DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle ilgili önemli tnım ve gösterimleri özet olrk suncğız. Küme denince iyi tnımlı bir nesneler topluluğu nlşılır. Burd iyi tnımlı deyiminin nlmı şudur: Herhngi bir küme söz konusu olduğund herhngi bir nesnenin o kümeye, yni nesneler topluluğun it olup olmdığı kuşkuy yer bırkmyck biçimde bilinmelidir. Kümeye, yni nesneler topluluğun it oln nesnelerden her birine kümenin bir elemnı denir. Genellikle kümeler lfbedeki büyük hrflerle, elemnlr d küçük hrflerle gösterilir. Burdki lfbe sözcüğü Türkçe lfbe ile sınırlı değildir, kümeleri vey elemnlrı göstermek için Türkçe lfbeden olduğu kdr İngilizce, Yunnc ve bşk lfbelerden hrfler de kullnılır. K bir küme, ve b nesneler olsun. nın elemnı değilse, b K yzılır. Eğer, K nın elemnı ise, K yzılır. Eğer b, K Hiç elemnı bulunmyn kümeye boş küme denir ve boş küme, ile gösterilir. A ve B kümeler, A nın her elemnı B nin de elemnı ise, A kümesi B nin ltkümesidir denir. A, B nin ltkümesi ise, A B yzılır. Elemnlrı ynı oln iki kümeye eşit kümeler denir ve bu durumd lışkın olduğumuz üzere, A = B yzılır. A = B A B ve B A olduğu çıktır. Kümeler, elemnlrı { ve } işretleri rsın listelenerek vey elemnlrı tnımlnrk gösterilir. Örneğin, Türkçe lfbedeki ilk dört küçük hrften oluşn küme : {,b,c,ç} ; den e kdr oln doğl syılrın kümesi : {,,,,} ; ten büyük den küçük oln doğl syılrın kümesi :. Her biri Ö() özelliğini sğlyn nesnelerinden oluşn küme, { : Ö()} ile gösterilir. Örneğin, den e kdr oln doğl syılrın kümesi, ile gösterilir. { : doğl syı ve }
Ders Şimdi, A ve B kümeleri için yukrıdki küme gösterimini de kullnrk, birleşim, kesişim ve frk işlemlerini tnımlylım. A ve B nin birleşimi, A B ={ : A vey B}; A ve B nin kesişimi, A B ={ : A ve B} ; A ve B nin frkı, A \ B ={ : A ve B} olrk tnımlnır. Kümeler üzerindeki trtışmlrı kolylştırmk için Venn Çizelgeleri denilen çizelgeler kullnılır. Şöyle ki, bir küme kplı bir eğrinin, örneğin bir dikdörtgenin vey bir çemberin sınırldığı lnl gösterilir ve o ln içindeki noktlrın d kümenin elemnlrını gösterdiği düşünülür. b A K Yukrıdki çizelgeye göre, A K, A ve b A dır. Kümeler için yukrıd tnımldığımız üç işlemin Venn çizelgeleri ile görünümü şğıdki gibi olcktır. A A B B A A B B A B A \ B
Syı Kümeleri ve Koordintlr.. Syılr. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri de syı kvrmıdır. Okuyuculrın syı kvrmın ybncı olmdıklrını, syılrl ilgili temel özellikleri bildiğini kbul ediyoruz. Şimdi, ders içinde kullncğımız gösterimleri tnıtcğız ve bu vesileyle syılrl ilgili temel özelliklerden bzılrını htırlycğız. N : doğl syılr kümesi.,,,... Z : tm syılr kümesi...., -, -, -, 0,,,,... Q : rsyonel syılr kümesi. -,,, 7 ve =, gibi. 00 R : reel syılr kümesi. R\Q : irrsyonel syılr kümesi., π,, e gibi... Reel Syılrd Sırlm. Herhngi bir reel syının y pozitif, y negtif y d sıfır olduğunu biliyoruz. İki reel syı, ve y verildiğinde, eğer (y ) pozitif ise, syısı y den küçüktür denir ve < y yzılır. Bzen < y yerine y > de yzılır ve y syısı den büyüktür denir. < y vey = y ise, y ( vey y ) yzılır., y, z R için < y ve y < z ise, < z dir. < y, = y ve y < ten bir ve ylnız biri geçerlidir. < y ise, z < y z dir. < y ve 0 < z ise, z < y z dir. < y ve 0 > z ise, z > y z dir. reel syısı dn büyük ve b den küçük ise, < < b yzılır. Bu durumd, syısı ile b rsınddır d denir. Böylece, { : doğl syı ve < < } kümesinin elemnlrı {,,} biçiminde listelenebilir. { : doğl syı ve } kümesinin elemnlrının nsıl listeleneceği yukrıd gösterilmişti.
