HEDEFLER İÇİNDEKİLER ROTA PLANLAMA Giriş Rota Planlama Taşıma Problemi Atama Problemi Gezgin Satıcı Problemi En Kısa Yol Problemi Rota Planlama Yazılımları TAŞIMACILIK SİSTEMLERİ Prof. Dr. Bülent SEZEN Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Rota planlamanın tanımı ve kapsamını öğrenecek, Matematiksel anlamda tipik bir taşıma probleminin çözüm yaklaşımını anlayacak, Atama problemi, gezgin satıcı problemi ve en kısa yol problemi gibi farklı taşımacılık problemleri için matematiksel çözüm yollarını görecek, Rota planlama yazılımlarına değinilerek gerçek hayatta taşımacılıkta rota planlamasının yazılımlarla nasıl çözüldüğünü öğreneceksiniz. ÜNİTE 13
GİRİŞ Taşımacılıkta rota planlama bir noktadan bir başka noktaya (ya da noktalara) yapılan sevkiyatlarda güncel problemlerin çözülmesi ve taşıma maliyetlerinin minimumda tutulabilmesi için birçok lojistik firmanın önemle üzerinde durması gereken konulardan biridir. Rota planlama konusu disiplinler arası bir konu olup, Rota planlama, bir başlangıç noktası, bir varış noktası ve duruş noktaları bulunabilen bir taşıma probleminde en düşük maliyetli ya da en kısa sürede kat edilebilen rotanın belirlenmesi işlemidir. yöneylem araştırması, tedarik zinciri yönetimi, şebeke problemleri ve genel anlamda yönetim konularını kapsayan ve bu konuların bir bileşkesi konumunda olan geniş alanlı bir konudur. Rota planlama deyince ilk aklımıza gelen en kısa yol problemidir. En kısa yol problemi bir noktadan bir başka noktaya en kısa sürede ya da en düşük maliyetle gidebileceğimiz en uygun yolun bulunması problemidir. Aslında en kısa yol probleminin arka planında daha birçok farklı problem çeşidi mevcuttur. Örneğin gideceğiniz yol üzerinde uğramanız gereken noktalar varsa problem başka bir boyut kazanmaktadır. Ya da bazı durumlarda başladığınız noktaya geri dönüp seyahatinizi başlangıç noktasında bitirmeniz gerekebilir. Örneğin gezgin satıcı probleminde durum böyledir. Tahmin edilebileceği gibi bu durumda da problemin değişkenleri ve yapılandırılması farklılık arz edecektir. Bu bölümde rota planlama konusunda çeşitli problem türlerini ele alacağız. Her bir farklı problem türünün çözümünde kullanılabilecek farklı yaklaşımlara ve çözüm yöntemlerine yer vereceğiz. Tabi bu konularda kullanılabilecek formülasyonlardan, algoritmalardan ve rota planlama yazılımlarından da bahsedeceğiz. Teknolojiler geliştikçe her alanda olduğu gibi rota planlama problemlerinin çözümünde de bilgisayar teknolojilerinden ve yazılımlardan faydalanılmaktadır. Her ne kadar bu yazılımlar bize en uygun rotayı bulmamızda yardımcı olsalar da, bu yazılımların arka planında nasıl bir mantık ve algoritma işlemektedir sorusunun yanıtlanmasında bu bölümde anlatılanlar faydalı olacaktır. ROTA PLANLAMA Rota planlama, bir başlangıç noktası, bir varış noktası ve gerekli durumlarda başlangıç ve varış noktaları arasında bir veya birden çok duruş noktası (ya da uğrama noktası) bulunabilen bir taşıma probleminde en düşük maliyetli ya da en kısa sürede kat edilebilen rotanın belirlenmesi ya da hesaplanması işlemini Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
kapsamaktadır. Rota planlama problemlerinin çözümünde matematiksel çözüm [(örneğin optimizasyon (eniyileme)] yöntemlerinden faydalanılır. Rota planlama problemleri aslında daha geniş kapsamlı olan şebeke (network) modellerinin bir alt dalı olarak görülebilir. Şebeke problemlerinde birbirlerine (oklarla) bağlı ve ilişkilendirilmiş noktalar ve bu noktalar arasında tanımlı fonksiyonlar (örneğin maliyet, uzaklık vb.) mevcuttur. Şebeke modellerinin tipik amaçları toplam maliyeti ya da kat edilen mesafeyi minimize etmektir. Aşağıdaki şekilde tipik bir şebeke modelinden bir kesit görünmektedir. i ij X j Şekil 13.1 Şebeke Modelinden Bir Kesit Örneği Şekilde tanımlanan Xij iki nokta (i ve j) arasındaki akış kapasitesi, i noktasından j noktasına bir birim yük taşımanın maliyeti ya da daha farklı bir fonksiyon olabilir. Taşıma probleminde amaç m tane kaynaktan n tane hedefe yapılacak sevkiyatları minimum taşıma maliyetiyle gerçekleştirecek şekilde her bir i ve j noktası arasında taşınacak miktarları belirlemektir. Şebeke problemine uygun olabilecek uygulamalara örnek olarak kara yolu, deniz ve hava taşımacılığında