Veri-İletişim Ağları İçin Tasarlanan Optimal H Akış Denetleyicisinin Perormans Seviyesi ve Kararlılık Payları Hakkı Ulaş Ünal ve Altğ İtar Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Anadol Üniversitesi, 647 Eskişehir {hnal,aitar}@anadol.ed.tr Özetçe Veri-iletişim ağlarındaki traık tıkanıklığını engellemek için akış denetleyicileri tasarlanmaktadır. Fakat, veri-iletişim ağlarındaki zaman gecikmelerinin varlığı, aynı zamanda da b zaman gecikmelerinin zaman ile değişen belirsizliklere sahip olması, optimal gürbüz bir akış denetleyicisi tasarımını zorlaştırmaktadır. Yakın zamanda Meinsma ve Mirkin taraından geliştirilen, çokl zaman gecikmeli sistemler için adobe yaklaşımı ile gerçekleştirilen optimal H denetleyici tasarımı sayesinde, b zorlğn üstesinden gelmek mümkündür. B çalışmada, tasarlanan gürbüz akış denetleyicisinin perormans seviyesi ve kararlılık paylarını inceleyeceğiz.. Giriş Günümüz veri-iletişim ağlarının en önemli problemlerinden birisi de traik tıkanıklığıdır. Veri-iletişim ağlarındaki traik tıkanıklığını azaltmak için, akış denetim yöntemleri yglanmaktadır. Akış denetim yöntemleri debi-tabanlı veya penceretabanlı olabilmektedir. Debi-tabanlı akış denetim yönteminde, denetleyici darboğaz nodnda gerçeklenmekte ve darboğaz nodndan aldığı geri-besleme bilgisi ile kaynaklara gidecek ygn veri debisi komtlarını belirlemeye çalışmaktadır. B sayede darboğaz nodna kaynaklardan gelen veri-debisini ayarlayarak, traik tıkanıklığını azaltmaya çalışmaktadır. Fakat, ağdaki zamanla değişen belirsizlikler içeren zaman gecikmeleri gürbüz akış denetleyicisi tasarımını zor kılmaktadır. Zaman gecikmeli sistemler için geliştirilen çeşitli denetleyici tasarım yöntemleri [ de verilmektedir. HankelToeplitz operatör yöntemi ile, Toker ve Özbay, tek-girdili tek-çıktılı zaman gecikmeli sistemler için, H optimal denetleyici tasarımını elde etmişlerdir [. Meinsma ve Zwart, [3 de J-spektral ayrıştırma yöntemini kllanarak tek zaman gecikmesine sahip sistemler için H denetleyici tasarımı yöntemini göstermişlerdir. Çokl zaman gecikmesine sahip sistemler için ise, Meinsma ve Mirkin, zaman gecikmeli sistemi tek zaman gecikmesi içeren bir dizi alt sisteme ayrıştırıp, ardından da J-spektral ayrıştırma yöntemleri kllanarak optimal bir çözüm yöntemi geliştirmiştir [4. Veri-iletişim ağlarında debi-tabanlı gürbüz denetleyici tasarımı, [5 ve [6 da, sistemdeki zaman gecikmelerinin belirsiz ama zamanla değişmediği kabl edilerek, [ deki yöntem ile yapılmıştır. [7 de ise, sistemdeki zaman gecikmelerindeki belirsizliklerin zamanla değiştiği drm ele alınarak gürbüz denetleyici tasarımı yapılmıştır. Fakat, [7 deki denetleyici, [ deki tek girdili tek çıktılı zaman gecikmeli sistemler için olan denetleyici tasarımı yöntemi kllanılarak elde edilmiştir. Dolayısıyla, [7 de debi-tabanlı gürbüz denetleyici tasarımı yapılırken, her bir kanal için ayrı ayrı H denetim problemleri çözülüp, ardından da blnan çözümlerin belirli ağırlıklarla birleştirilmesi