GEOMETR 7 ÜN TE IV KON
|
|
|
- Savas Abacı
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL KON N N HACM 5. KES K KON 6. D K DA RESEL KES K KON N N ALANI 7. DA RESEL KES K KON N N HACM 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST IV
2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Uzayda konik yüzeyin nas l meydana geldi ini aç klayabilecek, * Konik yüzeyi meydana getiren elemanlar ve özeliklerini aç klayabilecek, * Koninin nas l meydana geldi ini, koninin elemanlar n tan yabilecek, * Konilerin neye göre adland r ld n belirtebilecek, * Dik dairesel koninin bütün özeliklerini aç klayabilecek, * Dönel koniyi ve e ik dairesel koniyi tan yabilecek, * Dik dairesel koninin alan n bulabilecek, * Dairesel koninin hacmini bulabilecek, * Kesik koniyi tan yabilecek ve özeliklerini aç klayabilecek, * Dik dairesel kesik koninin alan n bulabilecek, * Dairesel kesik koninin hacmini bulabilecek, * Konilere ait çeflitli uygulamalar yapabilecek ve problemleri çözebilecektir. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 98
3 ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR Uzayda, düzlemsel kapal bir C e risi ile, bu düzlemin d fl nda bir T noktas verilsin. T noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye, konik yüzey denir. (fiekil 4. 1) de, düzlemsel kapal C e risine taban e risi (dayanak e risi), C e risinin düzlemi d fl ndaki T noktas na bu konik yüzeyin tepe noktas, tepe noktas ile C e risinin her noktas ndan geçerek, konik yüzeyi oluflturan do ru parçalar na da, konik yüzeyin ana do rular denir. fiekil KON a. Tan m Taban e risi kapal bir e ri olan, konik yüzeyin tüm ana do rular n kesen bir P düzlemi ile, T tepe noktas aras nda kalan cisme, koni denir. (fiekil 4.2) deki, P düzlemi ile konik yüzeyin kesitine koninin taban, T tepe noktas n n taban na olan uzakl na koninin yüksekli i, taban n n çevresini tepeye birlefltiren e ri yüzeye koninin yanal yüzeyi denir. Koniler tabanlar na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad klar na göre de, dik koni, e ik koni fleklinde adland r l r. 99
4 fiekil 4. 2 b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir. (fiekil 4.3) deki dik dairesel konide, koninin taban olan dairenin yar çap AH = HB = r birim, koninin yüksekli i TH = h birim ve koninin ana do rusunun uzunlu unu TA = TB = a birim ile gösterece iz. fiekil
5 II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri 1. Dik dairesel koninin taban kenarlar, sonsuz say da olan bir düzgün piramittir. 2. Dik dairesel koninin ekseni, yüksekli ine eflit ve simetri eksenidir. 3. Dik dairesel koninin ana do rular, birbirine efltir. 4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir. 5. Dik dairesel koninin taban na paralel bir düzlemle kesiti, bir dairedir. III. Dönel Koni Dik dairesel koni, (fiekil 4.4) deki ABC dik üçgeninin, dik kenarlar ndan birisi etraf nda 360 döndürülmesiyle de elde edilir. Bu dik dairesel koniye, dönel koni denir. fiekil 4. 4 c. E ik Dairesel Koni Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçmeyen koniye, e ik dairesel koni denir. (fiekil 4.5) de, koninin T tepe noktas n, 0 taban merkezine birlefltiren [T0] do ru parças na, koninin ekseni ve T tepe noktas ndan taban düzlemine çizilen [TH] dikmesine de e ik koninin yüksekli i denir. 101
6 fiekil 4. 5 Teorem: Bir dairesel koninin taban na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar çaplar n n oran, tepe noktas n n bu kesitlere olan uzakl klar n n oran na eflittir. spat: Taban yar çap, D0 2 = 0 2 B = r 2 olan bir dairesel koni, taban na paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen kesitin yar çap C 0 1 = 0 1 A = r 1 olsun. Küçük koninin yüksekli i T0 1 = h 1 ve büyük koninin yüksekli i [T0 2 = h 2 olsun (fiekil 4.6). fiekil
