ii Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk Kitaplarnn birinci cildinde, konu anlatmnn yannda, 600'den fazla çözümlü örnek bulmanz mümkündür. Kitaptaki sorularn bazlarn bu dökümanda bulabilirsiniz. Bu sorular özellikle matematik olimpiyatlarna yeni başlayan ögrencilere uygundur. Matematik alannda kendini daha iyi yetiştirmek isteyen başarl ilkögretim ve lise ögrencilerine faydal olacagna inandgm bu kitap, yine derslerini farkl ve ilginç sorularla renklendirmek isteyen ögretmenler için de iyi bir kaynak olacaktr.
Önsöz Türkiye'deki Matematik Olimpiyatlar Konusunda Ksa Bilgi Türkiye'de olimpiyat etkinlikleri, TÜBITAK Bilim Insan Destekleme Daire Başkanlg (BIDEB) tarafndan yürütülmektedir. Bu çalşmalar hem ulusal düzeyde hem de uluslararas düzeyde yaplmaktadr. Ulusal düzeyde gerçekleştirilen Ilkögretim Matematik Olimpiyat ile Liseler Için Matematik Olimpiyatlar sonuçlarna göre ülkemizi Uluslararas yarşmalarda temsil edecek takmlar belirlenmektedir. Uluslararas Bilim Olimpiyatlarnda ülkemizi temsil edecek takmlar matematik olimpiyat kamplarnda başarl olmuş ögrencilerin, çeşitli snavlar sonucunda seçilmeleriyle oluşmaktadr. Şu ana kadar katldgmz Uluslararas Matematik Olimpiyatlarnda, Umut Varolgüneş, Melih Üçer, Ömer Faruk Tekin, Cafer Tayyar Yldrm, Selim Bahadr (2 kez), Nizameddin Ordulu, Mehmet Bumin Yenmez ülkemize altn madalya kazandran ögrencilerdir. Son yllarda, birçok üniversite lise ögrencilerine yönelik olarak matematik olimpiyatlar düzenlemektedir. Bunlardan en eskisi Akdeniz Üniversitesi tarafndan düzenlenen Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatlardr, bu olimpiyat birincisi test ve ikincisi klasik olarak iki aşamada yaplmaktadr. Yine, Fatih, Koç, Doguş, Mersin, Sabanc üniversiteleri de matematik olimpiyat düzenleyen üniversitelerden bazlardr. Matematik Olimpiyatlarna Hazrlanan Bir Ögrenci Ne Kazanr? Matematik olimpiyatlarna hazrlanmak hem zor hem de zevklidir. Matematik olimpiyatlarna hazrlanan bir ögrenci snavn sonucunda hangi dereceyi alrsa alsn asla kaybetmez. Ögrendigi konular ve zor sorularn yannda, beynini zorlamas ufkuna açmasna ve ileride zor problemler ile karşlaştgnda daha saglkl ve daha tutarl yorumlar yapmasn saglayacaktr. Sporla ugraşan bir sporcu katldg olimpiyatta başarl olamasa bile, hazrlanma aşamasnda vücudunun saglkl olmas için yaptg çalşmalarn faydasn gördügü gibi, matematik olimpiyatlarna hazrlanan bir ögrenci de, zor problemlere kafa yormasnn sonucu olarak beynini geliştirir. Insanlar düşündükçe akln kullandkça, matematik problemi çözdükçe beyin hücrelerinin yollar açlr. Bilim adamlar, normal insanlarn mevcut beyin kapasitelerinin çok az bir ksmn kullanabildigini söylemektedirler. Bu kapasite elbette sradan işlerle ugraşarak, beyni yormayarak, basit ve birbirine benzeyen problemleri çözerek artmayacaktr. Beyni yormak gerekir. Beyni zorlamak, sürekli yeni problemlerle meşgul etmek gerekir. Beyin hücreleri kullanlmaz ise kaybedilir. O halde, bir matematik yarşmasna girsek de girmesek de zor sorular ile ugraşmalyz.
Matematik Olimpiyatlarna Nasl Hazrlanlmal? Matematik Olimpiyatlarna hazrlanmak gerçekten zordur. Zaman ister. Tpk olimpiyata hazrlanan bir haltercinin sürekli kendini geliştirmesi, yavaş yavaş agrlklar kaldrmas ve bunu başarabilmek içinde gerekli zaman harcayp vücudunu geliştirmesi gibi, yavaş yavaş ilerlenmesi gereken bir çalşmadr. Olimpiyat sorularn çözmeye yeni başlayan birisine, baz sorularn oldukça zor gelmesi normaldir. Bu biraz bilgiye, biraz tecrübeye biraz da püf noktal sorulara hazrlkl olmaya göre degişir. Sorularn zorluk derecesi, elbetteki, bir halterin agrlg gibi net olarak ifade edilmese de, bildiginiz bir konuda sorulan bir sorudaki ince bir püf nokta o soruyu çok zor hale getirebilir. Bir soru ögrenildikten sonra kolaydr. Ögreninceye kadar zor bir sorudur. Bu kitabn amaçlarndan biri de size göre zor olan sorularn saysnn azalmasna yardmc olmaktr. Olimpiyatlara hazrlanan bir ögrenci herşeyden önce, kararl olmal, kendine güvenmeli, fakat ne kadar kendine güvenirse güvensin yapamayacag sorularn oldugunun farknda olup, çözemedigi sorular karşsnda umutsuzluga düşmek yerine, çözemedigi sorularn çözümlerini ögrenerek ilerlemesi gerektiginin bilincinde olmaldr. Ksaca, matematik olimpiyatlarna hazrlk, kararllk, sabr ve azim isteyen bir iştir. Acele etmemek gerekir. Hatta baz sorularn çözümü de anlaşlamayabilir veya bir sorunun çözümü ögrenildikten sonra tekrar karşlaşldgnda o soruyu yapamayabilirsiniz. Ögrencilerden, bu konu ile ilgili en çok karşlaştgm soru, "çözümünü gördügümüz zaman anlyoruz ama kendimiz yapamyoruz, ne yapmalyz?" sorusudur. Aslnda bu normaldir. Olimpiyat sorularnn kendine has çözme yöntemleri olabilir. Bu yöntemleri bir anda ögrenmek elbette kolay degildir. Bu kitapta konular ve konu ile ilgili sorulan sorular mümkün oldugu kadar, o konuya gelinceye dek ögrenilen bilgileri içerecek şekilde ele alnmştr. Bir soruyu çözerken, soruyu önce kendiniz çözmeye çalşnz. Çözemez iseniz, çözümünü inceleyip nasl bir yöntem kullanldgn inceleyiniz ve soruda püf nokta var ise, o püf noktay mutlaka görmeden soruyu geçmeyiniz. Sorunun çözümünü anlamaz iseniz, bu konu ile ilgili bilgilerinizin eksik olabilecegini göz önünde bulundurarak umutsuzluga kaplmaynz. Unutmayn sizi zorlayan her soru sizin için zor ve güzel bir sorudur. Baz sorularda hata da olabilir. Bu tür hatalar bildirirseniz, kitabn bundan sonraki basmlarnda daha hatasz olarak size ulaştrabiliriz. Hangi Ciltte Hangi Konular Var? Birinci ve ikinci ciltte, olimpiyatlar için en gerekli temel kavramlarn ve yöntemlerin verilmesi amaçland. Bunun için, temel kavramlar, tanmlar, gösterimler verilerek, problem tipleri, çarpanlara ayrma, çözümleme, toplamlar, kombinatorik, binom açlm, ispat yöntemleri konular ele alnd. Üçüncü ciltte ise, saylar teorisi konusu ele alnarak, bölünebilme, asal saylar, obeb-okek, modüler aritmetik, Fermat, Euler, Wilson teoremleri, Çin kalan teoremi, denklikler, tamdeger, konular verildi. Dördüncü ciltte ise, fonksiyonlar, polinomlar, polinom denklemler ve eşitsizlikler, diziler, denklemler ve denklem sistemleri konularna yer verildi.