rota planlama, süpermarket mağaza zincirleri ve depoları arasında dağıtım planlama, bir bilgisayar içinde kablolarla birbirine bağlı yongalar (çipler) arasında veri akışının optimize edilmesi, uydu iletişimi ile televizyon istasyonları arasında sinyallerin verimli bir şekilde iletilmesi, şehir içi ve şehirlerarası otobüs (ya da tren) terminallerinin birbirleri arasındaki yolcu taşımacılığının planlanması, vb. sayılabilir. Görüldüğü gibi şebeke problemlerinin gerçek hayatta çok fazla kullanım alanı mevcuttur. Şebeke problemleri doğası itibarıyla tam sayılı programlama modelleri olmasına karşın, genellikle tam sayı kısıtı yok sayılarak nispeten daha kolay çözüm yolları türetilmiştir. Bu nedenle, rota planlama problemi gibi şebeke problemleri genellikle sezgisel (heuristic) adı verilen basit algoritmalar kullanılarak çözülebilir. TAŞIMA PROBLEMİ Taşıma problemi tipik bir şebeke problemidir. Taşıma modelinde m tane kaynak (çıkış) noktası ve n tane de hedef (varış) noktası vardır. Kaynakların indisi i harfi ile gösterilirken, hedeflerin indisi j harfi ile gösterilir. i inci kaynaktan j inci hedefe gönderilecek olan miktar Xij ile ifade edilmektedir. i inci kaynaktan Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
gönderilebilecek toplam (arz) miktarı Si ile gösterilirken. j inci hedefin alabileceği toplam talep miktarı Dj ile gösterilmektedir. Son olarak, i ve j noktaları arasında bir birim yükün taşınmasının maliyeti Cij olarak tanımlanmaktadır. Taşıma probleminde amaç m tane kaynaktan n tane hedefe yapılacak olan sevkiyatları minimum taşıma maliyetiyle gerçekleştirecek şekilde her bir i ve j noktası arasında taşınacak miktarları (yani Xij leri) belirlemektir. Örnek Taşıma Problemi ABC lojistik firmasının bir müşterisinin Çanakkale, İstanbul ve Giresun da bulunan üç ayrı deposundan Balıkesir, Kastamonu, Ankara ve Samsun da bulunan bayilerine yapılacak olan sevkiyatları için minimum taşıma maliyetine sahip taşıma planını belirlemesi gerekmektedir. Ürünler her bir depodan her bir bayi adresine gönderilebilmektedir. Yani her ürün her depoda bulunmakta ve yine her bayiden de talep edilebilmektedir. Burada çözülmesi gereken, hangi depodan hangi bayi adresine ve ne kadar miktarda sevkiyat yapılması gerektiğidir. Yukarıda belirtildiği gibi depoları i indisi ile ve bayileri de j indisi ile gösterirsek, i nci depodan j inci bayi adresine gönderilen miktar Xij ile tanımlanır ve problemin karar değişkenleri (yani çözülmesi gereken değişkenler) bu Xij değerleridir. Bazı Xij değerleri sıfır olabilecektir. Bunun anlamı bazı depolardan bazı bayilere sevkiyat yapılmayacak olmasıdır. Problemin çözülebilmesi için bir karar verme kıstasına (kriterine) ihtiyaç vardır. Taşıma probleminde tipik karar verme kıstası birim taşıma maliyetidir. Şöyle ki, her bir i deposundan her bir j bayisine bir birim ürün taşıma maliyeti Cij ile tanımlanır. Cij değerleri sabit olup, bizim tarafımızdan belirlenmiş (ya da belirlenecek) olan değerlerdir. Örneğimizi basit tutmak için tek bir ürünün sevkiyatı için arz ve talep miktarlarını sayısal olarak belirleyelim. Bu hafta Çanakkale deposundan 800 birim, İstanbul deposundan 500 birim ve Giresun deposundan da 400 birim ürün arz edilebilmektedir. Yani toplamda 1700 birim ürün arzı mevcuttur. Bu haftanın dağıtım planına göre bu 1700 birimlik ürün arzı, Balıkesir bayisine 500 birim, Kastamonu bayisine 200 birim, Ankara bayisine 700 birim ve Samsun bayisine 300 birim olacak şekilde gönderilecektir. Her bir depodan her bir bayi adresine bir birim ürün göndermenin maliyeti (Cij) aşağıdaki şekilde (Şekil 13.2 de üstteki Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