7 Kesit dairesi tabana paralel oldu undan, (A. A. A.) Teoremine göre, T 0 1 A T 0 2 B dir. Buna göre, T0 1 T0 2 = 0 1A 0 2 B oldu undan, h 1 = r 1 h r2 2 olur. Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bu teorem, e ik dairesel koni içinde geçerlidir. 2. Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan n n taban alan na oran, tepe noktas n n bunlara olan uzakl klar n n, karelerinin oran na eflittir. Buna göre, Dairesel koninin taban alan G, kesit dairesinin alan G olsun. Koninin yüksekli i h ve kesitin tepe noktas na uzakl h ise, h 2 = G olur. h G ÖRNEK 4. 1 Taban yar çap 6 cm olan bir dik dairesel koni, tepe noktas ndan 3 cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesit dairenin yar çap 2 cm oldu una göre, bu dairesel dik koninin yüksekli ini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin yar çap r 2 = 6 cm ve yüksekli i h 2 olsun. Kesitle elde edilen küçük dik dairesel koninin yüksekli i h 1 = 3 cm ve yar çap r 1 = 2 cm dir. Yukar daki teoreme göre, h 1 h 2 = r 1 r2 ifadesinden, 3 h 2 = 2 6 dir. Orant özeli inden, h 2 = = 18 = 9 cm olur D K DA RESEL KON N N ALANI Teorem: Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. spat: Dik dairesel koni, taban kenar say s sonsuz say da olan bir piramit gibi düflünülürse, piramidin yanal alan formülü, dik dairesel koni içinde geçerlidir. Buna göre, (fiekil 4. 7) deki dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. 103
8 fiekil 4. 7 Taban çevresi 2.π.r birim ve ana do rusunun uzunlu u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan, Y = 1 2. π. r. a = π. r. a birimkaredir. 2 Bir dik dairesel koninin tüm alan n bulmak için, yanal alan na taban alan ilave edilir. S = π. r. a + π. r 2 = π. r ( a + r) birim kare olur. Bu formül e ik koniler için geçerli de ildir. (fiekil 4. 8) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyi, bir ana do rusu boyunca kesilip aç l nca, bir daire kesmesi elde edilir. Bu daire kesmesinin yar çap, a birim ise, dik dairesel koninin ana do rusu da a birim kadard r. 104 fiekil 4. 8
9 AB yay n n uzunlu u, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir. AB = Ç = 2. π. r birimdir. ÖRNEK 4.2 Taban yar çap 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u 8 cm olan dik dairesel koninin, yanal alan n ve tüm alan n bulal m. (π ª 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin taban yarçap r = 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u a = 8 cm dir. Dik dairesel koninin; Yanal alan: Y = π. r. a ifadesinden, Y = = 120 cm 2 dir. Tüm alan : S = πr 2 + Y ifadesinden, S = = = = 195 cm 2 olur. 4. DA RESEL KON N N HACM Teorem: Bir dairesel koninin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. spat: Dairesel koni, taban kenar say s sonsuza yaklaflan bir piramit olarak düflünülürse, hacmi de piramitlerde oldu u gibi taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. Taban yar çap r, yüksekli i h olan dairesel koninin hacmi, V = 1 3 π. r2. h dir. Bu formül dik veya e ik tüm dairesel koniler için de geçerlidir. ÖRNEK 4. 3 Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 9 cm olan dairesel koninin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dairesel koninin taban yar çap r = 6 cm ve yüksekli i h = 9 cm dir. Dik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = 1 3 π = 1 3. π = 108 π cm3 olur. 105
10 ÖRNEK 4.4 (fiekil 4.9) daki e ik dairesel konisinde, [TB] nin taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. A0 = 3 cm ve TB = 8 cm oldu una göre, koninin hacimini bulal m. (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM fiekil 4. 9 fiekil 4.9 deki TBH dik üçgeninde, s TBH = 30 oldu undan, sin 30 = TH 8 ; 1 2 = TH 8 ; TH = 8 = 4 ; TH = h = 4 cm dir. 2 E ik koninin taban yar çap, A0 = r = 3 cm olarak veriliyor. Taban alan : G = π.r 2 ifadesinden, Hacmi: V = G. h 3 V = G = = 3. 9 = 27 cm 2 dir. ifadesinden, = = 36 cm3 olur. 106
11 5. KES K KON Bir dairesel koniyi taban na paralel bir düzlemle kesti imizde, taban ile düzlem aras nda kalan cisme, kesik koni denir (fiekil 4. 10). fiekil Koninin taban na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras ndaki uzakl a, kesik koninin yüksekli i denir. Taban daire olan kesik koniye, dairesel kesik koni, tabanlar n merkezini birlefltiren do ru, taban düzlemine dik ise, bu koniye de dik dairesel kesik koni denir. 6. D K DA RESEL KES K KON N N ALANI Teorem: Dik dairesel kesik koninin yanal alan, tabanlar n n çevrelerinin toplam ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. spat: (fiekil 4.11) de görüldü ü gibi, Kesik koninin yanal alan, büyük koninin yanal alan ile, küçük koninin yanal alan n n fark na eflittir. fiekil
