İÇİNDEKİLER Ön Söz... Tam Sayılarda Bölünebilme...3 Kongrüanslar...13 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler...6 Genel Tarama Sınavı...34
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler Tanım: a, m Z, m > 1 ve (a, m) = 1 olmak üzere, Örnek: 7 nin 18 modülüne göre mertebesini bulalım. a n 1 (mod m) (18) = ( 1. 3 ) = ( 1-1). (3-3 1 ) = 6 kongrüansını sağlayan en küçük n sayma sayısına a nın m modülüne göre mertebesi denir. Örnek: 3 ve 4 ün 5 modülüne göre mertebelerini bulalım. 3 1 3 (mod 5) 3 4 (mod 5) 3 3 (mod 5) 3 4 1 (mod 5) olduğundan 3 ün 5 modülüne göre mertebesi 4 tür. 4 1 4 (mod 5) olduğundan 6 nın pozitif tam sayı bölenlerinden biri 7 nin 18 modülüne göre mertebesi olacaktır. 6 nın pozitif tam sayı bölenleri 1,, 3 ve 6 olduğundan 7 1, 7, 7 3 ve 7 6 kuvvetlerine bakmak yeterli olacaktır. 7 1 7 (mod 18) 7 13 (mod 18) 7 3 1 (mod 18) olduğundan 7 nin 18 modülüne göre mertebesi 3 tür. Tanım: a, m Z, m > 1 ve (a, m) = 1 olmak üzere, a nın m modülüne göre mertebesi (m) ise a ya m modülüne göre bir ilkel ( primitif ) kök denir. 4 1 (mod 5) olduğundan 4 ün 5 modülüne göre mertebesi dir. Örnek: 5 in 7 modülüne göre bir ilkel kök olduğunu gösterelim. (7) = 7-1 = 6 Teorem: a, m Z, m > 1, (a, m) = 1, k, n N + ve a nın m modülüne göre mertebesi k olsun. 5 1 5 (mod 7) i) a n 1 (mod m) k n 5 4 (mod 7) ii) k (m) 5 3 6 (mod 7) 5 6 1 (mod 7) 5 in 7 modülüne göre mertebesi (7) = 6 ya eşit olduğundan 5 sayısı 7 modülüne göre bir ilkel köktür. 6
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler UYARI: İlkel kökler her pozitif tam sayı için yoktur. Teorem: a, m Z, m > 1, n N + ve a, m modülüne göre bir ilkel kök olsun. Örnek: 8 modülüne göre ilkel kök yoktur. Gerçekten 8 den küçük ve 8 ile aralarında asal olan sayılar 1, 3, 5 ve 7 olduğundan 1 1 1 (mod 8) a n in m modülüne göre bir ilkel kök olması için gerek ve yeter şart (n, (m)) = 1 olmasıdır. Örnek: sayısı 5 modülüne göre bir ilkel köktür. Gerçekten 3 1 (mod 8) 1 (mod 5) 5 1 (mod 8) 4 (mod 5) 7 1 (mod 8) 3 3 (mod 5) 1 in mertebesi 1; 3, 5, 7 nin mertebesi ve (8) = 4 olduğundan 8 modülüne göre ilkel kök yoktur. NOT: p tek asal, n Z olmak üzere, pozitif tam sayılardan sadece, 4, p n, p n sayıları için ilkel kök vardır. Örnek: modülüne göre 1 in mertebesi 1 ve () = 1 olduğundan 1 bir ilkel köktür. 4 modülüne göre 3 ün 4 1 (mod 5) tir. Burada (3, (5)) = 1 olduğundan 3 sayısı da 5 modülüne göre bir ilkel köktür. Teorem: a, m Z, m > 1, (a, m) = 1, k, n N + ve a, m modülüne göre bir ilkel kök olsun. i) a n a k (mod m) n k (mod (m)) dir. mertebesi ve (4) = olduğundan 3 bir ilkel köktür. ii) a n 1 (mod m) (m) n dir. Teorem: m Z olmak üzere, m modülüne göre ilkel kök varsa birbirine kongrüent olmayan bu ilkel köklerin sayısı ((m)) tanedir. Örnek: 5 modülüne göre ilkel köklerin sayısı ((5)) = (4) = tanedir. Gerçekten bu ilkel kökler ve 3 tür. iii) a, a, a 3,., a (m) sayıları bir asal kalan sistemi oluşturur. Örnek: (7) = 6 3 1 3 (mod 7) 3 (mod 7) 3 3 6 (mod 7) 7