sonc denetleyici elde edilmektedir. B drmda ise, elde edilen denetleyici alt-optimal bir denetleyicidir. Veri-iletişim ağları için optimal gürbüz bir denetleyici, [4 de snlan yöntem kllanılarak ilk olarak [8 de, ardından da [9 da verilmiştir. Sistemdeki zaman gecikmelerinin belirsiz kısmının negati olmasına izin verildiğinde sistemin matematiksel modelindeki belirsizlik bloğ nedensel olamayabilmektedir [. Dolayısıyla, [8 de optimal H denetleyici tasarımı yapılırken, küçük kazanç teoriminin kllanılabilmesi için, belirsizlik bloğnn nedensel olmasını sağlamak amacıyla zaman gecikmelerinin belirsiz kısmının daima poziti oldğ kabl edilmiştir. B drmda, nominal zaman gecikmeleri olarak minimm zaman gecikmeleri ele alınıp denetleyici tasarlanmıştır. Fakat, [ ve [ de elde edilen sonçlar üzerine, [9 da b kısıt kaldırılmıştır. Dolayısıyla, [9 da tasarlanan denetleyici, [8 de tasarlanan denetleyiciye oranla daha avantajlıdır (bkz. [). B bildiride, öncelikle ikinci bölümde [9 da ele alınan problem tanıtılıp elde edilen sonç özetlendikten sonra, üçüncü bölümde elde edilen b denetleyicinin perormans seviyesi ve kararlılık payları incelenecektir. Bildirinin ilerleyen bölümlerinde, k, k boytl ve tüm elemanları olan matrisi, I k, k k boytl birim matrisi, bdiag(...), blok köşegen bir matrisi,, H normn, M, M matrisinin (vektörünün) transpozn, HM(, ) eşgraik dönüşümü (homographic transormation) [3 göstermektedir.. Matematiksel Model ve Denetleyici Tasarımı Akış denetim probleminin matematiksel modeli darboğaz nodndaki kyrk znlğnn dinamiğinden elde edilebilir. n kaynaklı bir veri-iletişim ağı için, kyrk znlğnn dinamiği; n q(t) = ri(t) b c(t) () olarak yazılır [7. Brada, i=
q(t): t anında darboğazda olşan kyrk znlğn, c r b i(t): t anında i ninci kaynaktan darboğaza gelen veri debisini, c(t): t anında darboğazdan ayrılan veri debisini /s göstermektedir. Ayrıca, r i(t), t anında darboğaz nodndaki denetleyici taraından i ninci kaynak için belirlenen veri debisi komt olmak üzere, P o (s) q r b i(t) = { ( τ i (t))ri(t τi(t)), t τ i (t), t τ i (t) < z w W (s) oldğ gösterilmiştir [7. Brada, τ i(t) := τi b (t)τ i (t) i ninci kanaldaki toplam gecikme miktarı olmak üzere, τ b i (t): t anında darboğaza i ninci kaynaktan laşan veri için denetleyici taraından belirlenen veri debisi komtnn i ninci kaynağa laşması için geçen süre (geri yöndeki gecikme), τ i (t): t anında darboğaza i ninci kaynaktan laşan verinin i ninci kaynaktan darboğaza erişmesi için geçen süredir (ileri yöndeki gecikme). Geri ve ileri yöndeki zaman gecikmeleri zamanla değişen belirsizlikler içerdiğinden, her iki yöndeki zaman gecikmelerini, zamanla değişmeyen nominal kısım ve zamanla değişen belirsiz kısım olarak ayrıştırabiliriz. B drmda, i ninci kaynaktaki geri yöndeki zaman gecikmesini τi b (t) = h b i δi(t), b ileri yöndeki zaman gecikmesini de τ i (t) = h i δ i (t) olarak ayrıştırırsak, h b i ve h i, sırasıyla, geri ve ileri yöndeki nominal zaman gecikmeleri, δi(t) b