BOYUNA VE ENİNE DOĞRULTUDA BERKİTİLMİŞ VE BERKİTİLMEMİŞ DÖRT TARAFINDAN MESNETLİ ÇELİK LEVHALARIN TAŞIMA DAVRANIŞLARI

BOYUNA VE ENİNE DOĞRULTUDA BERKİTİLMİŞ VE BERKİTİLMEMİŞ DÖRT TARAFINDAN MESNETLİ ÇELİK LEVHALARIN TAŞIMA DAVRANIŞLARI Ahmet Necati YELGİN *, Hüseyin YELGİN ** ve Cihat ÇUKUR *** * Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, SAKARYA ** Sakarya Üniversitesi Sakarya M.Y.O, SAKARYA *** İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İSTANBUL ÖZET Bir çok çelik konstrüksiyonlarda, dört kenarı ankastre, mafsallı mesnetlenmiş berkitmeli veya berkitmesiz dikdörtgen çelik levhalar çok sıklıkla kullanılmaktadır. Bu tür levhalar genellikle kutu kesitli yapma kolonlarda, yapma I kirişlerinin gövdelerinde, gemi ve uçak sanayiinde gemi ve uçakların dış yüzeyini örtmek için kullanılırlar. Bu çalışmada, b / t levha narinliği ve α = a / b levha kenar oranının değişik durumları incelenecektir. Bu çalışmada α 1 dir. Bu oranlar dikkate alınarak deney epruvetleri hazırlanıp deneye tabi tutulmuştur. Her bir epruvetin taşıma yükleri ölçülerek tablo ve diyagramlarla verilecektir. Ayrıca yatay ve düşey berkitmelerin burkulma yüküne etkisi bilgisayar çözümleriyle irdelenecektir. Anahtar Kelimeler : Kritik burkulma gerilmesi, Berkitmeli levha, Levha burkulması ABSTRACT Rectangular plates with hinged supports and fixed supports on four edges often constitute an important part of structural systems. Such plates find application in shipbulding and aircraft industries in the form of box - section columns and I - beams. If those plates are forced on two opposite edges with uniform load, they tend to crease before the material fails.the bearing loads of plates with side ratio of α 1 and different cases of the side ratio a/b and plate slenderness (b/t) will be experimentally investigated and results presented to form.also the computer solutions was used to show effects of the stiffeners horizantal (and/or) vertical over buckling loads of plates. Keywords : Critical buckling stress, Stifnessed plate, Plate buckling

1.GİRİŞ Dört tarafı ankastre ve mafsallı mesnetlenmiş dikdörtgen çelik levhalar çelik yapıda taşıyıcı sistemlerin önemli elemanları olarak çok kullanılmaktadır. Şekil 1.1 de bu tür levhalar ve yükleme şekilleri görülmektedir. Şekil 1. Dört kenarı mafsallı ve ankastre mesnetli levhalar Bu levhalar basınç yükü altında belirli bir değere ulaştıkları anda, yerel burkulma (Buruşma) yapabilmektedirler. Bu nedenle, bu tür levhaların taşıma davranışlarının ve taşıma yüklerinin belirlenmesi büyük önem arz etmektedir. Bu tür levhaların buruşma yükleri ilk defa 1891 yılında İngiltere de G. H. BRYAN tarafından teorik olarak hesaplanmıştır. Bu konuda teorik çalışmalar günümüze dek yapılmaktadır. Ancak bu tür levhalar üzerinde deneysel çalışma pek bulunmamaktadır. Bu tür levhaların ideal buruşma yükleri DIN 11 e göre tespit edilebilmekte, fakat taşıma yüklerinin ve tüm şekil değiştirme davranışlarının doğru olarak tespiti pek mümkün olmamaktadır. Bu çalışmada, b / t levha narinliği ve α = a / b levha kenar oranının değişik durumları incelenecektir. Araştırma için, t = 3 mm ve t = mm olmak üzere iki tür levha kullanılmıştır. Söz konusu deney epruvetleri, farklı kalınlıklı, aynı malzeme özellikli ( St 37 ) ve tek parça mesnetli birleşim için 375 x 375, 375 x 35, 375 x 75, 375 x 5 ve 375 x 175 ebatlarında, mafsallı birleşim için 00 x 00, 00 x 350, 00 x 300, 00 x 50, 00 x 00 ebatlarında kesilerek elde edilmiştir. Her bir tür kesitten adet olmak üzere t = 3 mm kalınlıklı levhadan 0 adet ve t = mm kalınlıklı levhadan 0 adet olmak üzere toplam 0 adet deney epruveti hazırlanmıştır. Ayrıca 00 x 00, 00 x 300 ebatlı, t = 3 mm kalınlıklı levhalara değişik berkitme (berkitme kalınlığı = mm, eni = 0 mm alınmıştır.) şekilleri uygulanarak bilgisayar ortamında çözülmüştür..levhalarin BURUŞMASI Levhalar, narin yapıda bir malzeme olduğundan dolayı basınç yükü ile yüklendiği zaman belirli bir yük altında kendi yükleme düzlemine dik olarak burkulurlar. Levhaların buruşma davranışı, çeşitli parametrelere bağlıdır. Bu parametreler sayesinde güvenli ve ekonomik bir taşıyıcı sistem oluşturmak mümkün olmaktadır. Bu konu başlığı altında lineer ve lineer olmayan buruşma teorilerinden bilinen yedi adet parametre tanıtılacaktır. Levha narinliği, levha genişliği b ve levha kalınlığı t arasındaki oran olarak tanımlanır (Şekil -.1). Levha genişliği b, basınç yükü ile yüklenmiş levha kenarının boyutudur.

