OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri Yrd.Doç.Dr. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Hipotezler ve Testler Hipotez, kitleye(yığına) ait sayısal değeri bilinmeyen bir parametre hakkında ileri sürülen bir iddia, bir önermedir. Bir önerme olduğu için önermenin doğruluğunun ya da yanlışlığının kanıtlanması, test edilmesi gerekir. Bu test işlemi içim gerekli deliller örneklemden elde edilmektedir.
Hipotezler ve Testler Doğruluğu veya yanlışlığı araştırılacak hipoteze araştırma hipotezi denir ve H A veya H 1 ile gösterilir. Araştırma hipotezi her hangi bir parametre hakkında olabilir.
Araştırma hipotezimiz µ parametresi hakkında ve şöyle olsun: H 1 : µ 500 Yani ana kitle (yığın) ortalamasının 500 den farklı olduğu iddia ediliyor. Bu iddiaya göre µ değeri sayı ekseni üzerinde 500 değeri hariç bundan küçük veya büyük bir değer alabilir.
Bütün bu değerler için ayrı ayrı test yapmak mümkün değildir. Çünkü H 1 deki iddiaya göre µ sonsuz sayıdaki değerden herhangi birini alabilecektir. Bu nedenle H 1 hipotezini doğrudan test etmek mümkün değildir.
Bunun yerine H 1 hakkında dolaylı olarak karar vereceğimiz bir başka hipotez geliştiriyoruz. Bu hipotez H 0 ile belirtilir ve sıfır hipotezi adı verilir. Bu örneğe göre sıfır hipotezi: H 0 : µ =500 olarak yazılır.
Burada görüldüğü gibi sıfır hipotezi sadece bir değer (500) ile ilişkilidir. Bu tek değer içeren hipotezin doğruluğu ya da yanlışlığı test edilebilir. Bu şekilde H 0 ile H 1 birbirinin zıddı, biri diğerinin değili biçiminde kurulmuş olur.
Sıfır hipotezi ile araştırma hipotezi bir arada düşünüldüğünde sıfır hipotezinde daima farklılığın olmadığı (yokluk), araştırma hipotezinde ise daima (büyük, küçük veya eşit değil yönünde) bir farklılığın var olduğu iddia edilir. Farklılık iddiasının yokluğu veya varlığı bakımından, sıfır hipotezine yokluk hipotezi, araştırma hipotezine de varlık hipotezi adı verilebilir.
İddia alanında sonsuz sayıda değerler içeren araştırma hipotezi yerine iddia alanında tek bir değer içeren sıfır hipotezi geliştirilerek test işlemi bunun üzerine yapılır.
Bu yönteme göre, bir önermenin kendisi doğrudan ispatlanamıyorsa bunun aksinin doğru veya yanlış olduğu isbatlanarak esas önermenin kendisi hakkında karar verilmektedir. Sıfır hipotezinin reddi araştırma hipotezinin kabulü, sıfır hipotezinin kabulü, araştırma hipotezinin reddi anlamına gelir.
Kurulan hipotezlerin şekline göre hipotez testleri belirli isimlerle anılmaktadırlar. Araştırma hipotezimizin şekline göre testimiz tek yanlı test ya da çift yanlı test diye adlandırılırlar.
Genel olarak hipotez testleri:
Örnek: Bir margarin fabrikasında otomatik paketleme makinası 500 gr olarak yağları paketliyor. Sözkonusu yağların 500 gr olarak paketlenmesine karşı üç ayrı kişinin iddiaları, yani üç ayrı araştırma hipotezi şöyledir:
Bu iddiaların her biri ayrı bir hipotez testinin konusudur. Örnek değişkenliği aynı ana kitleden farklı örneklerin alınmasından kaynaklanabilir. Bir örnekten elde edilen istatistik ana kitle parametresinden farklı ise aradaki farkın tek sebebi örnek değişkenliğidir.
Eğer bir örnek farklı bir ana kitleden seçilmişse farklılığın iki nedeni vardır: Örnek istatistiği ile parametre arasındaki fark, örneklem değişkenliği ile ifade edilemeyecek kadar büyükse, bu farklılığa istatistiksel olarak anlamlı farklılık denir.
Bir testte örnek değişkenliğinden kaynaklanan farklılık için sözgelimi %95 olasılık verilirse, AKF için %5 olasılık verilmiş olur. Yani anlamlı farklılık için %5 lik pay verilmiştir. Bundan dolayı, testin anlam düzeyi %5 tir. Bir testte, anlamlı farlılık için ayrılan olasılık payına testin anlamlılık düzeyi denir.