ve δ i (t) ise, sırasıyla, geri ve ileri yöndeki zamanla değişen zaman gecikmesi belirsizlikleri olarak tanımlanır. B drmda, i ninci kanaldaki nominal zaman gecikmesi h i = h b i h i, zamanla değişen zaman gecikmesi belirsizliği ise δ i(t) = δi b (t) δ i (t) olr. Brada, δ i > ve β i βi < olmak üzere, belirsiz kısımların δ i(t) < δ i, δ i(t) <, δ i (t) < β i şeklinde sınırlı oldğ kabl edilmiştir. Ağda blnan nominal zaman gecikmelerini h h... h n olacak şekilde sıralayıp, ağdaki arklı zaman gecikmelerinin sayısının da N tane oldğn kabl edilmiştir. B drmda, h = h ve h = h i olarak tanımlıyalım, öyleki i, h i < h ı sağlıyan en küçük indis olsn. Benzer şekilde, h 3 = h i3 olarak tanımlıyalım, öyleki i 3, h i3 < h ı sağlıyan en küçük indis. B şekilde devam ederek, ağdaki N tane arkłı zaman gecikmesi, h i lar biçiminde iade edilmiştir. Bnn yanı sıra, l i (i =,..., N) nominal zaman gecikmesi h i olan kanalların sayısını belirtsin ( N i= li = n). B drmda, akış denetim probleminin matematiksel modeli Şekil de oldğ gibidir. Brada, - P o(s) = n nominal sistemin zaman gecikmeleri s çıkartılmış drmna ait transer matrisini, - zaman gecikmelerindeki belirsizliği iade eden, doğrsal, zamanla değişen ve L çıkarsanmış (indced) norm den küçük bir sistemi, ) - Λ (s) := bdiag (e h s I l,, e h N s I ln, sistemdeki arkłı nominal zaman gecikmelerine ait matrisi, r e Λ (s) K (s) Şekil : Akış Denetim Probleminin Modeli [9. - W (s) = [ W i(s) = β i s [ δ i q d W (s)... Wn(s), olmak üzere, zaman gecikmelerindeki belirsizlik için kllanılan ağırlık matrisini, - K(s) ise, tasarlanacak olan denetleyiciyi göstermektedir. Şekil deki belirsizlik bloğnn L çıkarsanmış norm den küçük oldğndan dolayı, tasarlanacak K denetleyicisinin sistemi gürbüz bir şekilde kararlı kılması için küçük kazanç koşlndan aydalanabiliriz [. Dolayısıyla, nominal sistemi kararlı kılan K denetleyicisi eğer Λ K( P oλ K) W eşitsizliğini de sağlıyorsa, tasarlanan denetleyici gerçek sistemi gürbüz bir şekilde kararlı kılar. Λ içsel (inner) bir matris oldğndan, gürbüz kararlılık için yeterli koşl, K( P oλ K) W, () olarak yazılabilinir. Darboğaz nodnda gerçekleştirilecek denetleyicinin sistemi zamanla değişen belirsiz zaman gecikmelerine karşın gürbüz bir şekilde kararlı kılması, nominal sistem için lim t c(t) =: c oldğ drmda, q d istenen kyrk znlğ olmak üzere, lim t q(t) = q d izlemesini sağlaması istenmektedir. Ayrıca, ağdaki kapasitenin istenilen kaynaklara istenilen oranlarda paylaşımının sağlanması olarak tanımlanan adil kapasite paylaşımını da sağlaması istenmektedir; lim t r j(t) = α jc, j =,..., n. Brada, α j > parametreleri, n j= αj = şartını sağlayan kapasite paylaşım parametreleridir [7. [4 de, ykarıda özetlenen akış denetimi probleminin çözümü olarak bir optimal H denetleyici blmak amacıyla, bir karma hassasiyet minimizasyon (KHM) problemi tanımlanmıştır. Şekil de verilen KHM probleminde, - d = q d c, - y = q d q, - W (s) = s, - W 3(s) = s, kyrktaki izleme şartını sağlamak amacıyla tanımlanan e çıktısı için kllanılan ağırlık onksiyonn,