12 (fiekil 4.12) de kesik koninin aç k flekli çizilmifltir. fiekil Buna göre, Y = π. r 2. a 2 - π. r 1. a 1 dir (1) A. A. A teoremine göre, TBH TA0 oldu undan, a 2 a = r 2 1 r1 veya a 2 r = a 1 2 r dir. 1 a 2 r = a 1 2 r = a 2 - a 1 1 r 2 - r = a 1 r 2 - r d r. 1 Buradan, a 2 r 2 = a r 2 - r 1 ise, a 2 = ar 2 r 2 - r 1 ve a 1 ve a 2 de erleri (1) de yerine yaz l rsa, a 1 r 1 = a r 2 - r 1 ise, a 1 = a r 1 r 2 - r 1 dir. Y = πr 2. r 2 a r 2 - r 1 - π r 1 r 1. a r 2 - r 1 = π.a r 2 - r 1 Gerekli sadelefltirmeler yap l rsa, Y = π. a. r 1 + r 2 oldu u görülür. r r 1 2 = π. a r 2 - r 1 r 2 - r 1 r 2 + r 1 dir. Dik dairesel kesik koninin tüm alan, alt ve üst tabanlar n n alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. Buna göre, S = π. r π. r π. a r 1 + r 2 olur. 108
13 ÖRNEK 4. 5 Bir dik dairesel kesik koninin alt taban n n yar çap 6 cm, üst taban n n yar çap 4 cm ve ana do rusunun uzunlu u 8 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin yanal alan n ve tüm alan n bulal m. (π = 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel kesik koninin alt taban n n yar çap r 2 = 6 cm, üst taban n n yar çap r 1 = 4 cm ve ana do rusunun uzunlu u a = 8 cm dir. Dik dairesel kesik koninin, Yanal alan ; Y = π. a (r 1 + r 2 ) ifadesinden, Y = 3. 8 ( 6 + 4) = 24 (10) = 240 cm 2 dir. Tüm alan : S = π r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 2 ifadesinden, S = S = = = 396 cm 2 olur. 7. DA RESEL KES K KON N N HACM Teorem: Tabanlar n n yar çaplar r 1 ve r 2, yüksekli i h olan bir dairesel kesik koninin hacmi, V = 1 3 π. h r 1 2 +r2 + r 1. r 2 dir. spat: Dairesel kesik koni, tabanlar n n kenar say lar sonsuza giden kesik piramit gibi düflünülebilece inden, kesik piramidin hacmi, V = 1 3 h G +G + G.G dir. 1 Kesik koninin alt taban alan bu de erler (1) de yerine yaz l rsa, G = π.r 1 2, üst taban alan G = π. r 2 2 oldu undan, V = 1 3 h π. r 1 2 +π. r π. r 1 2. π. r 2 2 dir. Bu ifadede gerekli sadelefltirmeler yap l rsa, V = 1 3 π. h r r r 1. r 2 olur. 109
14 ÖRNEK 4. 6 Taban yar çaplar 3 cm ve 6 cm, yüksekli i 9 cm olan dairesel kesik koninin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen dairesel kesik koninin taban yar çaplar, r 1 = 3 cm ve r 2 = 6 cm, yüksek l i i h = 9 cm dir. Dairesel kesik koninin hacmi: V = 1 3 π. h r 1 2 +r r 1. r 2 ifadesinden, V = 1 3 π = 9 3 π = 3π 63 = 189 π cm3 olur. 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK 4. 7 Ana do rusunun uzunlu u 5 cm, çap 8 cm olan dik dairesel koninin tüm alan ve hacmini bulal m. (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM Verilen dik dairesel koninin, ana do rusunun uzunlu u a = 5 cm, çap 2r = 8 cm oldu undan, r = 4 cm dir. Dik dairesel koninin tüm alan : S = π. r (r + a) ifadesinden, S = 3. 4 (4 + 5) = 12 (9) = 108 cm 2 dir. Hacmini bulmak için, dik dairesel koninin önce yüksekli ini bulal m (fiekil 4.13). fiekil
15 T0B dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, T0 2 = TB 2-0B 2, ifadesinden h 2 = = = 9 ise, h = 3 cm dir. Hacmi : V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = = = 42 cm 3 olur. ÖRNEK 4. 8 Taban yar çap r, yüksekli i h olan bir dik dairesel koni, tepesinden h 1 kadar uzakl kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin yar çap r 1 oldu una göre, elde edilen küçük koni ile, esas koninin hacimleri aras ndaki oran, konilerin yüseklikleri cinsinden bulal m. ÇÖZÜM (fiekil 4.14) Kesit dairesi tabana parelel oldu undan, fiekil
16 T, AD konisinin hacmi: V 1 = 1 3 π. r 1 2. h 1, T, BC konisinin hacmi: V = 1 3 π. r2. h tir. Buna göre, V 1 V = 1 3 πr 1 2. h π.r2. h = r 1 2 r 2. h 1 h Kesit dairesi tabana paralel oldu undan, d r (1) A. A. A teorimine göre, T0 1 D TDC oldu undan, Her iki taraf n karesini al rsak, r 2 = h 1 h 2 Bunu (1) ba nt s nda yerine yazarsakk, V 1 V = h 2 1 h 2. h 1 h = h 3 1 h 3 olur. r d r. r 1 r = h 1 h t r. ÖRNEK 4. 9 Yüksekli i 16 cm ve taban yar çap 8 cm olan, bir e ik dairesel koni, taban düzlemine paralel bir düzlemle, tabandan 12 cm uzakl kta kesiliyor. Düzlemle, e ik dairesel koninin kesiti olan dairenin alan n bulal m (π 3 al nacakt r.) ÇÖZÜM (fiekil 4.15) deki (T, BC) e ik dairesel koninin yüksekli i h 1 = 16 cm, taban yar çap r 1 = 8 cm dir. fiekil
17 ÛGEOMETR 5 (T, AD) e ik dairesel koninin yüksekli i, h 2 = = 4 cm dir. h 2 = r 2 h r1 ifadesinden, = r 2 8 ve r 2 = = 32 = 2 cm dir. 16 Kesit dairesinin alan : K = π. r 2 ifadesinden, K = = 3. 4 = 12 cm 2 olur. ÖRNEK (fiekil 4.16) da tepe noktas T ve ana do rusunun uzunlu u 10 cm olan bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç n m veriliyor. ÇÖZÜM Dik dairesel koninin taban çevresi, Ç = 2. π. r ifadesinden, 16 π = 2πr ise, r = 8 cm dir. fiekil (fiekil 4. 16) daki AB yay parças n n uzunlu u, dik dairesel koninin taban çevresine eflit olaca ndan, AB = 2. π. r. α 360 Ç = AB = 2. π ifadesinden taban çevresini bulabiliriz. = 5760 π 360 = 16π dir. 113