tablonun içindeki değerler) verilmektedir. Örneğin Çanakkale den Kastamonu ya bir birim taşıma maliyeti 50 kuruştur. Bu veriler doğrultusunda taşıma problemi için gerekli girdiler sağlanmış bulunmaktadır. Şimdi taşıma probleminin matematiksel olarak formüle edilmesi ve sonra da bu matematik modelin çözülmesi gerekmektedir. Sayısal örneğimizden devam edersek, yukarıda betimlenen taşıma (dağıtım) planlama probleminin matematiksel modeli aşağıdaki gibi olacaktır: Min (20X 11 + 50X 12 + 35X 13 + 42X 14 ) + (26X 21 + 36X 22 + 23X 23 + 53X 24 ) + (62X 31 + 32X 32 + 25X 33 + 15X 34 ) (X 11 + X 12 + X 13 + X 14 ) = 800 (Çanakkale arz miktarı = 800) (X 21 + X 22 + X 23 + X 24 ) = 500 (İstanbul arz miktarı = 500) (X 31 + X 32 + X 33 + X 34 ) = 400 (Giresun arz miktarı = 400) (X 11 + X 21 + X 31 ) = 500 (Balıkesir talep miktarı = 500) (X 12 + X 22 + X 32 ) = 200 (Kastamonu talep miktarı = 200) (X 13 + X 23 + X 33 ) = 700 (Balıkesir talep miktarı = 700) (X 14 + X 24 + X 34 ) = 300 (Kastamonu talep miktarı = 300) X ij 0 (Tüm Xij ler sıfırdan büyük ya da eşittirler, negatif olamazlar) Problemi yukarıdaki modelde görüldüğü gibi matematiksel olarak formüle edebiliriz. Modelin ilk kısmı amaç fonksiyonudur. Min ifadesi minimize etmek anlamında olup, toplam taşıma maliyetinin minimize edilmesi amacını göstermektedir. Diğer kısımlar ise kısıtlar olarak adlandırılır. Bu probleme özel olarak tanımlanan kısıt denklemlerinde, her bir deponun arz miktarı belirtildiği kadar olmalı ve her bir bayinin talep ettiği miktarlar da yine belirtilen haftalık talep miktarları kadar olmalıdır. Problemin Microsoft Excel Solver (Çözücü) eklentisi kullanılarak bulunan çözümü aşağıdaki şekilde verilmektedir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
Cij: Birim Taşıma Maliyetleri (Kuruş) Balıkesir Kastamonu Ankara Samsun Çanakkale 20 50 35 42 800 İstanbul 26 36 23 53 500 Giresun 62 32 25 15 400 500 200 700 300 Xij: Depolardan bayilere taşınan miktarlar (birim) Balıkesir Kastamonu Ankara Samsun Çanakkale 500 0 300 0 800 İstanbul 0 100 400 0 500 Giresun 0 100 0 300 400 500 200 700 300 41000 Şekil 13.2. Örnek Taşıma Probleminin Excel İle Çözümü Matematiksel modellerin çözümünde çeşitli yazılımlar ya da programlar kullanılabilir. Biz bu örnekte MS Excel Çözücü eklentisini kullanarak optimum (en iyi) çözümü bulduk. Çözüme ulaşmak için kullanılabilecek diğer yazılımlara örnek olarak WinQSB programı ya da Matlab programlama aracı verilebilir. Şekil 2 deki çözümde görüldüğü gibi problemin en düşük maliyetli çözümünde Çanakkale deposundan Balıkesir bayisine 500 birim, Giresun deposundan Samsun bayisine 300 birim, İstanbul ve Giresun depolarından Kastamonu bayisine 100 er birim, Çanakkale deposundan Ankara bayisine 300 birim ve son olarak da İstanbul deposundan Ankara deposuna 400 birim ürün gönderilmesi öngörülmektedir. Bu çözümün taşıma maliyeti minimum maliyet olup 41000 kuruş yani 410 TL olarak bulunmuştur. ATAMA PROBLEMİ Birçok işte yöneticiler birtakım atama problemleriyle karşı karşıyadırlar. Örneğin işleri çalışanlara, makineleri işlere, projeleri araştırmacılara, bölgeleri satış elemanlarına atamak gerektiğinde söz konusu problem bir atama problemi olup minimum maliyetle atama işleminin gerçekleştirilmesi amaçlanır. Taşımacılıkta atama problemi sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Örneğin gemi taşımacılığında eldeki gemilerin hedef limanlara atanması, farklı kapasitelerdeki Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
Örnek Rota Planlama yük taşıyıcıların farklı taşıma görevlerine atanması, depolardan mağazalara yapılacak sevkiyatlarda hangi deponun hangi mağaza(lar)a sevkiyat yapacağı ile ilgili atamanın yapılması gibi daha birçok örnek sayılabilir. Atama probleminde minimize edilmek istenen amaç değeri toplam taşıma maliyeti olabileceği gibi, harcanan toplam süre ya da kat edilen toplam mesafe de olabilir. Gemi taşımacılığında elimizde bulunan n tane gemiyi n farklı taşıma işine atama problemini ele alalım. Burada amaç, gemilerin taşıma maliyetleri, liman maliyetleri, gemilerin hızları ve siparişlerin temin süreleri ile gemilerin yük taşıma kapasiteleri de göz önünde bulundurularak en düşük toplam maliyetle bu taşıma işleminin gerçekleştirilmesidir. Kuşkusuz bu tür bir problemde eğer sipariş, liman ve gemi sayıları çok fazla olup karmaşık bir problem ile karşı karşıya kalınırsa bilgisayar destekli karar destek sistemlerinden faydalanılmalıdır. Karar destek sistemleri sayesinde her bir i gemisini her bir j taşıma işine atamanın maliyetini (Cij) belirlediğimizi varsayalım. Bu durumda tipik bir atama problemi ile karşı karşıyayız demektir. Atama problemi aslında bir önceki konuda anlatılan taşıma probleminin özel bir hâlidir. Şöyle ki, aradaki farklar: 1. Taşıma probleminde m adet başlangıç noktası ve n adet varış noktası varken atama probleminde n adet iş n adet iş görene (ya da bizim örneğimizdeki gibi gemilere) atanacaktır. 2. Karar değişkenleri olan Xij lerin tanımı atama probleminde aşağıdaki gibi olacaktır: Xij = 1 Xij = 0 atanmamışsa Eğer i gemisi j taşıma işine atanmışsa Eğer i gemisi j taşıma işine Görüldüğü gibi bu iki farklılık dışında atama problemi aslında taşıma probleminin özel bir hâlidir ve taşıma probleminin çözülme yönteminin aynısı kullanılarak bu problem de benzer şekilde çözülebilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