Son cillte ise, logaritma ve trigonometri bilgisi, limit, süreklilik, türev, fonksiyonel denklemler ve eşitsizlikler konular verildi. Her bir kitapta öncelikle, konuya ve o konu ile ilgili örnek ögretici olabilecek sorulara yer verdim. Daha sonra, her bir konu ile ilgili dünyada degişik olimpiyatlarda sorulmuş sorular da içeren bir tane çözümlü test koydum. Son olarak da o konu ile ilgili TÜBITAK Matematik Olimpiyatlarnda çkmş sorular ve çözümlerini verdim. Test sorularnn bir çogu aslnda, klasik olimpiyat sorulardr. Bunun yannda, klasik sorular vererek olimpiyatlarn soru şeklinden uzaklaşmamaya çalştm. Umarm, faydal olur. Başka Hazrlanabilecegimiz Olimpiyat Kitab Var m? Türkiye'de matematik alannda olimpiyatlara hazrlananlar için, Türkçe kaynak oldukça azdr. Aşagda, matematik olimpiyatlarna hazrlanan ögrenciler için faydal olacagna inandgm baz kitaplar yazdm. 1. Saylar Teorisinde Ilginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, H. Ibrahim Karakaş, Ilham Aliyev (TÜBITAK Yaynlar). 2. Analiz ve Cebirde Ilginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, H. Ibrahim Karakaş, Ilham Aliyev (TÜBITAK Yaynlar). 3. Ulusal Antalya Matematik Oimpiyatlar Sorular ve Çözümler, Ilham Aliyev, Mustafa Özdemir, Dilber Şhaliyeva (TÜBITAK Yaynlar). 4. Sonlu Matematik, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe (TÜBITAK Yaynlar). 5. Meraklsna Matematik, Recep Yücesan (Zambak Yaynlar). 6. Meraklsna Geometri, Ömer Gürlü (Zambak Yaynlar). 7. TÜBITAK Ulusal Matematik Olimpiyat Soru ve Çözümleri, Mustafa Töngemen, (Altn Nokta Yaynlar) (Bu Kitapta TÜBITAK olimpiyatlarnda çkmş tüm sorularn çözümlerini bulabilirsiniz.) Teşekkür Öncelikle, her konuda beni destekleyen ve yardmc olan, örnek almaya çalştgm yüksek lisans ve doktora danşman hocam, Prof. Dr. Abdullah Aziz Ergin'e, Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümünde bana çalşma frsatnn yolunu açan, bana her konuda örnek olan, kendisine her zaman müteşekkir oldugum Prof. Dr. Halil Ibrahim Karakaş hocama ve bana yol gösteren daym Prof. Dr. Hasan Ali Çelik'e, 1996 ylnda başlayan matematik olimpiyat sorularna olan ilgimin artarak devam etmesini saglayan, bu konuda beni teşvik eden, Prof. Dr. Ilham Aliyev hocama, teşekkür ederim. Ayrca, kitabn hazrlanmas srasnda, kitabn hem içerigi hem de düzeni konusunda zaman harcayp, tavsiye ve düzeltmelerde bulunan Prof. Dr. Ali Nesin hocama teşekkür ederim. Sorularn ve çözümlerin tashihinde bana yardmc olan, Yüksek Lisans Ögrencisi Osman Palanc'ya, Yard. Doç. Dr. Gültekin Tnaztepe'ye ve Oguz Yegin'e ve kitabn hazrlanma aşamasnda bana destek olan eşim Burcu Özdemir'e teşekkür ederim. Ayrca, kendilerinden gerektigi kadar yararlanamadan aramzdan ayrlan degerli hocalarm Fikri Gökdal ve Prof. Dr. Dogan Çoker hocalarm da saygyla anyorum.
Ksa Özgeçmiş Mustafa Özdemir, 1975 ylnda Konya'nn Bozkr ilçesinde dogdu. Ilk, orta ve lise ögrenimini Antalya'da tamamlad. 1992 ylnda girdigi Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Egitim Fakültesi Matematik Ögretmenligi Bölümü'nden 1996 ylnda mezun oldu. 1999-2007 yllar arasnda, Akdeniz Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalnda yüksek lisans ve doktorasn tamamlad. Halen, Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümünde çalşmaktadr. Ikinci Bask Için Teşekkür. Altn Nokta Yaynevi olarak, kitab yaynlar arasna alarak basm ve dagtm konusunda her türlü fedakarlg yapan Halil Ibrahim Akçetin'e ve degerli eşine çok teşekkür ederim. Ayrca, kitabn birinci basksnda hatal soru çözümleri, bask hatalar, eksik çözümler, yanlş ifade edilişler ile ilgili birçok hatalarm görüp bildiren, Başer Kandehir'e, Reşit Kaya'ya, Mahmut Bektaş'a, Taha Eyüp Korkmaz'a, Salih Can'a, Ahmet Arduç'a, Ebubekir Celayir'e ve Oguzhan Ylmaz'a çok teşekkür ediyorum. Onlarn da katklaryla kitap çok daha hatasz hale gelmiştir. Bunun yansra kitaptaki olabilecek diger hatalarm ve kitapla ilgili görüş ve düşüncelerinizi, yine mozdemir07@gmail.com mail adresine gönderirseniz sevinirim. Hayatta iken degeri yeterince bilinmeyen tüm anneler adna Annem Hayriye Özdemir'e
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Temel Bilgiler Basit Denklem Çözümleri ve Saylarn Özelliklerinin Kullanlmas 20 Basit Eşitsizlikler 28 Faktöriyel Kavram 30 Bir Saynn Tam Ksm 32 Mutlak Deger 35 Üslü ve Köklü Saylar 39 Oran - Orant 44 Karşk Örnekler 45 Çözümlü Test 1 53 Çözümler 58 TÜBITAK SORULARI (Temel Bilgiler) 67 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Temel Bilgiler) 76 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 89 IKINCI BÖLÜM Problemler Yaş Problemleri 93 Işci - Havuz Problemleri 95 Hareket Problemleri 99 Yüzde - Faiz Problemleri 101 Karşm Problemleri 104 Saat Problemleri 105 Snav Problemleri 106 Tahtadaki Say Problemleri 107 Tart Problemleri 110 Say Tablosu ve Sihirli Kare Problemleri 112 Mantk Problemleri 114 Oyun ve Turnuva Problemleri 115 Çember Etrafna Say Yerleştirme Problemleri 118 Çözümlü Test 2 121
Çözümler 126 TÜBITAK SORULARI (Problemler) 133 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Problemler) 145 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 165 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Çarpanlara Ayrma ve Özdeşlikler Çarpanlara Ayrma Yöntemleri 169 Özdeşlikler 176 Karşk Örnekler 191 Çözümlü Test 3 201 Çözümler 206 TÜBITAK SORULARI (ÇarpanlaraAyrma) 217 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Çarpanlara Ayrma) 221 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 229 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Çözümleme ve Taban Aritmetigi Çözümleme 233 Rakam Degiştirme veya Silme 237 Karşk Örnekler 239 Çözümlü Test 4 251 Çözümler 258 TÜBITAK SORULARI (Çözümleme) 273 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI (Çözümleme) 279 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 289 BEŞINCI BÖLÜM Eşitsizliklere Giriş Aritmetik - Geometrik - Harmonik Ortalama ve Eşitsizlikleri 291 Cauchy - Schwartz Eşitsizligi 299 Karşk Örnekler 303 Çözümlü Test 5 305 Çözümler 307 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 313 YANIT ANAHTARI 315
SORULAR Örnek 1 3n 10; 6n 13 ve 5n 13 saylarnn üçü de asal say olacak şekilde kaç n pozitif tamsays vardr? 2n 3 Örnek 2 kesiri, 1'den büyük bir n tamsays için, a pozitif says ile sadeleştirilebildigine göre, a says 5n 1 kaçtr? Örnek 3 n ve n + 100 saylarnn her ikisinin de bölenlerinin says tek olacak şekilde kaç degişik n pozitif tamsays vardr? Örnek 4 a 2 + b = b 1999 denklemini saglayan kaç (a; b) tamsay ikilisi vardr? (Estonya M.O. 1999) Örnek 5 n 2 + n 3 says tamkare olacak şekilde 100'den küçük kaç n pozitif tamsays vardr? Örnek 6 a; b; c; d ve e birbirinden farkl birer rakam ve " : " işareti bölme işlemini göstermek üzere, a : b : c : d : e işleminde parantezler kullanlarak elde edilebilecek en büyük say kaçtr? Örnek 7 10'dan küçük olan ve en sadeleşmiş durumda paydas 30 olan tüm pozitif rasyonel saylarn toplamn bulunuz. (AIME 1992) Örnek 8 Rakamlar birbirinden farkl 9 basamakl bir saynn herhangi yedi rakam silindiginde elde edilen iki basamakl sayya özsay diyelim. Özsaylarn sadece birinin asal olabilmesi için, 9 basamakl sayda hangi rakam kullanlmamaldr? Örnek 9 Toplamlar 500 olan tamsaylarn çarpmlar en büyük kaç olabilir? Örnek 10 x 2 + 3x 5 4 3 2 1 = 3x 15 denkleminin kaç çözümü vardr? Örnek 11 jx 10j + jx 9j + + jx 1j + jxj + jx + 1j + + jx + 10j = c denkleminin tek çözümü oldugunu biliyoruz. Buna göre, c saysn bulunuz. Örnek 12 2 + p p 3 2 3 p p p + p p p =? 2 + 2 + 3 2 2 3
2 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri x 2 Örnek 13 y 2 + y2 z 2 + z2 u 2 + u2 = 2 denklemini saglayan kaç (x; y; z; u) reel say x2 dörtlüsü vardr? Örnek 14 a; b, c ve d pozitif saylar için, abcd = 4 olduguna göre, 1 a + 1 2b + 2 3c + 3 4d ifadesinin alabilecegi en küçük deger kaçtr? Örnek 15 n bir pozitif tamsay ve x pozitif bir reel say olmak üzere, nx + 1 x n ifadesinin alabilecegi en küçük deger nedir? (UIMO - 2002) Örnek 16 x pozitif bir reel say olmak üzere, x 2 + 1 ifadesi aşagdaki degerlerden 4x hangisini alamaz? (UMO - 2002) A) p 3 1 B) p 5 1 C) 1 D) 2 p 2 2 E) Hiçbiri Örnek 17 x 4 +y 4 +z 4 +1 = 4xyz eşitligini saglayan kaç (x; y; z) reel say üçlüsü vardr? (UMO - 2006) Örnek 18 a ve b reel saylar ve ab (a b) = 1 ise, a 2 + b 2 aşagdakilerden hangisine eşit olabilir? (UMO - 2001) A) p 11 B) 1 C) 2 D) 2 p 2 E) Hiçbiri Örnek 19 1998) x 3 3 1=x3 + 3x3 = 6 denkleminin kaç farkl reel çözümü vardr? (UMO - x3 Örnek 20 a; b; c 2 R + olmak üzere, a + b S = b + c c + c + a a + b ifadesinin alabilecegi en küçük degeri bulunuz. (Harvard MIT Math. Tournament 2005) Örnek 21 2; 56; 2; 61; 2; 65; 2; 71; 2; 79; 2; 82; 2; 86 saylarnn her birini bir tamsay degerine yuvarlanarak yaplan toplama işlemindeki toplam, gerçek toplama eşit olsun. Her bir yuvarlamadaki hatalarn en büyük olan E olsun. E saysnn en küçük degeri için, 100E says kaçtr? (AIME 1985) Örnek 22 jx + jxj + aj + jx jxj aj = 2 denkleminin tam üç çözümü olacak şekilde kaç a says vardr?