18 Dik dairesel koninin yüksekli ini bulmak için, (fiekil 4.17) de, THB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, TH 2 =TB 2 - HB 2 ifadesinden, fiekil h = = = 36 ise, h = 6 cm dir. Dik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π.r2. h ifadesinden, V = 1 3. π = 1 3 π = 128 π cm3 olur. ÖRNEK 4.11 (fiekil 4.18) deki e ik dairesel konide, [TA] ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. Taban yar çap 3 cm ve dairesel koninin hacmini bulal m (π 3 al nacakt r). 114 fiekil 4. 18
19 ÇÖZÜM Verilen e ik dairesel koninin taban yar çap r = 3 cm, TA = 6 3 cm do ru parças n n taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 olarak veriliyor. ve [TA] Buna göre, E ik dairesel koninin hacmini bulmak için, önce bu koninin yüksekli ini bulal m. TAH dik üçgeninde, sin 60 = h TA ba nt s ndan, sin 60 = = h 6 3 dir. ÖRNEK ve TA = 6 3 cm oldu undan, Buradan, h = = 3. 3 = 9 cm dir. 2 E ik dairesel koninin hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = = 9. 9 = 81 cm 3 olur. ABCD dik yamu unda, s A = 90, AB = 6 cm, BC = 5 cm ve DC = 2 cm dir (fiekil 4.19). fiekil Bu yamu un [AD] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini ve tüm alan n bulal m. 115
20 ÇÖZÜM Verilen ABCD dik yamu u, [AD] kenar etraf nda 360 döndürüldü ünde oluflan cisim, bir dik dairesel kesik konidir (fiekil 4.20). C noktas ndan, [AB] do rusuna bir dik do ru indirildi inde, DC = AH = 2 cm dir. HB = AB - AH oldu undan, HB = 6-2 = 4 cm dir. CHB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, HC 2 = BC 2 - HB 2 ifadesinden, Buna göre, dik dairesel kesik koninin taban yar çaplar r 1 = 6 cm, r 2 = 2 cm ve yükseklik h = 3 oldu undan, Dik dairesel kesik koninin hacmi: fiekil HC 2 = = = 9 ise, HC = 3 cm ve DA = HC = h = 3 cm dir. V = 1 3 π. h r r 2 2 +r 1. r 2 ifadesinden, V = 1 3 π = π = 52π cm 3 olur. Dik dairesel kesik koninin tüm alan : S = π. r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 1 ifadesinden, S = π π π = 36π + 4π + 5π 8 S = 40π + 40π = 80π cm 2 olur. 116
21 ÖRNEK (fiekil 4.21) deki ABC dik üçgeninde, s BAC = 90, AB = 9 cm ve BC = 12 cm dir. ABC dik üçgeni BC kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal m fiekil ÇÖZÜM ABC dik üçgeni [BC] kenar etraf nda 360 döndürülürse, taban [AD] çapl ve tabanlar ndan birlefltirilmifl, iki dik dairesel koni oluflur. (fiekil 4.22). Bu cismin hacmi, iki dik dairesel koninin hacimleri toplam na eflittir. fiekil
22 ABC dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, BC 2 = AB 2 + AC 2 ifadesinden, BC 2 = BC 2 = = 225 ise, BC = 15 cm dir. ABC dik üçgeninde, Oklid teoremine göre, AB. AC = A0. BC fadesinden, 9.12 = AO. 15 ise, A0 = = 36 5 = 7,2 cm dir. ABC dik üçgeni, [BC] kenar etraf nda 360 döndürdü ümüzde, her iki koninin yar çaplar da AO = 7,2 d r. Taban 0 merkezli çember tepe noktas B olan dik dairesel koninin hacmi, V 1 ve taban 0 merkezli çember tepe noktas C olan dik dairesel koninin hacmide, V 2 olsun. BO + OC = BC = 15 cm oldu una göre, V 1 = 1 3 π A0 2. B0 + V 2 = 1 3 π A0 2. 0C V 1 + V 2 = 1 3 π. AO 2 B0 2 + OC V 1 + V 2 = 1 3 π 7, V 1 + V 2 = 1 π 51, V 1 + V 2 = 259,2 π cm 3 olur. ÖRNEK 4.14 fiekil deki ABCD yamu unda, s DAB = s CBA = 45, CD = 2 cm ve AB = 10 cm dir. Bu yamu un, AB etraf nda 360 döndörülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal m. 118
23 fiekil ÇÖZÜM (fiekil 4.23) deki ABCD yamu u, [AB] kenar etraf nda 360 döndürülürse iki dik dairesel koni ile, bir silindirden meydana gelir. Burada, DC = EF = 2 cm ve AED = AED = BCF = BFC dir. Çünkü bu üçgenler ikizkenar dik üçgenlerdir. s DAB = s CBA = 45 oldu undan, üçgenin dar aç lar n n hepsi 45 dir. AE = BF = = 8 = 4 cm dir. 2 Eflit üçgenlerde eflit aç lar karfl s nda, eflit kenarlar bulunaca ndan, AE = DE = ED = BF = CF = FC = 4 cm dir. A, DD koninin hacmi: V 1 = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V 1 = 1 3 π = 1 3 π = 64 3 π cm3 tür. DD C C silindirin hacmi: V 2 = π. r 2. h ifadesinden, V 2 = π = π. 16, 4 = 64π cm 3 tür. Oluflan cismin hacmi: V = 2V 1 + V 2 V = oldu undan, π + 64π = π π = π cm3 olur. 119