Örnek Atama Problemi RT deniz taşımacılık şirketinin mevcut 5 adet gemisi (1, 2, 3, 4 ve 5 nolu) bu ay için gelen siparişler doğrultusunda 5 farklı taşıma işine (A, B, C, D ve E limanlarına) atanacaktır. Geçmiş verilerden ve güncel maliyet bilgilerinden yola çıkarak her bir geminin her bir taşıma işine atanmasının toplam maliyeti aşağıdaki şekilde (Şekil 13.3 de üstteki tablonun içindeki değerler) verilmektedir. Bu maliyet verileri doğrultusunda karşımızda tipik bir atama problemi var demektir. Problemin çözümünde yine MS Excel Çözücü eklentisi kullanılmıştır. Bulunan optimum çözüm aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Gemiler Hedef Limanlara Taşıma Maliyetleri (Bin TL) A B C D E 1 9 5 7 13 11 1 2 13 8 10 11 15 1 3 15 5 9 12 9 1 4 13 9 8 16 21 1 5 99 12 15 9 14 1 1 1 1 1 1 Hedef Limanlara Yapılan Atamalar (1 = Atanmış) A B C D E 1 1 0 0 0 0 1 Gemiler 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 1 4 0 0 1 0 0 1 5 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 43 Şekil 3. Örnek Atama Probleminin Excel İle Çözümü Görüldüğü gibi en uygun çözümde (Şekil 3 ün alt kısmında) 1 no lu gemi A limanına, 2 no lu gemi B limanına, 3 no lu gemi E limanına, 4 no lu gemi C limanına ve 5 no lu gemi D limanına gitmek üzere atanmıştır. Bu atamaların toplam maliyeti 43 Bin TL olmuştur. Burada belirtilmesi gereken önemli bir nokta, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
5 no lu geminin yönetim tarafından A limanına atanmasının kesinlikle uygun olmayacağının bildirilmiş olmasıdır. Bu nedenle, Şekil 3 ün üst tarafında maliyet bilgileri girilirken 5 nolu geminin A limanına gitme maliyeti için bilerek 99 gibi çok büyük bir değer girilmiştir (renkli olarak gösterilen bölge). Bu sayede 5 nolu gemi maliyeti çok yüksek olduğu için zaten A limanına atanmamıştır. Tıpkı taşıma probleminde olduğu gibi burada anlatılan örnek atama probleminde de problemin matematiksel formülasyonu üzerinden en uygun çözüm bulunmuştur. Aşağıda gösterilen atama problemi modeline dikkatlice bakılırsa, atama probleminin taşıma probleminin özel bir hâli olduğu çok daha iyi anlaşılabilecektir. Min (9X 11 + 5X 12 + 7X 13 + 13X 14 + 11X 15 ) + (13X 21 + 8X 22 + 10X 23 + 11X 24 + 15X 25 ) + (15X 31 + 5X 32 + 9X 33 + 12X 34 + 9X 35 ) + (13X 41 + 9X 42 + 8X 43 + 16X 44 + 21X 45 ) + (99X 51 + 12X 52 + 15X 53 + 9X 54 + 14X 55 ) (X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 ) = 1 (1 no lu gemi sadece 1 işe atanır) (X 21 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 ) = 1 (2 no lu gemi sadece 1 işe atanır) (X 31 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 ) = 1 (3 no lu gemi sadece 1 işe atanır) (X 41 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 ) = 1 (4 no lu gemi sadece 1 işe atanır) (X 51 + X 52 + X 53 + X 54 + X 55 ) = 1 (5 no lu gemi sadece 1 işe atanır) (X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 ) = 1 (A limanına sadece 1 gemi atanır) (X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 ) = 1 (B limanına sadece 1 gemi atanır) (X 13 + X 23 + X 33 + X 43 + X 53 ) = 1 (C limanına sadece 1 gemi atanır) (X 14 + X 24 + X 34 + X 44 + X 54 ) = 1 (D limanına sadece 1 gemi atanır) (X 15 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 ) = 1 (E limanına sadece 1 gemi atanır) Xij = 1 Xij = 0 atanmamışsa Eğer i gemisi j taşıma işine atanmışsa Eğer i gemisi j taşıma işine Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