Ders.. Mutlk Değer. R nin mutlk değeri, 0 ise, < 0 ise - olrk tnımlnır ve ile gösterilir. Bu tnım, =,, 0 < 0 biçiminde de ifde edilebilir. Örnek olrk =, =, = = Mutlk değer ile ilgili bzı özellikleri şğıd listeliyoruz:. Her R için 0, = 0 = 0. Her, y R için y = y. Her, y R için y y. Her, y R için y y. Son iki eşitsizlik üçgen eşitsizlikleri olrk bilinir... Denklemler ve Eşitsizlikler. Yukrıdki ifdelerde de görüldüğü gibi, herhngi bir syıyı vey dh genel olrk bir kümenin herhngi bir elemnını göstermek için, y, z,... gibi hrfler vey semboller kullnırız. Bir kümenin herhngi bir elemnını göstermek için kullnıln hrf vey sembole bir değişken denir. Bundn böyle, ksi belirtilmedikçe, değişkenler reel syılr için kullnılcktır. Derslerimizde, = ; < örneklerinde olduğu gibi, değişkenler içeren denklem vey eşitsizlikler üzerinde çlışmmız gerekecektir. Bir denklem vey eşitsizliği sğlyn her syıy o denklem vey eşitsizliğin bir çözümü denir.
Syı Kümeleri ve Koordintlr Örneğin, syısı yukrıd verilen denklemin; syısı d ordki eşitsizliğin bir çözümüdür: Bir denklem vey eşitsizliğin =. tüm çözümlerinin ; < oluşturduğu.. kümeye o denklem vey eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Örneğin, -= denkleminin çözüm kümesi {-, } tir. Eğer iki denklem ynı çözüm kümesine shipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri ynı oln eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir. Bir denklemi çözmek için uygulnn stndrt yöntem şudur: Verilen denklem, kendisine denk oln öyle bir dizi denklemle değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin çözüm kümesinin ne olduğu kolyc görülebilmektedir. Benzer şekilde, bir eşitsizliği çözmek için uygulnn stndrt yöntem şudur: Verilen eşitsizlik, kendisine denk oln öyle bir dizi eşitsizlikle değiştirilir ki, bu dizideki son eşitsizliğin çözüm kümesinin ne olduğu kolyc görülebilmektedir. Bir denkleme vey eşitsiziliğe denk denklem vey eşitsizlikler yzrken reel syılrın sırlm özelliği gibi özelliklerinden ve mntık kurllrındn yrrlnılır. Örnek. -= denkleminin çözümü : -= --=0 ()(-) =0. Yukrıdki denklemler dizisindeki her denklem kendisini izleyen denkleme denktir ve son denklemin çözüm kümesinin {-, } olduğu çıktır. Lise bilgilerinizden, bu örnekte ele lınn türden denklemlere ikinci dereceden denklemler dendiğini nımsyınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifdesi,, b, c R olmk üzere b c = 0 biçimindedir ve çözümleri şğıdki formülle elde edilir: b m = b c. Bundn önceki örnekte verilen denklem bu formülle de çözülebilir: ( ) m ( )..( ) m 6 = = = vey =. Eşitsizliklerin çözümünü dh sonr ele lcğız.
