EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siir Üniversiesi Elekrik-Elekronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kiabı): Fundamenals of Elecric Circuis Charles K. Alexander Mahew N.O. Sadiku McGraw Hill, 5h ediion ISBN: 978-0073380575, 2013.
6. Bölüm: Kondansaör ve İndükans 6.1 Giriş Şimdiye kadar dirençli devreleri inceledik. Bu bölümde, iki önemli pasif lineer devre elemanını inceleyeceğiz: Kondansaör ve indükans. Enerji ükeen dirençen farklı olarak, kondansaör ve indükans enerjiyi ükemez, ancak bir süre sonra geri alınabilecek şekilde enerjiyi depolar. Bu nedenle, kondansaör ve indükans enerji depolama elemanları olarak isimlendirilir. Dirençli devrelerin uygulaması oldukça sınırlıdır. Bu bölümde, kondansaör ve indükansı inceleyerek daha önemli ve praik devrelerin analizini yapabileceğiz. 3. ve 4. bölümdeki devre analizi ekniklerinin aynı şekilde kondansaör ve indükanslı devrelere de uygulanabildiği göserilecekir. Kondansaörlerin seri veya paralel bağlanıları ile indükansların seri veya paralel bağlanılarını inceleyeceğiz. Uygulamalarda ise, kondansaörlerle op-amp ların birleşirilerek inegral alıcı ve ürev alıcı devrelerin nasıl yapıldığını açıklayacağız. 2
6.2 Kondansaör Kondansaör, kendi elekrik alanında enerji depolamak için asarlanan pasif elemandır. Dirençlere göre, kondansaörler daha yaygın olarak kullanılan elekriksel bileşenlerdir. Kondansaörler elekronik, haberleşme, bilgisayar ve güç sisemlerinde yaygın bir şekilde kullanılır. Örneğin, radyo alıcılarının ayar devrelerinde ve bilgisayar sisemlerinde dinamik hafıza elemanı olarak kullanılır. Tipik bir kondansaör devresi Şekil 6.1 de göserilmişir. Bir kondansaör, bir yalıkan (veya dielekrik) ile ayrılmış iki ileken levhadan oluşur. 3
Birçok praik uygulamada, plakalar alüminyum folyo olabilirken, dielekrik malzeme ise hava, seramik, kağı veya mika olabilir. Şekil 6.2 deki gibi kondansaöre bir v gerilim kaynağı bağlandığında kaynak, bir plaka üzerinde q poziif yükü ve diğer plaka üzerinde q negaif yükü birikirir. Kondansaör, bu elekrik yükünü depolar. Depolanan yükün mikarı, q ile göserilir ve yük uygulanan v gerilimi ile doğru oranılıdır. q = Cv C, kapasie olarak bilinen oransal sabiir. Kapasienin birimi farad (F) dır. Bu denklemden aşağıdaki anımı elde ederiz: Kapasie, kondansaörün bir plakasındaki yükün iki plaka arasındaki poansiyel farka oranıdır. (1 farad = 1 coulomb/vol) 4
Bir kondansaörün C kapasiesi, q yükünün uygulanan gerilime oranı olmasına rağmen, kapasie q veya v ye bağlı değildir. Kapasie, kondansaörün fiziksel boyularına bağlıdır. Örneğin, Şekil 6.1 de göserilen paralel plakalı kondansaör için kapasie aşağıdaki formül ile hesaplanır: C = εa d Burada, A her bir plakanın yüzey alanı, d plakalar arasındaki uzaklık ve ε plakalar arasındaki dielekrik malzemenin bağıl geçirgenliğidir. Bu denklem sadece paralel plakalı kondansaörlere uygulanmasına rağmen, genel olarak kapasienin değerini üç fakör belirler: 1. Plakaların yüzey alanı; daha büyük alan, daha büyük kapasie. 2. Plakalar arasındaki mesafe; daha küçük mesafe, daha büyük kapasie. 3. Malzemenin bağıl geçirgenliği; daha yüksek bağıl geçirgenlik, daha büyük kapasie. 5