24 ÖRNEK (fiekil 4. 24) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç k flekli veriliyor. AB = 6π, TA = TB = 5 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin tüm alan n ve hacmini bulal m π 3 al nacakt r. fiekil ÇÖZÜM Verilen AB yay n uzunlu u AB = 6 π, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir. Dik dairesel koninin taban daire oldu undan çevresi, Ç = 2.π.r dir. Buna göre, 6 π = 2.π.r ise, r = 3 cm dir. (fiekil 4.25) de, verilen dik dairesel koninin kapal flekli çizilmifltir. 120 fiekil 4. 25
25 Buna göre, 0A = r = 3 cm ve TB = TA = a = 5 cm dir. TOA dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, TO 2 = TA 2 - OA 2 ifadesinden, TO 2 = = 25-9 = 16 ise, TO = h = 4 cm dir. Dik dairesel koninin; Tüm alan : S = π. r (r + a) ifadesinden, S = 3. 3 (3 + 5) = 9 (8) = 72 cm 2 dir. Hacmi: V = 1 3 π. r2. h ifadesinden, V = = 9. 4 = 36 cm 3 olur. ÖRNEK Dik koordinat sisteminde, A (4, 6), O (0, 0) ve B (13, 0) noktalar ndan meydana gelen üçgeni, O x ekseni etraf nda 360 döndürülüyor. Meydana gelen cismin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Dik koordinat sisteminde verilen A0B üçgeni, O x ekseni etraf nda 360 döndürülmesi ile, iki dik koni meydana gelir (fiekil 4. 26). fiekil
26 Taban AD, tepesi 0 noktas olan koninin yar çap AH = r 1 = 6 cm ve yüksekli i, 0H = h 1 = 4 cm dir. Bu dik dairesel koninin hacmi; V 1 = 1 3 π.r 1 2. h 1 ifadesinden, V 1 = 1 3 π = 1 3 π = 48 π cm2 dir. Taban [AD], tepesi B noktas olan koninin taban yar çap, AH = r 2 = 6 cm ve yüksekli i, BH = 0B - 0H = 13-4 = 9, BH = h 2 = 9 cm dir. Bu dik dairesel koninin hacmi: V 2 = 1 3 π. r 2 2.h 2 ifadesinden, V 2 = 1 3 π = 1 3 π = 108 π cm3 dür. V = V 1 + V 2 = 48π π = 156 π cm 3 olur. 122
27 ÖZET Uzayda, düzlemsel kapal bir C e risi ile, bu düzlemin d fl nda bir T noktas ve-rilsin. T noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye, konik yüzey denir. Düzlemsel kapal C e risine taban e risi, C e risinin düzlemi d fl ndaki T noktas na tepe noktas, tepe noktas ile, C e risinin her noktas ndan geçerek konik yüzeyi oluflturan do ru parçalar na, konik yüzeyin ana do rular denir. Taban e risi kapal bir e ri olan, konik yüzeyin tüm ana do rular n kesen bir düzlem ile, tepe noktas aras nda kalan cisme koni denir. Verilen düzlem ile konik yüzeyin kesitine koninin taban, tepe noktas n n tabana olan uzakl na koninin yüksekli i, taban çevresini tepeye birlefltiren e ri yüzeye, koninin yanal yüzeyi denir. Koniler tabanlar na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad klar na göre de, dik koni, e ik koni fleklinde adland r l r. Taban daire olan ve yüksekli i taban n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir. Dik Dairesel Koninin Özelikleri 1. Dik dairesel koninin taban kenarlar sonsuz say da olan bir düzgün piramittir. 2. Dik dairesel koninin ekseni yüksekli ine efl ve simetri eksenidir. 3. Dik dairesel koninin ana do rular birbirine efltir. 4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir. 5. Dik dairesel koninin taban na paralel bir düzlemle kesiti bir dairedir. Dik dairesel koni, bir dik üçgenin dik kenarlar ndan birisi etraf nda, 360 döndürülmesi ile elde edilir. Bu dik dairesel koniye, döner koni denir. Bir dairesel koninin taban na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar çaplar n n oran, tepe noktas n n bu kesitlere olan uzakl klar n n oran na eflittir. Bu e ik dairesel koni içinde geçerlidir. Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan n n taban alan na oran, tepe noktas n n bunlara olan uzakl klar n n, karelerinin oran na eflittir. Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban çevresi ile ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s n eflittir. Taban çevresi 2. π. r birim ve ana do rusunun uzunlu u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan : Y = π. r. a = π. r. a br2 dir. Dik dairesel koninin tüm alan : S = π. r. a + π r 2 = π. r (a + r) dir. 123