Ders 6.6. Syı Ekseni. Reel syılr sistemi R, ess itibriyle ölçüm ypmk için kullnılır. Bşk bir deyişle, reel syılr sistemini, bir doğru üzerinde her nokty bir reel syı krşılık getirerek koordintlr tnımlmk için kullnırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokt(orijin, merkez) ve bir birim uzunluk işretlendiği tkdirde, doğru üzerindeki noktlr ile reel syılr sistemi rsınd bire-bir bir eşleme elde edilir. - - 0 syı ekseni Orijin olrk işretlenen nokt 0 (sıfır) syısı ile, orijinin sğın doğru bir birim uzklıktki nokt (bir) syısı ile eşlenir. Üzerinde orijin ve birim uzunluk işretlenmiş doğruy syı ekseni denir. Syı ekseni, orijinden syısının eşlendiği nokty doğru yönlendirilmiş kbul edilir ve bu yön bir ok işreti ile gösterilir. Syı ekseni üzerinde bir pozitif reel syısı ile eşlenen nokt, orijinin sğın doğru orijinden birim uzklıktki nokt; bir b negtif reel syısı ile eşlenen nokt d orijinin solun doğru orijinden -b birim uzklıktki noktdır. Syı ekseni üzerinde bir noktnın eşlendiği syıy o noktnın koordintı denir. Böylece, orijinin koordintı 0; orijinin sğ trfınd ve orijinden bir birim uzklıktki noktnın koordintı dir. Yukrıd, syı ekseni üzerinde, koordintlrı -, -, -/, /, / ve oln noktlr işretklenmiştir. Ssyı ekseni üzerinde koordintı oln nokty bzen noktsı d denir. Örnek olrk, 8 syı ekseni üzerinde noktsı denince şğıdki şekilde görülen nokt nlşılır. - 0 8 Syı ekseni kullnılrk her reel syı kümesi syı ekseni üzerinde noktlr kümesi olrk gösterilebilir. Bunlrdn en çok krşılşcğımız küme türleri rlıklrdır.
Syı Kümeleri ve Koordintlr 7.7. Arlıklr. Aşğıd, rlıklrın tnımlrını ve syı ekseni üzerinde gösterilişlerini veriyoruz: ve b reel syılr, < b olmk üzere (, b) = { : < < b} [, b) = { : < b} (, b] = { : < b} [, b] = { : b} b b b b Böylece tnımlnn rlıklrdn ilkine çık rlık, sonuncusun kplı rlık, diğer ikisine de yrıçık rlıklr denir. 7,,,,,,, rlıklrını Örnek. Syı ekseni üzerinde ( ) ( ] işretleyelim: - - - 7 Reel syılr sistemi R ye her reel syıdn büyük olduğu kbul edilen (sonsuz) sembolü ve her reel syıdn küçük olduğu kbul edilen - (eksi sonsuz) sembolü ktılrk sonsuz rlıklr tnımlnır: (, ) = { : < < } (, ) = { : > } [, ) = { : } (, ) = { : < } (, ] = { : }
Ders 8 Reel syılr ile ilgili olrk verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin stndrt yöntemini dh önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bzı örnekler vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin rlıklr cinsinden nsıl ifde edilebildiğini göreceğiz Örnek. < 0 eşitsizliğini düşünelim. < 0 < - < -/. Yukrıdki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-, -/) rlığı olduğu çıktır ve syı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir. 0 Örnek. - < eşitsizliğinin çözümü : - < -- < 0 ()(-) < 0 Yukrıdki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-, ) rlığıdır ve syı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir. - 0 Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken şğıdki tblodn yrrlnılbilir: - 0 - - - - - 0 8 - - - - - - 8 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ( )( -) 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 Bzı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudn doğruy tblodn yrrlnılrk bulunbilir.
Syı Kümeleri ve Koordintlr 9 Örnek. 0 eşitsizliğini düşünelim. - 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - 0? - - - - - - - - - - - - - - 0 Tblodn, çözüm kümesinin (-, ] rlığı olduğu görülür ve syı ekseni üzerinde şğıdki gibi gösterilebilir(tblodki? işretini yorumlyınız): - 0 Mutlk değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zmn rlıklr krşılık gelir. Örneğin - c c < c c < < c 0 < c c < < c - c c.8. Krtezyen Koordintlr. Syı ekseni tnımını genişleterek düzlemde ve uzyd noktlr için de koordintlr tnımlybiliriz. Düzlemde noktlrın koordintlrını tnımlmk için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olrk kesen iki syı ekseni lmk yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yty diğeri de düşey olrk seçilir; yty oln eksene -ekseni, düşey oln eksene de y-ekseni denir. y Orijin O Krtezyen Koordint Sistemi