(Bu son kısıt ile eğer i gemisi j limanına atanmamışsa Xij değeri sıfır olacağından maliyet hesabında bu atamanın maliyeti sıfır olacaktır.) GEZGİN SATICI PROBLEMİ Gezgin satıcı problemi adından da anlaşılabileceği gibi bir satıcının (ya da Gezgin satıcı problemi bir satıcının bir başlangıç noktasından çıkıp m tane farklı uğrama noktasını ziyaret edip başladığı yere tekrar geri dönmesi gerektiği özel bir taşıma problemidir. taşıma aracının) bir başlangıç noktasından çıkıp m tane farklı uğrama noktasını ziyaret edip başladığı yere tekrar geri dönmesi gereken özel bir taşıma problemidir. Burada gidilecek yerler zaten bellidir. Belli olmayan ise gidilecek olan yerlere hangi sırada gidileceğidir. Bu sıralamadaki farklılık seyahatin rotasını da etkileyeceğinden, problemin özünde yine toplam taşıma maliyetini (ya da süresini veya mesafesini) minimize edecek en uygun rotayı belirleme amacı vardır. Günümüzdeki yalın tedarik zinciri uygulamaları ve tam zamanında (just in time) üretim sistemlerini uygulayan firmalar (örneğin Toyota gibi otomobil firmaları), bir yandan montaj hattının sürekliliğini sağlamak ve diğer yandan da az miktarda (gerektiği kadar) stok bulundurmak için süt dağıtımı (milk run distribution) adı verilen yöntemi kullanılmaktadır. Süt dağıtımı aslında tam bir gezgin satıcı problemidir. Bu yöntemle tıpkı süt dağıtıcısının evleri dolaşıp sütlerini bıraktığı gibi, tedarikçi firmalardan gelen parça siparişleri belli bir program dâhilinde ve belli bir sırada (en uygun) toplanarak son montajları yapılmak üzere ana firmaya günlük olarak (ya da saatlik olarak) sevk edilmektedir. Böylece her bir alt parçadan gerekli olduğu miktarda, gerekli olduğu yerde ve gerekli olduğu zamanda temin edilmektedir ki bu tam zamanında sevkiyat (Just in Time, JIT) anlamına gelmektedir. Gezgin satıcı probleminde yol üzerindeki her bir nokta sadece bir defa ziyaret edilir. Ziyaret edilen her bir i ve j noktası arasındaki mesafe ya da taşıma maliyeti Cij ile gösterilir. Problemin karar değişkeni olan Xij ler aşağıdaki gibi tanımlanır: Xij = 1 Xij = 0 Eğer belirlenen rota üzerinde i bölgesinden j bölgesine gidiş varsa Eğer belirlenen rota üzerinde i bölgesinden j bölgesine gidiş yoksa Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
Gezgin satıcı probleminin amaç fonksiyonu tıpkı taşıma ve atama problemlerinde olduğu gibi toplam taşıma maliyetinin (Cij ler ile Xij lerin çarpımlarının toplamı) minimize edilmesi şeklinde formüle edilmektedir. Gezgin satıcı problemi aslında atama problemine benzer. Çünkü her bir i ve j bölgesi birbirlerine tahsis edilmiş (atanmış) ve her bir bölge için sadece bir atama mevcuttur. Diğer bir deyişle, her bir bölgeye sadece bir giriş ve bir çıkış olacaktır. Atama problemine benzemesine rağmen gezgin satıcı probleminin çözümü nispeten daha zordur. Özellikle uğranacak olan bölge sayısı m arttıkça, problemin çözümü daha da zorlaşmaktadır. Örneğin 50 uğrama noktasını (şehir ya da firma olabilir) içeren bir problem için 500 trilyon kısıt denklemi yazılması gerekmektedir. Tabi bugünkü bilgisayar teknolojisi ile bu tür problemler de kısa sürelerde çözülebilmektedir. Örnek Gezgin Satıcı Problemi Tam zamanında (Just in time) sevkiyat planına uyabilmek için süt dağıtımı (milk run distribution) uygulayan bir tedarikçi firmadan çıkan bir tır 4 farklı firmaya uğradıktan sonra geri dönmektedir. Aşağıdaki tabloda her iki uğrama noktası arasındaki seyahat süreleri dakika cinsinden verilmektedir. Tablo 13.1 Örnekteki Uğrama Noktaları Arasındaki Taşıma Sürelerini (Dakika Cinsinden) Gösteren Tablo Firma 1 Firma 2 Firma 3 Firma 4 Ana Firma 21 15 33 15 Firma 1 -- 18 18 23 - Firma 2 -- 17 12 - Firma 3 --- 19 Firma 4 -- - Problemin amacı tüm firmalara (ana firma dâhil olmak üzere m= 5) birer defa uğrayıp ana firmaya en kısa sürede geri dönmektir. Bizim burada bulmamız gereken hangi sırada ziyaretlerin gerçekleştirileceğidir. Bu problem simetrik bir Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
