HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREVİN İKTİSADİ UYGULAMALARI Marjinal Maliyet Marjinal Gelir Marjinal Kâr MATEMATİK-1 Prof.Dr.Hüseyin AYDIN Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Türevle ekonomi problemlerini çözebilecek, Türev yardımıyla ekonomi ile ilgili fonksiyonların davranışını inceleyebileceksiniz. ÜNİTE 14
GİRİŞ Türev matematiğin diğer konularına göre en fazla uygulaması olan bir daldır. Örneğin mühendislikte, fizikte, kimyada ve ekonomide uygulamaları olan bir bilim dalıdır. Bizde burada türevin ekonomideki uygulamalarını vereceğiz. Fizikte anlık hız ifadesi dendiğinde fonksiyonun türevi alınır ve türevin noktadaki değeri yazılarak bulunur. Ekonomideki anlık değişim hızı ifadesi marjinal fonksiyon olarak ifade edilecektir. Örneğin, bir gelir fonksiyonu verildiğinde eğer marjinal gelir fonksiyonu bizden istendiğinde gelir fonksiyonunun türevi bize marjinal gelir fonksiyonunu verecektir. MARJİNAL MALİYET Bir şirketin bir maldan birim üretmek için yaptığı toplam harcamanın olduğunu kabul edelim. Bu fonksiyonuna toplam maliyet fonksiyonu denir. Şirket sahibi herhangi bir üretim miktarında maliyetin değişim hızını bilmek ister. 14.1. Bir malın toplam maliyet fonksiyonu, mal miktarı, TL olmak üzere, şeklinde verilsin. Bu üründen birim mal üretildikten sonraki ürünün maliyeti, İlave olarak, hiçbir ürün üretilmediğindeki durumdan ilk ürünün maliyeti, olarak bulunur. Ekonomistler maliyetin üretilen parça sayısına göre anlık değişim hızını birim değişimdeki maliyet olarak adlandırırlar. Bunu da türev yardımıyla ifade ederler. Bu toplam maliyet fonksiyonun türevine marjinal maliyet fonksiyonu denir. 14.2. Yukarıdaki örneği tekrar gözününe alalım. Bir malın toplam maliyet fonksiyonu, mal miktarı, TL olmak üzere, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
şeklinde verilsin. ve ürünlerdeki marjinal maliyetini bulunuz. Marjinal maliyet fonksiyonu, bulunur ve ve şeklindedir. 14.3. toplam maliyet fonksiyonunun farklı noktalardaki anlık değişim hızlarını bulunuz. Yukarıdaki fonksiyonun türevi olarak bulunur. Bu fonksiyon marjinal fonksiyondur. Farklı noktalardaki anlık değişim hızları: için ve için olarak bulunur. 14.4. maliyet fonksiyonu verilmiş olsun. Marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz. Marjinal maliyet fonksiyonu olarak elde edilir. Bu anlık değişme hızına karşılık gelmektedir. 14.5. Bir tüccar tanesi 3 TL olan belirli bir ürün satın almaktadır. Sabit giderleri de 2000 TL dir. Toplam maliyet fonksiyonunu yazınız ve marjinal maliyeti bulunuz. ürün saysı olsun. Buna göre toplam maliyet fonksiyonuna y dersek, bu durumda olur. O halde marjinal maliyet fonksiyonu da olur. Yani her bir ürün için anlık değişimi hızı 3 olur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
MARJİNAL GELİR Yukarıdaki marjinal maliyetle ilgili benzer durumlar toplam gelir için de geçerlidir. Bir malın toplam gelir fonksiyonunun bir noktadaki türevine, bu malın bu noktadaki marjinal geliri denir. 14.6. Bir malın toplam hasılat(gelir) fonksiyonu, üzere, mal miktarı, TL olmak şeklinde verilsin. ve ürünlerdeki marjinal geliri bulunuz. Marjinal gelir fonksiyonu, bulunur ve TL ve TL şeklindedir. MARJİNAL KÂR Yukarıdaki marjinal maliyet ve gelirle ilgili benzer durumlar kâr foksiyonu için de geçerlidir. Bir malın kâr fonksiyonunun bir noktadaki türevine, bu malın bu noktadaki marjinal kârı denir. 14.7. Bir malın toplam hasılat(gelir) fonksiyonu, üzere, mal miktarı, TL olmak ve toplam maliyet fonksiyonu, mal miktarı, TL olmak üzere, şeklinde olduğu belirlenmiştir. Buna göre kâr fonksiyonunu bulunuz ve marjinal kâr fonksiyonu nedir? ve ürünlerdeki marjinal kârı bulunuz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