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 3 4 4 (mod 7) 3 5 5 (mod 7) NOT: İndeksler, pozitif bir reel sayı ile logaritması arasındaki bağıntıya benzer birtakım özellikler gösterir. 3 6 1 (mod 7) olduğundan 3 sayısı 7 modülüne göre bir ilkel köktür. Teorem: a, m Z, m > 1, (a, m) = 1, m modülüne göre bir ilkel kök olsun. ind g a i) g a (mod m) n Z ve g 3 9 3 3 (mod 7) 9 3 (mod 6) ii) a b (mod m) ise ind g a = ind g b dir. 3 n 1 (mod 7) kongrüansında n = (7).k olacağından (7) n 3,, 6, 4, 5 ve 1 kalanları 7 modülüne göre asal kalan sınıfını 1,,3,4,5,6 Z * 7 oluşturur. iii) ind g 1 0 (mod (m)) ind g g 1 (mod (m)) iv) ind g (a. b) ind g a + ind g b (mod (m)) Tanım: a, m Z, m > 1, (a, m) = 1 ve g, m modülüne göre bir ilkel kök olsun. 1 k (m), g k a (mod m) v) ind g a n n. ind g a (mod (m)) Örnek: 7 modülüne göre 3, bir ilkel köktür. olacak şekildeki en küçük k pozitif tam sayısına g ilkel köküne göre a nın indeksi denir ve ind g a = k biçiminde gösterilir. Örnek: 5 modülüne göre 3 bir ilkel köktür. Gerçekten 3 1 3 (mod 7) 3 (mod 7) 3 3 6 (mod 7) 3 1 3 (mod 5) 3 4 4 (mod 7) 3 4 (mod 5) 3 3 (mod 5) 3 4 1 (mod 5) olduğundan ind 3 1 = 4, ind 3 = 3, ind 3 4 = ve ind 3 3 = 1 dir. 3 5 5 (mod 7) 3 6 1 (mod 7) ind 3 1 6, ind 3 5 = 5, ind 3 4 = 4 ind 3 6 = 3, ind 3 =, ind 3 3 = 1 8
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 3 ind 3 6 6 (mod7) Sonuç: a Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak üzere, ind 3 4 4. ind 3 (mod 6) p1 a i) 1 (mod p) ise x a (mod p) kongrü- (mod 6) ansının çözümü vardır. ind 3 6 ind 3 3 + ind 3 (mod 6) 1 3 (mod 6) Tanım: a, m Z, m > 1, (a, m) = 1 ve k N + olmak üzere, p1 ii) a 1 (mod p) ise x a (mod p) kongrüansının çözümü yoktur. Örnek: 3 sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik rezidü müdür? Diğer bir ifadeyle x 3 (mod 11) kongrüansı çözülebilir midir? x k a (mod m) kongrüansının çözümü varsa a ya m modülüne göre k. kuvvetten rezidü (kalan) denir. Özel olarak k = ise kuadratik, k = 3 ise kübik ve k = 4 ise bikuadratik rezidü adını alır. Teorem: a Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak üzere, 3 10 5 3 1 (mod 11) olduğundan x 3 (mod 11) kongrüansının çözümü vardır ve bir çözüm x 6 (mod 11) dir. Dolayısıyla 3 sayısı, 11 modülüne göre bir kuadratik rezidüdür. Örnek: sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik rezidü müdür? Diğer bir ifadeyle x (mod 11) kongrüansı çözülebilir midir? p1 a i) 1 (mod p) ise a, p modülüne göre bir kuadratik rezidüdür. p1 a ii) 1 (mod p) ise a, p modülüne göre bir kuadratik rezidü değildir. 10 5 1 (mod 11) olduğundan sayısı 11 modülüne göre bir kuadratik rezidü değildir. Dolayısıyla x (mod 11) kongrüansının çözümü yoktur. 9
Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler Örnek: 5 modülüne göre kuadratik ve kuadratik olmayan rezidüleri bulalım. 1 1 (mod 5) Örnek: x (mod 7) kongrüansında x 3 (mod 7) bir çözüm olduğundan sayısı 7 modülüne göre bir kuadratik rezidüdür. Buradan 1 dir. 7 4 (mod 5) 3 4 (mod 5) x 5 (mod 7) kongrüansının çözümü olmadığından 5 sayısı 7 modülüne göre bir kuadratik rezidü 4 1 (mod 5) 5 olmayıp 1 7 dir. olduğundan x 1 (mod 5) Teorem: a, b Z, p tek asal, (a, p) = 1 ve (b, p) = 1 olsun. x 4 (mod 5) kongrüansları çözümlü p1 a i) a p (mod p) x (mod 5) x 3 (mod 5) ii) ab a b p p p kongrüansları çözümlü değildir. Dolayısıyla 5 modülüne göre kuadratik rezidüler 1 ve 4, kuadratik olma- 1 iii) 1 p yan rezidüler ve 3 tür. NOT: p tek asal olmak üzere, p modülüne göre p 1 kuadratik ya da kuadratik olmayan rezidüler tanedir. p 1 p 1 iv) 1 a v) 1 p Tanım: a Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 olmak üzere, 1, p modülüne göre a, kuadratik rezidü ise a p 1, p modülüne göre a, kuadratik rezidü değilse vi) a b (mod p) ise a b p p dir. biçiminde tanımlanan sembolü denir. a p ifadesine Legendre 30
KONU TESTİ Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 1. 7 nin 11 modülüne göre mertebesi kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 10 4. a, b, m Z, m > 1, (a, m) = 1 ve g, m modülüne bir ilkel kök olsun. 1 k (m), g k a (mod m) olacak şekildeki k pozitif tam sayısına a nın g ilkel köküne göre indeksi denir ve ind ga = k biçiminde gösterilir. Buna göre, I. g ind g a a (mod m) II. ind gg 1 (mod (m)) III. n Z +, ind ga n n. ind ga (mod (m)). 9 modülüne göre mertebesi 3 olan kaç sayı vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 3. a, m Z, m > 1, (a, m) = 1, k, n N + ve a nın m modülüne göre mertebesi k olsun. 5. 73 modülüne göre birbirine kongrüent olmayan kaç tane ilkel kök vardır? A) 18 B) 0 C) 4 D) 36 E) 7 I. a n 1 (mod m) k n dir. II. a n a k (mod m) n k (mod (m)) dir. III. k = (m) ise a, m modülüne göre bir ilkel köktür. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 6. Aşağıdaki sayılardan hangisinin ilkel kökü vardır? A) 8 B) 9 C) 1 D) 15 E) 4 31
KONU TESTİ Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 7. Aşağıdakilerden hangisi 18 modülüne göre bir primitif (ilkel) köktür? A) B) 3 C) 5 D) 7 E) 8 10. 5 modülüne göre bikuadratik rezidüler kaç tanedir? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 8. 13 modülüne göre kuadratik rezidüler kaç tanedir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 11. 17 modülüne göre kuadratik olmayan kaç tane rezidü vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1. 11 modülüne göre kübik olmayan kaç tane rezidü vardır? 9. 7 modülüne göre kübik rezidüler kaç tanedir? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 CEVAP ANAHTARI 1. E. B 3. E 4. E 5. C 6. B 7. C 8. D 9. B 10. B 11. D 1. A 3