Levha kenar oranı, levha uzunluğu a ve levha genişliği b arasındaki oran olarak tanımlanır ve α ile gösterilir. Çalışmada levha kenar oranı α farklı seçilmiş ve bu farklı orana bağlı olarak deney epruvetleri imal edilmiştir. Levha kenarlarının mesnetlenmesi, levha kenarlarının mesnetlenmesinin incelenmesinde, konstrüksiyon ve diferansiyel denklemlerin çözümü için gerekli olan matematiksel sınır şartları ve levhanın mesnet davranışı arasında farklılıklar olabilir. Hiçbir zaman teorik hesaplarda kullanılan gerçek mesnet şartlarını elde etmek mümkün olmaz. Bu nedenle hesaplamalar bazı ön kabuller yapılarak gerçekleştirilir. Matematiksel sınır şartları olarak genel anlamda üç sınır şartından bahsetmek mümkündür. Boşta (serbest) Kenarlar Mafsallı Mesnetli Kenarlar Ankastre Mesnetli Kenarlar Enine kenar mesnetlenmesinin k buruşma katsayısına etkisi, dört tarafından mafsallı mesnetlenmiş levhalarda buruşma katsayısı, m n k = + α α m (.1) formülüyle hesaplanmaktadır. Diğer tür mesnetlenmiş levhalarda k buruşma katsayısı mesnetlenme şekline bağlı olarak farklı formüllerle hesap edilmektedir. Bu formülde m ve n her iki doğrultudaki dalga sayısını, α ise levha kenar oranını göstermektedir. k buruşma katsayısının alacağı minimum değer ise dür. Şekil.1 Tipik levha Malzeme akma sınırı, levhanın malzeme özelliklerinin taşıma yükü üzerine etkisi büyüktür. Dolayısıyla kullanılacak malzemenin fiziksel ve kimyasal özelliklerinin iyi tespit edilmesi gerekmektedir. Şayet malzeme özelliklerinin tespiti hakkında gerekli özen gösterilmez ise yapılacak hesaplamalar sonucu çıkacak değerler yanıltıcı olacaktır. Levha kenarının yüklenmesi, levhaların hesaplanmasında levha kenarlarının yükleme şeklinin önemi büyüktür. Daha doğrusu levhaya ne tür bir yük etki ediyorsa hesaplar ona göre yapılmalıdır. Genelde üç tür yüklemeden bahsetmek mümkündür. Düzgün yayılı yük, trapez yayılı yük ve üçgen yayılı yük.

