1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas 0 dr. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. (e) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas 1 ve +1 dir. 2. {( 1) n + 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktalar 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti yoktur; y lma noktalar 1 ve +1 dir. (c) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas 0 dr. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. (e) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas 1 ve +1 dir. 3. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Sabit dizinin limiti yoktur ama y lma noktas vardr. (b) Bir dizinin hem bir limiti hem de bir y lma noktas varsa çak³rlar. (c) Bir dizinin limitinin olmas, o dizinin y lma noktasnn da olmasn gerektirmez (d) Bir dizinin hem limiti hem de y lma noktas olmayabilir. (e) Bir dizinin limiti olmad halde y lma noktalar olabilir. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? (a) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan uzaylarda. (b) Ayrlabilir uzaylarda. (c) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan uzaylarda. (d) Ayrk uzaylarda.. (e) Her uzayda. 5. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Ayrk olmayan uzaydaki bir dizi, uzayn hiç bir noktasna yaknsamaz. (b) Ayrk bir uzayda bir (a n ) dizisinin bir a noktasna yaknsamas için gerekli ve yeterli ko³ul belli bir damgadan sonraki bütün a n terimlerinin a ya e³it olmasdr (c) Yaknsak bir dizinin her alt dizisi de yaknsaktr ve ayn limite sahiptir. (d) Her gerçel say rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktasdr. (e) R üzerindeki salt topolojiye göre N do al saylar kümesinin hiç bir y lma noktas yoktur. 6. (Λ, ) sisteminin yönlenmi³ bir küme olmas için hangi ko³ul gerekmez? (a) Her λ Λ için λ λ dr. (b) Her λ, µ, ν Λ için λ µ ve µ ν olmas λ ν olmasn gerektirir. (c) Her λ, µ Λ çiftine kar³lk öyle bir ν Λ ö esi vardr ki λ ν ve µ ν olur. (d) Her λ, µ Λ için (λ µ) (µ λ) (µ = λ) gereklidir. 7. Hangisi yanl³tr?
2 (a) Her dizi bir a dr. (b) Her a bir dizidir. (c) Bir topolojik uzayda bir x ö esinin her V kom³ulu undan bir x v ö esi seçilerek olu³turulan (x v ) kümesi bir a dr. (d) X, T ) uzaynda x noktasnn B(x) kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir sistemdir.. 8. Hangisi do rudur? (a) Her gerçel say, rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktasdr. (b) Her rasyonel say, rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktasdr. (c) Her irrasyonel say, rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktasdr. (d) Her gerçel say, irrasyonel saylar kümesinin bir y lma noktasdr.. 9. Hangisi do rudur? (a) Ayrk olmayan uzayda her dizi her noktaya yaknsar. (b) Ayrk olmayan uzayda hiç bir dizi yaknsamaz. (c) Ayrk uzayda her dizi her noktaya yaknsar. (d) Ayrk uzayda hiç bir dizi yaknsamaz.. 10. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Üzerindeki salt topolojiye göre gerçel eksen ayrlabilir bir topolojik uzaydr. (b) Mutlak topolojiye göre rasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. (c) Mutlak topolojiye göre irrasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. (d) Mutlak topolojiye göre tam saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. 11. A³a dakilerden hangisi kom³uluk aksiyomlarndan birisidir? (a) B(x) ailesine ait her hangi bir kümeyi kapsayan her küme B(x) ailesine aittir. (b) B(x) ailesine ait iki kümenin arakesiti yine B(x) ailesine aittir. (c) B(x) ailesine ait her küme x noktasn içerir. (d) E er V B(x) ise, öyle bir W B(x) vardr ki her y W için V B(y) olur. 12. Bo³ olmayan bir X kümesi ile bir Y = {(Y ı, T ı) : ı I} topolojik uzaylar ailesi veriliyor. Her ı I için bir f ı : Y ı X fonksiyonu tanmlanyor. A³a dakilerden hangisi {T ı : ı I} topolojiler ailesinin, F fonksiyonlarna göre, tümel (inductive) topolojisidir? (a) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin bile³imidir. (b) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en ince dokulusudur. (c) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en kaba dokulusudur. (d) {T ı : ı I} topolojiler ailesinin bile³imine e³ittir. (e) {T ı : ı I} topolojiler ailesinin arakesitine e³ittir. 13. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) S
