Kantitatif Tahmin Yöntemleri Yrd.Doç.Dr. S.Kerem AYTULUN
Tahmin Nedir? Günlük hayatta bilinçli veya bilinçsiz birçok tahminde bulunuruz. Hava durumu, trafik, sınav soruları, kişisel ilişkiler... Peki Firmalar??? Firmanın gelecekteki başarısına etki eden faktörler: Ürün satışları Yeni ürün için müşteri talep biçimi Hammadde ihtiyacı ve kullanılabilirliği İşçi ihtisaslarındaki değişim Faiz oranları Kapasite ihtiyaçları Uluslararası politikalar Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 2
Tahmin Nedir? Her şey etkili bir şekilde tahmin edilebilir mi? Bir yazı-tura atışı sonucunun tahmin edilmesi Kumarhanelerde oynanan şans oyunları sonuçlarının tahmin edilmesi Borsadaki hisse senedi değerlerinin tahmin edilmesi Üretim ve operasyon yönetiminde tahmin, ürün talep tahminlerinin kestirilmesine dönüktür. Taleplerin bazı bölümleri tahmin edilemez olmakla birlikte, trend, döngü ve mevsimsel değişimler tahmin edilebilir. Sayılan bu özelliklerin geçmişte bıraktıkları izler geleceğin kestirilmesinde kullanılabilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 3
Tahmin Çatısı Tarihsel Veri Model veya parametrelerinin değişimi İnsan Girdisi Subjektif girdiler Matematik Model Talep Tahmini İstatistiksel tahmin Performans ile ilgili geribildirim Gözlenen gerçek talep Tahmin Hatasının Hesaplanması ve Hata İstatistiklerinin Güncellenmesi Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 4
Tahminin Planlama Ufku Uzun Dönem (aylar, yıllar) Kapasite gereksinimleri (needs) Uzun vadeli satış paterni Büyüme trendleri Orta Dönem (haftalar, aylar) Ürün ailesi satışları İşçilik ihtiyaçları (needs) Kaynak ihtiyaçları (requirements) Kısa Dönem (günler, haftalar) Kısa vadeli satışlar Vardiya programı Kaynak ihtiyaçları (requirements) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 5
1. Genellikle yanlıştır. Tahminin Özellileri Bu tahminlerin yanlış olduğu kanıtlanırsa, bu durumda kaynak ihtiyaçları ve üretim programlarının değiştirilmesine ihtiyaç duyulabilir. 2. İyi bir tahmin, bir tek sayıdan daha fazlası demektir. İyi bir tahmin yapılan tahmin hatasının da dahil edildiği tahmindir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 6
Tahminin Özellileri 3. Bütünleşik tahminler daha etkilidir. Tek bir ürün hakkında yapılan tahminin hatası, bir ürün grubu hakkında yapılan tahmin hatasında daha büyüktür. Örnek ortalaması varyansı < Popülasyon varyansı 4. Uzun dönemli tahminler daha az etkilidir. 5. Tahminler, bilinen (kesin olan, eldeki) bilgileri dışlamamalıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 7
Tahminlerin Sınıflandırılması Tahmin Yöntemleri Subjektif Objektif Satış Bölümü Anketler Rasgele Modeller Zaman Serileri Yönetici Fikirleri Delphi Metodu Trend Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 8
Subjektif (Öznel) Tahmin Yöntemleri İnsan hükümlerini temel alan tahmin yöntemleridir. 1. Satış Bölümü fikirleri 2. Müşteri anketleri 3. Yöneticilerin görüşleri 4. Delphi yöntemi Yönetici görüşerinin alınması benzer bir yöntemdir. Burada bir uzman kişinin fikirlerinden çok bir grup uzmanın görüşeri ele alınır... Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 9
Objektif (Nesnel) Tahmin Yöntemleri Bir veri grubundan tahmin elde edilmesine çalışan yöntemlerdir. Nedensel Modeller Kaynaktan alınan veriler ile tahmin edilmeye çalışan veriler arasındaki ilişkiden faydalanır. Zaman Serileri Geçmiş veri paterninin gelecekte de devam edeceği öngörülür. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 10
Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde tanımlanan n değişkenin Y ile ilgili olduğu düşüncesinden hareketle; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu tanımlanır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki şekilde verilir (Ekonometrik modeller için): Y X X X 0 1 1 2 2... n n Burada 1,..., n katsayılardır. Bu katsayıların tespitinde en yaygın olarak kullanılan yöntem en küçük kareler yöntemidir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 11
Örnek-1 YIL x i y i YIL x i y i 1 9.098 5.492 12 11.307 5.907 2 9.138 5.540 13 11.432 6.124 3 9.094 5.305 14 11.449 6.186 4 9.282 5.507 15 11.697 6.224 5 9.229 5.418 16 11.871 6.496 6 9.347 5.320 17 12.018 6.718 7 9.525 5.538 18 12.523 6.921 8 9.756 5.692 19 12.053 6.471 9 10.282 5.871 20 12.088 6.394 10 10.662 6.157 21 12.215 6.555 11 11.019 6.342 22 12.494 6.755 x i ile hane başına harcanabilir gelir y i ile de perakende satışlar gösterilmiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 12
Örnek-1 Amaç y i =+x i doğrusunun tespit edilmesidir. Bunun için ve nın tahminleri olan a ve b en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilmeye çalışılır. b = a = y b x 1n x i y i n x y n x 2 i n 1 x 2 y a bx y 1922,39 0,3815x x y (tahmin) 15 1928,113 20 1930,020 25 1931,928 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 13
Doğrusal Regresyonun Açıklama Gücü Regresyon kullanılarak yapılan tahminin iyi bir tahmin olması için nedensellik ilişkisi kurulan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında regresyonun açıklama gücünün yüksek olması gerekir. Bunun tespiti için aşağıdaki tanımlamalar yapılır: BKT RKT HKT n i1 n i1 n i1 e y i yˆ i 2 i y y 2 2 Bütün Kareler Toplamı Regresyon Kareleri Toplamı Hata Kareleri Toplamı BKT RKT HKT R 2 RKT BKT 2 0 R 1 HKT =1- BKT Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 14
Örnek-1 Örneğimizde R 2 değeri; BKT 436.283 RKT 4.961.977 HKT 5.397.561 2 HKT 436283 R 1 1 0,919 0,92 BKT 5397561 Bu değerin anlamı; y i lerin %92 si, x i ler ile açıklanabilmektedir. Bu açıklama hayli başarılıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 15
Zaman Serileri Yöntemleri Zaman serisi, ilgilenilen bir büyüklüğün (ekonomik veya fiziksel) zaman içinde sıralanmış ölçümlerinin (geçmişteki) bir kümesi olarak tanımlanır. Çoğunlukla kullanılan zaman serisi biçimleri: Trend (eğilim) Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 16
Talep Talep Talep Talep Zaman Serileri Yöntemleri Rasgelelik Artan doğrusal trend Zaman Zaman Eğrisel Kareli, üstel Dönemsel, doğrusal Zaman Zaman Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 17
Dönemler Talepler Notasyon : 1,2,,t, : D 1,D 2,,D t, t. dönemde tahmin çalışması yapılıyor ise D t ve D t-1, dönemleri gözlenmiş, D t+1 dönemi ise henüz gözlenmemiştir. Bir tahmin iki dönemin tanımlanmasını gerektirir: Tahminin yapıldığı dönem ve Tahmin edilen dönem. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 18
Buna göre; F t,t+ Notasyon : t.dönemde tahmin çalışmasının yapıldığı, (t+).dönemin ise tahmin edildiğini gösterir. değeri 1,2,3, gibi değerler alır ve tahmin ufku olarak adlandırılır. Genellikle bir dönem sonraki dönem tahmin edilmeye çalışılacağından; F t =F t-1,t Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 19
Notasyon Zaman serisi yöntemleri gelecek değerlerin tahmin edilmesinde geçmiş verileri kullandığından birçok yöntem için aşağıdaki eşitlik yazılabilir: F t = n=1 a n D t n a 1, a 2, için Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 20