seyahat problemidir. Çünkü her bir uğrama noktası çifti arasındaki seyahat zamanı iki yönde de aynıdır. Fakat bunun böyle olmadığı problemler de olabilir. Örneğin trafiğin tek yönde sıkışık olduğu durumlarda gidiş süresi ile dönüş süresi aynı olmayabilir. Böyle bir problemi basit bir şekilde çözmenin bir yolu bütün muhtemel rotaları alt alta yazarak bunların toplam sürelerini hesaplayıp en kısa süreli olanı bulmaktır. Aşağıda bu tarz bir çözüm yöntemi uygulanmaktadır (aşağıda firma kelimesi F olarak kısaltılmıştır, örneğin Firma 1 yerine F1 yazılmıştır): Döngü Toplam Süre ---------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Ana Firma-F1-F2-F3-F4-Ana Firma 21+18+17+19+15 = 90 dakika 2. Ana Firma-F1-F2-F4-F3-Ana Firma 21+18+12+19+33 = 103 dakika 3. Ana Firma-F1-F3-F2-F4-Ana Firma 21+18+17+12+15 = 83 dakika 4. Ana Firma-F1-F3-F4-F2-Ana Firma 21+18+19+12+15 = 85 dakika 5. Ana Firma-F1-F4-F2-F3-Ana Firma 21+23+12+17+33 = 106 dakika 6. Ana Firma-F1-F4-F3-F2-Ana Firma 21+23+19+17+15 = 95 dakika 7. Ana Firma-F2-F3-F1-F4-Ana Firma 15+17+18+23+15 = 88 dakika 8. Ana Firma-F2-F1-F3-F4-Ana Firma 15+18+18+19+15 = 85 dakika 9. Ana Firma-F2-F4-F1-F3-Ana Firma 15+12+23+18+33 = 101 dakika 10. Ana Firma-F2-F1-F4-F3-Ana Firma 15+18+23+19+33 = 108 dakika 11. Ana Firma-F3-F1-F2-F4-Ana Firma 33+18+18+12+15 = 96 dakika 12. Ana Firma-F3-F2-F1-F4-Ana Firma 33+17+18+23+15 = 106 dakika Yukarıdaki hesaplamalarda görüldüğü gibi problemin en kısa süreli çözümü 3. seçenekteki Ana Firma-F1-F3-F2-F4-Ana Firma rotasıdır. Bu rotanın toplam süresi 83 dakikadır. Bu problemde uğrama noktaları sayısı (m= 5) olduğundan ve bu problem simetrik bir problem olduğundan problemin [(m 1)!] / 2 adet muhtemel çözümü vardır. Yani m= 5 ise [(m 1)!] / 2 = [(5 1)!] / 2 = 4! / 2 = 12 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12
Yukarıda görüldüğü gibi problemin 12 muhtemel çözümü vardır ki biz de zaten 12 farklı çözüm bulduk. Burada problem simetrik olmasa idi bu değeri ikiye bölmeyecektik ki bu sefer 24 farklı çözüm olacaktı. Uğranılan bölge sayısı arttıkça problemin muhtemel çözüm sayısı da artacak ve böylece artık problem elle çözülemeyecek kadar zorlaşacaktır. Gezgin satıcı problemi atama problemi şeklinde çözüldüğünde, birbirinden ayrı alt döngülerle sonuçlanacaktır. Bu alt döngüleri engellemek için normal atama problemi şeklinde tanımlanan modele ek kısıtlar ilave edilmelidir. Örneğin (Ana Firma-F2-F1-Ana Firma) şeklinde eksik uğrama noktaları şeklinde yani tamamlanmamış bir alt döngüsünün gerçekleşememesi için (Ana Firma-F2); (F2- F1) ve (F1-Ana Firma) bağlantılarının çözüme aynı anda girmesini engelleyecek bir kısıt eklemek gerekir. Ana firma için indis numarası olarak 5 i verirsek aşağıdaki kısıt denklemi (Ana Firma-F2-F1-Ana Firma) alt döngüsünün geçersiz olmasını sağlar: X52 + X21 + X15 2 Bu alt döngü sadece X52, X21, ve X15 değerlerinin hepsinin 1 e eşit olduğunda geçerli olabileceğinden yukarıdaki kısıt bunu imkânsız yapar, çünkü üçü birden 1 e eşit olduğunda 2 den büyük olacaktır ki yukarıdaki kısıt denklemi bunu engeller. Bir başka örnek olarak (F1-F2-F3-F4-F1) alt döngünün geçersiz olduğunu söylemek için aşağıdaki kısıt denklemini eklemeliyiz: X12 + X23 + X34 + X41 3 Bu gezgin satıcı problemini bir atama problemi modeli şeklinde çözebilmek için, yukarıdaki gibi muhtemel tüm alt döngülerin ek kısıtlar getirilerek engellenmesi gerekir. Bu doğrultuda örnek problemimiz için aşağıdaki kısıtlar eklenmelidir: Tek düğümlü alt döngüler için: X11 0, X22 0, X33 0, X44 0, X55 0. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
İki düğümlü alt döngüler için: X12 + X21 1 X13 + X31 1 X14 + X41 1 X15 + X51 1 X23 + X32 1 X24 + X42 1 X25 + X52 1 X34 + X43 1 X35 + X53 1 X45 + X54 1 Üç düğümlü alt döngüler için: X12 + X23 + X31 2 X12 + X24 + X41 2 X12 + X25 + X51 2 X13 + X34 + X41 2 X13 + X35 + X51 2 X14 + X45 + X51 2 X23 + X34 + X42 2 X23 + X35 + X52 2 X24 + X45 + X52 2 X34 + X45 + X53 2 Dört düğümlü alt döngüler için: X12 + X23 + X34 + X41 3 X12 + X23 + X35 + X51 3 X12 + X24 + X45 + X51 3 X13 + X34 + X45 + X51 3 X23 + X34 + X45 + X51 3 MS Excel ya da WinQSB gibi yazılım araçları ile 10 veya daha az uğrama noktası olan problemlerin gezgin satıcı problemleri çözülebilir. Daha büyük çaplı gezgin satıcı problemleri için daha kapsamlı çözüm araçları (örneğin Matlab gibi) kullanılabilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