SORULAR 3 Örnek 23 x = 3 2007 olmak üzere, p x 2 + 2x + 4 ve p 4x 2 + 2x + 1 saylar arasnda kaç tamsay vardr? Örnek 24 1 a 100 ve 1 b 100 olmak üzere, a + p b + tamsay olacak şekilde, kaç (a; b) tamsay çifti vardr? 1 a + p b ifadesi Örnek 25 6! = 8 9 10 eşitliginde 6! says ardşk üç saynn çarpm şeklinde yazlabilmektedir. n! says (n 3) tane ardşk saynn çarpmna eşit olacak şekilde yazlabiliyorsa, en büyük n says kaç olabilir? (AIME 1990) Örnek 26 Aralarndaki fark 60 olan iki pozitif tamsaynn karekökleri toplam tamkare olmayan bir pozitif tamsaynn kareköküne eşit olduguna göre, bu iki tamsaynn toplamnn alacag maksimum deger kaçtr? (AIME 2003) Örnek 27 2 k +1 = m+2n (m 1) eşitligini saglayan kaç (k; m; n) pozitif tamsay üçlüsü vardr? Örnek 28 p bir asal say ve x > 0; n 0 tamsaylar olmak üzere, n 2 p < 1000 eşitsizligini saglyorsa, n 2 + 100 x = (n + x)2 p denkleminin kaç (x; n; p) çözüm üçlüsü vardr? (Akd. Ün. Antalya M.O. 2009) n (n + 1) Örnek 29 n bir pozitif tamsay olmak üzere, a = biçimindeki sayya bir 2 üçgensel say denir. Buna göre, a b = 90 eşitligini saglayan kaç tane (a; b) üçgensel say ikilisi vardr? (Akd. Ün. Antalya M.O. 2009) Örnek 30 a; b ve c 2 R ve m 2 Z + olmak üzere, 1 m n3 an 2 bn c ifadesi, her n 2 Z için tamsay olduguna göre, m saysnn alabilecegi kaç deger vardr? Örnek 31 n 2 +n+109 says tamkare olacak şekilde kaç n pozitif tamsays vardr? Örnek 32 1; 2; 3; :::; 2007 tamsaylar arasndan öyle k farkl say seçilecektir ki, seçilen saylardan herhangi ikisinin fark toplamlarn bölemesin. Buna göre, seçilebilecek maksimum k says kaçtr?
4 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 33 k pozitif bir tamsay olmak üzere, aritmetik olarak artan üç ardşk saynn kareleri 36 + k; 300 + k; 596 + k olduguna göre k kaçtr? Örnek 34 vardr Örnek 35 a; b 2 Z + olmak üzere, a b + b biçiminde yazlabilen kaç pozitif tamsay a n 2 + 3n + 1 4n + 11 ifadesi tamsay olacak şekilde kaç pozitif n tamsays vardr? Örnek 36 x > 0 olmak üzere, 8 + 6 211 x ifadesinin alabilecegi en küçük deger aşagdakilerden hangisidir? A) 2 7 B) 8 2 8 C) 8 2 8 D) 7 2 9 E) 7 2 8 Örnek 37 x > 0, y > 0, z > 0 olmak üzere, degerlerden hangisini alamaz? x 6 5x 3 yz x 5 + y 5 + z 5 ifadesi aşagdaki A) 1 B) 2 C) 4p 2 D) 5p 25 E) 4p 9 Örnek 38 p ve q asal saylar için, p + q ve p + 7q saylar tamkare olacak şekilde kaç (p; q) ikilisi vardr? Örnek 39 100! saysnn tamdegeri kaçtr? 99! + 98! + 97! + + 1! Örnek 40 x; y 2 R + olmak üzere, x + y 2 y 1 = xy denklemini saglayan en küçük x says kaçtr? Örnek 41 2 a + 2 b = c! denklemini saglayan kaç (a; b; c) negatif olmayan tamsay üçlüsü vardr? Örnek 42 Örnek 43 m 2 +6m+28 says tamkare olacak şekilde kaç tane m tamsays vardr? 3600 saysnn çift pozitif bölenlerinin toplam kaçtr? Örnek 44 50 soruluk bir snavda her dogru yant için 5 puan verilirken, her yanlş yant için 3 puan ve her boş yant için de 1 puan kesilmektedir.
SORULAR 5 a) Bu snava giren Betül'ün yanlş says dogru saysndan fazla oldugu bilindigine göre negatif puan almayacak şekilde yapacag en az dogru için yanlş says en fazla kaç olabilir? b) Betül kaç degişik şekilde 0 puan alabilir. Örnek 45 30 sorudan oluşan bir test snavnda, her dogru yant için 5 puan, boş braklan her soru için 1 puan ve yanlş braklan her soru için ise 0 puan verilmektedir. Bu puanlama sistemiyle 1'den (1 dahil) 150'ye kadar (150 dahil) alnabilecek tüm puanlarn alnabilmesi için snfta en az kaç kişi olmaldr? Örnek 46 Burcu, Alper ve Mustafa'nn yaşlar toplam 48'dir. Alper ve Mustafa'nn yaşlar toplam, şimdiki yaşlar toplamnn 3 kat oldugunda, Burcu'nun yaş, Alper'in bugünkü yaşnn 6 kat, Mustafa'nn bugünkü yaşnn ise 4 kat olduguna göre, Burcu bugün kaç yaşndadr? Örnek 47 Ahmet ile Alper'in yaşlar toplam 60'tr. Ahmet, Alper'in yaşnda iken Alper'in dogmasna 18 yl vard. Buna göre, Alper, Ahmet'in şimdiki yaşna geldiginde Ahmet kaç yaşnda olur? Örnek 48 Hayriye, Nuriye ve Lokman farkl yaşlardaki üç kardeştir ve tümünün do- gum tarihi 19 ocaktr. Hayriye, 4 yaşnda iken, Nuriye'nin yaş, Lokman'n yaşnn 3 katyd. Lokman, Hayriye'nin yaşnn 2 kat yaşndayken, Nuriye'nin yaş, Hayriye'nin yaşnn 5 katyd. Nuriye'nin yaş Lokman'n yaşnn 2 kat oldugunda Hayriye kaç yaşnda olur? Örnek 49 Ali bir işin yarsn 3 günde, Cemil ayn işin 2=3'ünü 12 günde ve Deniz ise ayn işin 1=3'ünü 4 günde yapabilmektedir. Ali ile Cemil birlikte çalşmaya başladktan 2 gün sonra Deniz'de birlikte çalşmaya başlyor. 1 gün sonra Ali ve Cemil işten ayrlyor. Geri kalan işin 2=3'ünü Deniz tek başna kaç günde bitirebilir? Örnek 50 Bir musluk tek başna bir havuzu 6 saatte doldurmakta, başka bir musluk ise ayn havuzun yarsn 12 saatte boşaltmaktadr. Birinci musluktan akan su miktar %20 arttrlr ve ikinci musluktan akan su miktar %20 azaltlrsa, iki musluk birlikte açldgnda musluk kaç saatte dolar? Örnek 51 Birim zamanda biri digerinin iki kat su aktan iki musluk boş bir havuzu birlikte 12 saatte doldurmaktadr, iki musluk ayn anda açlyor. 6'nc saatin sonunda az su aktan musluk kapatlyor. Havuzun boş olan ksmn fazla su aktan musluk kaç saatte doldurur? Örnek 52 Yarçap r olan bir musluk, yarçap 3r olan muslukla birlikte açlnca havuz a saatte doluyor. Yarçap r olan r=2'ye düşürülüp, 3r olan 4r'ye çkarlrsa havuz b saatte doluyor. Buna göre, a=b oran kaçtr?