Tahminin Değerlendirilmesi Öncelikle t.dönemdeki tahmin hatası e t nin nasıl hesaplandığını görelim: Çoklu adım sonrası için; e t =F t-,t -D t Tek adım sonrası için aynı formül; e t =F t -D t şekline dönüşür. e 1, e 2,..., e n ile n dönem için her bir dönemde yapılan tahmin hatası gösterilsin. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 21
Tahminin Değerlendirilmesi Tahminin etkinliğinin gösterilmesinde iki önemli gösterge bulunur. Bunlar; MAD : Ortalama Mutlak Sapma (Mean Absolute Deviation) MSE : Ortalama Hatanın Karesi (Mean Squared Error) n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 22
Tahminin Değerlendirilmesi MAD yöntemi, kare almaya gerek olmadığı için genellikle tercih edilen bir yöntemdir. Ayrıca genellikle kabul gördüğü gibi tahmin hatalarının normal dağıldığı kabulünden hareketle tahmin hatasının standart sapması e MAD ın yaklaşık 1,25 katıdır. MAD ve MSE haricinde yaygın olarak kullanılan bir diğer tahmin etkinlik ölçüsü de MAPE yani Ortalama Mutlak Hata Yüzdesi dir. (Mean Absolute Percentage Error). n 1 e i MAPE *100 n i1 Di Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 23
Örnek-2 DDR ram üreten bir firmanın iki üretim merkezi vardır. Üretim merkezleri yöneticilerinden 6 hafta boyunca tek adımlık tahminler yapması istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıda sunulmuştur. Hangi yönetici daha etkili bir tahminde bulunmuştur? Hafta Tahmin_1 Gözlenen_1 Tahmin_2 Gözlenen_2 1 92 88 96 91 2 87 88 89 89 3 95 97 92 90 4 90 83 93 90 5 85 91 90 86 6 93 93 85 89 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 24
Örnek-2 MAD, MSE ve MAPE için hesaplanan sonuçlar aşağıda verilmiştir. Yön1 Yön2 MAD 2,8333 3,0000 MSE 13,1667 11,6667 MAPE 0,0325 0,0336 Neden MSE farklı? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 25
Tahminin Değerlendirilmesi Tahminlerin taraflı (biased) olmaması istenir. Matematiksel olarak E(e i )=0 şeklinde gösterilir. Bu durum yapılan tahmin hatalarının sıfırın altında ve üstünde dalgalanmasını gerektirir. Alternatif olarak e i değerine bakılır. 0 dan çok uzaklaşmaması gerekir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 26
Çalışma Sorusu-1 Aşağıda bilgisayarlar için Blu-Ray sürücü üreten bir firmanın geçmiş 12 haftalık satışları verilmiştir. Hafta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Satış 86 75 72 83 132 65 110 90 67 92 98 73 Buna göre; Tek adım sonrası için 3. haftadan 12.haftaya kadar tahminleri yapınız. (Tahminler en son iki dönemin ortalaması şeklinde yapılacaktır.) Tahmin hatalarını hesaplayınız. MAD, MSE ve MAPE nin değerini hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 27
Çalışma Sorusu-2 Aşağıda iki farklı tahmin yöntemi ile elde edilen tahmin sonuçları ile gerçekleşen veriler verilmiştir. Buna göre hangi yöntemin daha etkili olduğunu MAD, MSE ve MAPE kullanarak bulunuz. Sonuçları yorumlayınız. Yöntem1 Tahmini Yöntem2 Tahmini Gerçek Sonuç 223 210 256 289 320 340 430 390 375 134 112 110 190 150 225 550 490 525 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 28
Sabit Serilerin Tahmin Yöntemleri Bu kapsamda iki önemli teknik bulunur: Hareketli Ortalamalar Üstel Düzeltme Bir sabit zaman serisi, her bir gözlemi temsilen bir sabit ve bir rasgele dalgalanmanın toplamından oluşur: D t t : Seri ortalamasına karşılık gelen bilinmeyen sabit t : Ortalaması 0, varyansı 2 olan rasgele hata Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 29