Kar fonksiyonunu ile gösterirsek, aralığında, elde edilir. Marjinal gelir ve marjinal maliyet fonksiyonları da sırasıyla, ve bulunur ve TL ve TL şeklindedir. Marjinal kâr fonksiyonu elde edilir ve bulunur. TL ve TL Bu kısımda iktisadi olarak verilen bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları örneklerle incelemeye çalışacağız. Bir fonksiyonun türev yardımıyla artan ve azalan olduğu aralıkları bulma problemine benzer olarak, verilen bir iktisadi fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulmaya çalışalım. 14.8. maliyet fonksiyonu verilmiş olsun. Maliyet fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralığı bulunuz. Marjinal maliyet fonksiyonu, dür. olduğundan verilen maliyet fonksiyonu daima artandır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
14.9. maliyet fonksiyonu verilmiş olsun. Maliyet fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralığı bulunuz. Marjinal maliyet fonksiyonu, dir. Türev konusunda artan ve azalanlık hakkındaki bilgilerimizi hatırlarsak, denkleminden, için fonksiyonun artan olduğu ve için de azalan olduğu görülür. O halde tanım kümesi içerisine düşen maliyet fonksiyonu aralığında artandır. Bir fonksiyonun türev yardımıyla maksimum ve minimum noktalarını bulma problemine benzer olarak, verilen bir iktisadi fonksiyonun maksimum ve minimum olduğu noktaları bulmaya çalışalım. 14.10. gelir fonksiyonu verilmiş olsun. Gelir fonksiyonun maksimum olduğu noktayı bulunuz. Marjinal gelir fonksiyonu, dür. O halde ifadesinden elde edilir. Buradan, bulunur. Maksimum noktası ( ) elde edilir. Bunu değişim tablosu yardımıyla da ifade edebiliriz. Yukarıdaki örneğe benzer olarak toplam maliyet, kar fonksiyonlarınında maksimum ve minimumluğu da incelenebilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
Bireysel Etkinlik Türevin İktisadi Uygulamaları Türevin iktisadi uygulamaları dışında başka uygulamalarını araştırınız. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
Özet Türevin İktisadi Uygulamaları Bu ünitede, türev yardımıyla marjinal maliyet, marjinal gelir ve marjinal kârın hesaplanmasını ve bu kavramlardan faydalanarak iktisadi fonksiyonların artanlık, azalanlık, maksimum ve minimum değerlerinin nasıl hesaplandığını gördük. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
Ödev Türevin İktisadi Uygulamaları Bir üretici ürettiği bir ürünün toplam maliyet fonksiyonunu x 2 x+ olarak belirlemiştir. Marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz. için marjinal maliyeti hesaplayınız. Hazırladığınız ödevi sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan ödev bölümüne yükleyebilirsiniz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. 1. şeklinde verilen toplam gelir fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 2. şeklinde verilen maliyet fonksiyonunun ürün değerindeki marjinal maliyeti aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 3. şeklinde verilen gelir fonksiyonunun marjinal gelir fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 4. Bir üreticinin toplam maliyet foksiyonu x 2 x+ olarak verilmektedir. Marjinal maliyet fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) x(x+ ) (x+ ) 2 x(x+ ) (x+ ) 2 (x+ ) (x+ ) 2 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
5. Toplam gelir foksiyonu ve toplam maliyet fonksiyonu ise, kârın maksimum olduğu nokta aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.D, 2.E, 3.A, 4.B, 5.D Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Haeussler,E.F., Paul, R.S. and Wood, R., (2010).Temel Matematiksel Analiz. Çev. Demir, S., Uzun, Ö., Balce, O. ve Çağlar, A., Ankara: Akademi Yayıncılık Dowling, E. T., (1993). İşletme ve İktisat İçin Matematiksel Yöntemler. Çev. Doç. Dr. Çolak, Ö. F., Yıldırımoğlu, M., Ankara: Nobel Özer, O., (2009). Genel Matematik. Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Yayınları Chiang, A.C., Matematiksel İstatistiğin Temel Yöntemleri. Çev. Kip, E., Sarımeşeli, M. ve Aydoğuş, O., Ankara: Teori Yayınları Sağel,M.K. ve Aktaş, M., (2010). Genel Matematik 1. Ankara: Pegem Akademi, ISBN: 979-605-364-062-2. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12