Kondansaörlerin icari olarak farklı değerleri ve ipleri mevcuur. Tipik olarak, kondansaörlerin pikofarad (pf) ile mikrofarad (μf) aralığında değerleri vardır. Kondansaörler dielekrik malzemeyle anımlanır, sabi veya değişken ipe imal edilirler. Şekil 6.3 e sabi ve değişken kondansaörlerin devre sembolleri göserilmişir. Pasif işare dönüşümüne göre; v > 0 ve i > 0 veya v < 0 ve i < 0 ise, kondansaör şarj olur ve v. i < 0 ise kondansaör deşarj olur. 6
Şekil 6.4 e sabi değerli kondansaörlerin genel ipleri göserilmişir. Polyeser kondansaörler ağırlıka hafif, sağlam ve sıcaklıkla değişimi önceden ahmin edilebilir. Polyeser yerine, mika ve polisirin gibi dielekrik malzemeler kullanılabilir. Elekroliik kondansaörler çok yüksek kapasieli üreilir. Şekil 6.5 e değişken kondansaörlerin yaygın ipleri göserilmişir. Değişken kondansaörler değişik isasyonları ayarlamak için radyo alıcılarında kullanılır. Ayrıca, faz kaydırma, enerji depolama, sar moorları ve gürülü basırmada da kullanılır. 7
Kondansaörün akım-gerilim ilişkisini elde emek için, q = Cv denkleminin her iki arafının ürevini alırız. dq Burada, i = dq yazarak, = C dv i = C dv elde edilir. Bu, bir kondansaör için akım-gerilim ilişkisidir. Şekil 6.6 da bir kondansaör için kapasiesinin gerilimden bağımsız olduğu göserilmişir. Bu denklemi sağlayan kondansaörler lineer olarak isimlendirilir. Nonlineer bir kondansaörde akım-gerilim ilişkisinin çizimi düz bir çizgi olmaz. Bazı kondansaörler nonlineer olmasına rağmen, genellikle lineerdir. Bu derse kondansaörleri lineer kabul edeceğiz. 8
Kondansaörün gerilim-akım ilişkisi i = C dv denkleminin her iki arafının inegralinin alınmasıyla elde edilebilir: v = 1 i τ dτ C veya v = 1 i τ dτ + v( C 0 ) 0 Burada v 0 = q( 0 ) C olmak üzere, 0 zamanında kondansaörün uçlarındaki gerilimdir. Yukarıdaki denklem, kondansaörün geriliminin geçmişeki kondansaör akımına bağlı olduğunu göserir. Bundan dolayı, kondansaörün hafızası vardır, çoğu kez faydalanılan bir özellikir. Kondansaöre verilen anlık güç, p = vi = Cv dv 9
Kondansaörde depolanan enerji, w = p τ dτ = C v dv dτ = C dτ vdv v() v( ) = 1 2 Cv2 v() v( ) Kondansaör = da şarj edilmemiş olduğundan v = 0 olur. Böylece, w = 1 2 Cv2 elde edilir. q = Cv kullanılarak, w = q2 2C yazılabilir. Bu denklemler, kondansaörün plakaları arasında mevcu olan elekrik alanında enerji depoladığını gösermekedir. İdeal bir kondansaör enerji ükeemeyeceğinden bu enerji geri verilebilir. Aslında kapasiör (capacior) kelimesi, bu elemanın enerji depolama kapasiesinden (capaciy sore) elde edilir. 10
Bir kondansaörün önemli özellikleri: 1. Yukarıda verilen i = C dv denkleminden, bir kondansaörün uçlarındaki gerilim zamanla değişmediğinde (yani dc gerilim), kondansaörden geçen akım sıfır olur. (i = 0) Bir kondansaör doğru akımda açık devredir. Bununla birlike, bir baarya (dc gerilim) bir kondansaörün uçlarına bağlanırsa, kondansaör şarj olur. 2. Kondansaördeki gerilim sürekli olmalıdır. Bir kondansaördeki gerilim aniden değişemez. Kondansaör uçlarındaki gerilimin aniden değişmesine karşı koyar. i = C dv denklemine göre, gerilimdeki süreksiz bir değişim sonsuz bir akım akmasını gerekirir ki, bu fiziksel olarak mümkün değildir. Örneğin, bir kondansaörün uçlarındaki gerilim Şekil 6.7(a) da göserildiği şekilde alınabilir. Ancak ani değişimler olduğundan kondansaör geriliminin Şekil 6.7(b) de göserildiği şekilde alınması fiziksel olarak mümkün değildir. 11