EN KISA YOL PROBLEMİ Çoğumuz bir yere gideceğimiz zaman kara yolları haritasına bakarak gideceğiniz yere giden en kısa yolu bulmaya çalışırız. Genellikle en kısa yoldan gideceğimiz yere varmak isteriz ki, yolculuk maliyetimiz (benzin sarfiyatı ve yol masrafları) en az olsun. En kısa yol probleminde amacımız, başlangıç noktasından gidilecek hedef noktaya kadar giden en kısa yolu bulmaktır. En kısa yol probleminde bir giriş noktasıyla başlayan ve n inci bitiş (terminal) noktası ile biten n adet nokta vardır. En kısa yol probleminin gezgin satıcı probleminden iki farkı vardır. Şöyle ki, en kısa yol probleminde, 1. Her bir noktanın seçilen yol üzerinde yer alması gerekmemektedir. Ziyaret edilmeyen noktalar da olabilir. 2. Gezgin satıcı probleminden farklı olarak başlangıç düğümüne (noktasına) dönülmez. Örnek En Kısa Yol Problemi TLMN şirketi uluslararası bölgelerde faaliyet gösteren bir taşımacılık şirketidir. Bu şirketin bu ayki işlerinden birisi bir müşterisi için A ve B şehirleri arasında mal taşımaktır. İki şehri birleştiren muhtemel yollar üzerindeki uğranabilecek şehirler (10 adet şehir) ve bu şehirler arasındaki mesafeler (kilometre cinsinden) aşağıdaki gibidir. Şehir Şehir Mesafe (kilometre) ----------------------------------------------------------------- 1 2 323 1 3 139 1 4 256 2 5 132 3 6 241 4 7 427 5 7 203 5 8 287 6 8 182 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
7 8 116 8 9 215 7 10 321 9 10 113 ---------------------------------------------------------------- Bu problemde 1 numaralı şehir A şehri olup başlangıç noktasıdır ve 10 numaralı şehir B şehri olup varış noktasıdır. Problemin şebeke gösterimi aşağıdaki şekilde görüldüğü gibidir. Başlan gıç 1 2 3 5 4 6 8 7 9 0 1 ş Varı Şekil 13.4 Örnek En Kısa Yol Probleminin Şebeke Gösterimi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
Bu problem önceki modellere benzer bir şekilde formüle edilip çözülebilir. Xij, i ve j şehirleri arasında otoyolun kullanımını temsil etsin. Bu durumda Xij karar değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanabilir: Xij = 1 Xij = 0 Eğer belirlenen rota üzerinde i ve j şehirleri arasındaki otoyoldan geçilecek ise Eğer belirlenen rota üzerinde i ve j şehirleri arasındaki otoyoldan geçilmeyecek ise Burada amaç kat edilen toplam uzaklığı minimize etmektir. Bu da bütün seyahat edilen yolların uzaklıklarının (dij ile gösterilebilir) karar değişkeni olan Xij ile çarpımlarının toplamıdır: Minimize dij Xij Bu şekilde eğer Xij=1 ise söz konusu i ve j şehirleri arası mesafe kat edilmiş olacak ve toplam mesafeye ilave edilecektir. En kısa yol modelinin kısıtları her bir şehir için (başlangıç ve bitiş şehirleri hariç) aşağıdaki gibi ifade edilebilir: (Şehrin içine gitmek için kullanılan otoyolların sayısı) = (şehirden ayrılırken gidilen yolların sayısı) Yani diğer bir deyişle bir şehre kaç defa giriş yapıldıysa aynı sayıda çıkış olmalıdır. Tabi bu kural başlangıç ve bitiş şehirleri için geçerli olmayacaktır. Çünkü başlangıç şehrine giriş olmayacak sadece çıkış olacaktır. Benzer şekilde bitiş şehrinden de çıkış olmayacak sadece giriş olacaktır. Yukarıdaki kısıt denklemine örnek olarak 7. şehir için aşağıdaki kısıt yazılmalıdır: X47 + X57 = X78 + X7,10 Yani, eğer 7. şehir seçilen yol üzerinde ise, 7. şehire gelirken ziyaret edilen otoyolların sayısı toplamda 1 olacaktır ve 7. şehirden çıkarken geçilen yolların sayısı da toplamda 1 olacaktır. Bunun için yukarıdaki formülde ya X47 ya da X57 değerlerinden biri 1 e eşit diğeri sıfıra eşit olacaktır. Benzer şekilde yukarıdaki formülde ya X78 ya da X710 değerlerinden biri 1 e eşit diğeri sıfıra eşit olacaktır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17
Fakat eğer 7. şehir seçilen rota üzerinde değilse, bu şehre giriş ve çıkış sayıları toplamı sıfır olacaktır. Yani X47, X57, X78 ve X7,10 değerlerinin hepsi sıfıra eşit olacaktır. Ayrıca, yukarıda belirtildiği gibi, başlangıç şehri olan 1. şehirden çıkışların sayısı tam olarak 1 olmalı, ve son durak olan 10 numaralı şehre girişlerin sayısı da 1 olmalıdır. Bu kural da, modele aşağıdaki kısıtlar eklenerek elde edilir. X12 + X13 + X14 = 1 (başlangıç şehri için) ve X7,10 + X8,10 = 1 (bitiş şehri için) Bu gibi kısıt denklemleri ilave edildiğinde problem bir doğrusal programlama problemi hâline gelir ve bilindik çözüm araçları ile çözülebilir. Karar değişkenleri (Xij ler) 0-1 li ikili değişkenler olduğundan bu problem bir İkili Tam Sayılı (Binary Integer) Doğrusal Programlama Modelidir. Yukarıdaki örnek en kısa yol probleminin çözümü aşağıdaki gibi bulunmaktadır: Önce başlangıç şehri olan 1 numaralı şehirden 3 numaralı şehre gidilir. Kat edilen mesafe 139 km Sonra 3 numaralı şehirden 6 numaralı şehre gidilir. Kat edilen mesafe 241 km Sonra 6 numaralı şehirden 8 numaralı şehre gidilir. Kat edilen mesafe 182 km Sonra 8 numaralı şehirden 9 numaralı şehre gidilir. Kat edilen mesafe 215 km Sonra 9 numaralı şehirden 10 numaralı şehre gidilir. Kat edilen mesafe 113 km Bu sonuca göre en kısa yol rotası 1-3-6-8-9-10 numaralı şehirlerden geçen rota olup kat edilen toplam mesafe 890 kilometredir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18
