á, Á} kümesi V vektörler kümesini gerer. üzlemde her Á = ( 1, 1 ) vektörünü taban birim vektörlerin lineer bileflimi fleklinde azabiliriz. fiekilden; = P +P = 1 Áe Áe olur. = (1, 1 ) 1 e Çünkü Á = ( 1, 1 )= 1 (1,0)+ 1 (0,1) = 1 Áe Áe fleklinde de ifade edilebilir. Á= 1 Áe Áe vektörlerindeki 1 Áe 1 vektörüne, vektörünün ata e bilefleni; 1 Áe vektörüne de, düfle bilefleni denir. e 1 1 e P 1 : Á= ( 7, 6) vektörünü Áe 1 ve Áe vektörlerinin lineer bileflimi olarak azal m. : Á= ( 7, 6)= 7(1, 0) + 6(0, 1)= 7 Áe 1 + 6Áe olur. : Á= Áe 1 5Áe ve Á= 3 Áe 1 + 4Áe vektörleri verilior. Á+Á normunu bulal m. : Á= Áe 1 5Áe =(, 5) ve Á= 3 Áe 1 + 4Áe = ( 3, 4) tür. Á+Á=( 3) Áe 1 +( 5+4)Áe = Áe 1 Áe =( 1, 1) oldu undan, Á+Á = ( 1) + ( 1) = birimdir. 144

11 ki Vektörün Lineer a ml l Tan m : üzlemde s f rdan farkl Á ve Á vektörleri verilsin. k 1 Á + k Á= Á0 eflitli ini sa laan en az biri s f rdan farkl k 1 ve k reel sa lar varsa, Á ve Á vektörlerine, lineer (do rusal) ba ml vektörler denir. k 1 ve k nin en az biri s f rdan farkl ve k 1 Á + k Á= Á0 ise Á= u durumda düzlemde Á ve Á vektörleri lineer ba ml ise Á // Á olur..á vea Á= k.á ise, Á // Á dür. : Á= (3, 4) ve Á= ( 9, 1) vektörlerinin lineer ba ml oldu unu gösterelim. : k 1 Á + k Á= Á0 k 1 (3, 4) + k ( 9, 1)= (0, 0) (3k 1 9k, 4k 1 + 1k )= (0, 0) 3k 1 9k = 0 denklem sisteminin k 1 = 3k fleklindeki sonsuz çözümü oldu undan, 4k 1 +1k = 0 Á ve Á vektörleri lineer ba ml d r vea Á= 3Á oldu undan, Á // Á dür. ulunan bu sonuç, vektörlerin lineer ba ml oldu unu gösterir. : Á= Áe 1 + Áe ve Á=m Áe 1 6Áe vektörleri lineer ba ml ise m de erini bulal m. : Á= Áe 1 + Áe = ( 1, ) ve Á=m Áe 1 6Áe = (m, 6) bulunur. Á ve Á vektörleri lineer k k 1 ba ml ise Á // Á ve 1 m = 6 olmal d r. uradan, m= 3 bulunur. : üzlemdeki her vektörün s f r vektörü ile lineer ba ml oldu unu gösterelim. : Á= ( 1, 1 ) olsun. k 1, k R olmak üzere k 1 Á + k Á0 = Á0 eflitli i, k 1 = 0 ve k 0 için daima sa lan r. Tan m gere ince, Á ve Á0 vektörleri lineer ba ml d r. Lineer a ml Vektörler Kümesi V= {Á 1, Á, Á 3,..., Á n } vektörler kümesi ile k 1, k, k 3,...,k n R sa lar verilsin. k 1, k, k 3,...,k n reel sa lar ndan en az biri s f rdan farkl olmak üzere k 1 Á 1 + k Á + k 3 Á k n Á n = Á0 eflitli i sa lan orsa V kümesine, lineer (do rusal) ba ml vektörler kümesi denir. : Á= (6, 4) ve Á= ( 9, 6) vektörleri verilior. {Á, Á} kümesinin lineer ba ml küme oldu unu gösterelim. : 6 oldu undan, Á // Á dür. u durumda k 1 Á + k Á= Á0 eflitli inde k 1 ve k den 9 = 4 6 en az biri s f rdan farkl d r. hâlde, {Á, Á} kümesi lineer ba ml bir kümedir. : Á= (1, ), Á= ( 1, 3) ve Á= (4, ) vektörleri verilior. {Á, Á, Á} kümesinin lineer ba- ml oldu unu gösterelim. :,, z R için; Á + Á + zá= Á0 (1, ) + ( 1, 3) + z(4, )= (0, 0) ( +4z, +3 z) = (0, 0) + 4z = 0 denklem sistemi elde edilir. z= k olsun. u de eri denklemlerde erine azal m. + 3 z = 0 = 4k denklem sistemi elde edilir. u sistemin çözümünden; = k, = k bulunur. + 3 = k Á + Á + zá= Á0 sisteminde;, ve z den en az biri için s f rdan farkl çözümünün oldu u görülür. 145