Bir kondansaörün önemli özellikleri: Diğer arafan, bir kondansaörden geçen akım anlık olarak değişebilir. 3. İdeal kondansaör enerji ükemez. Kendi elekrik alanında enerji depolarken devreden güç alır ve devreye güç verirken önceden depoladığı enerjiyi iade eder (geri verir). 4. İdeal olmayan kondansaörün Şekil 6.8 de göserildiği gibi kaçak direnci paralel olan bir modeli vardır. Kaçak direnç 100 MΩ gibi yüksek bir değer olabilir ve birçok praik uygulamada ihmal edilebilir. 12
6.3 Seri ve Paralel Kondansaörler Seri-paralel birleşiminin dirençli devrelerin indirgenmesinde güçlü bir araç olduğunu görmüşük. Bu yönem, kondansaörlerin seri-paralel bağlanılarına da uygulanarak ek eşdeğer bir C eş ile göserilebilir. Paralel bağlı N kondansaörün C eş eşdeğer kapasiesini elde emek için Şekil 6.14(a) daki devreyi göz önüne alalım. Eşdeğer devre Şekil 6.14(b) de verilmişir. Kondansaörlerin uçlarında aynı v gerilimi vardır. Şekil 6.14(a) ya KAK uygulanırsa, i = i 1 + i 2 + i 3 + + i N elde edilir. 13
i = C dv olduğundan, i = C 1 dv + C 2 dv + C 3 dv + + C N dv = N k=1 C k dv = C eş dv C eş = C 1 + C 2 + C 3 + C N Paralel bağlı N kondansaörün eşdeğer kapasiesi, ayrı ayrı kapasielerinin oplamıdır. Kondansaörlerin paralel bağlanmasını dirençlerin seri bağlanması gibi görüyoruz. Şekil 6.15(a) daki devreyi Şekil 6.15(b) deki eşdeğer devreyle karşılaşırarak seri bağlı N kondansaörün C eş eşdeğer kapasiesini elde ediyoruz. Kondansaörlerden aynı akım geçecekir. Şekil 6.15(a) daki çevreye KGK uygulanırsa, v = v 1 + v 2 + v 3 + + v N 14
v = 1 C 0 i τ dτ + v( 0 ) olduğundan, v = 1 i τ dτ + v C 1 ( 0 ) + 1 i τ dτ + v 1 0 C 2 ( 0 ) + + 1 i τ dτ + v 2 0 C N 0 N = 1 + 1 + + 1 i τ dτ + v C 1 C 2 C 1 0 + v 2 0 + + v N ( 0 ) N 0 = 1 i τ dτ + v C 0 eş 0 1 C eş = 1 C 1 + 1 C 2 + + 1 C N Seri bağlı kondansaörlerin eşdeğer kapasiesi, ayrı ayrı kapasielerinin erslerinin oplamının ersidir. Kondansaörlerin seri bağlanması dirençlerin seri bağlanması gibidir. N = 2 (seri bağlı iki kondansaör) için eşdeğer kapasie: 1 C eş = 1 C 1 + 1 C 2 veya C eş = C 1C 2 C 1 +C 2 0 15
6.4 İndükans İndükans, kendi manyeik alanında enerji depolamak için asarlanan pasif elemandır. İndükans, elekronike ve güç sisemlerindeki çeşili uygulamalarda bulunur. İndükanslar güç kaynaklarında, ransformaör, radyo, elevizyon, radarlar ve elekrik moorlarında kullanılır. Elekrik akımı aşıyan herhangi bir ilekenin indükif özelliği vardır ve bir indükans olarak görülebilir. Faka indükif ekiyi arırmak için, Şekil 6.21 de göserildiği gibi praik bir indükans genellikle birçok sarımlı ileken elden oluşan silindirik bir bobin şeklinde yapılır. 16
İndükans ileken ellerden oluşan bir bobindir. Bir indükansan akım geçmesine izin verilirse, indükansın uçlarındaki gerilim akımın değişiminin zamana oranı ile doğru oranılı olarak bulunur. v = L di Burada, L indükans olarak isimlendirilen oransal sabiir. İndükansın birimi henry (H) dir. 1 henry = 1 vol-saniye/amper İndükans, içinden geçen akımın değişimine karşı koyan bir elemandır. İndükans, bobinin fiziksel boyuuna ve yapısına bağlıdır. Farklı şekillerdeki indükans hesabı için gerekli formüller elekromanyeik eoriden elde edilir. Örneğin, Şekil 6.21 de göserilen indükans (solenoid) için, L = N2 μa l Burada N sarım sayısı, l uzunluk, A kesi alanı ve μ çekirdeğin geçirgenliğidir. Bu denklemden, bobinin sarım sayısının arırılması, çekirdek olarak daha yüksek geçirgenliğe sahip malzeme kullanılması, kesi alanının arırılması veya bobinin uzunluğunun azalılmasıyla indükansın arabileceğini görebiliriz. 17