Ön şekil değiştirme ( ön deformasyon ), lineerleştirilmiş buruşma teorisi matematiksel anlamda düzlem olan levhaları incelemektedir. Rijitleştirilen veya kaynaklanan dolu gövdeli konstrüksiyonların imali esnasında, levhalarda ve rijitleştiricilerde istenmeyen çarpılmalar veya deformasyonlar oluşabilir. Bu ön deformasyonlar yönetmeliklerin verdiği sınırlar içinde kalır ise konstrüksiyonlar düzlem olarak kabul edilirler ve hesapları şekil değiştirmemiş gibi yapılır. Şayet bu ölçülen ön deformasyon değerleri yönetmeliklerde belirtilen sınırları aşıyor ise bu ön deformasyonlar dikkate alınarak hesap gerçekleştirilir. Aksi taktirde gerçeğe yakın olmayan sonuçlar elde edilmiş olur. 3. LEVHALARDA TAŞIMA YÜKÜ HESABI Basınç veya kayma kuvvetiyle yüklenmiş ideal düzlem levhalar malzeme mukavemetine erişmeden önce burkulabilirler. Burkulma çubuğunda olduğu gibi levhalarda da levha ince ise (yani narin ise) buruşmanın da erken olacağı konumu geçerlidir. Şekil 3.1 de dört kenarından mafsallı mesnetlenmiş bir levhanın genel yüklenme şekli görülmektedir. Enine yüklenmiş levhalar için aşağıdaki Kirschoff plak denklemi geçerlidir. E. t 1 1 3 ( µ ) w w + w + = P y (3.1) Denge şartından, plak üzerindeki bütün düşey kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Enine yükleme durumu P, levha durumunda mevcut değildir (Şekil -3.). Şekil 3.1 Levhanın genel yüklenme şekli Burada, σx. t = Nx, σy. t = Ny, τxy. t = Nxy, olarak alınmaktadır.

x doğrultusundaki kesitte meydana gelen iç kuvvetler, Şekil 3. x Doğrultusunda kesitte oluşan iç kuvvetler Küçük açılar kabulü yapılarak aşağıdaki denklemler elde edilir. P. dx. dy = N w x dy Nx x N N x w w. dy + dx. dy + dx x (3.) w N x w PN N x x (3.3) Benzer olarak, w N y w PN N y y (3.) w N PN N xy xy xy w N PN N yx yx xy xy yx w w (3.5) (3.6) w x = 0 denge şartından ve cos 1 alınarak, P = P + P + P + P (3.7) Nx Ny Nxy Nyx N x N y + =0 (3.8)

y = 0 denge şartından N y N xy + =0 (3.9) w w w P = N + + N x N xy y (3.10) P w w w t. σ + + x τ xy σ y (3.11) = (3.11) denklemi (3.1) denkleminde yerine konur ise aşağıdaki ifade elde edilir. 3 E. t w w w w w w + + = 1(1 µ ) t. σ x + τ + xy σ y (3.1) Plak rijitliği D ile gösterilirse aşağıdaki gibidir. 3 Et. D = 1( 1 µ ) (3.13) Söz konusu levha denkleminden çubuk denklemine geçilmek istenirse aşağıdaki gibi yazılabilir. Et. 1 w w = t. σ x (3.1) Levha çözümünde kullanılacak dalga (buruşma) denklemi aşağıda verilmektedir. 3 mπx nπy wxy (, ) = Amn.sin sin a b (3.15) Bu denklemde; m, x doğrultusundaki dalga sayısını ve n, y doğrultusundaki dalga sayısını göstermektedir. Gerekli düzenlemeler ve çözümlemeler yapılarak kritik burkulma gerilmesi dört tarafı mafsallı levha için Denklem 3.16, dört tarafı ankastre levha için Denklem 3.17 elde edilmiştir. Genel gerilme denkleminde Denklem 3.16, deneylerde kullanılan malzeme çelik olduğu için formülde E = 1000 kn / cm, Poisson oranı olan µ = 0.30 mafsal mesnet için k = ve ankastre mesnet için k = 10,07 alınarak aşağıdaki gibi düzenlenmiştir. π. E. t σ ki = k (3.16) 1b (1 µ )