28 Bir dairesel koninin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. Taban yar çap r, yüksekli i h olan dairesel koninin hacmi, Bir dairesel koniyi taban na paralel bir düzlemle kesti imizde, taban ile düzlem aras nda kalan cisme, kesik koni denir. Koninin taban na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras ndaki uzakl a, kesik koninin yüksekli i denir. Dik dairesel kesik koninin yanal alan, tabanlar n n çevrelerinin toplam ile, ana do rusunun uzunlu unun çarp m n n yar s na eflittir. Dik kesik koninin alt taban yar çap r 1, üst taban yar çap r 2 ve ana do rusunun uzunlu u a ise, dik kesit koninin yanal alan : Y = 2π.r 1 + 2π.r 2 a 2 = 2π. a r 1 + r 2 2 V = 1 3 π. r2. h dir. Dik koninin tüm alan, alt ve üst tabanlar n alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. S = π. r2 1 + π. r2 + π. a r 1 + r 2 dir. = π. a r 1 + r 2 dir. Tabanlar n n yar çaplar r 1 ve r 2, yüksekli i h olan, bir dairesel kesik koninin hacmi, V = 1 3 π. h r r r 1. r 2 dir. 124
29 ALIfiTIRMALAR 1. Bir dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm ve ana do rusunun uzunlu u 13 cm dir. Bu koninin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π = 3 al nacakt r). 2. Bir dik üçgenin dik kenarlar n n uzunluklar, 3 cm ve 4 cm dir. Bu dik üçgen uzun dik kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 3. Taban yar çap 15 cm ve yüksekli i 20 cm olan dik dairesel koninin tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 4. Tüm alan 75 π cm 2 ve taban yar çap 5 cm olan dik koninin hacmini bulunuz. 5. (fiekil 4.27) deki e ik dairesel konisinde, [TB] ana do rusunun, taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. 0B = 6 cm ve BT = 18 cm ise, bu e ik dairesel koninin hacmini bulunuz. (π 3 al nacakt r). fiekil s A = s D = 90 olan dik yamu unda, AB = BC = 15 cm, CD = 6 cm dir. Bu dik yamu un, [AD] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile oluflan cismin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 7. Bir kenar n n uzunlu u 6 cm olan eflkenar üçgenin bir kenar etraf nda dönmesinden meydana gelen cismin hacmini bulunuz. 8. Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan dik dairesel bir koni, tabana paralel ve tepeden 3 cm uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen dik dairesel kesik koninin, hacmini ve tüm alan n bulunuz (π 3 al nacakt r). 125
30 9. Bir dik dairesel kesik koninin tabanlar n n yar çaplar 5 cm ve 4 cm, yüksekli i 6 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin, tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r) Merkez aç s n n ölçüsü 120 olan, daire diliminin yar çap 6 cm dir. Bu daire dili m i k vr larak dik dairesel koni yap l yor. Oluflturulan bu dik dairesel koninin tüm al n n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 11, Taban alan 80 cm 2 olan, dik dairesel koninin yüksekli i 6 cm dir. Bu koni tepesinden 3 cm uzakl kta tabana parelel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan n bulunuz. 12. Alt taban n çevresi 48 cm ve üst taban çevresi 36 cm olan bir dik dairesel kesik koninin ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. Ana do rusunun uzunlu u 8 3 cm tüm alan n ve hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). oldu una göre, bu, dik dairesel kesik koninin 13. Taban yar çap 5 cm olan bir dik silindirin içine, ana do rusunun uzunlu u13 cm olan bir dik dairesel koni (fiekil 4.28) deki gibi yerlefltiriliyor. Buna göre, silindir ile dik dairesel koni aras ndaki bofllu un hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). fiekil Bir dairesel dik koni tepeden itibaren, yüksekli inin üçte birinden, tabana paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen küçük dik dairesel koninin hacmi 48 cm 3 oldu una göre, kesik koninin hacmini bulunuz. 15. Taban yar çap 5 cm olan e ik dairesel koninin 18 cm uzunlu undaki ana do rusu taban düzlemi ile 30 lik bir aç yapmaktad r. Buna göre, bu e ik dairesel koninin hacmini bulunuz (π 3 al nacakt r). 126
31 TEST V 1. Taban yar çap 6 cm ve yüksekli i 10 cm olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç cm 3 tür? (π = 3 al nacakt r). A) 240 B) 300 C) 360 D) Bir dik dairesel koninin, ana do rusunun uzunlu u 15 cm, yanal alan 180 π oldu una göre, bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm 3 tür? A) 320π B) 360π C) 416π D) 432π 3. Dik kenarlar 15 cm, 20 cm olan dik üçgensel bölge, hipotenüsün etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 1800 B) 2700 C) 3000 D) 3600 fiekil