KONU TARAMA SINAVI - 3 Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler 1. 11 modülüne göre mertebesi olan kaç sayı vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 4. 101 modülüne göre birbirine kongrüent olmayan kaç tane ilkel kök vardır? A) 0 B) 3 C) 40 D) 48 E) 60 5. a, b, m Z, m > 1, (a, m) = 1, (b, m) = 1 ve a ile b nin m modülüne mertebeleri sırasıyla k ve n olsun. I. a. b 1 (mod m) ise k = n dir.. Aşağıdakilerden hangisi 6 modülüne göre bir ilkel köktür? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 II. Her asal sayı için ilkel kök vardır. III. m modülüne göre İlkel kök varsa bu ilkel köklerin sayısı ((m)) tanedir. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 3. 3 modülüne göre kaç tane kuadratik rezidü vardır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 13 E) 14 6. a, m Z, m > 1, (a, m) = 1 ve a nın m modülüne göre mertebesi k olsun. I. k 4 ise a 4 1 (mod m) dir. II. k (m) dir. III. k = (m) ise a, m modülüne göre bir ilkel köktür. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III CEVAP ANAHTARI 1. A. E 3. B 4. C 5. E 6. E 33
GENEL TARAMA SINAVI 1. a, b, c, d, x, y Z I. a b ve a c ise a bx + yc dir. (a 0) II. a b ve c d ise ac bd dir. (a 0, c 0) 4. 50 den küçük tam sayılar içerisinde kaç tane ikiz asal vardır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 III. a b ve a + b = c ise a c dir. (a 0) Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II, ve III. 377 ve 493 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır? A) 13 B) 17 C) 19 D) 3 E) 9 5. Aşağıdaki sayılardan hangisi için Goldbach Konjüktürü gerçeklenir? A) 13 B) 15 C) 18 D) 1 E) 7 3. x, y Z 115x + 95 y = 5 olduğuna göre, (x + y) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? 6. İki basamaklı Mersenne asalının rakamları toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) - B) -1 C) 0 D) 1 E) 34
GENEL TARAMA SINAVI 37. 1 99 + 99 + 3 99 +. + 100 99 toplamının 99 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 49 E) 98 40. Aşağıda beş lambadan oluşan bir pano gösterilmiştir. S K M Y T 38. 7 sayı tabanını göstermek üzere, (13456) 7 Panodaki lambalar sarı (S) lambadan başlayarak soldan sağa doğru kırmızı (K), mavi (M), yeşil (Y), turuncu (T); turuncu (T) lambadan tekrar sağdan sola doğru devamlı olarak yanıp sönmektedir. Örneğin lambalar S - K - M - Y - T - Y - M - K - S - K.. sırasında yanıp söndüğünden 6. sırada yanıp sönen lamba Y lambasıdır. Buna göre, 015. sırada yanıp sönen lamba aşağıdakilerden hangisidir? A) K B) S C) M D) Y E) T sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 41. 11 9999 sayısının 1000 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? A) 77 B) 91 C) 143 D) 69 E) 371 4. 3 7 5 3 5... 39. Z 7 de kaç farklı sayının karekökü vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 sayısının birler basamağının alabileceği farklı değerler çarpımı kaçtır? A) 3 B) 6 C) 15 D) 1 E) 4 CEVAP ANAHTARI 1. E. E 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. D 9. E 10. A 11. D 1. E 13. D 14. A 15. D 16. C 17. D 18. B 19. C 0. B 1. B. E 3. B 4. E 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A 30. C 31. B 3. C 33. C 34. C 35. C 36. E 37. B 38. D 39. B 40. C 41. B 4. D 40