t 7,59.10 σ ki = (3.17) b t 1911,87.10 σ ki = (3.18) b. DENEY DÜZENİ VE DENEYİN YAPILIŞI Bu deney epruvetleri 600 kn kapasiteli basınç yükü veren makinada deneye tabi tutulmuştur. Deney epruvetleri, Şekil.1 de görülen deney düzeneği içinde iki kenarından düzgün yayılı basınç yükü verilerek deneyler gerçekleştirilmiştir. Her bir tür deney numunesi için 1 adet olmak üzere 10 ve her bir tür levha kalınlığı için 1 adet olmak üzere toplam 0 adet sabit deney düzeneği hazırlanmıştır. Bu deney çerçevesinin gerekli düzenlemelerle mafsallı ve ankastre davranışa imkan vermesi sağlanmıştır. Enine yük doğrultusunda giden kenar ise boşta bırakılmıştır. Boşta bırakılan kenar yük verilen dördüncü kenar olmaktadır. Mafsallı levha deneylerinde levhanın serbestçe dönmesi sağlanmıştır. Ankastre levha deneylerinde kenarların mümkün olduğunca ankastre davranması sağlanmıştır. Yük verilen kenarın ankastre mesnetlenmesini sağlamak için, Şekil.1 de görülen ilave bir parça hazırlanarak düzgün yayılı basınç yükü bu parça üzerinden deney epruvetine verilmektedir. Şekil.1 Deney düzeneği Aşağıdaki Tablo.1 de ankastre mesnet için ve tablo. de mafsallı mesnet için kullanılan deney epruvetlerine ait kesit özellikleri, b/t oranları ve α = a/b oranları verilmektedir.

Tablo.1 Ankastre mesnet için deney epruvet özellikleri Epr. a b t A b/t α=a/b No (mm) (mm) (mm) (cm ) E1 375 375 3 11.5 15 1.00 E 375 375 3 11.5 15 1.00 E3 375 35 3 9.75 108 1.15 E 375 35 3 9.75 108 1.15 E5 375 75 3 8.5 9 1.36 E6 375 75 3 8.5 9 1.36 E7 375 5 3 6.75 75 1.67 E8 375 5 3 6.75 75 1.67 E9 375 175 3 5.5 58.1 E10 375 175 3 5.5 58.1 E11 375 375 15 93.75 1.00 E1 375 375 15 93.75 1.00 E13 375 35 13 81.5 1.15 E1 375 35 13 81.5 1.15 E15 375 75 11 68.75 1.36 E16 375 75 11 68.75 1.36 E17 375 5 9 56.5 1.67 E18 375 5 9 56.5 1.67 E19 375 175 7 3.75.1 E0 375 175 7 3.75.1 Tablo. Mafsallı mesnet için deney epruvet özellikleri Epr. Levha Yük. Levha Gen. Levha Kal. α Ken. b / t No (mm) (mm) (mm) Or. E1 00 00 3 1.00 133.33 E 00 00 3 1.00 133.33 E3 00 350 3 1.1 116.67 E 00 350 3 1.1 116.67 E5 00 300 3 1.33 100.00 E6 00 300 3 1.33 100.00 E7 00 50 3 1.60 83.33 E8 00 50 3 1.60 83.33 E9 00 00 3.00 66.67 E10 00 00 3.00 66.67 E11 00 00 1.00 100.00 E1 00 00 1.00 100.00 E13 00 350 1.1 87.50 E1 00 350 1.1 87.50 E15 00 300 1.33 75.00 E16 00 300 1.33 75.00 E17 00 50 1.60 6.50 E18 00 50 1.60 6.50 E19 00 00.00 50.00 E0 00 00.00 50.00

5. TEORİK HESAPLAMA VE DENEYSEL SONUÇLAR Deney ortamında olabilecek malzeme ve geometri kusurları nedeniyle deney sonuçları teorik ve bilgisayarla elde edilen sonuçlardan farklılıklar gösterebilmektedir. Aşağıdaki tablolarda teorik hesaplama deneysel sonuçlar ve bilgisayar sonuçları berkitmesiz levhalar için, mafsallı ve ankastre koşullarına bağlı olarak gösterilmektedir. Epr No Tablo 5.1 Mafsal mesnetli levha için sonuçlar α λ v Ken b / t Levha Or. Narinliği σ D / σ F σ D / σ T σ D / σ B E1 1,00 133,33,13 0,36 1,99 1,715 E 1,00 133,33,13 0,88 1,585,093 E3 1,1 116,67,11 0,300 1,6 1,75 E 1,1 116,67,11 0,5 1,070 1,85 E5 1,33 100,00 1,809 0,358 1,108 1,6 E6 1,33 100,00 1,809 0,33 1,000 1,8 E7 1,60 83,33 1,508 0,17 0,896 1,35 E8 1,60 83,33 1,508 0,38 0,85 1,6 E9,00 66,67 1,07 0,306 0,1 0,631 E10,00 66,67 1,07 0,36 0,76 0,71 E11 1,00 100,00 1,809 0,30 1,331 1,758 E1 1,00 100,00 1,809 0,71 1,58 1,95 E13 1,1 87,50 1,58 0,3 1,0 1,1 E1 1,1 87,50 1,58 0, 1,07 1,5 E15 1,33 75,00 1,357 0,53 0,93 1,370 E16 1,33 75,00 1,357 0,85 0,8 1,53 E17 1,60 6,50 1,131 0,571 0,690 1,0 E18 1,60 6,50 1,131 0,609 0,736 1,111 E19,00 50,00 0,905 0,55 0,06 0,609 E0,00 50,00 0,905 0,568 0,0 0,659 σ D ; Deney Sonuçlarında elde edilen burkulma gerilmesi, σ F ; Malzemenin (ST37) akma gerilmesi, σ F = 350 kg/cm, σ T ; Teorik burkulma gerilmesi, σ B ; Bilgisayar Çözümleriyle elde edilen burkulma gerilmesidir. Şekil 5.1 DIN 11 standardıyla karşılaştırma