Hareketli Ortalamalar Basit ama bir o kadar da popülerdir. N sıralı bir hareketli ortalama, basitçe en son N gözlemin aritmetik ortalaması olarak tanımlanabilir. F t, dönem (t-1) de dönem t için hesaplanan tahmin değeri ise; t1 1 1 t i t1 t2... tn N i t N N F D D D D Kısaca MA(N) şeklinde gösterilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 30
Örnek-3 Bir hava üssünde son 2 yıl için kayıt altına alınmış 3 er aylık (dönemlik) motor arızaları; 200, 250, 175, 186, 225, 285, 305, 190 şeklindedir. 3 dönemlik ve 6 dönemlik hareketli ortalamalar kullanılarak sonraki döneme ait tahminlerin hesaplanması istenmektedir. 4.dönemden 8.döneme kadar tek adım sonrası tahminleri MA(3) ile, 7. ve 8. döneme ait tek adım sonrası tahminleri ise MA(6) ile hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 31
Örnek-3 200,250,175,186,225,285,305,190 MA(3) F 4 =(1/3)(200+250+175)=208 F 5 =(1/3)(250+175+186)=204 F 6 =(1/3)(175+186+225)=195 F 7 =(1/3)(186+225+285)=232 F 8 =(1/3)(225+285+305)=272 MA(6) F 7 =(1/6)(200+250+175+186+225+285)=220 F 8 =(1/6)(250+175+186+225+285+305)=238 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 32
Tartışma sorusu: Örnek-3 Hareketli ortalama yöntemi ile çoklu adım sonrası tahmin üretilebilir mi? Örnek-2 de 3.dönemde 6.dönem arızalarını tahmin edin. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 33
Hareketli Ortalamalar Hareketli ortalamaların bir diğer dezavantajı da, her bir yeni gözlem değeri elde edildikçe en son N gözlemin ortalamasının yeniden hesaplanma zorunluluğudur. Özellikle N değerinin çok büyük sayılara ulaşması durumunda bu durum çok sıkıcı olabilir. Hesaplamayı biraz kolaylaştırmak için; 1 F F D D N t1 t t tn İlk terimi çıkarıp, yeni terimi ilave et. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 34
Hareketli Ortalamalar Belirli bir dönem boyunca taleplerin 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 gibi kesin bir trend oluşturduğu bir durumu göz önüne alalım. Böyle bir durumda tek adım sonrası için MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayalım. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 35
Hareketli Ortalamalar Dönem Talep MA(3) MA(6) 1 2 - - 2 4 - - 3 6 - - 4 8 4-5 10 6-6 12 8-7 14 10 7 8 16 12 9 9 18 14 11 10 20 16 13 11 22 18 15 12 24 20 17 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 36
Hareketli Ortalamalar 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Talep MA(3) MA(6) Seride bir trend özelliği keşfedilirse, basit hareketli ortalama yöntemi ortaya çıkan tahmin gecikmesinden dolayı uygun bir yöntem olmaz. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 37
Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar Ağırlıklı ortalamalar yöntemi, hareketli ortalamalar yöntemine çok benzer. Temel fark, ağırlıklı ortalamalar yönteminde en güncel verilere daha fazla ağırlık verir. Örneğin; En gücel veri %40, daha önceki en güncel veri %30, daha önceki en güncel veri %20 ve daha önceki en güncel veri %10 ağırlık alır. Dikkat edilecek olursa ağırlıklar toplamı %100 olur. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 38
Örnek-4 Yanda verilen veriler ışığında en güncel veriye %50 ve geçmişe doğru %30 ve %20 ağırlık vererek ağırlıklı ortalamayı hesaplayınız. Dönem Talep 1 42 2 40 3 43 4 40 5 41 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 39