z w d P z ŷ P w Po W W W3 e K Λ e W 4 Λ r K y Şekil 3: 4-Blok Problemi. F q d q Şekil : Karma Hassasiyet Minimizasyon Problemi [4. r F r HM(G Λ, Q Λ) κ s ǫ y s α α α 3 - W 4(s) = α s....., adil kapasite paylaşımının sağlanması amacıyla tanımlanan e α n α çıktısı için kllanılan ağırlık matrisini göstermektedir. Şekil de tanımlanan problemde amaç, bloğ çıkartıldıktan sonra kalan sistemi içten kararlı kılacak aynı zamanda da, w := [w d dan z := [z e e ye olan kapalı döngü transer matrisinin H normn verilen γ > değerinden küçük yapmayı başaracak K denetleyicisinin blnmasıdır. S := (P oλ K) olarak tanımlanırsa, w dan z ye olan kapalı döngü transer matrisi Λ KSW Λ KSW W 3SW W 3SW W 4Λ KSW W 4Λ KSW olarak yazılabilir. Dolayısıyla, bloğ çıkartıldıktan sonra kalan sistemi içten kararlı kılacak denetleyici verilen γ > değeri için, Λ KSW Λ KSW W 3SW W 3SW γ, (3) W 4Λ KSW W 4Λ KSW koşln da sağlamalıdır. Tanımlanan KHM problemi soncnda tasarlanacak denetleyicinin ( ) izleme şartlarını sağlaması için ǫ > için, M(s) := s ve N(s) := n ol- sǫ sǫ mak üzere P o(s) = M (s)ñ(s) biçiminde H anlamda bir asal ayrıştırma gerekir. Yapılan b asal ayrıştırma ile Şekil de tanımlanan probleme denk olan 4-blok problem Şekil 3 deki biçimde elde edilir. Brada, K = K M ve ŷ = M y olarak tanımlanır. B drmda Şekil de tanımlanan KHM problemine denk olan Şekil 3 deki 4-blok probleminde girdi-çıktı ilişkisi; [ z ŷ = P [ w = [ P P P P [ w olarak yazılır. P standart H kabllenmelerini sağlamaktadır [9. Dolayısıyla, [4 de önerilen yöntem ve [9 daki adımlar (4) Şekil 4: Denetleyicinin Yapısı. izlenerek, akış denetim problemi için, H tabanlı optimal bir akış denetleyicisi elde edilebilinir. Elde edilen K denetleyicisinin yapısı ise Şekil 4 de verildiği gibidir. Brada F, köşegeninde ler, köşegeninin altında gecikmeler ve sonl dürtü yanıtlı süzgeçler içeren n n boytl bir alt-köşegen transer matrisi, F gecikmeler ve sonl dürtü yanıtlı süzgeçler γ içeren n boytl bir transer matrisi, κ := n i= (δ i ) ise bir sabittir. Ayrıca, G Λ, denetleyici tasarımı soncnda elde edilen çite kararlı (bistable) bir transer matrisi ve Q Λ, Q Λ < olan herhangi bir transer matrisidir (detaylar için bkz. [9). Elde edilen denetleyici, verilen γ hassasiyet seviyesi için sistemi gürbüz kararlı kılmakta ve izleme şartını sağlamaktadır. Ayrıca, iterati bir çözümle b hassasiyet seviyesi minimize edilerek K denetleyicisinin tanımlanan KHM probleminin optimal denetleyicisi olması da sağlanabilir. 