6 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 53 n tane musluk birer saat arayla açlrsa son musluk açldktan 1 saat sonra havuzun 1=2'si doluyor. Eger, musluklarn birim zamandaki su aktma kapasiteleri iki katna çkarlr ve ikişer saat arayla açlrsa, musluklarn yars açldktan iki saat sonra havuzun 8=15'i doluyor. Buna göre n kaçtr? Örnek 54 Ahmet ile Burcu ayn sayda gün çalşyorlar. Eger, Ahmet 1 gün daha az çalşsa ve Burcu'da 5 gün daha az çalşsa, Ahmet 120 TL ve Burcu da 40 TL kazanyor. Eger Ahmet 5 gün az çalşsa ve Burcu da 1 gün az çalşsa, Burcu, Ahmet'ten 20 TL daha az kazanyor. Buna göre, Ahmet ve Burcu tam çalştklarnda toplam kaç TL kazanrlar. Örnek 55 Bir aracn 420 km yolu 60 km/saat hzla gitmesi düşünülüyor. 2 saat gecikmeyle yola çkan araç 60 km/saat hzla 3 saat gidiyor. Aracn normal zamanda yolculugu bitirmesi için geri kalan yolu kaç km/saat hzla gitmesi gerekir? Örnek 56 Iki araba bir A şehrinden B şehrine dogru sabit fakat farkl hzlarla ayn anda hareket ediyorlar. Hzl olan araba B'ye vardktan sonra durmadan geri dönüyor ve B'yi x km geçtikten sonra diger arabayla karşlaşyor. Daha sonra, hzl olan araba A'ya varp tekrar dönüyor ve A ile B arasndaki yolun 1=y kadarn aldgnda diger araba ile tekrar karşlaşyorlar. Buna göre A şehriyle B şehri arasndaki uzaklk kaç km'dir. Örnek 57 100 basamakl bir yürüyen merdiven yukar dogru sabit hzla hareket ederken, Alper ile Burcu merdivenlerden yürüyerek çkyor. Alper, merdivenin tepesine kadar 40 basamak, Burcu ise 60 basamak çkyor. Buna göre Burcu'nun hznn Alper'in hzna oran kaçtr? Örnek 58 Iki araba ayn anda ayn yöne dogru saatte 40 km ve 50 km hzlarla hareket ediyorlar. Üçüncü araba iki araba hareket ettikten yarm saat sonra ayn yönde hareket edip, ikinci olan arabay geçtikten 1; 5 saat sonra birinci olan arabaya da yetişiyor. Üçüncü arabann hzn bulunuz. Örnek 59 A ve B şehirleri arasndaki mesafe 39 km'dir. Ali, A şehrinden B şehrine giderken, önce yokuş çkp, sonra düz gidip, daha sonra da yokuş inerek B şehrine ulaşmaktadr. Ali, A şehrinden B şehrine 12 saatte giderken, 15 saatte geri dönmektedir. Ali'nin Yokuş çkarken, düz giderken ve yokuş inerken hzlar srasyla ise 2, 3 ve 5 km/saat olduguna göre, A ile B şehri arasndaki düz olan yolun uzunlugu kaç km'dir. Örnek 60 Bir snftaki ögrencilerin %75'i zikten, %90' da matematikten, %80'i kimyadan ve %95'i de biyolojiden başarl olmuştur. Buna göre, snftaki ögrencilerin en az % kaç tüm dört dersten de başarl olmuştur?
SORULAR 7 Örnek 61 Bir snftaki gözlüklü ögrencilerin %25'i kzdr. Kz ögrencilerin ise yars gözlüklüdür. Snfn %25'i ise gözlüksüz ve erkekdir. Gözlüklü kz ögrenciler snfn yüzde kaçdr? Örnek 62 Bir tüccar, metresi 240 TL'den aldg kumaş ykatp kuruttuktan sonra %20 karla satacaktr. Ykatp kurutma işleminden sonra kumaş %20 ksaldgna göre, kumaşn metresi kaç TL'den satlmaldr? Örnek 63 Bir pazarc, domatesten %20 kar elde etmeyi düşünmektedir. Domatesin yarsn bu kar ile sattktan sonra, geri kalan domateslerin %20'sinin ezildigini görüyor ve bunlar atyor. Geri kalan domateslerin yatn tüm domates satşndan %20 kar edecek şekilde degiştiriyor. Buna göre, domatesin kilosunu en son alan müşteriler ilk alan müşterilerden %'de kaç daha pahal almştr. Örnek 64 Bir satc, bir miktar bardak alyor. Bardaklarn 15 tanesini %20 zararna veriyor. Geri kalan bardaklar da 2 TL kar ile diger müşterilerine satyor. Satş yatlarnn tamam tamsay TL olduguna ve tüm satştan, 1000 TL kar ettigine göre, satc en az kaç bardak alp satmştr? Örnek 65 Ilkögretim ve lise ögrencilerine yaplan bir ankette uzayda hayat olup olmadgna inanp inanmadklar sorulmuş ve sadece evet ve hayr yantlar alnmştr. Ankete katlan ilkögretim ve lise ögrencilerinin says birbirine eşittir. Evet diyen ögrencilerin %60' lise ögrencisi ve hayr diyen ögrencilerin %80'i ilkögretim ögrencisi olduguna göre, ilkögretim ögrencilerinin yüzde kaç evet demiştir? Örnek 66 Şeker oranlar %40 ve %60 olan şekerli su karşmlar, şeker oranlaryla ters orantl bir şekilde karştrlyor. oluşan karşmn su yüzdesi ne olur? Örnek 67 Bir A muslugu %25 tuzlu su aktarak 3x saatte, ayn havuzu B muslugu %65 tuzlu su aktarak 5x saatte doldurabilmektedir. Ikisi birlikte açlnca havuzu doldurduklarnda havuzdaki suyun tuz oran yüzde kaç olur? Örnek 68 Alkol oran %40 olan alkol su karşmndan bir miktar alnp yerine geriye kalan karşmn miktarnda su konuluyor. Yeni karşmdan bir miktar daha alnp, yerine geri kalan karşm kadar alkol konuluyor. Son elde edilen karşm 120 litre ise, ne kadar alkoldur? Örnek 69 Günde 4 dk geri kalan dijital olmayan bir saat, zaman dogru olarak gösterdikten en az kaç gün sonra zaman tekrar dogru gösterecektir. Örnek 70 Biri saatte 2 dakika ileri giden, digeri saatte 3 dakika geri kalan dijital olmayan iki saat, dogru zaman gösterdikten kaç gün sonra yine dogru zaman gösterirler?
