Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen Kilis in ilçeleri Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi vardır. unlar {Polateli, Musabeyli, Elbeyli} Türkiye nin en güzel şehri Küme oluşturmaz. Çünkü Türkiye nin en güzel şehri kişiden kişiye göre değişeceğinden küme o- luşturmaz. Uçan inekler küme oluşturur. Çünkü uçan inek olamayacağından bu kümemiz boş kümedir. Kümenin özellikleri Kümeler genellikle,, C gibi büyük harflerle Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı kümesine ait ise, a biçiminde yazılır. a, kümesinin elemanıdır. diye okunur. b elemanı kümesine ait değilse, b biçiminde yazılır. b, kümesinin elemanı değildir. diye okunur. Kümede, aynı eleman bir kez yazılır. Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. kümesinin eleman sayısı s() yada n() ile. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir..liste Yöntemi Kümenin elemanları * + sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. = *a, b, *a, b, c++ ise, s() = 3 tür. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. = *x : (x in özelliği)+ u ifade x biçiminde de yazılabilir. 3. Venn Şeması Yöntemi Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak u gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.. b. a.c C. EŞİT KÜME, DENK KÜME ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. kümesi kümesine eşit ise =, C kümesi D kümesine denk ise C D Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. D. OŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. oş küme * + ya da sembolleri ile Not: {0} ve { + kümeleri boş küme değildir. E. LT KÜME - ÖZLT KÜME. lt Küme kümesinin her elemanı, kümesinin de elemanı ise ya nin alt kümesi denir. kümesi kümesinin alt kümesi ise biçiminde kümesi kümesinin alt kümesi ise kümesi kümesini kapsıyor denir. C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C D 2. Özalt Küme ir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
3. lt Kümenin Özelikleri I. Her küme kendisinin alt kümesidir. II. oş küme her kümenin alt kümesidir. III. ve = IV. ve C C V. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 n dir. VI. n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2 n dir. VII. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı n r = n! (n r)!. r! = *a, b, c+ kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? Çözüm: I. yol: elemanlı {a}, {b}, {c} elemanlı bir kümenin alt kümesi sayısı kaçtır? Çözüm: I. yol: 2 =! ( 2)!. 2! = 2 2. 2 = 2 = 6 II. yol: pascal üçgenine bakarız. elemanlı 6 elemanlı tablodan elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 6 olduğunu görürüz. F. KÜMELERLE YPILN İŞLEMLER. Kümelerin irleşimi nın elemanlarından veya nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve = {x: x veya x } dir. {a,c}, {a,b}, {b,c} {a,b,c} toplam 8 tanedir. II. yol: bir kümenin alt küme sayısı 2 3 = 8 dir. III. yol: pascal üçgeni elemanlı 3 elemanlı 2 elemanlı 6 elemanlı 3 elemanlı bu tablodan bir kümenin eleman sayısını +3+3+=8 buluruz. irleşim İşleminin Özellikleri I. = II. III. = = IV. ( ) C = ( C) V. ise, = VI. = ise, (= ve = ) 2. Kümelerin Kesişimi ve kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye ile nin kesişim kümesi denir ve
= {x: x ve x } C D H. İR KÜMENİN TÜMLEYENİ Evrensel kümenin elemanı olup, kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye nın tümleyeni denir ve t, yada ile = {x: x E ve x, E} Tümleyenin Özelikleri E C D C ve D ayrık kümelerdir. F F E F E Kesişim İşleminin Özellikleri E. FRK İŞLEMİ kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanların kümesine fark kümesi denir. fark kümesi ya da \ = {x: x ve x } / / G. EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile Farkla İlgili Özelikler,, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
I. E = II. E = III. = IV. ( ) ( ) = (Simetrik Fark) İRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMN SYISI,, C herhangi birer küme olmak üzere, ir sınıfta, hem basketbol hem voleybol oynayanların sayısı 7, voleybol veya basketbolden en az birini oynayanların sayısı 6 dır. asketbol oynayanların sayısı, voleybol oynayanlardan 5 fazla olduğuna göre, bu sınıfta basketbol oynayan kaç kişidir? ) 0 ) C) 2 D) 3 E) I. s( ) = s() + s() s( ) II. s( ) = s(/) + s(/) + s( ) KÜME PROLEMLERİ T V a b c S Sınıfta lmanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 0 öğrenci vardır. lmanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dili bilenlerin sayısının ise katıdır. una göre, sınıfta lmanca bilenlerin sayısı kaçtır? ) 8 ) 20 C) 2 D) 30 E) 32 Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: s(t V) = a + b + c Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı: s(t V) + s(v T) = a + c Sadece tenis oynayanların sayısı: s(t V) = a Tenis oynamayanların sayısı: s(t) = c + d d ir sınıfta öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü lmanca kursuna gidiyor. unlardan 5 i her iki kursa da gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir? ) 50 ) 53 C) 68 D) 76 E) 83 u iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: s(t V) = a + b + c u iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: s( ) = d + a + c s( ) + s(t V) + s(v T) = d + a + c u iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: s( ) = d 3 kişilik bir grup, İngilizce, Fransızca hem İngilizce hem Fransızca bilen yada hiçbirini bilmeyen kişilerden oluşmaktadır. u grup da İngilizce bilmeyenlerin sayısı 2 dir. İngilizce veya Fransızca dan en çok birisini bilenlerin sayısı 26 ve Fransızca bilmeyenlerin sayısı 2 olduğuna göre hiç birini bilmeyenlerin sayısı kaçtır? ) ) 7 C) 6 D) 5 E)
LIŞTIRMLR ) ={x x 200, x=n, n N} ={y 8< y <900, y=6k, k N} olduğuna göre, nin eleman sayısı kaçtır? ) 6 ) 66 C) 68 D) 70 E) 7 6) En az birer elamanı bulunan farklı ve kümeleri (-) = eşitliğini gerçekliyorsa bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) ) C) = D) = E) ( ) = 2) oş kümeden farklı ve kümeleri için 3.s(-)=.s( )=5.s(-) olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 2 ) 27 C) 35 D) 7 E) 60 7) ve herhangi iki kümedir., ve - kümelerinin tüm alt kümeleri sayıları sıra ile 28,, 8 olduğuna göre - kümesinin eleman sayısı nedir? ) 7 ) 6 C) 5 D) E) 3 3) ve kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e)=2, s(\)=, s(' ')=3 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır? 8) ve gibi iki cümleden nın bir, nin iki elemanı cümlesinin elemanı değildir. dışında nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? ) 28 ) 256 C) 52 D) 02 E) 208 ) 2 ) C) 5 D) 6 E) 7 ) Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n)=.s(m) s(n\m)=5.s(m\n) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? ) 2 ) 6 C) 8 D) 20 E) 2 9) 25 kişilik bir grupta basketbol veya futbol oyunlarından en az birini oynayanların sayısı 9, en çok birini oynayanların sayısı 6 olduğuna göre, yalnız bir oyun oynayanların sayısı kaçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 5) ={, 2, 3} ={, 2, 3,, 5} -={, 3} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {5} ) {, 5} C) {3,, 5} D) {3, } E) {, 3, 5} 0) Herkesin ingilizce ve almanca dillerinden en az birini bildiği bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı ingilizce, % 70 i almanca dillerini konuşuyor. Sınıfta her iki dili konuşan öğrenci sayısı 8 olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır? ) 0 ) 50 C) 60 D) 70 E) 80