Hipotez Testinde Hatalar Ho hipotezi test edilirken örnekten elde edilen bilgilere dayanılır. Örnekten elde edilen bilgiler örnek değişkenliği nedeniyle az çok yığına ait değerlerden farklı olur. Bu nedenle sıfır hipotezi hakkında örneğe dayanarak verilecek kararlar doğru olabilir veya bazı hatalar da yapılabilir.
Hipotez Testinde Hatalar Olabilecek durumlar şunlardır: Ho hipotezi gerçekte doğru iken test sonucunda kabul edilmiş ise, doğru bir karar verilmiştir. Buna 1-α diyebiliriz. Ho hipotezi gerçekte doğru olduğu halde test sonucunda red edilmiş ise yanlış bir karar verilmiştir. Buna I. Tip Hata adı verilir. Bu şekilde hatalı bir kararın olasılığı α ile gösterilir.
Hipotez Testinde Hatalar Ho hipotezi gerçekte yanlış iken test sonucunda Ho red edilmiş ise doğru bir karar verilmiştir. Bu şekilde, sıfır hipotezi gerçekte yanlış iken test sonucunda red edilmesi olasılığına testin gücü adı verilir ve bu olasılık 1-β ile gösterilir. Bir testin gerçekte yanlış olan bir hipotezi red etme olasılığı ne kadar yüksek ise, testin gücü o kadar yüksektir.
Hipotez Testinde Hatalar Ho hipotezi gerçekte yanlış iken test sonucunda Ho kabul edilmiş ise yine yanlış bir karar sözkonusudur ve bu hataya da II. Tip Hata adı verilir. II.Tip hata olasılığı β ile gösterilir.
Hipotez Testinde Hatalar 1-α: Testin güven düzeyi α : Testin anlamlılık düzeyi Ho hipotezi için test işlemine başlarken önce α nın büyüklüğü hakkında karar verilir. Uygulamalarda α nın değeri çoğunlukla %1, %5, %10 olarak seçilmektedir.
Ortalamaya ilişkin testler Ana kitleye ait ortalama hakkındaki hipotez testi dört aşamada tamamlanır: 1. Aşama:Hipotezlerin kurulması 2.Aşama: Kritik Bölgenin Belirlenmesi: Ho hipotezinin kabul ve red edileceği (kiritik) bölgeyi tablo değerleri yardımıyla belirliyoruz. Burada Z veya t tablolarından hangisinin kullanılacağının bilinmesi gerekir. Eğer örneklem dağılımının varyansı bilinmiyor ve bunun tahmini kullanılıyorsa, n örneklem hacmine bakılır.
Ortalamaya ilişkin testler Eğer örneklem hacmi 30 dan büyük ise Z tablosu, küçük ise t tablosu kullanılır. Bu dağılımdan, verilen anlamlılık düzeyine göre Ho hipotezini red ya da kabul edecek bölgeyi belirleriz. 3.Aşama Test istatistiğinin hesaplanması: Bu aşamada, iddiamızı red ya da kabul etmemize yarayacak bir delil olmak üzere örnekten elde edilen test istatistiğini hesaplıyoruz.
Ortalamaya ilişkin testler 4.Aşama: Karar Test istatistiği ile kritik bölge karşılaştırılarak Ho hipotezinin doğruluğu hakkında karar verilir. Ho için verilen kararın tersi dolaylı olarak H 1 için verilmiş olur. Çünkü H 1 hipotezi Ho hipotezinin alternatifidir.