Ders 0 Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Krtezyen Koordint Sistemi, eksenlerin kesim noktsın d bu sistemin orijini denir ve genellikle O hrfi ile gösterilir. - ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye yırır. Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem y d kdrn denir. Çeyrek düzlemler şekilde görüldüğü gibi numrlnırlr. y II III O I IV Krtezyen Koordint Sistemi kullnılrk düzlemdeki noktlr ile sırlı reel syı ikilileri rsınd bire-bir bir eşleme olduğu; yni, düzlemde her nokty bir ve ylnız bir sırlı reel syı ikilisi, her sırlı reel syı ikilisine de düzlemde bir ve ylnız bir nokt krşılık geldiği gösterilebilir. Sırlı reel syı ikilileri kümesinin elemnlrıdır. R = R R = {(, b ) :, b R} Düzlemde bir nokty krşılık gelen sırlı reel syı ikilisi şöyle belirlenir: (Şekilden izleyiniz) Verilen noktdn her iki eksene birer dikme indirilir. -eksenine indirilen dikmenin yğı bir syısın, y-eksenine indirilen dikmenin yğı bir b syısın krşılık gelir. Verilen nokty krşılık gelen reel syı ikilisi (,b) dir. syısın o noktnın -koordintı vey psisi; b syısın d o noktnın y-koordintı vey ordintı denir. y b (,b) (0,) (,) (0,0) (,0)
Syı Kümeleri ve Koordintlr Verilen bir (,b) sırlı reel syı ikilisine krşılık gelen noktyı bulmk için yukrıdki işlem tersine işletilir. Dh çık bir ifdeyle, önce -ekseni üzerinde noktsı ve y-ekseni üzerinde b noktsı bulunur ve sonr her iki noktdn it olduklrı eksene birer dikme çıkılır; bu dikmelerin kesim noktsı, psisi ve ordintı b oln noktdır. Bundn böyle, Krtezyen Koordint Sistemi seçilmiş bir düzlemde bir noktyı o nokty krşılık gelen sırlı reel syı ikilisi ile özdeşleyeceğiz; yni (,b) noktsı denince, psisi ve ordintı b oln noktyı nlycğız. Üzerinde bir Krtezyen Koordint Sistemi seçilmiş oln düzleme Krtezyen Düzlem denir. Bzı noktlrın Krtezyen Düzlem de yerleştirilişleri yndki şekilde görülmektedir. (-,) (-,-) y (0,) (,) (0,0) (,0) (0,-) (,) (,-) (,0) Düzlemde Krtezyen Koordint Sistemi seçmek ne işe yrr? Bu seçim, düzlemde noktlrı vey nokt kümelerini syısl ifdelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel yöntemlerle çözmemize ve krşıt olrk, pek çok cebirsel problemi geometrik olrk yorumlmmız yrdımcı olur. Bunu, çoğunlukl, iki değişkenli denklem vey eşitsizliklerle gerçekleştiririz. Örneğin, düzlemde iki nokt rsındki uzklık, koordintlr yrdımıyl kolyc hesplnbilir: y d y (,y) y - b b (,b) - (0,0) Yukrıdki şekilden ve ünlü Pisgor Teoremi nden yrrlnrk (, b) ve (, y) noktlrı rsındki uzklık için d = ( ) ( y b) vey bun denk oln d = ( ) ( y b ) formülü elde edilir.
Ders Örnek. (,-) ve (,) noktlrı rsındki uzklık: d = ( ) ( ( )) = 6 9 =. İki değişkenli bir denklem; örneğin y =, verildiğinde, bu denklemi sğlyn reel syı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sğlyn tüm (, y) syı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (,0), (0,),,,, den her biri y = denkleminin bir çözümüdür. Bir denklemin çözüm kümesi Krtezyen Düzlemde bir nokt kümesi olrk düşünülünce elde edilen şekle o denklemin grfiği(grfik) denir. y Örnek. y = denkleminin grfiği, orijinden birim uzklıktki noktlrın oluşturduğu şekildir ki bun Krtezyen Düzlem de birim çember denir. (,0) Her hngi bir denklem vey bğıntı verildiğinde, o denklem vey bğıntının grfiğini çizmek için izlenebilecek yollrdn biri, denklemi vey bğıntıyı sğlyn mümkün olduğunc çoknoktlr bulup o noktlrı Krtezyen Düzlem de işretlemektir. İşretlenen noktlr yrdımıyl, grfik thmin edilmeğe çlışılır. Örnek. y = 0 - denkleminin grfiğini çizmek için bzı çözümler bullım ve Krtezyen düzlemde işretleyelim. y (0,0) (-,9) (,9) (-,6) (,6) y =0 - (-,) (,) (0,0)
Syı Kümeleri ve Koordintlr Örnek. y < in grfiği y y < (0,0) (,0) y =.0. Ykınlık ve Yklşık Değerler. Bir ve bir reel syısı verilmiş olsun. Eğer ile rsındki frkın mutlk değeri önceden belirlenmiş pozitif bir syıdn küçük ise, syısı y ykındır vey nın bir yklşık değeridir denir. Tnımdn d nlşılcğı üzere, ykın vey yklşık değer kvrmlrı tmmen göreceli kvrmlrdır. Örnek. Tnımd sözü edilen önceden belirlenmiş pozitif syı 0.0 ise, 0.99 syısı e ykındır; nck 0.9 syısı e ykın değildir. Eğer - < - ise, syısı y den dh ykındır denir. Örnek. 0.000 syısı 0 syısın 0.00 den dh ykındır. Eğer syısı y ykın ve < ise, syısı y soldn ykındır denir. Benzer şekilde, syısı y ykın ve > ise, syısı y sğdn ykındır denir. Örnek. 0.99 syısı e soldn; 0.000 syısı d 0 sğdn ykındır.