Epr No Tablo 5. Ankastre mesnetli levha için sonuçlar α λ v Ken b / t Levha Or. Narinliği σ D / σ F σ D / σ T σ D / σ B E1 1 15 1,80 0,39 0,670 0,88 E 1 15 1,80 0,356 0,68 0,865 E3 1,15 108 1,3 0,386 0,557 0,738 E 1,15 108 1,3 0,03 0,58 0,771 E5 1,36 9 1,136 0,3 0, 0,687 E6 1,36 9 1,136 0,1 0, 0,655 E7 1,667 75 0,95 0,99 0,35 0,508 E8 1,667 75 0,95 0,60 0,318 0,68 E9,13 58 0,757 0,59 0,30 0,35 E10,13 58 0,757 0,603 0,5 0,78 E11 1 93,75 0,960 0,38 0,73 0,9 E1 1 93,75 0,960 0,70 0,508 0,81 E13 1,15 81,5 0,935 0,53 0,3 0,9 E1 1,15 81,5 0,935 0,587 0,76 0,7 E15 1,36 68,75 0,89 0,65 0,380 0,1 E16 1,36 68,75 0,89 0,581 0,338 0,39 E17 1,667 56,5 0,716 0,666 0,59 0,86 E18 1,667 56,5 0,716 0,78 0,83 0,313 E19,13 3,75 0,571 0,8 0,199 0,8 E0,13 3,75 0,571 0,807 0,190 0,70 Şekil 5. DIN 11 standardıyla karşılaştırma Aşağıdaki Tablo 5.3 de berkitmelerin burkulma gerilmesine olan etkileri E1 ve E3 epruvetleri baz alınarak gösterilmiştir.yapılan çözümlemelerde görüldüğü gibi berkitmeler burkulma yüküne önemli ölçüde etki etmektedir. Bununla beraber berkitme adedinin yanı sıra, berkitmenin levhaya koyulduğu doğrultunun ve yerinde oldukça önemli olduğu görülmektedir. Örneğin levha mesnetlerine yakın iki berkitme ile elde edilecek burkulma gerilmesi, levha ortasına koyulacak tek bir berkitme ile sağlanabileceği, hatta daha büyük değerler elde edilebileceği görülmüştür.