Kondansaörler gibi, indükansların da icari olarak farklı değerleri ve ipleri mevcuur. Praik indükansların ipik olarak, haberleşme sisemlerinde olduğu gibi az mikarda mikrohenry (μh) den başlayarak değerleri vardır. Güç sisemlerinde ise on henry (H) lerde değerleri vardır. Çekirdek, demir, çelik, plasik veya hava olabilir. Genel indükanslar Şekil 6.22 de göserilmişir. Şekil 6.23 e indükansların devre sembolleri göserilmişir. 18
v = L di denklemi indükansın gerilim-akım ilişkisini verir. Şekil 6.24 indükansın akımdan bağımsız olduğu bu ilişkiyi grafiksel olarak gösermekedir. Böyle bir indükans, lineer indükans olarak bilinir. Nonlineer bir indükans için, indükans akım ile değişiğinden dolayı yukarıdaki denklemin çizimi düz bir çizgi olmayacakır. Bu derse indükansları lineer kabul edeceğiz. v = L di i = 1 L i = 1 L denkleminden akım-gerilim ilişkisi, di = 1 L v arafın inegralinin alınmasıyla, v τ dτ v τ dτ + i 0 0 olur. Her iki Burada, i 0 akımı < < 0 için oplam akımdır ve i = 0 dır. İndükansan akım geçirilmemişse geçmişeki bir zamanda i = 0 olmak zorundadır. 19
İndükans kendi manyeik alanında enerji depolamak için asarlanır. Depolanan enerji, v = L di denkleminden elde edilebilir. İndükansa verilen güç, Depolanan enerji, w = i p τ dτ = L = 0 olduğundan, p = vi = di idτ = L L di w = 1 2 Li2 i idi = 1 2 Li2 1 2 Li2 20
Bir indükansın önemli özellikleri: 1. Yukarıda verilen v = L di denkleminden, akım sabi olduğunda indükansın uçlarındaki gerilim düşümü sıfır olur. (v = 0) Bir indükans doğru akımda kısa devre gibi davranır. 2. İndükansın önemli bir özelliği, içinden geçen akımdaki değişime karşı koymasıdır. Bir indükansan geçen akım aniden değişemez. v = L di denklemine göre, indükansan geçen akımdaki süreksiz bir değişim sonsuz bir gerilim gerekirir ki, bu fiziksel olarak mümkün değildir. Böylece, bir indükans içinden geçen akımın aniden değişmesine karşı koyar. Örneğin, bir indükansan geçen akım Şekil 6.25(a) da göserildiği şekilde alınabilir. Ancak süreksizliklerden dolayı indükans akımı Şekil 6.25(b) de göserildiği şekilde alınamaz. Bunula birlike, bir indükansın uçlarındaki gerilim anlık olarak değişebilir. 21
3. İdeal kondansaör gibi, ideal indükans enerji ükemez. Depoladığı enerjiyi bir süre sonra geri verebilir. İndükans enerji depolarken devreden güç alır ve önceden depoladığı enerjiyi geri verirken devreye güç verir. 4. Praik olarak, ideal olmayan indükansın Şekil 6.26 da göserildiği gibi önemli bir direnç bileşeni vardır. Bakır gibi ileken bir malzemeden yapıldığı için indükansın bir direnci vardır. Bu direnç, R w sarım direnci olarak isimlendirilir ve indükans ile seri bağlı olarak görünür. R w direncinin varlığı, indükansı hem enerji depolayan hem de enerji ükeen bir cihaz haline geirir. R w çok küçük olduğundan dolayı genellikle ihmal edilir. İdeal olmayan indükansın, ileken bobinler arasındaki kapasiif kuplajdan dolayı bir C w sarım kapasiesi de vardır. C w çok küçükür ve yüksek frekanslar hariç genellikle ihmal edilebilir. Bu derse, indükansları ideal kabul edeceğiz. 22