3 (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 14. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? (a) Bir topolojik uzayda bir noktann yerel kom³uluklar ailesi. (b) Bir topolojik uzayda bir noktann yerel kom³uluklar taban. (c) X sonsuz bir küme olsun. X içinde tümleyenleri sonlu olan bütün alt kümelerin olu³turdu u aile. (d) Sonsuz bir X kümesi içindeki bütün sonlu alt kümelerin tümleyenlerinin olu³turdu u aile. (e) S = {(a, ) : a R ailesi. 15. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Gerçel saylar kümesinde salt topolojiye göre her [a, b] aral tkzdr. (b) Bir Bir (X, T ) Hausdor uzaynda her sonlu küme tkzdr. (c) Gerçel saylar kümesinde salt topolojiye göre her (a, b) aral tkzdr. (d) Tkz bir uzayn tkz her alt kümesi kapaldr. (e) Tkz bir uzayn kapal her alt kümesi tkzdr. 16. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Her tkz uzay yerel tkzdr. (b) Yerel tkz her uzay tkzdr. (c) Her küme, üzerindeki sonlu tümleyenler (conite) topolojisine göre tkzdr. (d) Tkz kümelerin sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüleri de tkzdr. (e) Sonsuz bir küme üzerindeki ayrk topolojiye göre tkz olamaz. 17. Bir (X, T ) Hausdor uzay için a³a dakilerden hangisi ötekilere e³de er de ildir? (a) Uzay tkzdr. (b) Uzayn her alt uzay tkz dr. (c) Kapal alt kümelerden olu³an ve sonlu arakesit özeli ine sahip olan bir ailenin arakesiti bo³ olmaz. (d) Kapal alt kümelerden olu³an ve arakesiti bo³ olan her ailenin, arakesiti bo³ olan sonlu bir alt ailesi vardr.. 18. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) (X, T ) tkz ve T S ise (X, S ) uzay da tkzdr. (b) (X, T ) tkz ve T S ise (X, S ) uzay da tkzdr. (c) Tkz bir uzayn sonsuz sayda tkz alt kümelerinin bile³imi de tkzdr. (d) Salt topolojiye göre gerçel saylarn snrl alt kümeleri tkzdr. (e) Salt topolojiye göre gerçel saylarn kapal olmayan tkz alt kümeleri vardr. 19. E er p fonksiyonu X vektör uzay üzerinde bir yar-norm ise a³a dakilerden hangisi sa lanmayabilir? (a) p(0) = 0 (b) p(x) + p(y) p(x + y) (c) p(x) 0 (d) {x : p(x) = 0} kümesi X uzaynn bir alt vektör uzaydr
4 (e) B = {x : p(x) < 1} kümesi d³bükeydir. 20. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) R üzerinde x x dönü³ümü bir metriktir. (b) R üzerinde (x, y) x 2 + y 2 dönü³ümü bir metriktir. (c) C üzerinde z z dönü³ümü bir metriktir. (d) Her metrik bir normdur.. 21. A³a dakilerden hangisi bir normdur? Her x = (x 1, x 2,..., x n,...) l 1 için (a) l 1 üzerinde x x sup = sup { x n : n N } (b) l 1 üzerinde x x 1 = n=1 x n (c) l 1 üzerinde x x inf = inf { x n : n N } (d) l 1 üzerinde x x min = min { x n : n N } 22. X herhangi bir küme ise, a³a dakilerden hangisi bir metrik de ildir? (a) δ : X X den R, x = y ise δ(x, y) = 1 ve x y ise δ(x, y) = 0 (b) X üzerinde sonlu sayda metri in toplam da metriktir. (c) X üzerinde sonlu sayda metri in maksimumu da metriktir. (d) (X, ρ) metrik uzay ise δ(x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y)) olmak üzere (X, δ) da bir metrik uzaydr. metriktir. 23. A³a dakilerden hangisi bir normdur? Her x = (x 1, x 2,..., x n,...) l için (a) l üzerinde x x sup = sup { x n : n N } (b) l üzerinde x x max = max { x n : n N } (c) l üzerinde x x inf = inf { x n : n N } (d) l üzerinde x x min = min { x n : n N } 24. (X, ρ) metrik uzay ve A, B X veriliyor. A ile B kümeleri arasndaki d(a, B) uzakl için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) d(a, B) = min{ρ(x, y) : x A, y B} (b) d(a, B) = max{ρ(x, y) : x A, y B} (c) d(a, B) = sup{ρ(x, y) : x A, y B} (d) d(a, B) = inf{ρ(x, y) : x A, y B} (e) d(a, B) = ρ(a) ρ(b) 25. Hangi uzaylarda Cauchy dizileri var olabilir? (a) Herhangi bir topolojik uzay. (b) Birinci Saylabilme Belitini sa layan topolojik uzay. (c) kinci Saylabilme Belitini sa layan topolojik uzay. (d) Metrik uzay.. 26. (X, ρ) ile (X, µ) metrik uzaylar ise, ρ ile µ metriklerinin denk iki metrik olmas ne demektir? (a) Her x, y X için ρ(x, y) = µ(x, y) olmasdr.