Tablo 5.3 Berkitmeli levha çözümlemeleri Yatay Düşey Berkitme Epr. berkitme berkitme aralığı No sayısı sayısı σ D / σ Br E1 0 7,5 0,18 E1 0 0 0,783 E1 0 1 10 0,790 E1 1 1 ortada 0,59 E1 3 1 10 0,303 E3 0 1 ortada 0,638 E3 0 15 0,73 E3 1 1 ortada 0,393 E3 1 0 ortada 1,131 E3 0 0 0,76 σ D ; Deney Sonuçlarında elde edilen berkitilmemiş burkulma gerilmesi σ Br ; Berkitilmiş levha burkulma gerilmesi 6. SONUÇ VE ÖNERİLER Yapılan mafsal mesnetli levha deneylerde sonuçlar birbirine yakın çıkmaktadır. b / t levha narinliğinin yüksek değerlerinde Almanların DIN 11 standardının verdiği değerlerden daha düşük bir taşıma yükü, b / t nin düşük değerlerinde ise daha yüksek taşıma yükü değeri elde edilmektedir ( Şekil 5.1 ). Şekil 5. nin incelenmesi sonucu, b / t levha narinlik oranının değişimine bağlı olarak çizilen diyagramlarda elde edilen sonuçların her iki tür levha kalınlığı için, DIN 11 standardının verdiği değerlerin altında çıkmaktadır. Bu da bize çıkan sonuçların emniyetli bölgede kaldığı anlamını vermektedir. Şekil 5. de DIN 11 standardının verdiği değerler t = 3 mm kalınlıklı levhalarda b / t levha narinliğinin yaklaşık 75 değerinden sonra plastik bölgedeki taşıma yüklerinin elastik bölgeye geçtiğini göstermektedir. Şekil 5. de DIN 11 standardının verdiği değerler t = mm kalınlıklı levhalarda taşıma yükleri plastik bölgede bulunduğunu göstermektedir. Halbuki deneyler sonucu bulunan değerler ise taşıma yüklerinin elastik bölgede olduğunu göstermektedir. Bu iki durum söz konusu levhaların taşıma yüklerinin teorik hesaplamalara göre daha emniyetli olduğu sonucuna bizi götürmektedir.yapılan deneyler sonucunda çıkan bu sonuç yapılan çalışmanın önemini daha da vurgulamaktadır. Ayrıca berkitme etkileri amacıyla yapılan bilgisayar çözümlemeleri berkitmelerin burkulma gerilmesi üzerine önemli etkilerinin olduğunu göstermiştir. Bununla beraber berkitmelerin uygulandığı (uygulanan yük doğrultusuna göre) doğrultunun ve levha üzerinde uygulandıkları yerin sonuçlara önemli etkileri olmaktadır.örneğin mesnetlere yakın iki berkitmeden de ortada kullanılacak bir berkitme ile yakın veya daha büyük değerler elde edilebilmektedir. Berkitme yerleri doğru tayin edildiğinde daha az bir işçilik ve malzemeyle aynı veya daha fazla bir artış sağlanabilmektedir. Özellikle yüksek bir yapı sisteminde kütle artışının deprem yüklerini doğrudan arttırdığı dikkate alınırsa bu hususun önemi daha da belirgin olur.

KAYNAKLAR [ 1 ] BS 5950 Part 5, Code of practice for The Design of Cold Formed Section, Draft British Standard, 1987 [ ] DASt Ri.01, Beulsicherheitsnachweise für Platten, Deutscher Ausschuss für Stahlbau, Oktober 1978. [ 3 ] Deren, H., Çelik Yapılar, Teknik Kitaplar Yayınevi, Ocak 198, İstanbul. [ ] DIN 1079, Staehlerne Strassenbrücken Grundsaetze für die Bauliche Durchbiegung. [ 5 ] DIN 11, BlattI., Stabilitaetsfaelle (Knicken,Kippung,Beulen) Berechnungsgrundlagen Juli 195. [ 6 ] Girkmann, K., Yüzeysel Taşıyıcı Sistemler, Çeviren : Doç.Dr.Sacit Tameroğlu, Cilt I, 198, İstanbul. [ 7 ] Pflüger,A.,Elastostatiğin Stabilite Problemleri, Çeviri: Prof.Dr.Sacit Tameroğlu Doç.Dr.Vural Cinemre, Ass.Dr. Tekin Özbk,1970, İstanbul. [ 8 ] Stefen, C.C., Raymond, P.C., Numerical Methods for Engineers, McGraww Hill,1989. [ 9 ] Timoshenko, S., Plak ve Kabuklar Teorisi, Çevirenler: İnan,M., Sönmez, F.,İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası, 196, İstanbul. [ 10 ] TS 138, Çekme Deneyleri (Metelik Malzeme İçin ), Türk Standardları Enstitüsü, 1978, Ankara. [ 11] Yelgin, A.N., Üç Kenarı Mafsallı Diğer Kenarı Boşta Dikdörtgen Levhalarda Narinlik-Taşıma Yükü İlişkisi, Doktora Tezi, İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü,Mayıs1990, İstanbul [ 1 ] Yelgin, A. N., Sümer, M., Boyuna Doğrultuda Rijitleştiricili Dört Kenarından Mafsallı Dikdörtgen Çelik Levhaların Karşılıklı İki Kenarından Düzgün Yayılı Yükle Yüklenmesi Durumunda Taşıma Yükünün Belirlenmesi, VII. Ulusal Mekanik Kongresi, 1993, Antalya. [ 13 ] Yelgin, A. N., YELGİN, H., Ankastre ve mafsal mesnetli çelik levhaların taşıma güçlerinin belirlenmesi, Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt 5, Sayı, - 001