3. Denetleyicinin Perormans Seviyesi ve Kararlılık Payları Denetleyicinin amacı nominal sistemi içten kararlı kılmak ve Şekil 3 de w dan z ye olan transer matrisinin H normn en aza indirgemek oldğndan, elde edilen b en küçük normn tersi,, denetleyicinin perormans seviyesi olarak γ opt tanımlanabilir. Öte yandan, kapalı döngü sistem zaman gecikmelerindeki belirsizliklere rağmen kararlı kılınmak istendiğinden, kapalı döngü sistemin kararlılığını bozmadan b gecikmelerin büyüklüklerinin ve türevlerinin büyüklüklerinin alabileceği en büyük değerler kararlılık payları olarak adlandırılabilir. Brada, kapalı döngü sistemin kararlılığını bozmadan δ i(t), δ i(t) ve δ i (t) nin alabileceği en büyük değerleri sırasıyla δ i, ve β i ile göstereceğiz. Denetleyicinin perormans seviyesini ve kararlılık paylarının, tasarım parametreleri olan δ i, βi ve β i değiştirildikçe nasıl değişeceğini görmek için iki kanallı bir veri-iletişim ağını ele alalım. Nominal zaman gecikmeleri h =.3 ve h =., kapasite paylaşım parametreleri α = ve 3 α = olsn. 3 Tasarım parametreleri δ i ve yi. δ = δ ve β = β.95 aralıklarında değiştireceğiz. β i para-
/γ opt.5 /γ opt.5.5 β..4 δ =δ.6.8.5 β..4 δ =δ.6.8 Şekil 5: Denetleyicinin Perormans Seviyesi (β i = ). Şekil 7: Denetleyicinin Perormans Seviyesi (β i = βi)..5.4.3 /γ opt.5...5 β..4 δ =δ.6.8.5 β..4 δ =δ.6.8 Şekil 6: Denetleyicinin Perormans Seviyesi (β i = βi/). Şekil 8: δ i(t) nin kararlılık payı (β i = ). metresini ise üç drmda, β i =, β i = =, inceleyeceğiz. β i =, β i = = βi drmları için denetleyicinin perormans seviyesinin δ i ve ye göre değişimi, sırasıyla, Şekil 5, 6 ve 7 de gösterilmiştir. B şekillerden görüldüğü gibi, b tasarım parametrelerinin her birinin değeri büyütüldükçe perormans seviyesi düşmektedir. Özelde değeri e yaklaştıkça perormans seviyesi sııra yaklaşmaktadır. B beklenen bir sonçtr. Çünkü, tasarım parametrelerinin değerini büyütmek, daha geniş bir belirsizlik aralığında sistemin kararlı olmasını istemek anlamına gelmektedir. B drmda da denetleyicinin perormansının düşmesi beklenir. parametresinin değerini alması, δi(t) = olabileceği anlamına gelir ki, b da t anında darboğaz nodna laşan veri miktarı üzerinde denetleyicinin hiç bir etkisinin olamayacağı demektir. Dolayısıyla, b drmda denetleyicinin perormansının sıır olacağı söylenebilir. Tasarlanan optimal H denetleyicisi K opt n nominal sistemi gürbüz bir şekilde kararlı kılması için () koşln sağlaması yeterlidir. Tasarlanan denetleyici sistemi içten kararlı kılmakta aynı zamanda da (3) koşlnda sağlamaktadır. Dolayısıyla, K opt ( P oλ K opt ) W γ opt eşitsizliği otomatik olarak sağlanmaktadır. Ayrıca, tasarlanan K opt denetleyicisi, K opt ( P oλ K opt ) W =: ρ γ opt eşitsizliğini de garanti eder. B drmda, gürbüz kararlılık koşlnn sağlanması için, gerçek kararlılık paylarının minimm değerlerinin aşağıdaki koşlları sağlaması yeterlidir: ve β i = β i i =,, n (5) βi ρ βi δ i = ρ δ i, i =,, n. (6) Ykarıdaki, βi, β i ve δ i, sırasıyla, δi(t), δ i (t) ve δi(t) için gerçek kararlılık paylarıdır. Brada ρ parametresi tasarlanan denetleyiciye bağlı oldğndan, tasarım parametrelerine (δ i, ) bağlı olarak değişmektedir. β i = drm için, β i = kabllenmesi altında, δ i ve değiştirildikçe, (5) denkleminin çözümünden, βi nin aldığı değerler Şekil 8 de gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi, δi(t) ile ilgili olan tasarım parametresinin değeri arttırıldıkça, δ i(t) nin kararlılık payı, de artmaktadır. Diğer tasarım parametresi δ i arttırıldıkça bir miktar azalmakla birlikte, b değişim diğeri kadar etkili değildir. β i = drm için δ i ve değiştirildikçe, (6) denkleminden δ i nin aldığı değerler ise Şekil 9 da gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi, δ i(t) ile ilgili olan δ i tasarım parametresinin değeri arttırıldıkça, δ i(t) nin kararlılık payı, δ i da artmaktadır. Diğer tasarım parametresi nin küçük değerleri için δ i nin değişimlerinden azla etkilenmemekle beraber,
.5. δ i.5..5..5.5..8.5.6.4. β =β δ =δ Şekil 9: δ i(t) nin kararlılık payı (β i = )..5.5 β..4 δ =δ.6.8.3. δ i Şekil : δ i(t) nin kararlılık payı (β i = βi/)....5 β..4 δ =δ.6.8.5..5 Şekil : δ i(t) nin kararlılık payı (β i = βi/). değerine yaklaştıkça, δ i hızla sııra düşmektedir. Bnn nedeni, ykarıda da açıklandığı gibi, δi(t) = oldğnda t anında darboğaz nodna laşan veri miktarı üzerinde denetleyicinin hiç bir etkisinin olamayacağıdır. β i = drm için, β i = kabllenmesi altında, δ i ve değiştirildikçe ve δ i nin aldığı değerler, sırasıyla, Şekil ve de gösterilmiştir. B drm için de ykarıdaki drma benzer sonçlar görülmektedir. B drmda δ i değiştirildikçe β i nin aldığı değerler ise Şekil de gösterilmiştir ( = β i oldğndan, b drmda β i nin a- labileceği değerler.5 den küçüktür). δ i (t) ile ilgili olan β i tasarım parametresinin değeri arttırıldıkça, δ i (t) nin kararlılık payı, β i nin de arttığı b şekilden görülmektedir. Diğer tasarım parametresi δ i arttırıldıkça ye benzer şekilde β i in de bir miktar azaldığı görülse de, b değişim diğeri kadar etkili değildir. Son olarak, β i = drm için, β i = kabllenmesi altında, δ i ve değiştirildikçe ve δ i nin aldığı değerler, sırasıyla, Şekil 3 ve 4 de, δ i değiştirildikçe β i nin aldığı değerler ise Şekil 5 de gösterilmiştir. B drm için de ykarıdaki drmlara benzer sonçlar görülmektedir. 4. Sonçlar B çalışmada, veri iletişim ağları için [9 da elde edilen optimal H akış denetleyicisinin perormans seviyesi ve kararlılık.4.8..6.4. β =β δ =δ Şekil : δ i (t) nin kararlılık payı (β i = βi/)..3...8.5.6.4. β δ =δ Şekil 3: δ i(t) nin kararlılık payı (β i = βi).
δ i.5..5..5.5 β..4 δ =δ Şekil 4: δ i(t) nin kararlılık payı (β i = βi)..3...5 β..4 δ =δ Şekil 5: δ i (t) nin kararlılık payı (β i = βi). payları incelenmiştir. Kanallarındaki gecikmeleri arklı olan iki kanallı örnek bir veri-iletişim ağı üzerinde yapılan çalışmalarda, beklendiği gibi, gürbüzlük sınırlarıyla ilgili olan tasarım parametrelerinin (δ i, βi ve β i ) değerleri arttırıldıkça denetleyicinin perormans seviyesinin düştüğü görülmüştür. Ancak, bna karşın, b parametrelerin değerleri arttırıldıkça kararlılık paylarının da arttığı gözlenmiştir. Daha açık olarak, δ i, βi parametrelerinin büyütülmesi, sırasıyla, δ i(t), δi(t) ve δ i (t) in kararlılık paylarını arttırmaktadır. Dahası, δi(t) ve δ i (t) in kararlılık payları δ i parametresinin değerinden azla etkilenmemektedir. Ancak, parametresinin e yakın seçilmesi δ i(t) nin kararlılık payını olmsz etkilemektedir. Sonç olarak, (β i olması gerektiğinden aynı zamanda da β i ) e yakın seçilmemek koşlyla, b parametrelerin büyük değerlerde seçilmesi denetleyicinin gürbüzlüğünü arttıracak, ancak perormans seviyesinin düşmesine neden olabilecektir. Dolayısıyla b paremetrelerin seçimi, beklendiği gibi, gürbüzlük ve perormans arasında bir öncelik seçimini gerektirmektedir. 