32 4. (fiekil 4.29) daki bir dik dairesel koninin ana do rusu, taban yar çap ile 60 lik bir aç yapmaktad r. Bu dik dairesel koninin yanal alan 96 cm 2 oldu una göre, hacmi kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r). A) 48 B) 64 C) 116 D) Yanal alan 195 cm 2 olan dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm dir. Bu dik dairsel koninin hacmi, kaç cm 3 tür? (π = 3 al nacakt r.) A) 259 B) 325 C) 350 D) Bir dik dairesel koninin ana do rusu, taban yar çap ile 45 lik bir aç yapmaktad r. Bu dik dairesel koninin taban yar çap 6 cm oldu una göre, hacmi kaç cm 3 tür? A) 72π B) 96π C) 124π D) 216π fiekil s TAB = 30 ve TA = 8 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm 3 tür? π = 3 al nacakt r. 128
33 7. (fiekil 4.30) daki dik dairesel konide, [AB] taban çap ve [TA] ana do rusudur. A) 180 B) 184 C) 192 D) Yar çap 6 cm olan bir daireden, merkez aç s 120 olan bir daire kesmesi kesilip ç kar l yor. Bu daire kesmesi bükülerek bir dik dairesel koni yap l yor. Bu dik dairesel koninin tüm alan kaç cm 2 dir? A) 12 π B) 16 π C) 24 π D) 32 π 9. Bir dik dairesel koninin yüksekli i sabit kalarak, taban yar çap 2 kat na ç karsa, hacmi kaç kat na ç kar? A) 2 B) 4 C) 6 D) Bir dik dairesel koninin yanal alan, taban alan n n 4 kat d r. Bu dik dairesel koninin taban yar çap 5 cm oldu una göre, tüm alan kaç cm 2 dir? A) 125π B) 275π C) 300π D) 375π s ACB = 30 dir. fiekil
34 11. (fiekil 4.31) deki ABC üçgeninde, [AB] [BC] ve AB = 6 cm, Bu ABC dik üçgenin, [AB] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, elde edilen cis m i n hacmi kaç π cm 3 tür? A) 208 B) 216 C) 228 D) Kesik dik dairesel koninin taban yar çaplar 4 cm ve 6 cm ve yüksekli i 3 cm oldu una göre, bu kesik dik koninin hacmi kaç cam 3 tür? (π = 3 al nacakt r.) A) 192 B) 216 C) 234 D) Dik dairesel kesik koninin taban yar çaplar 4 cm, 2 cm ve ana do rusunun uzunlu u 3 cm dir. Bun göre, bu dik dairesel kesik koninin tüm alan kaç π cm 2 dir? A) 38 B) 46 C) 52 D) Yanal alan 60 π cm 2, taban alan 36π cm 2 olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm 3 tür? A) 68 B) 96 C) 120 D) Dik dairesel koninin taban yar çap r, yanal ayr t n n uzunlu u a ve yüksekli i h = 4 cm dir. a + r = 8 cm oldu una göre, bu dik dairesel koninin tüm alan kaç π cm 2 dir? A) 16 B) 24 C) 32 D)
35 16. Ana do rusunun uzunlu u, yüksekli in 3 kat olan bir dik dairesel koninin, tabanyar çap A) 56 3 B) 64 3 C) 85 3 D) cm oldu una göre, hacmi kaç π cm 3 tür? 17. (fiekil 4.32) deki e ik dairesel konsinde, [TB] ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 60 dir. fiekil B = 6 cm, TB = 6 3 cm oldu una göre, hacmi kaç π cm 3 tür? A) 72 B)108 C) 144 D) Taban yar çap 4 3 cm, yanal alan 52 3 π cm 2 olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç π cm 3 tür? A) 121 B) 138 C) 169 D)
36 19. (fiekil 4.33) deki dik yamu unda, BC = 5 cm, CD = 3 cm ve AD = 4 cm dir. Bu yamu un [AB] kenar etraf nda 360 döndürülmesi ile, oluflan cismin alan kaç π cm 2 dir? fiekil A) 48 B) 56 C) 64 D) Yüksekli i 8 cm olan bir dik dairesel koninin, ana do rusunun taban düzlemi ile yapt aç n n ölçüsü 30 dir. Bu dik dairesel koninin hacmi, kaç cm 3 tür? (π 3 al nacakt r.) A) 1254 B) 1348 C) D)
GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R
ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik
GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE
ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan
GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T
ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR
ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN
ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL
ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait
TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST
ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı
Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin
ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR
III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1
2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden
ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI
ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN
9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER
9. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER Siz Yap n Sorular n n Çözümleri 81-84. sayfalar aras Örnek nin çözümü Yar çap 6 m olan
10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI
10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI
PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik
PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ
2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN
V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.
Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin
17. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)
7. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) SİLİNDİR 7.. Tanım: Uzayda düzlemsel bir eğri ile bu eğrinin düzlemine paralel olmayan bir doğrusuna paralel olarak çizilen doğruların oluşturduğu
Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler
MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak
ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.
Üçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30
1. 4. bir ikizkenar üçgen 0 = m () = 0 m () = 70 70 Kıble : Müslümanların namaz kılarken yönelmeleri gereken, Mekke kentinde bulunan Kabe'yi gösteren yön. arklı iki ülkede bulunan ve noktalarındaki iki
9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
ÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II
ÜN TE V A) GEOMETR K C S MLER N YÜZEY ALANLARI a) Dik Piramidin Yüzey Alan b) Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan c) Kürenin Yüzey Alan ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST V-I B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin
BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM
BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi
Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez
TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi
TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...
Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.
ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve
![ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve](/thumbs/61/45470992.jpg "ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve")
GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m
Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI
ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer
SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES
ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik
1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli
Geometrik Cisimlerin Hacimleri
1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN
GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara
Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.
259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK
DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
![DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI](/thumbs/65/52464044.jpg "DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI")
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.
TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda
2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)
AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık
ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I
ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü
MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42
F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III
2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni
ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I
ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik
MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri
Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç
Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak
ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan
ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES
ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN
F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur.
F Z OT ÖRNE 1 : fiekil I L M aranl k bir ortamda, küresel bir fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi topu konulmufltur fiekil II Ifl kl bölge fiekil III ayna a, L, M noktalar n n birinden bak ld nda,
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI
TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla
1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45
990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)
TEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6.
ik Prizmalar 8. Sınıf Matematik Soru ankası TEST 75 1. yrıtlarının uzunlukları, 1 cm ve 1 olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kolinin bütün yüzeyleri kağıt ile kaplanacaktır. 4. 8 cm 1 una göre,
5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI
5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106
1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)
TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140
TEST: 1 1. 4. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 2. 5. A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 96 B) 112 C) 121 D) 128 E) 134 3. 6. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 40 B) 50
Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x
Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin
Page 1. İz Düşüm Çeşitleri ve Metotları
4. İz Düşümler TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Kullandığımız bir çok eşya ve makineyi veya bunlara ait parçaların imal edilebilmesi için şekillerini ifade eden resimlerinin
MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
A A A A A A A A A A A
LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =
12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının
sözel geometri soruları
YAYINLARI sözel geometri soruları LYS Konu Testi: 01 1. Bir üçgenin bir iç aç s n n ölçüsü di er iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bu üçgen için afla dakilerden hangisi kesinlikle do rudur?
12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden
F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden
ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR
ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >
11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na
Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler
Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 5 Nisan 990 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,0703.(0,3 0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00703 B) 0,0703 C) 0,703 D) 0,0703 E) 0,00703 Çözüm 0,0703.(0,3 0,) 0,0703.0, 0,00703.
CEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C
1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B
LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;
EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ.
DERS : GEOMETRİ KONU : ÜÇGEN EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. AMAN SIKILMAYIN NOT BİRAZ UZUN DA :-) Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının
ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K
ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen
TEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1
. Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler
A A A A A A A A A A A
LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []
TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE
R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald
ÜN TE VI. A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR
ÜN TE VI A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR B. ALAN ÖLÇME 1. Alan Ölçüsü Birimleri 2. Arazi Ölçüsü 3.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm I. Yol basamaklı
1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ
İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.
ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.
![ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.](/thumbs/51/27890487.jpg "ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.")
ÜÇGENDE AÇILAR Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;
. 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi
1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?
99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80
4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.
LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün
Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 15.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 5.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI. (a n ) bir geometrik dizidir. a5+a 6 a+a 8 olduğuna göre, kaçtır? a. Bir ABC dik üçgeninde [AB] [BC] dir. [AB] kenarı üzerinde
Doğru Cevap: D şıkkı AB8 _ AB 49B
017 YGS MATEMATİK LERİ 3 3 3 3 3 16. 3 3 3 3 8 3 16.. 3 3 3 3 16 8.. 3 3 3. 3 buluruz. 3 4 9 8 17 3 (3) () 6 6 6 3 8 9 17 3 4 1 1 1 (4) (3) 17 6 1 17 buluruz. Doğru Cevap : B şıkkı Doğru Cevap: D şıkkı