8 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 71 Saat 9'dan kaç dakika sonra akreple yelkovan arasndaki aç a) 123 b) 72 olur. Örnek 72 Tahtada yazlan bir say silinip yerine her admda, ya üç kat, ya küpü, ya da karesi alnyor. Tahtadaki ilk yazlan say 9 ise 3 1000 saysna en az kaç admda ulaşlabilir? Örnek 73 Tahtada 1; 1 2 ; 1 3 ; :::; 1 saylar yazlmştr. Her admda ikisi silinip yerine silinen saylarn çarpmlar ile toplamlarnn toplam yazlyor ve tahtada tek say 100 kalncaya kadar bu işleme devam ediliyor. Buna göre tahtada son kalan say kaçtr? Örnek 74 Tahtada 2; 3; 4; :::; 100 saylar yazldr. Tahtadaki herhangi iki x ve y says silinip yerine xy x y + 2 says yazlyor. Bu işleme tahtada bir tek say kalncaya kadar devam ediliyor. Buna göre, tahtada kalan son say kaç olacaktr? Örnek 75 Tahtaya bir (a 1 ; a 2 ; a 3 ) say üçlüsü yazldktan sonra, her admda bu saylardan herhangi a i ve a j, i 6= j ikisini seçerek, bunlarn yerine, (0; 6a i 0; 8a j ) ve (0; 8a i + 0; 6a j ) saylarn yazyoruz. (3; 4; 12) saylar tahtaya yazldktan sonra, belirtilen işlemler ile aşagdaki üçlülerden hangisi elde edilemez.(hrvatistan 1999) A) (2; 8; 10) B) (1; 3; 9) C) (5; 8; 16) D) (11; 12; 18) E) Hiçbiri Örnek 76 Tahtadaki n says silinip yerine, n = a + b olmas şartyla a b says yazlabiliyor. Tahtada, başta 22 says var ise, aşagdakilerden hangisi elde edilemez? A) 2000 B) 2001 C) 2006 D) 2010 E) Hiçbiri Örnek 77 Matematik ögretmeni, tahtann soluna 2, sagna 5 yazyor. Birinci ögrenci bu saylarn arasna çarpmlar olan 10 saysn yazyor. Ikinci ögrenciden itibaren sras gelen her ögrenci yine tahtada ardşk yazl tüm say ikilileri için, bunlarn arasna çarpmlarn yazyor. Altnc ögrenci de işlemini bitirdikten sonra, tahtada yazl tüm saylarn çarpm hesaplanyor. Bu çarpmn sonunda kaç 0 vardr? Örnek 78 Bir kuyumcu, yeni aldg çragna bir oyun oynuyor. Birbirinin görünüm ve gramaj olarak ayn olan iki altn yüzügün yanna, bunlardan haf olan fakat görerek ayrt edilemeyen birbirinin ayn 2 tane yüzük daha koyuyor. Kuyumcu çragndan, denge terazisini kullanarak en az tartyla bu haf yüzükleri bulmasn istiyor. Kuyumcu çrag en az kaç tartda bu 2 yüzügü bulabilir? Örnek 79 Birbirinin ayn görünüme sahip 6 adet bilyeden birinin agrlg digerlerinden farkldr. Dijital tart kullanarak farkl olan bilyeyi ve agrlgn en az kaç admda hesaplayabiliriz.
SORULAR 9 Örnek 80 Bir turnuvada 10 takm vardr. Galibiyete 3 puan, beraberlige 1 puan ve maglubiyete ise 0 puan verilmektedir. Turnuvann sonunda 10 takmn toplam puanlar 130 ise, kaç maç beraberlikle bitmiştir? Örnek 81 Bir futbol turnuvasnda, her takm diger takmlarla yaptg maçlardan en az beşini kazanmştr. Bu turnuvada en az beş maç kaybeden bir takmn oldugunu kantlaynz. Örnek 82 Bir turnuvada her iki oyuncu birbirleriyle bir kez maç yapyorlar. Her bir oyuncuya kazandg her maç için, 1 puan, beraberlik için 1=2 puan ve kaybettigi her maç için ise 0 puan verilmektedir. S, bu turnuvadaki en az puan alan 10 oyuncunun kümesini göstersin. Turnuvadaki her oyuncunun kazandg puanlarn yarsn S kümesindeki oyuncularla yaptklar maçlardan aldklar bilindigine göre, turnuvada kaç oyuncu vardr? (AIME - 1985) Örnek 83 1; 2; 3; :::; 12 saylarn bir çember etrafna dizmek istiyoruz. a) Herhangi komşu iki saynn toplam tamkare olacak şekilde bir diziliş mümkün müdür? b) Herhangi komşu iki saynn toplam n (n + 1) =2 formunda olacak şekilde bir diziliş mümkün müdür? Not : n (n + 1) =2 formunda yazlabilen saylara üçgensel saylar denir. Örnek 84 Bir çember etrafnda, n 2 olmak üzere, 1'den n'ye kadar tüm tamsaylar yerleştirilecektir. Herhangi iki komşu saynn ortak en az bir rakam var olacak şekildeki en küçük n saysn bulunuz. (Rusya M.O. 1999) Örnek 85 Art arda gelen herhangi iki saynn aralarndaki fark 2 veya 3 olacak şekilde 2002 farkl say bir çember etrafnda diziliyor. Çemberin etrafndaki en büyük sayyla, en küçük say arasndaki fark en fazla kaç olabilir? (Tourn. of Towns M.O. 2002) Örnek 86 Bir çember etrafna 1; 2; :::; n saylar herhangi srada dizilecektir. Bu dizilişte, birbirine komşu olan saylarn farklarnn mutlak degerleri toplam en küçük kaç olabilir? (Baltk Way M.O. 1990) Örnek 87 268 say bir çember etrafna dizilmiştir. 17'inci say 3, 83'üncü say 4, 144'üncü say 9 ve herhangi ardşk 20 saynn toplam 72 olduguna göre, 210'uncu say kaçtr? (Isveç M.O. 2002) Örnek 88 4 say bir çember etrafna yerleştirilmiştir. Her admda, tüm saylar için, tek seferde her bir say silinip belirlenmiş bir yöne dogru, bu say ile bu saydan sonra gelen saynn fark yazlyor. Örnegin, a; b; c; d yazl iken, a b; b c; c d;
10 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri d a yazlyor. Bu şekilde, 1996 admdan sonra elde edilen a; b; c; d saylar için, jbc adj ; jac bdj ; jab cdj saylar asal olabilir mi? (1996 IMO Shortlist) Örnek 89 Alper, 1998 ylnda, n 2 ylnda n yaşnda olacagm dedigine göre, 2008 ylnda kaç yaşnda olacaktr? Örnek 90 Bir okul partisine katlan ögrencilerin % 60' kz ve %40' danstan hoşlanyor. Partiye sonradan tamam danstan hoşlanan 20 erkek ögrenci daha katlnca, partideki kz ögrenciler % 58 oluyor. Partide danstan hoşlanan kaç ögrenci vardr? Örnek 91 Bir grup kz ve erkek ögrenci pizzacya gidiyorlar. Pizzacda bir bütün pizza 12 parçaya ayrlarak servis yaplyor. Erkek ögrencilerin her biri, 6 veya 7 parça, kz ögrencilerin her biri ise 2 veya 3 parça pizza yiyor. 4 tüm pizza az gelirken, 5 tüm pizza fazla geliyor. Buna göre, bu ögrenci grubunda kaç ögrenci vardr? Örnek 92 Tahtada p 2; 2 ve 1= p 2 saylar yazlmştr. Bu saylardan herhangi ikisini silip yerine bu sildigimiz saylarn toplamnn ve farknn p 2 ile bölümünü yazyoruz. Bu şekilde devam ederek tahtada aşagdakilerden hangisini elde edemeyiz. A) 1, p 2 ve 1 + p 2 B) 2, 3 2 ve 1 p p p 2 D) 2, 2 ve p 2 2 2 E) 2 C) 2, 3 2 2 ve 1 p p 2 1 2 2 + 1 ; ve 1 + p 2 2 Örnek 93 Tahtada, 49=1; 49=2; 49=3; ; 49=97 saylar yazlmştr. Tahtadaki herhangi iki a ve b saysn silip yerine 2ab a b + 1 yazalm ve tahtada bir say kalncaya kadar bu şekilde devam edelim. Tahtada kalan son say kaçtr? Örnek 94 3 3 bir satranç tahtasnda, her sradaki, sütundaki ve köşegendeki saylarn çarpm eşittir. Bu kareye 1, 2, 4, 8, 32, 64, 128 ve 256 saylar yerleştirilecektir. Buna göre, ortadaki karede kaç olmaldr? Örnek 95 Bir soruya en fazla 5 puan verilen bir matematik olimpiyatnda, erkeklerin ortalamas 4, kzlarn ortalamas 3,25 ve tüm snfn ortalamas ise 3,6'dr. Ögrenci saysnn 30 ile 50 arasnda oldugu bilindigine göre olimpiyata katlan kz ve erkek ögrencilerin saylar arasndaki fark kaçtr? Örnek 96 8 oyuncu bir turnuvada karşlaşyorlar. Her bir oyuncu diger bir oyuncu ile yalnzca bir kez karşlaşyor. Bir oyuncu kazandg her maç için 1 puan, beraberlik için, 1=2 puan ve kaybettigi her maç için ise 0 puan alyor. Turnuva sonunda, tüm oyuncularn puanlar farkl ve ikinci olan oyuncunun puan en alttaki dört oyuncunun puanndan daha fazla olduguna göre, aşagdakilerin hangisi yanlştr? (S.S.C.B. M.O. 1963)