Örnek-4 Dönem Talep MA(3) Ağırlıklı MA(3) 1 42-2 40-3 43-4 40 (43+40+42)/3=41,6 0,50*43+0,30*40+0,20*42=41,9 5 41 (40+43+40)/3=41,0 0,50*40+0,30*43+0,20*40=40,9 6 (41+40+43)/3=41,3 0,50*41+0,30*40+0,20*43=41,1 Son gerçekleşen talebe verilen ağırlık fazla olduğundan tahmin bu veriye çok bağımlıdır. Bu sebeple ağırlıkların çok dikkatli seçilmesi gereklidir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 40
Çalışma Sorusu-3 Bir yedek parça deposundan 2009 yılında aylar bazında talep üzerine gönderilen parça miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir: Ay Talep (adet) Ay Talep (adet) Ocak 89 Temmuz 223 Şubat 57 Ağustos 286 Mart 144 Eylül 212 Nisan 221 Ekim 275 Mayıs 177 Kasım 188 Haziran 280 Aralık 312 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 41
Çalışma Sorusu-3 1. Tek adım sonrası için MA(3), MA(6) ve MA(12) ile Ocak 2010 ayının gönderi miktarını tahmin ediniz. 2. MA(4) ile tek adım sonrası tahminleri Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar hesaplayınız. 3. MA(4) ile Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar iki adım sonrası tahminleri hesaplayınız. (F t,t+ = F t+1 bütün 1 için.) 4. 2. ve 3. sorularda hesaplanan tahminle için MAD değerlerini hesaplayınız. Hangisinin daha iyi tahminler olduğunu belirleyiniz. (Tahmin teorisine göre hangisinin daha iyi sonuç vermesi gerekirdi?) 5. Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayınız. (N değerinin 3 ten 6 ya çıkarılmasının nasıl bir etkisi oldu?) 6. MA(1) ne anlama gelir? Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar olan verileri kullanarak MA(1) ve MA(4) tahminlerinin etkinliklerini hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 42
Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Diğer çok kullanılan bir yöntem de üstel düzeltmedir. Tahmin genel olarak aşağıdaki gibi formüle edilir: F D 1 F t t1 t1, talebin gözlenen değerinin bağıl (relative) ağırlığıdır. (1-) ise geçmiş gözlenen talep değerlerinin bir ağırlığı olarak düşünülebilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 43
Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Formül küçük bir düzenleme ile aşağıdaki şekilde yazılabilir: F D 1 F t t1 t1 F F D t1 t1 t1 F e 0 1 t1 t1 düzeltme sabiti (t-1). dönemde kestirim sonucu yüksek ise e t-1 pozitif olacağından yeni tahmin değeri düşer. (t-1). dönemde kestirim sonucu düşük ise e t-1 negatif olacağından yeni tahmin değeri yükselir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 44
Örnek-5 Örnek-3 de verilen geçmiş 2 yıllık uçak motoru arıza sayılarını ele alalım: 200,250,175,186,225,285,305,190 Daha önce hareketli ortalama ile hesaplanan tahminleri bu sefer üstel düzeltme ile kestirmeye çalışalım. Bunun için =0,1 alalım. Ayrıca 2.dönem tahminini hesaplamak için 1.dönem tahminine ihtiyaç duyulduğundan, 1.dönem tahminini bu dönemin gerçek değeri olan 200 olarak kabul edelim. Hesaplama kolaylığı sağlayan bu kabul, aslında önemli bir etkiye sahiptir. Bu etkiyi göz önüne alarak aslında birkaç dönemin gerçekleşen verilerinin aritmetik ortalamasının alınarak bu ortalamanın başlangıç tahmini olarak kullanılması daha uygun bir hareket tarzı olarak literatürde yerini almıştır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 45
Örnek-5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Hesaplama F t =F t-1 -*(F t-1 -D t-1 ) 1 200 200 F 1 değeri D 1 değerine eşit seçilir. 2 250 200 F 2 =200-0,1*(200-200) 3 175 205 F 3 =200-0,1*(200-250) 4 186 202 F 4 =205-0,1*(205-175) 5 225 200 F 5 =202-0,1*(202-186) 6 285 203 F 6 =200-0,1*(200-225) 7 305 211 F 7 =203-0,1*(203-285) 8 190 220 F 8 =211-0,1*(211-305) düzeltme sabitinin etkisine dikkat ediniz. Gerçek değerler yüksek farklılıklar barındırsa da, tahmin değerleri daha stabildir. düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 46