Ortalamalarla ilgili hipotez testleri Bilindiğinde Z Test İstatistiği Bilinmediğinde fakat n 30 olduğunda Z Test İstatistiği Kabul ve Red Alanları: (Çift Taraflı Test) H 0 RED /2 0 H 0 RED /2 Z H H 0 1 : : 45 45 Z /2 kritik değerler tablodan bulunur. 25
Örnek: Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm, ve standart sapması 2 mm olan normal dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra üretilen vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin bot ortalaması 102 mm olarak bulunmuştur. Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız. 1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi H H 0 1 : 100mm : 100mm 2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması Z hesap X 102 100 2 9 n 3 26
3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi:.500 -.025 Standart Normal Dağılım Tablosu.475.06 Z.05.07 /2 =.025-1.96 0 1.96 /2 =.025 Z 1.6.4505.4515.4525 1.7.4599.4608.4616 1.8.4678.4686.4693 1.9.4744.4750.4756 27
4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması-karar: H 0 RED H 0 RED /2 =.025 -Z tablo = -1.96 /2 =.025 0 Z tablo = 1.96 Z hesap =3 Z hesap değeri H 0 RED bölgesine düştüğü için H 0 hipotezi reddedilir, yani vidaları boy ortalaması 100 mm den farklıdır, makinanın ayarı bozulmuştur. 28
Tek Taraflı Z Testi Örneği Bir kutu mısır gevreğinin ağırlığının 368 gr dan fazla olduğu iddia edilmektedir. Ayrıca = 15 gram olduğunu belirtmiştir. n= 25 kutuluk bir örnek alınmış ve X = 372.5 gr. olarak bulunmuştur. 0.05 seviyesinde test ediniz. 29
Örnek: Bir çay işletmesinde 250 gr lık çaylar üretilmektedir. Bu fabrikada çalışan bir mühendis çayların genellikle yanlış tartıldığını iddia etmektedir. Üretilen paketlerden 36 tanesi rastgele seçilerek tartılıyor ve tartılan paketlerin ortalama ağırlığının 251.3 gr ve varyansın 9 gr olduğu tesbit ediliyor. Örnekten elde edilen bu bilgi ve %5 anlamlılık düzeyi ile mühendisin iddiasını test edelim.
1.Adım: Hipotezlerin kurulması:
2.Adım:Kritik Bölgenin Belirlenmesi: Kritik bölge tablo değerleri yardımıyla yapılıyor. Burada ana kitleye ait varyans bilinmiyor. Bu durumda örneklem dağılımının standart sapması örnek değerlerinin standart sapması aracılığıyla tahmin edilecektir. Bununla birlikte örneklem hacmi n=36 > 30 olduğundan kritik bölgenin oluşturulmasında Z tablosundan yararlanacağız.
Testimiz iki yanlı olduğundan verilen anlamlılık düzeyi ikiye bölünerek %2.5 bulunur. %2.5 olasılığına karşı gelen Z tablosu değerleri 1.96 ve +1.96 dır. Buna göre Ho için kritik bölge aşağıdadır.
3.Adım: Test istatistiğinin hesaplanması: Test istatistiği ile ikinci adımdaki Z tablosu değeri karşılaştırılacaktır. Test istatistiği Z cinsinden olmalıdır. Bunun için örnekten elde edilen değer standartlaştırılmalıdır.
Burada Ho hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında hareket ettiğimizden beklenen değer µ=250 olarak tanımlanmalıdır. Problemdeki verilere göre, dür. Örneklem standart sapmasının tahmini, Buna göre test istatistiğinimizin değeri
4.Adım: Karar: Ho hipotezinin doğruluğu hakkında karar vermek için elde edilen test istatistiğinin değerini kritik bölge ile karşılaştırmak yeterlidir. olduğundan bu değer Ho hipotezinin red edildiği bölgeye düşüyor. Ho hipotezi red edilecektir. H 1 kabul edilir. Buna göre mühendisin iddiası doğrudur. Paketleme makinası hatalı çalışmaktadır.
Örnek: Önceki örnekte bir tüketici çay paketlerinin genellikle eksik tartılı olduğunu iddia ediyor olsun. Tüketicinin bu iddiasını %5 güven düzeyinde test edelim. 1.Adım. Hipotezlerin kurulması: Ho: µ = 250 H 1 : µ < 250 2.Adım. Kritik bölge. Bu defa tek yanlı bir test sözkonusu olduğundan kritik bölgemiz de tek yanlı olacaktır. Alternatif hipotezimiz < tipinde olduğundan kritik bölge sol tarafta yer alır. Verilen 0.05 anlamlılık düzeyi için tablo değeri 1.64 olarak bulunur. Kritik bölge sol tarafta olduğundan bu değer -1.64 olarak belirlenir.
Z dağılımında %5 lik tek yanlı kritik bölge
Kaynaklar Doç.Dr.Murat Karagöz, İstatistik Yöntemleri, 7.Baskı,Ekin Basın Yayın Dağıtım,2009 Yrd. Doç. Dr. Hamdi Emec, istatistik ders notlari Dr. Aydoğan Durmuş, istatistik ders notları