5 (b) Tanmladklar topolojilerin e³it olmasdr. (c) Her ikisinin kapal birim yuvarlarnn e³it olmasdr. (d) Her ikisinin açk birim yuvarlarnn e³it olmasdr.. 27. F : (X, ρ) (X, µ) metrik uzaylarnn e³metrel (isometric) olmas ne demektir? (a) Her x, y X için ρ(x, y) = µ(f(x), f(y)) olmasdr. (b) Tanmladklar topolojilerin e³it olmasdr. (c) Her ikisinin kapal birim yuvarlarnn e³it olmasdr. (d) Her ikisinin açk birim yuvarlarnn e³it olmasdr.. 28. Cauchy dizisi ne demektir? (a) Topolojik uzayda yaknsak bir dizidir. (b) Metrik uzayda yaknsak bir dizidir. (c) Normlu uzayda yaknsak bir dizidir. (d) Metrik uzayda, indisleri yeterince büyük alnd nda terimleri birbirlerine istenildi i kadar yaknla³an dizidir.. 29. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi yaknsaktr. (b) Bir metrik uzayda yaknsak her dizi bir Cauchy dizisidir. (c) Bir metrik uzayda snrl her dizi yaknsaktr. (d) Üst uzayda yaknsak her dizi alt uzayda da yaknsaktr.. 30. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi uzayn bir noktasna yaknsyorsa uzay tamdr. (b) Bir topolojik uzayda her Cauchy dizisi uzayn bir noktasna yaknsyorsa uzay tamdr. (c) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr. (d) Bir topolojik uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr. (e) Normlu bir uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr. 31. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme 32. f : (X, T ) (Y, S ) dönü³ümünün e³yap dönü³ümü olmas için hangisi gerekmez? (a) f özde³lik dönü³ümüdür (b) f bire-bir örtendir (c) T T f(t ) S dir (d) S S f 1 (S) T dir (e) f kapal kümeleri kapal kümelere resmeder
6 33. (X, T ) nin bir topolojik uzay olmas için hangisi gerekmez? (a), X T dir (b) Açk kümelerin her bile³imi açktr (c) Kapal kümelerin her arakesiti kapaldr. (d) Kapal kümelerin her bile³imi kapaldr. gerekir 34. (X, T ) topolojik uzay ve A X ise a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) A o kümesi A nn bütün açk alt kümelerinin bile³imine e³ittir. (b) A o kümesi açktr. (c) A o kümesi A nn en büyük açk alt-kümesidir. (d) A o kümesi A nn en küçük açk alt-kümesidir. 35. (X, T ) topolojik uzay ve A, B X ise a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) (A B) o = A o B o (b) (A B) o = A o B o (c) (A B) = A B (d) (A B) = Ā B 36. (X, T ) bir topolojik uzay ve A, T X olsun. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) A kümesinin X uzay içinde yo un olmas için gerekli ve yeterli ko³ul bo³ olmayan her T açk kümesi için T A = olmasdr. (b) A kümesinin X uzay içinde yo un olmas için gerekli ve yeterli ko³ul bo³ olmayan her T açk kümesi için T A olmasdr. (c) Bir topolojik uzayn saylabilir yo un bir alt-kümesi varsa, bu uzay ayrlamaz bir uzaydr (d) Bir topolojik uzayn saylamaz yo un bir alt-kümesi varsa, bu uzay ayrlabilir bir uzaydr 37. X kümesinin P(X) kuvvet kümesi üzerinde tanml β : P(X) P(X) fonksiyonunun bir topolojinin açk kümelerini belirlemesi için a³a dakilerden hangisi gereklidir? Her A P(X) için (a) β(x) = X (b) β(a) A (c) β(β(a)) = β(a) (d) β(a B) = β(a) β(b) 38. (X, T ) topolojik uzay ve A, B X ise a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Ā = à A (b) (A B) = à B dr. (c) A à kapaldr. (d) A nn kapal olmas için à A olmas gerekli ve yeterlidir. (e) (A B) = à B dir. 39. (X, T ) bir topolojik uzay ve A, B X olsun. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) B Ā ise, A kümesi B içinde yo undur.