5. Kaynakça [ Niclesc, S.-I., Delay Eects on Stability: A Robst Control Approach, LNCIS, c. 69, Springer-Verlag,..6.6.8.8 [ Toker, O. ve Özbay, H., H optimal and sboptimal controllers or ininite dimensional SISO plants, IEEE Transactions on Atomatic Control, c. 4, ss. 75 755, 995. [3 Meinsma, G. ve Zwart, H., On H control or dead-time systems, IEEE Transactions on Atomatic Control, c. 45, ss. 7 85,. [4 Meinsma, G. ve Mirkin, L., H control o systems with mltiple I/O delays via decomposition to adobe problems, IEEE Transactions on Atomatic Control, c. 5, ss. 99-, 5. [5 Özbay, H., Kalyanaraman, S. ve İtar, A., On ratebased congestion control in high-speed networks: Design o an H based low controller or a single bottleneck, Proceedings o the American Control Conerence, Philadelpia, PA, ABD, ss. 376 38, Haziran 998. [6 Özbay, H., Kang, T., Kalyanaraman, S. ve İtar, A., Perormance and robstness analysis o an H based low controller, Proceedings o the IEEE Conerence on Decision and Control, Phoenix, AZ, ABD, ss. 69-696, Aralık 999. [7 Qet, P.-F., Ataşlar, B., İtar, A., Özbay, H., Kalyanaraman, S. ve Kang, T., Rate-based low controllers or commnication networks in the presence o ncertain timevarying mltiple time delays, Atomatica, c. 38, ss. 97 98,. [8 Ünal, H. U., Ataşlar-Ayyıldız., B., İtar, A. ve Özbay, H., Robst Controller Design or Mltiple Time-Delay Systems: The Case o Data Commnication Networks, Proceedings o the 7th International Symposim on Mathematical Theory o Networks and Systems, Kyoto, Japonya, ss. 63-7, Temmz 6. [9 Ünal, H. U., Ataşlar-Ayyıldız, B., İtar, A. ve Özbay, H., Robst Flow Control in Data-Commnication Networks with Mltiple Time-Delays. Yayınlanmak üzere gönderildi. [ Ünal, H. U. ve İtar, A., Utilization o non-casal ncertainty blocks in the robst controller design problem or systems with mltiple ncertain time-delays. Proceedings o the 8th International Symposim on Mathematical Theory o Networks and Systems, Blacksbrg, Virginia, ABD, Temmz 8. [ Ünal, H. U. ve İtar, A., A small gain theorem or systems with non-casal sbsystems, Atomatica. Yayınlanmak üzere kabl edildi. [ Ünal, H. U. ve İtar, A., Utilization o non-casal ncertainty blocks in the robst low controller design problem. Proceedings o the nd IEEE Mlti-conerence on Systems and Control, San Antonio, Teksas, ABD, Eylül 8. [3 Kimra, H., Chain-Scattering Approach to H Control, Birkhaser, 996. [4 Ataşlar, B., Veri iletişim ağlarında gürbüz akış kontrolü, Doktora Tezi, Anadol Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir, 4.