ROTA PLANLAMA YAZILIMLARI Rota planlama yazılımları coğrafi açıdan iki nokta arasındaki optimal (en iyi) rotayı planlamak için tasarlanmış bilgisayar programlarıdır. Bu yazılımlar genellikle kara yolları şebekeleri için tasarlanmış olup, kara yolunda seyreden araçlar için en iyi rotayı belirlemede kullanılırlar. Genellikle geçilecek yerlerin listesini, kavşak noktalarını, yol numaralarını ve takip edilmesi gereken yönleri ve uzaklıkları sürücüye bildirir ve aynı zamanda bir harita ile de görsel olarak bu bilgileri gösterebilirler. Online olarak rota planlama hizmeti sunabilen web sitelerine örnek olarak Google Maps, Mapquest, Tom Tom Route Planner, ViaMichelin ve Intermodal Journey Planner vb. gibi siteler verilebilir. Bu uygulamalar tahmini seyahat süresini, ücretli geçişler varsa bunların toplam maliyetini ve bazı durumlarda yol üstündeki önemli ihtiyaç yerlerini de (örneğin, hastane, restoran vb.) kullanıcıya gösterebilirler. Rota planlama yazılımları yüzde yüz hatasız değildir. Belli bir süre kullanıldıktan sonra kullanıcı bazı durumlarda kendi inisiyatifini de kullanabilir. Büyük ya da küçük sayılarda araç filoları bulunan taşıma ve dağıtım şirketleri rota planlama yazılımlarını filo yönetim sistemleriyle bütünleştirerek araçları için optimum rotaları belirleyebilir ve daha düşük maliyetlerle taşımacılık yapabilirler. Taşıma ve dağıtım işletmeleri için en uygun rota planlama çözümleri genellikle GPS (Global Positioning System, Küresel Konumlandırma Sistemi) üzerinden izleme yeteneğine ve gelişmiş raporlama özelliklerine de sahiptirler. GPS, uydu üzerinden konum bilgisi sağlayan ve bu bilgiyi ilgili noktaya gönderen bir sistemdir. Bu sistemler sayesinde kat edilen mesafe en aza indirilebilir, plan dışı duruşlar engellenebilir ve en düşük yakıt maliyetiyle taşıma işi gerçekleştirilebilir. Günlük hayatımızda kullandığımız araç navigasyon sistemleri rota planlama yazılımlarında birtakım algoritmalardan faydalanmaktadır. Bu yazılımlar önce çeşitli algoritmalar yardımıyla gidilecek yolu bölgelere ayırmakta, sonra da bu bölümlendirmeden yola çıkarak optimum rotayı belirlemektedir (Flinsenberg, 2009). Aynı zamanda yoldaki trafik sıkışmalarını da göz önünde bulundurabilen bu sistemler aracın muhtemel varış süresini de hesaplayabilmektedir. Her firmanın geliştirdiği navigasyon sistemleri farklı algoritmalardan yararlandığı için farklı firmaların navigasyon cihazlarının bulacağı en uygun rotalar da birbirlerinden farklı olabilecektir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19
Özet Rota Planlama Bu bölümde rota planlamanın genel anlamda ne olduğu, kimler için gerekli olduğu ve rota planlamada ne tür matematiksel araçların kullanıldığı üzerinde durulmuştur. Taşımacılık sistemlerinde en temel problemlerden biri olan taşıma probleminin matematiksel anlamda tanımlaması yapılmış ve bu problemin nasıl çözülebileceği örneklerle gösterilmiştir. Taşıma probleminde amaç m tane kaynaktan n tane hedefe yapılacak olan sevkiyatları minimum taşıma maliyetiyle gerçekleştirecek şekilde her bir i ve j noktası arasında taşınacak miktarları (yani Xij leri) belirlemektir. Taşıma probleminin özel bir hâli olan atama probleminde ise işleri çalışanlara, makineleri işlere, projeleri araştırmacılara, bölgeleri satış elemanlarına atamak gerektiğinde minimum maliyetle atama işleminin gerçekleştirilmesi amaçlanır. Gezgin satıcı problemi ve en kısa yol problemleri de taşımacılık sistemlerinde sıklıkla karşılaşılan diğer problem türleridir. Her iki problem türünün önemli ayırt edici özellikleri ayrıntılı olarak açıklanmış ve ardından da örnekler verilerek bu örnek problemlerin nasıl çözülebileceği anlatılmıştır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 20