7 (b) B Ā ise, A kümesi B içinde yo undur. (c) B = Ā ise, A kümesi B içinde yo undur. (d) (Ā)o ise A kümesi X uzaynn hiçbir yerinde yo un de ildir 40. B ve S iki aile ise B = S olmas için gerekli ko³ullardan birisi hangisidir? (a) Her S S ve her x S için x B S olacak ³ekilde bir B B vardr. (b) Her B B ve her y B için y B S olacak ³ekilde bir S S vardr. (c) Her S S için S B dir. (d) Her B B için B S dir. 41. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) (X, T ) ayrk bir uzay ve A X saylamayan bir alt küme ise, A kümesinin y lma noktalarndan en az birisi A ya aittir. (b) (X, T ) ayrlabilir bir uzay ve A X saylamayan bir alt küme ise, A kümesinin y lma noktalarndan en az birisi A ya aittir. (c) (X, T ) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan bir uzay ve A X saylamayan bir alt küme ise, A kümesinin y lma noktalarndan en az birisi A ya aittir. (d) (X, T ) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan bir uzay ve A X saylamayan bir alt küme ise, A kümesinin y lma noktalarndan en az birisi A ya aittir. 42. A³a dakilerden hangisi R üzerinde bir topoloji için alt-tabandr? (a) Gerçel eksen üzerindeki bütün açk aralklardan olu³an R = {(a, b) : a, b R} ailesi. (b) Gerçel eksen üzerindeki bütün soldan açk aralklardan olu³an U = {(a, b] : a, b R} ailesi. (c) Gerçel eksen üzerindeki bütün sa dan açk aralklardan olu³an A = {[a, b) : a, b R} ailesi. (d) Gerçel eksen üzerindeki yar-sonsuz aralklardan olu³an K = {(a, ), (, b) : a, b R} ailesi. 43. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) E er T nun saylabilir bir taban varsa, (X, T ) uzay kinci Saylabilme Aksiyomunu sa lyor denilir. (b) E er T nun saylabilir bir taban varsa, (X, T ) uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lyor denilir. (c) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan her (X, T ) topolojik uzay ayrlabilir bir uzaydr. (d) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan her (X, T ) topolojik uzay ayrk bir uzaydr. 44. (X, T ) bir topolojik uzay ise a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) T = T dir. (b) T ailesi bir topoloji de ildir, ama T topolojisi için bir tabandr. (c) T ailesi bir topoloji taban de ildir, ama T topolojisi için bir alt-tabandr. (d) T ailesi T topolojisinden kesinlikle daha ince bir topolojidir. 45. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Üzerindeki salt topolojiye göre gerçel eksen ayrlabilir bir topolojik uzaydr.
8 (b) Mutlak topolojiye göre rasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. (c) Mutlak topolojiye göre irrasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. (d) Mutlak topolojiye göre tam saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. 46. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Ayrlabilir bir uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu sa lamas gerekmez. (b) Her iki ucu rasyonel olan bütün açk aralklarn ailesi R üzerindeki salt topoloji için bir tabandr. (c) ξ = {[p, q] : p, q Q, p < q} ailesi R üzerinde bir topoloji taban de ildir. (d) V = {[p, q] : p, q Q, p q} ailesi R üzerinde bir topoloji tabandr 47. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Z o = (b) Z = Z (c) Z = (d) Z o = Z 48. Q rasyonel saylar kümesi ise a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Q o = (b) Q = Q (c) Q = (d) Q o = Q 49. F = R Q irrasyonel saylar kümesi ise a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) (F) o = (b) F = F (c) F = (d) F o = F 50. A = (0, 1) aral için, salt topolojiye göre a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) A o = (b) A = A (c) Ã = A (d) A = Ã 51. A³a dakilerden hangisi kom³uluk aksiyomlarndan birisidir? (a) B(x) ailesine ait her hangi bir kümeyi kapsayan her küme B(x) ailesine aittir. (b) B(x) ailesine ait iki kümenin arakesiti yine B(x) ailesine aittir. (c) B(x) ailesine ait her küme x noktasn içerir. (d) E er V B(x) ise, öyle bir W B(x) vardr ki her y W için V B(y) olur.