SORULAR 11 A) 4. sradaki oyuncu 5. sradaki oyuncuyu yenmiştir. B) 3. sradaki oyuncu 6. sradaki oyuncuyu yenmiştir. C) 1. sradaki oyuncu 2. sradaki oyuncuyu yenmiştir. D) 2. oyuncunun puan 6,5'tir. E) 1. oyuncunun puan 7'dir. Örnek 97 Dijital olmayan bir saat her 1 saatte 30 saniye geri kalyor. Bu saat dogru bir zamana ayarlandktan kaç gün sonra 5'inci kez dogru zaman gösterir? Örnek 98 Saat 16.10'dan kaç dakika sonra akreple yelkovan arasndaki aç ikinci kez 45 derece olur? Örnek 99 Bir yarşta 3 atlet sabit hzlaryla koşmaktadr.ayn anda koşmaya başlayan en hzl koşan atlet yarş bitirdiginde ikinci atletin bitirmesine 50 m, üçüncü atletin bitirmesine 100 m vardr. Ikinci atlet yarş bitirdiginde üçüncüsünün bitirmesine 75 m vardr. Buna göre, koşulan pistin uzunlugu kaç m'dir? Örnek 100 Antalyaspor, önemli bir maç için, Antalya'daki tüm liselerden, her okuldan eşit fakat 45'den az sayda ögrenciyi maç izlemeye davet etmiştir. Stadn ögrencilere ayrlan bölümünde her srada 210 oturma yeri bulunmaktadr. Toplam 2009 ögrencinin maç izlemesi düşünülen bu maçta, ayn okuldan gelen tüm ögrencilerin ayn srada oturabilmesi için, stadn ögrencilere ayrlan ksmnda en az kaç sra olmaldr? Örnek 101 Temel takasyla balga çkmş ve bir miktar balk yakalamştr. Balklardan en agr olan 2 tanesi, tüm balklarn toplam agrlgnn %25'i kadardr. En haf 5 balgn toplam agrlg ise, tüm balklarn toplam agrlgnn %45'i kadardr. Temel en büyük iki balg satp en küçük 5 balg da yemiştir. Geri kalan tüm balklar da Dursun'a vermiştir. Temel, Dursun'a kaç balk vermiştir? Örnek 102 Mehmet'in tatilinin 7 gününde yagmur yagmştr. Yagmur yagan her gün, ya sabah veya ögleden sonra yagmş ve ayn gün içinde hem sabah hem de ögleden sonra yagmur yagmamştr. Tatil günlerinin, 5 ögleden sonras ve 6 sabahnda yagmur yagmadgna göre, Mehmet'in tatili kaç gündür? Örnek 103 12 kişilik bir snftan 3 ögrenci matematik olimpiyat takmna seçilecektir. Takmda en az bir kz, bir de erkek ögrenci olmas istenmektedir. Bu 12 ögrenciden istenen şekilde 160 takm seçilebilmektedir. Buna göre, snftaki kz ögrencilerin saysyla, erkek ögrencilerin saysnn fark kaçtr? Örnek 104 50 soruluk bir test snavnda, dogru yantlara 11 puan, yanlş yantlara 5 puan ve boş yantlara da 0 puan verilmektedir. Alper 250 puan aldgna göre, dogru says en fazla kaç olabilir?
12 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 105 Sevda, ilk n saynn çarpmn ve Sinem'de m > 2 olmak üzere ilk m tane çift saynn çarpmn hesaplyor. Her ikisi de ayn sonucu bulduklarna göre, bulduklar say için aşagdakilerden hangisi dogrudur? A) Istenen şekilde sonsuz sayda say bulunabilir. B) Ikisinden biri hata yapmştr. C) Istenen sayy bulabilmek için m saysnn verilmesi gerekir. D) Istenen sayy bulabilmek için n saysnn verilmesi gerekir. E) Hiçbiri Örnek 106 Tahtada 2; 2 2 ; 2 4 ; 2 8 ; :::; 2 256 saylar yazldr. Tahtadaki herhangi iki x ve y says silinip yerine xy + x + y says yazlyor. Bu işleme tahtada bir tek say kalncaya kadar devam ediliyor. Buna göre, tahtada kalan son say kaç olacaktr? Örnek 107 Bir tenis oyuncusu, kazandg maç saysn oynadg toplam maç saysna bölerek kazanma orann hesaplyor. Hafta sonu başnda kazanma oran 0; 5 iken, hafta sonu 4 maç daha yapyor ve üçünü kazanp birini kaybediyor. Bu durumda kazanma oran 0; 503'den büyük oluyor. Buna göre, bu oyuncunun hafta sonundan önce kazandg maçlarn says en fazla kaç olabilir? Örnek 108 Bir otobüste Almanca ve Ingilizce dillerinden en az birini bilen 33 kişi vardr. Otobüsten her durakta biri Almanca ve biri Ingilizce bilen 2 kişi veya her iki dili bilen 1 kişi iniyor. 19 durak sonunda otobüste yalnzca ingilizce bilen 5 kişi kaldgna göre, otobüste 2 dili bilen kaç kişi vardr? Örnek 109 10, 11 ve 13 kg'lk agrlklarndan üçer tane bulunuyor. Bu agrlklardan istedigimiz kadarn istedigimiz kefeye koyarak çift kefeli bir terazide en çok kaç farkl pozitif agrlg tartabiliriz? Örnek 110 12 kişilik bir snfta matematik snav yaplyor. Her problem tam 8 ögrenci tarafndan çözülüyor. Ilk 11 ögrencinin her birinin 5 problem çözdügü bilindigine göre snavda en fazla kaç problem vardr? Örnek 111 Bir çiftlikteki tavşanlarn says Mart aynda bir tamkaredir. Tavşanlarn says Nisan aynda 100 adet artarak bir tamkarden bir fazla hale gelir. Mays aynda, tavşan says yine 100 adetlik bir artştan sonra yeniden tamkare olur. Tavşanlarn Mart ayndaki says nedir? UMO - 1994 Örnek 112 Bir bakkalda 16, 18, 19, 20 ve 31 litrelik 5 tenekeden dördünde çiçek yag, birinde zeytinyag vardr. Bakkal bir müşteriye litrenin belli bir tam kat kadar çiçek yag satar. Başka bir müşteriye de ilkine sattgnn iki kat kadar çiçek yag sattktan sonra, elinde hiç çiçek yag kalmadgn görür. Zeytinyag kaç litrelik tenekededir? UMO - 1995
SORULAR 13 Örnek 113 Saat 5 ile 6 arasnda, bir saatin akreple yelkovan iki kez birbirine dik hale gelir. Bu iki an arasndaki süre kaç dakikadr? UIMO - 2001 Örnek 114 Elimizde 35, 21 ve 15 kg'lk agrlklarndan ikişer tane bulunuyor. Bu agrlklardan istedigimiz kadarn istedigimiz kefeye koyarak çift kefeli bir terazide en çok kaç farkl pozitif agrlg tartabiliriz? UIMO - 1996 Örnek 115 50 kişilik bir snfta yaplan 4 soruluk bir snavda, herhangi 40 kişiden en az 1 kişi tam olarak 3 soruyu, en az 2 kişi tam olarak 2 soruyu, en az 3 kişi tam olarak 1 soruyu dogru, en az 4 kişi ise bütün sorular yanlş çözmüştür. Tek sayda soru çözen ögrencilerin says en az kaçtr? UMO - 2008 Örnek 116 On kişiden oluşan bir grupta, herkes, kendi dşndaki dokuz kişinin yaşlarn toplar. Bu toplamlarn oluşturdugu küme f89; 90; 91; 92; 93; 94; 95; 96; 97g olduguna göre, bu grupta ayn yaşta olan iki kişi kaç yaşndadr? UIMO - 1999 Örnek 117 21 sorudan oluşan bir snavda her dogru yanta 4, her yanlş cevaba 1 ve yantsz braklan her soruya da 0 puan verilmektedir. Snava giren tüm ögrencilerin toplam puanlar birbirlerinden farkl ise, snava en çok kaç ögrenci girmiş olabilir? UIMO - 1998 Örnek 118 Yaz tahtasnda 1; 3; 5; 7; :::; 99; 101 saylar yazlmştr. her admda bu saylardan ikisini silerek, onlarn yerine silinen saylarn toplamnn 1 eksigi yazlyor. Sonlu admdan sonra tahtada tek say kalacaktr. Bu say kaçtr? UIMO - 1993 Örnek 119 Görünüşleri ayn olan 101 bilyeden 100 tanesinin agrlg ayn olup, birinin agrlg digerlerinden farkldr. Iki kefeli bir teraziyle, agrlg farkl olan bilyenin digerlerinden daha m haf, yoksa daha m agr oldugunu, en az kaç tartda bulabiliriz? UIMO - 2002 Örnek 120 125 basamakl bir yürüyen merdiven yukarya dogru sabit hzla hareket ederken, Ahmet, merdivenden yürüyerek yukar çkyor. Ilk seferde merdivenin tepesine varana kadar 45 basamak, ikinci seferde ise 55 basamak çkyorsa, Ahmet'in ikinci seferki ortalama hznn ilk seferkine oran nedir? UIMO - 2003 Örnek 121 Tahtaya soldan saga dogru yazl n tane rakamdan, her seferinde üçü hariç digerlerini silerek tüm üç basamakl saylar elde edilebiliyorsa, n en az kaç olabilir? UIMO - 2005 Örnek 122 Bir çember üstünde beş renge boyanmş n nokta var. Bu beş renkten hangi farkl ikisini alrsak alalm, bu renklere boyanmş ardşk iki nokta bulunuyorsa, n en az kaç olabilir? UIMO - 2005