12 uradan; k=1 al rsak, Á + Á + Á= Á0 olur. u durumda {Á, Á, Á} kümesi lineer ba ml bir kümedir. Á + Á + Á= Á0 Á = Á Á fleklinde Á vektörü, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi olarak az labilir. üzlemde bu üç vektör lineer ba ml oldu undan herhangi birini di er ikisinin lineer bileflimi fleklinde azabiliriz. 35 : Á = (k 1, ) ve Á= (, k+1) vektörleri lineer ba ml iki vektör ise pozitif k sa s kaçt r? Tan m : ir eleman Á0 vektörü olan her vektör kümesi Lineer ba ml bir vektör kümesidir. : Áϑ= (Á0, (m 1) Áa 1, (n ) Áa, (k 3) Áa 3 ) vektör kümesi verilsin Áϑ vektörü lineer ba ml bir vektör kümesi ise m+n+k toplam kaçt r? : Á // Á olmal d r. 35 k 1 = k k 1=. k = 36 k= +6 bulunur. k= 6 IR + : t.á0 + (m 1) Áa 1, (n ) Áa, (k 3) Áa 3 = Á0 t= 1 ve m 1= 0, n = 0, k 3 = 0 m= 1 n= k= 3 oldu undan t= 1 kabul edilirse t 0 olup eflitlik sa land ndan m+n+k= 1++3= 6 bulunur. u durumda Áϑ vektörü lineer ba ml bir vektördür. ki Vektörün Lineer a ms zl Tan m : üzlemde Á Á0 ve Á Á0 olmak üzere k 1 Á + k Á= Á0 eflitli ini sa laan aln z k 1 = k = 0 de erleri varsa Á ve Á vektörlerine, lineer ba ms z vektörler denir. : Á= (, 5) ve Á= (3, 7) vektörlerinin lineer ba ms z olduklar n gösterelim. : k 1 Á + k Á= Á0 k 1 (, 5) + k (3, 7)= (0, 0) (k 1 + 3k, 5k 1 + 7k )= (0, 0) eflitli inden, k 1 + 3k = 0 5k 1 + 7k = 0 sistemi elde edilir. u denklem sisteminin bir tek çözümü, k 1 = k = 0 d r. hâlde, Á ve Á vektörleri lineer ba ms zd r. ki vektör lineer ba ms z ise, paralel de il, ani k R olmak üzere Á k.á dür. : Standart vektörlerin lineer ba ms z oldular n gösterelim. : Áe 1 = (1, 0) ve Áe = (0, 1) için, k 1 Áe 1 + k Áe = Á0 k 1 (1, 0) + k (0, 1)= (0, 0) (k 1, k )= (0, 0) k 1 = k = 0 d r. urada, Áe 1 ve Áe vektörlerinin lineer ba ms z oldu u görülür. u durumda birbirine dik olan iki vektörün lineer ba ms z iki vektör oldu unu söleebilir misiniz? 146

13 LIfiTIRMLR 1. fla daki vektörlerin birim vektör oldu unu gösteriniz. a. Á= 1 b. Á= (cosα, sinα) c. Á=, 3 3 5, 4 5. Á= a, a + 7 vektörü birim vektör ise a reel sa lar n n toplam n bulunuz Á= (1, 7) vektörü ile an do rultudaki birim vektörleri bulunuz. 4. fla daki vektörleri taban (standart) birim vektörlerin lineer bileflimi olarak az n z. a. Á= (3, 0) b. Á= ( 5, 7) c. Á= (, 0) 5. Á= (5, 1), Á= (, 7) ve Á= (5, 3) vektörleri verilior. Á + Á= Á ise ve de erlerini bulunuz. 6. Á= Áe 1 + 3Áe, Á= 5Áe 1 Áe vektörleri verilior. 3Á 5Á vektörünü ve uzunlu unu bulunuz. 7. Á= (k 1, 3), Á= (1, k+1) vektörleri lineer ba ml ise k de erlerini bulunuz. 8. Á= (3, 1), Á= (, a) ve Á= (b, 1) vektörleri verilior. = ise a + b kaçt r? 9. Á= (1, ), Á= (3, 1) ve Á= ( 3, 8) vektörleri verilior..á +.Á= Á eflitli ini sa laan ve de erlerinin toplam kaçt r? 10. Á= (m + 1, 3) ve Á= (m, ) vektörleri lineer ba ml ise m kaçt r? 11. (3, 4), (, 1), (m, 7) ve (4, m + 9) noktalar verilior. // ise m de eri kaçt r? 147