9 52. (X, T ) ve (Y, S ) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. A³a daki ifadelerden hangisi ötekilere e³de er de ildir? (a) Her T T için f(t ) S dir. (b) Her A X alt-kümesi için f(ā) f(a) dr; (c) Her K S için f 1 (K) T dür; (d) Her S S için f 1 (S) T dur. (e) f fonksiyonu X üzerinde süreklidir; 53. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Bir topolojik uzaydan kendisine olan özde³lik dönü³ümü süreklidir. (b) Her hangi bir topolojik uzaydan ba³ka bir topolojik uzaya olan sabit fonksiyonlar süreklidir. (c) Bir ayrk uzaydan her hangi bir topolojik uzaya olan fonksiyonlar süreklidir. (d) Her hangi bir topolojik uzaydan ayrk olmayan bir uzaya olan fonksiyonlar süreklidir.. 54. (X, T ) ve (Y, S ) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. A³a daki ifadelerden hangisi ötekilere e³de er de ildir? (a) f fonksiyonu X üzerinde süreklidir, (b) Her A Y alt kümesi için f 1 (A ) ( f 1 (A) ) dr, (c) Her A Y alt kümesi için f 1 (Ā) (f 1 (A)) dr. (d) Her A Y alt kümesi için f 1 (Ā) (f 1 (A)) dr. birbirine e³de erdir. 55. Bire-bir ve örten f : X Y bir fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi (homeomorphism) olmas için gerekli ve yeterli olmayan ko³ul hangisidir? (a) f nin sürekli ve açk olmasdr. (b) f nin sürekli ve kapal olmasdr. (c) f ve f 1 fonksiyonlarnn sürekli olmasdr. (d) her A X alt-kümesi için f(ā) = f(a) olmasdr. birbirine e³de erdir. 56. Bir X kümesi üzerinde T ve S topolojileri verilsin. T topolojisinin S topolojisinden daha ince dokulu olmas için gerekli ve yeterli ko³ul hangisidir? (a) I : X X özde³lik dönü³ümünün T S sürekli olmasdr. (b) Her x X için, S topolojisine göre x ö esinin her kom³ulu u T topolojisine göre de bu noktann bir kom³ulu udur. (c) Her A X alt-kümesi için, T topolojisine göre A kümesinin kaplam S topolojisine göre A kümesinin kaplam tarafndan kapsanr; (d) S topolojisine göre kapal olan her alt-küme T topolojisine göre de kapaldr.. 57. Bo³ olmayan bir X kümesi ile bir Y = {(Y ı, T ı) : ı I} topolojik uzaylar ailesi veriliyor. Her ı I için bir f ı : X Y ı fonksiyonu tanmlanyor. A³a dakilerden hangisi {T ı : ı I} topolojiler ailesinin, F fonksiyonlarna göre, izdü³el (projective) topolojisidir? (a) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin bile³imidir. (b) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en ince dokulusudur. (c) F = {f ı : ı I} fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en kaba dokulusudur. (d) {T ı : ı I} topolojiler ailesinin bile³imine e³ittir.
10 (e) {T ı : ı I} topolojiler ailesinin arakesitine e³ittir. 58. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Çarpm topolojisi bir izdü³el (projective) topolojidir. (b) Çarpm topolojisi bir tümel (inductive) topolojidir. (c) Bölüm topolojisi bir izdü³el (projective) topolojidir. (d) Bir topoloji ailesinin en küçük üst snr bir tümel (inductive) topolojidir. (e) Bir topoloji ailesinin en büyük alt snr bir izdü³el (projective) topolojidir. 59. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) T topolojisi inceldikçe (X, T ) uzayndan herhangi bir (Y, S ) uzayna tanml sürekli fonksiyonlar ço alr. (b) T topolojisi kabala³tkça (X, T ) uzayndan herhangi bir (Y, S ) uzayna tanml sürekli fonksiyonlar ço alr. (c) S topolojisi inceldikçe herhangi bir (X, T ) uzayndan (Y, S ) uzayna tanml sürekli fonksiyonlar azalr. (d) T topolojisi kabala³tkça (X, T ) uzay üzerindeki yaknsak diziler ço alr. (e) T topolojisi inceldikçe (X, T ) uzay üzerindeki yaknsak diziler azalr. 60. { 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas 0 dr. (b) Dizinin limiti 0 dr; y lma noktas yoktur. (c) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas 0 dr. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur.. 61. (X, T ) topolojik uzaynda A, B X alt kümelerinin ba lantl olmas ne demektir? (a) Ā B A B (b) Ā B A B (c) Ā B = A B = (d) Ā B = A B = (e) Ā B A B = X 62. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) R gerçel saylar kümesinde her aralk ba lantldr. (b) R gerçel saylar kümesinde ba lantl her alt küme bir aralktr. (c) R 3 uzaynda simit yüzeyi (torus), salt topolojiye göre, ba lantldr. (d) f : [a, b] [a, b] sürekli bir fonksiyon ise, f fonksiyonunun bir sabit noktas vardr.. 63. f : X Y fonksiyonunun sürekli olmas için x n x f(x n ) f(x) ko³ulunun yeterli olmad uzaylar hangileridir? (a) Birinci Saylabilme Belitini (axiom) sa layan uzaylar. (b) Metrik uzaylar. (c) Normlu uzaylar (d) kinci Saylabilme Belitini (axiom) sa layan uzaylar..