Ders Yukrıd tnımlnn kvrmlr syı ekseni üzerinde izlenince dh iyi nlşılcktır. 0 0. u Bu şekle göre, syısı 0 sğdn, u syısı e soldn ykındır. Bir syısı civrınd değerler ln bir değişkeni, y istenildiği kdr ykın değerler lbiliyors,, y yklşıyor denir ve yzılır. Eğer in ldığı değerlerin hepsi dn küçük ise, o tkdirde, y soldn yklşıyor denir ve - yzılır; in ldığı değerlerin hepsi dn büyük ise, o tkdirde, y sğdn yklşıyor denir ve yzılır. k Örnek. Eğer değişkeni : k N kümesi içinde değerler lırs, 0 0 yzbiliriz. Çünkü, bu kümede 0 syısın istenildiği kdr ykın syılr vrdır. Dh çık bir ifdeyle, 0 ykın olduğunu düşündüğünüz her syı için bu küme içinde 0 syısın düşündüğünüz syıdn dh ykın bir syı bulunur. Örneğin, 0.000 syısını sıfır ykın olrk düşünürsek, k 0 syısı 0 0.000 den dh ykındır. k syısı büyüdükçe syısı 0 dh ykın olur. Bu örneğimizde, değişkeninin ldığı değerler 0 0 un kuvvetleridir. un tek kuvvetlerinin 0 soldn yklştığın, çift kuvvetlerinin ise 0 0 sğdn yklştığın dikkt ettiniz mi? Bşk bir ifde ile, eğer değişkeni k : k N kümesi içinde değerler lırs, 0 - ; eğer değişkeni 0 k : k N 0 kümesi içinde değerler lırs, 0 olur. Eğer değişkeni her pozitif syıdn dh büyük değerler lbiliyors, yni in ldığı değerler sınırsız olrk rtıyors, o tkdirde sonsuz ırksıyor denir ve yzılır. Benzer şekilde, eğer değişkeni her ngtif syıdn dh küçük değerler lbiliyors, yni in ldığı değerler sınırsız olrk zlıyors, o tkdirde eksi sonsuz ırksıyor denir ve - yzılır. Yukrıd tnımlnnlr bğlmınd, bir değişkenin belli bir syıy yklşmsı, y d sonsuz vey eksi sonsuz ırksmsı durumund o değişken cinsinden yzılmış bir ifdenin de belli bir syıy yklşıp yklşmdığı sorusu yrıc önem kznmktdır. Eğer syısı y yklşırken cinsinden yzılmış f () ifdesi b ye yklşıyors, için f () b
Syı Kümeleri ve Koordintlr yzılır. Okuyucunun bu tnımd gerekli değişiklikleri yprk, - için f () b, için f () b, için f () b, - için f () b, için f () ve benzerlerini tnımlybileceğine innıyoruz. Örnek. f ( ) = ifdesi = için tnımsızdır. Anck, in e ykın, fkt den frklı değerleri için ( )( ) f ( ) = = = olduğundn için f ( ) =. Çünkü, in e ykın değerleri için onun bir fzlsı oln in ye ykın olcğı çıktır. Örnek 6. f ( ) = ifdesi = 0 için tnımsızdır. in 0 ykın değerleri için nsıl değerler lır? Bu sorunun cevbı, şğıdki tblolrın incelenmesiyle de görülebileceği üzere, in sıfır soldn vey sğdn ykın oluşun göre değişir. -0. -0-0.0-00 -0.00-000 -0.000-0 000 0. 0 0.0 00 0.00 000 0.000 0 000 Tblolrdn görüldüğü gibi, sıfır soldn yklştıkç sınırsız olrk küçülen negtif değerler lmkt, sıfır sğdn yklştıkç sınırsız olrk büyüyen pozitif değerler lmktdır. Dolyısıyl, 0 - için - ve 0 için.