Örnek-5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Tahmin =0,4 1 200 200 200 2 250 200 200 3 175 205 220 4 186 202 202 5 225 200 196 6 285 203 207 7 305 211 238 8 190 220 265 düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? Bu durumda tahmin farklılıkları artar. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 47
Örnek-5 350 300 250 200 Arıza alfa=0,1 alfa=0,4 150 1 2 3 4 5 6 7 8 =0,1 ve =0,4 tahmin üzerinde farklı etkilere sahiptir. 0,1 değeri daha düzgün bir tahmin profili verirken, 0,4 değeri daha büyük tahmin farklılıklarına neden olur. Planlama amaçlarına uygun olarak küçük değerleri daha caziptir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 48
Örnek-5 Şimdi ise aynı arıza sayıları kullanılarak MA(3) ve ES(0,1) tahmin yöntemlerinin performanslarını inceleyelim. MA(3) 4.dönemden başladığından karşılaştırma 4.dönemden itibaren başlayacaktır. Dönem Arıza MA(3) Hata ES(0,1) Hata 4 186 208 22 202 16 5 225 204 21 201 24 6 285 195 90 203 82 7 305 232 73 211 94 8 190 272 82 220 30 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 49
Örnek-5 n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Ölçüt Sonuç MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 MSE 4215,6 3458,4 MAPE 24,0 18,9 Görüldüğü gibi ES(0,1) yöntemi çok daha iyi sonuçlar vermiştir. Ancak bu durum her zaman bu şekilde gerçekleşmeyebilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 50
Karşılaştırılabilir Parametrelerin Hesabı Örneğimizde karşılaştırılan yöntemlerde kullanılan N=3 ve =0,1 parametreleri birbirleri ile karşılaştırılmak için tutarlı mıdır? 300 270 240 210 Görüldüğü gibi, MA(3) daha büyük farklılıklar oluşturur. Bu sebeple bir tutarlılıktan bahsetmek doğru olmayacaktır. 180 4 5 6 7 8 MA(3) ES(0,1) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 51
Karşılaştırılabilir Parametrelerin Hesabı ve N için tutarlı değerlerin tespit edilmesi için kullanılan iki farklı yol vardır: Ortalama Yaş Hesabı Hareketli Ortalama için; Ort.Yaş=(1/N)(1+2+3+ +N)=(N+1)/2 Üstel Düzeltme için; Ort.Yaş i1 i 1 i1 1 N 1 1 2 veya N 2 2 N 1 =0,1 için N=19 N=3 için =0,5 olmalıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 52
Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Benzerlikler 1. Her iki yöntem de talep sürecinin sabit olduğunu kabul eder. D t =+ t 2. Her iki yöntemde de tek bir parametre bulunur. N ve Küçük N veya büyük son veriye daha fazla ağırlık verirken büyük N veya küçük geçmiş veriye daha fazla ağırlık verir. 3. Her ikisi de, gözlenen veride bir bulunuyorsa gecikmeye sebep olur. trend özelliği 4. =2/(N+1) olduğunda her iki yöntemin tahmin hataları aynı dağılıma sahiptir. Bu durum her iki yöntemin de aynı tahminleri üreteceği anlamına gelmez. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 53
Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Farklılıklar 1. Üstel düzeltme ile hesaplanan kestirimler geçmiş bütün verilerin ağırlıklı bir ortalaması iken hareketli ortalamalar sadece son N dönemin ağırlıklı ortalamasıdır. Bu durum, hareketli ortalamalar açısından bir üstünlük sağlar. Neden? 2. Hareketli ortalama yönteminin kullanılması için sistemde N geçmiş verinin saklanması gerekir. Üstel düzeltme için sadece en son tahminin saklanması yeterlidir. Bu durum, üstel düzeltme açısından önemli bir avantaj sağlar. Neden? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 54