14 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 123 Ali, 1 k 50 olmak üzere, bir k tamsays tutuyor. Betül, her seferinde, tutulan tamsaynn, kendisinin belirleyip söyledigi bir tamsayya bölünüp bölünmedigini soruyor. Ali, Betül'ün her sorusunu evet ya da hayr diye yantlyor. Ali'nin tuttugu say ne olursa olsun, Betül, bu sayy bulmasn garanti etmek için, en az kaç soru hakk istemelidir? UIMO - 2005 Örnek 124 Akntnn hznn sabit oldugu bir nehirde akntya kaplmş giden bir sal üstünde bulunan delikanl, sal tam bir köprünün altndan geçerken, nehre atlayp akntya karş sabit bir hzla yüzmeye başlar. Sal, akntyla birlikte hareket etmeye devam eder. Delikanl, üç dakika yüzdükten sonra, olimpiyat matematik defterini salda unuttugunu hatrlayp geri döner. Delikanl saldan atladg köprünün 100 metre ilerisinde sal yakalarsa, akntnn hz nedir? UIMO - 2006 Örnek 125 mn bir satranç tahtasnn birim karelerinin %1'i işaretlenmiştir. Tahtann sütunlarnn en az %30'unda, satrlarnn ise en az %40'nda işaretlenmiş kare bulunuyorsa, mn çarpmnn alabilecegi en küçük deger nedir? UIMO - 2007 Örnek 126 Bir satranç turnuvasna katlan her oyuncu, diger oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karşlaşyor. Her oyunda, yenen oyuncu 1, yenilen ise 0 puan kazanrken, beraberlik durumunda her oyuncu 1/2 puan kazanyor. Turnuvann bitiminde, oyunculardan her birinin, elde ettigi toplam puann tam olarak yarsn, en düşük toplam puanl üç oyuncuyla yaptg karşlaşmalardan elde etmiş oldugu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katlmştr? UIMO - 2002 Örnek 127 Kenar uzunlugu n birim olan bir kübün yüzleri boyanyor, ve küp, n 3 adet birim küp oluşacak şekilde parçalanyor. Kaç n 2 degeri için, tek yüzü boyanmş birim küplerin says hiç boyanmamş birim küplerin saysna eşit olur? UIMO - 2008 Örnek 128 Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin fark iki eşit rakamdan oluşan bir say olmayacak şekilde, en fazla kaç iki basamakl say yazabilir? UIMO - 2008 Örnek 129 Farkl n say, çember üzerinde, her say iki komşusunun çarpmna eşit olacak şekilde dizilebildigine göre, n en fazla kaç olabilir? UIMO - 2008 Örnek 130 Bir çember etrafna, her say bitişigindeki iki saynn çarpmna eşit olacak şekilde en fazla kaç farkl say yazlabilir? UMO - 1995 Örnek 131 Tahtaya 1'den 12'ye kadar olan tamsaylar yazalm. Her admda bu 12 saydan ikisini silerek, ya toplamlarnn ya da farklarnn mutlak degerini iki kere yazyoruz. Sonlu sayda adm sonucunda tahtaya yazl saylarn hepsi ayn n tamsaysna eşit hale geliyor. n aşagdakilerden hangisi olamaz? UMO - 1997
SORULAR 15 A) 9 B) 24 C) 10 D) 16 E) Hiçbiri Örnek 132 Her seferinde tam olarak iki karpuzu birlikte tartmak koşuluyla, 13 karpuzun toplam agrlg en az kaç tartda bulunabilir? UMO - 2002 Örnek 133 N 2 olmak üzere, 1; 2; :::; N saylar bir çember etrafna diziliyor. Her say ondalk gösterimde her komşusuyla bir ortak rakama sahip ise, N en az kaç olmaldr? UMO - 2002 Örnek 134 Ayşe, masann üstünde duran farkl renklerdeki dokuz topun agrlklarnn 1, 2,...,9 gram oldugunu biliyor, ancak hangi topun hangi agrlkta oldugunu bilmiyor. Barş ise, her topun agrlgn biliyor. Barş, hangi kefenin agr oldugunu ve kefelerindeki agrlklarn farkn gösteren bir teraziyi en az kaç kez kullanarak bu bilgisini Ayşe'ye kantlayabilir? UMO - 2003 Örnek 135 40 satr ve 7 sütundan oluşan bir satranç tahtasnn her birim karesine 0 ve 1 saylarndan birini yazyoruz. Bu yazm sonucu, farkl herhangi iki satrda oluşan diziler birbirinden farklysa, en çok kaç tane 1 kullanlmş olabilir? UMO - 2004 Örnek 136 Ikisinde 1, sekizinde 2, on ikisinde 3, dördünde 4 ve beşinde 5 yazl otuz bir taştan otuzu herhangi iki satrdaki saylarn toplam eşit ve herhangi iki sütundaki saylarn toplam eşit olacak biçimde 5 6 bir satranç tahtasna yerleştirilmişse, kullanlmayan taştaki say nedir? UMO - 2004 Örnek 137 Farkl agrlktaki dört taş, iki kefeli bir teraziyi en az kaç kez kullanarak haften agra dogru sralanabilir? UMO - 2004 Örnek 138 Berk, Ayça'nn tuttugu iki basamakl bir sayy tahmin etmeye çalşyor. Berk'in her tahminine karşlk, Ayça, dogru bilinen basamaklarn saysn söylüyor. Ayça'nn tuttugu say ne olursa olsun, Berk bu sayy n tahminde bulmay garanti ediyorsa, n en az kaçtr? UMO - 2001 Örnek 139 n güreşçinin katldg bir turnuvada, farkl herhangi iki güreşçi aralarnda tam olarak bir kez güreşiyor. Her karşlaşma sonucunda kazanan 2, kaybeden 0 puan alyor; beraberlik durumunda ise, her iki güreşçiye de 1'er puan veriliyor. Turnuva sonucunda en çok toplam puana sahip olan güreşçi, turnuva boyunca en az galibiyet almş olan güreşçi ise, n en az kaç olabilir? UMO - 2005 Örnek 140 n takmn katldg bir hentbol turnuvasnda, her takm, kendi dşndaki her takmla tam olarak bir maç yapyor. Her maçta kazanan 2, kaybeden 0 puan
16 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri alrken, beraberlik durumunda iki takm da 1'er puan kazanyor. Turnuvann bitiminde tüm takmlarn puanlar farkl olup, sonuncu olan takm ilk üç srada yer alan takmlarn hepsini yenmiş ise, n en az kaç olabilir? UMO - 2006 Örnek 141 12 kişinin katldg bir satranç turnuvasnda, her oyuncu, kendi dşndaki her oyuncuyla tam olarak bir kez karşlaşyor. Her karşlaşmada kazanan 1, kaybeden 0 puan alrken, beraberlik durumunda iki oyuncu da 0,5'er puan kazanyor. Turnuvann bitiminde en az toplam 8 puan alan oyunculara başar ödülü veriliyor. En çok kaç oyuncu başar ödülü alabilir? UIMO - 2006 Örnek 142 Bir kareyi k tane kareye ayrabiliyorsak, k tamsaysna iyi say diyelim. 2006'dan büyük olmayan kaç iyi say vardr? UMO - 2006 Örnek 143 Aşagdakilerden hangisi x 15 + 1 ifadesinin bir çarpan degildir? A) x 14 x 13 + x + 1 B) x 4 x 2 + 1 C) x 10 x 5 + 1 D) x 4 x 3 + x 2 x + 1 E) x 12 x 9 + x 6 x 3 + 1 Örnek 144 1 + x + x 2 + x 3 + + x 1023 ifadesinin n pozitif bir tamsay olmak üzere x n + 1 formunda en fazla kaç farkl çarpan bulunabilir. Örnek 145 n pozitif bir tek tamsay olmak üzere, 3 6n 2 6n says 19; 35; 133 ve 11 saylarndan hangisi ya da hangilerine daima tam bölünemez? Örnek 146 Örnek 147 1 x 2 + x + 1 = 0 olduguna göre, x 100 + x100 100 =? 1591 saysnn asal bölenlerinin toplamn bulunuz. Örnek 148 111 11 1 saysnn 121'e bölümünden kalan kaçtr? Örnek 149 3 + p 2 100 + 3 p 2 100 ifadesi bir tamsaydr. Bu tamsaynn 386'ya tam bölündügünü gösteriniz. Örnek 150 2903 n 803 n 464 n + 261 n saysnn tüm n pozitif tamsaylar için 1897'ye bölünebildigini gösteriniz? (Eötvös M. O. 1899) Örnek 151 2y x 3xy + 6x 2 2 ifadesini çarpanlara ayralm. Örnek 152 x 4 4x 2 + x + 2 ifadesini çarpanlara ayrnz? Örnek 153 x 2 + x + 1 ifadesini çarpanlara ayrnz.