Ders 6 Örnek 7. Aşğıdki tblolrı inceleyerek, - için 0 ve için 0 olduğunu görebilirsiniz. Örnek 8. sıfır soldn vey sğdn yklştığınd sınırsız olrk büyüyen pozitif değerler lır. Dolyısıyl, 0 için. Örnek 9. için. Bu sonuc ) ( ) ( ) ( ) ( = = ifdesinde, in çok büyük pozitif değerleri için,,, den her birinin sıfır ykın değerler ldığını gözlemleyerek ulşılbilir. Örnek 0. - için olduğu şöyle görülür: ) ( ) ( ) ( ) ( = =. -0-0. -00-0.0-000 -0.00-0 000-0.000 0 0. 00 0.0 000 0.00 0 000 0.000
Syı Kümeleri ve Koordintlr 7 Problemler. A = {-, 0,, } ve B = {-, -, 0, } kümeleri veriliyor. Aşğıd... ile gösterilen yerlere,, vey işretlerinden uygun olnını yerleştiriniz: -... A, -... B, -... A, -... B,... A,... B {0, }... A, {0,, }... A, {0,, }... B, {-, }... A. Önceki problemde verilen A ve B kümeleri için şğıdkileri belirleyiniz: ) A B b) A B c) A \ B d) B \ A. Aşğıd... ile gösterilen yerlere <, > vey = işretlerinden uygun olnını yerleştiriniz: -..., -...,...,..., 6-..., /... 0,66 -... 0,... 0,...,... -, 7-..., /..., 6...,,... 0,...,, 6... 9, π... 7. Aşğıdki ifdelerin eşitini mutlk değer gösterimi kullnmdn yzınız: -7 =?, - -7 =?, - 7 =?, =?, (-) =?, 0. =? =?, - - =?, -. =?, =?, -π =?, - =?. Aşğıdki denklemleri çözünüz: ) = b) = c) 9 7 = 0 d) = 9 6. Aşğıdki syılrdn her birini syı ekseni üzerinde gösteriniz: ) 7 b) -7 c) ç) d) e) f) g), ğ), h) 7. Aşğıdki reel syı kümelerinden her birini syı ekseni üzerinde gösteriniz: ) { : - = - } b) { : - = - } c) { : = } ç) { : = } d) { : = } e) { : = }
Ders 8 8. Aşğıdki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve rlıklr cinsinden ifde ediniz: ) > b) < c) < 8 ç) - d) - e) 9 7 < 0 f) 0 g) > 0 ğ) < h) > 0 ı) i) > 0 9. Aşğıdki reel syı kümelerinden her birini syı ekseni üzerinde gösteriniz: ) { : < 7} b) { : - < 7} c) { : - < } ç) { : < } d) { : < - < } e) { : ( ) 0} 0. Aşğıdki noktlrdn her birini Krtezyen düzlemde yerleştiriniz: ) (, ) b) (0, ) c) (-, ) ç) (0, - ) d) (-,-) e) (, ) f) (,,,) g) (-, ). Aşğıdki nokt çiftleri rsındki uzklıklrı bulunuz: ) (, ), (-, - ) b) (0, ), (, ) c) (0, ), (-, ) ç) (, - ), (-, - ) d) (0, ), (, ) e) (0, ), (-, ). Aşğıdki denklemlerin grfiklerini çiziniz: ) = b) y = - c) y = ç) y = - d) y = e) y = 9 f) y = 9 g) (-) (y-) = 9 h) - y=. Aşğıdki eşitsizliklerin grfiklerini çiziniz: ) > b) y < 0 c) y < 0 ç) > y d) y >. Soru işretlerinin yerine uygun syı vey sembolleri yzınız. ) için? b) için? c) - için? ç) için? d) - için? e) için? f) için? g) için? ( ) ( )