Çalışma Sorusu-4 Güneş enerjisi ile çalışan hesap makineleri üreten bir firma geçmiş dört aylık satış rakamlarını aşağıdaki gibi açıklamıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 23,3 Mart 30,3 Şubat 72,3 Nisan 15,5 a. Eğer Ocak için yapılan tahmin 25 ise, tek adım sonrası için Şubat Mayıs arası için üstel düzeltme yöntemi ile tahminleri hesaplayınız (=0,15 ve =0,40). b. =0,15 ve =0,40 ile yapılan tahminler için MSE değerini hesaplayınız. Hangi seçeneğin daha etkili bir tahminde bulunulduğunu belirtiniz. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 55
Trend Tabanlı Yöntemler Eğer gözlenen verilerde bir trend varsa hareketli ortalama ve üstel düzeltme yöntemlerinin bir gecikmeye sebep olduğu belirtilmişti. Bu sebeple bu tür bir durumda kullanılmak üzere iki farklı yöntemden bahsedilecektir. Regression Analizi İkili Düzeltme (Holt) Yöntemi Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 56
Regression Analizi (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) X ve Y değişkenlerine ait veri noktalarını temsil etsin. x i X in y i de Y nin geçmişte gözlenen verilerdir. Y bağımlı, X ise bağımsız değişkendir. Yöntemde, X ve Y arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Ŷ a bx Yˆ Y nin tahmin değeridir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 57
Regression Analizi Yöntemin amacı tahmin hatasının karelerinin toplamını en küçükleyen a ve b değerlerinin hesaplanmasıdır. Tahmin hatası ile trend doğrusu arasındaki hatalar aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 58
Regression Analizi Regression analizi uygulandığında, bağımsız değişken genellikle zaman olarak alınır. Bağımlı değişken ise tahminin kendisidir. Dönemler : 1,2,,n Talepler : D 1,D 2,,D n a ve b nin en iyi (optimal) değerleri (yöntem-1) b S S xy xx a D b n 1 2 n n nn ( 1) S n id D S xy i i i1 2 i1 xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 2 2 2 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 59
Regression Analizi a ve b nin en iyi (optimal) değerleri ayrıca aşağıdaki şekilde de hesaplanabilir (yöntem-2). 2 2 n n xy x y y b x b a y bx n x x Tahmin için aşağıdaki eşitlik kullanılır: Dˆ a b* t t Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 60
Uçak arızaları: Örnek-6 n n nn ( 1) S n id D xy i i i1 2 i1 2 2 2 200,250,175,186,225,285,305,190 İlk beş periyodu regression analizi için kullanacağız S xy = 5*(1*200+2*250+3*175+4*186+5*225) -15*(200+250+175+186+225) = -70 S xx = ((25*6*11)/6)-(25*36)/4 = 50 S xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 Sxy 70 7 b S 50 5 xx n 1 7 a D b 207, 2 *3 211, 4 2 5 ˆ 7 Dt 211, 4 * t 5 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 61
Örnek-6 Regression analizi sonucu elde edilen trend denklemi, 5 ve daha ilerisi periyotlardaki arızaların tahmin edilmesi için kullanılır. Örneğin 8.dönem tahminini aşağıdaki şekilde tespit edebiliriz; 7 Dˆ 8 211, 4 *8 5 200,2 Ancak 7.dönemde, 8.dönem tahmini istenirse bu durumda daha önce yapılan hesaplamaların 7 dönem için tekrarlanması gerekir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 62
Çalışma Sorusu-5 Bir otopark işletmesi, Ocak 2010 dan başlamak üzere altı aylık devamlı müşteri sayılarını kayıt altına almıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 133 Nisan 640 Şubat 183 Mayıs 1876 Mart 285 Haziran 2550 a. Regression eşitlikleri yardımıyla a ve b değerlerini bulunuz. b. Temmuz 2010 için hesaplanan tahmin ne kadardır? c. Elde ettiğiniz sonucu grafik üzerinde tartışınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 63
Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile) Holt metodu, zaman serilerinin, doğrusal trend ile izlenmesi için tasarlanmış bir yöntemdir. Yöntem (seri için) ve (trend için) olmak üzere iki düzeltme katsayısının belirlenmesini gerektirir. Aşağıdaki eşitlikler kullanılır: S t G t D t ( S (1 )( S t S t1 ) t1 G t1 (1 ) G ) t1 t anındaki kesişme değeri tahmini t anındaki eğim tahmini Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 64
Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile) adım ötesi için tahmin aşağıdaki eşitlik ile elde edilir: F t,t+ = S t +G t F t,t+1 = S t +1*G t = S t +G t Ayrıca ve arasında genellikle gibi bir ilişki söz konusudur. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 65
Örnek-7 Tekrar, motor arızası problemine dönersek; 200,250,175,186,225,285,305,190 = = 0,1 olarak belirlenmiş olsun. S 1 ve G 1 değerlerinin hesaplanmasında belirli olması gereken S 0 ve G 0 değerleri için aşağıdaki kabulü yapalım: S 0 =200 ve G 0 =10 D ( S S 1 = 0,1*200+0,9*(200+10) = 209 G 1 = 0,1*(209-200)+0,9*10 = 9,9 S t G t t (1 )( S t S t1 t1 G t1 ) (1 ) G ) t1 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 66
Örnek-7 S t G t D t ( S (1 )( S t S t1 t1 G t1 ) (1 ) G ) t1 200,250,175,186,225,285,305,190 S 2 = 0,1*250+0,9*(209+9,9)= 222,01 G 2 = 0,1*(222,01-209)+0,9*9,9 = 10,211 S 3 = 0,1*175+0,9*(222,01+10,211) = 226,499 G 3 = 0,1*(226,499-222,01)+0,9*10,211 = 9,639 S 4 = 0,1*186+0,9*(226,499+9,639) = 231,124 G 4 = 0,1*(231,124-226,499)+0,9*9,639 = 9,137 S 5 = 0,1*225+0,9*(231,124+9,137) = 238,735 G 5 = 0,1*(238,735-231,124)+0,9*9,137 = 8,985 S 6 = 0,1*285+0,9*(238,735+8,985) = 251,448 G 6 = 0,1*(251,448-238,735)+0,9*8,985 = 9,358 S 7 = 0,1*305+0,9*(251,448 + 9,358) = 265,225 G 7 = 0,1*(265,225-251,448)+0,9*9,358 = 9,800 S 8 = 0,1*190+0,9*(265,225 + 9,800) = 266,522 G 8 = 0,1*(266,522-265,225)+0,9*9,800 = 8,949 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 67
Örnek-7 Dönem Arıza Tahmin Hata 4 186 236,1 50,1 5 225 240,3 15,3 6 285 247,7 37,3 7 305 260,8 44,2 8 190 275,0 85,0 MAD 1 n n i1 e i 50,1 15,3 37,3 5 44,2 85,0 46,38 Sonuç Ölçüt MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 Holt Yöntemi MA(3) ve ES(0,1) yöntemine göre daha iyi bir sonuç vermiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 68
Örnek-7 Önceki hesaplamalar tek adım sonrası için tahminleri içermektedir. F 2,5 =? F 2,5 =S 2 +(3)*G 2 = 222,01+(3)*(10,211) = 252,643 Holt metodunun başlangıç (S 0 ve G 0 ) değerlerinin tahmin edilmesinde herhangi bir değeri kabul etmek uygun bir yaklaşım değildir. Bunun yerine belirli bir dönemi ele alarak örneğin Regression Analizi yardımıyla kesim noktası ve eğim (a ve b) bulunmaya çalışılabilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 69
Çalışma Sorusu-6 Çalışma Sorusu-5 i ele alalım. (Otopark örneği) ˆ D t Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 133 Nisan 640 Şubat 183 Mayıs 1876 Mart 285 Haziran 2550 500,54* t 807,4 b 500,54ve a 807,4 a. Bu değerleri Holt yöntemi için başlangıç değeri olarak kullanarak, Temmuz ve Ağustos için gözlenen değerleri sırasıyla 2150 ve 2660 alarak kesişim ve eğim değerlerini güncelleyiniz. (=0,15 ve =0,10) b. Tek adım ve iki adım ötesi için ayrı ayrı Eylül ve Ekim tahminlerini Holt Yöntemi ile hesaplayınız. c. Temmuzda Aralık için yapılan tahminin sonucu kaçtır? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 70