6.5 Seri ve Paralel İndükanslar Praik devrelerde bulunan seri bağlı veya paralel bağlı indükansların eşdeğer indükansını L eş ile göserebiliriz. Seri bağlı N indükansın eşdeğer indükansını elde emek için eşdeğer devresi Şekil 6.29(b) de göserilen Şekil 6.29(a) daki devreyi göz önüne alalım. İndükanslardan geçen akım aynıdır. Çevreye KGK uygulanırsa, v = v 1 + v 2 + v 3 + + v N elde edilir. v = L di olduğundan, 23
v = L 1 di + L 2 di + L 3 di + + L N = (L 1 +L 2 + L 3 + L N ) di = N k=1 di L k di = L eş di L eş = L 1 + L 2 + L 3 + L N Seri bağlı indükansların eşdeğer indükansı, ayrı ayrı indükanslarının oplamıdır. İndükansların seri bağlanması, aynen dirençlerin seri bağlanması gibidir. Paralel bağlı N indükansın eşdeğer indükansını elde emek için, eşdeğer devresi Şekil 6.30(b) de göserilen Şekil 6.30(a) daki devreyi göz önüne alalım. İndükansların uçlarındaki gerilim aynı olacakır. KAK kullanılarak, i = i 1 + i 2 + i 3 + + i N 24
i = 1 L 0 v + i 0 olduğundan, i = 1 v + i L 1 ( 0 ) + 1 v + i 1 0 L 2 ( 0 ) + + 1 v + i 2 0 L N ( 0 ) N 0 = 1 + 1 + + 1 v + i L 1 L 2 L 1 0 + i 2 0 + + i N ( 0 ) N = N 1 L k k=1 N 0 v + i k ( 0 ) 0 k=1 1 = 1 + 1 + + 1 L eş L 1 L 2 L N di = L eş = 1 v + i L 0 eş Paralel bağlı indükansların eşdeğer indükansı, ayrı ayrı indükanslarının erslerinin oplamının ersidir. İndükansların paralel bağlanması dirençlerin paralel bağlanması gibidir. N = 2 (paralel bağlı iki indükans) için eşdeğer indükans: 1 L eş = 1 L 1 + 1 L 2 veya L eş = L 1L 2 L 1 +L 2 0 25
Basi devre elemanlarının önemli karakerisikleri. 26
6.6.1 İnegral Alıcı Devre Enerji depolayan elemanların kullanıldığı inegral alıcı ve ürev alıcı devreler önemli devrelerdir. Bu op-amp devreleri genellikle direnç ve kondansaörden oluşur; indükanslar (bobinler) daha büyük ve pahalıdır. Op-amp inegral devresi sayısal uygulamalarda, özellikle analog bilgisayarlarda kullanılır. İnegral alıcı devre, giriş sinyalinin inegrali ile oranılı çıkış veren bir op-amp devresidir. Şekil6.35(a) daki faz çeviren kuvvelendiriciye benzer şekilde, R f geri besleme direncinin yerine bir kondansaör kullanarak Şekil6.35(b) daki bir ideal inegral alıcı devre elde ederiz. Bu yolla inegralin bir maemaiksel göseriminin elde edilebilmesi ilginçir. 27
Şekil 6.35(b) deki a düğümünde, i R = i C i R = v i, i R C = C dv 0 Buradan, v i R = C dv 0 dv 0 = 1 RC v i Her iki arafın inegrali alınırsa, v 0 v 0 0 = 1 RC v i τ 0 v 0 0 = 0 şarını sağlamak için, bir sinyal uygulamadan önce inegral alıcı devrenin kondansaörünü her zaman deşarj emek zorunludur. v 0 0 = 0 kabul edilerek, elde edilir. v 0 = 1 RC v i τ 0 dτ dτ 28
6.6.2 Türev Alıcı Devre Türev alıcı devre, giriş sinyalinin değişim oranı ile oranılı olarak çıkış veren bir op-amp devresidir. Şekil6.37 deki a düğümünde KAK uygulanırsa, i R = i C i R = v 0, i R C = C dv i Buradan, v 0 = RC dv i elde edilir. Bu denklem çıkışın, girişin ürevi olduğunu gösermekedir. Türev alıcı devreler, devre içinde bir elekriksel gürülü ürev alıcı devre arafından aşırı derecede arırıldığı için elekronik olarak kararlı olmayan devrelerdir. Praike bu devreler nadiren kullanılır. 29