SORULAR 17 Örnek 154 Kaç tane n tamsays için, n 8 3n 4 + 1 ifadesi bir asal saydr? Örnek 155 Örnek 156 Örnek 157 n 4 + 4 asal say olacak şekilde kaç pozitif n tamsays vardr? 4 9 + 9 4 saysnn en büyük asal çarpan kaçtr? n 10 + n 5 + 1 says asal olacak şekilde kaç n pozitif tamsays vardr? Örnek 158 x 4 > x 1 eşitsizligini saglamayan kaç reel say vardr? 2 Örnek 159 x > 2 ve x 2 16 p x = 12 olduguna göre, x 2 p x kaçtr? Örnek 160 2 8 + 2 11 + 2 n ifadesi tamkare olacak şekilde sadece 1 tane n pozitif tamsaysnn bulundugunu gösteriniz. (Macaristan M.O. 1981) Örnek 161 a; b ve c pozitif reel saylar olmak üzere, 8 < ab a = b + 119 bc b = c + 59 : ca c = a + 71 olduguna göre, a + b + c toplamn hesaplaynz. Örnek 162 11x + 7y + 7xy + 6x 2 + 2y 2 + 3 ifadesini çarpanlara ayrnz. Örnek 163 x 4 5x 2 x 3 x 6 ifadesini çarpanlara ayrnz. Örnek 164 2x 2 + 2y 2 + 5z 2 4z 2xy 4yz 8x + 31 ifadesinin minimum degerini bulunuz. Örnek 165 8 < : olduguna göre, z saysnn olabilecegi degerlerin toplam kaçtr? x + y z = 2 xy + xz + yz = 3 x 2 + y 2 + z 2 = 15 Örnek 166 k 2 (k + 1) 2 + (k + 1) 2 + k 2 1 = 0 olduguna göre k 2 + k =? Örnek 167 x; y ve z reel saylar olmak üzere, 8 < x 2 + xy + xz = 4 y 2 + xy + yz = 5 : z 2 + zy + xz = 7 ise, x + y + z toplam kaçtr?
18 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 168 a; b ve c pozitif gerçel saylar olmak üzere, 8 < a + b 2 + 2ac = 29 b + c 2 + 2ab = 18 : c + a 2 + 2bc = 25 ise, a + b + c toplam kaçtr? Örnek 169 x + y + z = 0 ve x 2 + y 2 + z 2 = 1 olduguna göre, x 4 + y 4 + z 4 =? Örnek 170 a + b + c + d = 10; (a + b) (c + d) = 16; (a + c) (b + d) = 21 ve (a + d) (b + c) = 24 olduguna göre, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 =? Örnek 171 vardr? Örnek 172 ayrnz. p 4 + p 3 + p 2 + p + 1 says tamkare olacak şekilde kaç p asal says x 8 + 4x 2 + 4 ifadesini tam katsayl polinomlardan oluşan çarpanlara Örnek 173 x 2 5x + 2 = 0 olduguna göre, x 3 + 8 x 3 =? Örnek 174 4p p 47 x + 4 x = 3 olduguna göre, x 2 47x =? Örnek 175 x + y = 4 ve xy = 2 olduguna göre, x 6 + y 6 =? Örnek 176 x 2 + y 2 = 13 ve x + xy + y = 7 denklemlerini saglayan kaç (x; y) gerçel say ikilisi vardr? Örnek 177 x 3 + y 3 = 126 ve x 2 xy + y 2 = 21 ise x 2 + y 2 =? Örnek 178 Örnek 179 Örnek 180 Yarş. 2008) Örnek 181 p p p 3 3 6 3 + 10 6 p a 3 3 10 = a ise 10 3a =? p 52 + 5 1=3 p 52 5 1=3 =? ( Isveç M. O. 2001) p p p 3 3 20 + 14 2 + 20 14 p 2 = k ise k 3 6k =? (Doguş Üniv. Mat. x ve y reel saylar için, 8 < x 3 + y 3 = 5 x 2 + y 2 = 3 : x + y = m
SORULAR 19 olduguna göre, m reel saysnn olabilecegi degerlerin toplamn bulunuz. p p 3 Örnek 182 p 2 + a+ 3 2 kaç farkl deger alabilir? p a ifadesinin bir tamsay olmas için, a gerçel says Örnek 183 (a + b + c) 3 a 3 + b 3 + c 3 = 3 (a + b) (a + c) (b + c) oldugunu gösteriniz. Örnek 184 8 (a + b + c + 3=2) 3 (a + b + 1) 3 (a + c + 1) 3 (b + c + 1) 3 ifadesini çarpanlara ayrnz. Örnek 185 x + y + z = 3; x 2 + y 2 + z 2 = 1 ve x 3 + y 3 + z 3 = 3 ise xyz =? Örnek 186 ise a 3 + b 3 + c 3 =? Örnek 187 a, b ve c birbirinden ve sfrdan farkl reel saylar olmak üzere a 3 (a b) (a c) + b 3 1 a 3 = 1 b3 = 1 c3 a b c (b a) (b c) + c 3 ifadesini sadeleştiriniz. (c a) (c b) Örnek 188 x 4 + 2x 2 x 6 p x = 8 olduguna göre, x 2 p x =? Örnek 189 x 3 3x 2 + 3x 5 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. Örnek 190 x 2 3x 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. Örnek 191 x 2 x + 1; 6x 2 17x + 12; 3x 2 3x + 5, x 2 2x 1 ifadelerinden hangileri reel katsayl çarpanlara ayrlabilir? Örnek 192 a 3 3a 2 + 5a 17 = 0 ve b 3 3b 2 + 5b + 11 = 0 olduguna göre, a + b =? (Irlanda M.O. 1993) Örnek 193 x 2 + xy + y 2 = 3 ve x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 12 eşitlikleri saglanyorsa, x 6 + x 3 y 3 + y 6 ifadesinin degerini hesaplaynz. Örnek 194 gösteriniz. 1 n +2 n + +n n saysnn her n tek tamsays için, n 2 ile bölündügünü 1 + x 1 + y 1 + z = 1 yz xz yx w 2 eşit- 1 Örnek 195 x + 1 y + 1 z + 1 w = 1 ve likleri saglanyorsa, x + y + z kaçtr?
20 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 1 Soru Örnekleri Örnek 196 p 7x 8 + 3p 9 7x = 1 denkleminin reel çözümlerinin toplamn bulunuz. (UAMO - 2009) Örnek 197 x; y ve z reel saylar olmak üzere, 8 < x + y z = 1 x 2 y 2 + z 2 = 1 : x 3 + y 3 + z 3 = 1 denklem sisteminin kaç tane reel çözümü vardr? (Iberoamerikan M.O 1989) Örnek 198 a says 17'den büyük bir tek say ve 3a 2 says bir tamkare olduguna göre, b 6= c pozitif tamsaylar için, a + b; a + c; b + c ve a + b + c ifadelerinden en fazla kaç tanesi tamkare olarak seçilebilir? (Iberoamerikan M.O 1992) Örnek 199 a ve b rasyonel saylar, a 5 + b 5 = 2a 2 b 2 eşitligini saglyorlar ise, 1 ab saysnn da bir rasyonel saynn karesi oldugunu ispatlaynz. (British M.O.) s r s r 3 x 1 3 x 1 Örnek 200 x + (x + 8) x (x + 8) says rasyonel olacak şekilde 2010'dan küçük kaç pozitif x tamsays 27 27 vardr? Örnek 201 olduguna göre x 2 + y 2 =? x ve y pozitif tamsaylar olmak üzere, xy + x + y = 71 ve xy 2 + x 2 y = 880 Örnek 202 a; b; x; y 2 R olmak üzere, ax + by = 3; ax 2 + by 2 = 7, ax 3 + by 3 = 16 ve ax 4 + by 4 = 42 ise, ax 5 + by 5 kaçtr? Örnek 203 oldugunu gösteriniz. a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 olduguna göre, a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 Örnek 204 n pozitif bir tamsay olmak üzere, x 1001 + 1 says 2 n ile bölünecek şekilde en küçük x pozitif tamsaysn bulunuz. Örnek 205 x; y ve z, sfrdan farkl reel saylar olmak üzere, 1 x + 1 y + 1 z = 1 x + y + z ise, n tek tamsays için, x n + y n + z n = (x + y + z) n oldugunu ispatlaynz.