hafta 6: Katlama işlemi özellikleri

Transkript

1 hafa 6: Kalama işlemi özellikleri 3.4 Kalama işlemi özellikleri Yer değişirme özelliği (Commuaive Propery) Dağılma özelliği (Disribuive Propery) Dağılma özelliği kullanarak karmaşık bir kalama işleminin basi hale indirgenmesine örnek Birleşme özelliği (Assocaive Propery) Doğrusal Zamanda Değişmez Sisem Özellikleri DZD bellekli ve belleksiz sisemler [LTI Sysems wih and wihou memory (memoryless)] DZD Nedensel sisemler (LTI, Casual sysems) DZD Kararlı sisemler (LTI Sable sysems) DZD Tersinir sisemler (LTI Inverse sysems) Kendini birim dürü zanneden sinyaller (Singulariy funcions) Sayfa 1

2 3.4 Kalama işlemi özellikleri Kesikli ya da sürekli zaman DZD-LTI bir siseme ai çıkış sinyalini hesaplarken kalama işleminin özelliklerini kullanabilirsiniz. Tüm bu özellikleri kullanırken unuulmaması gereken en önemli husus kalama işleminin sadece ve sadece doğrusal zamanla değişmez sisemler için geçerli olacağıdır. Doğrusal olmayan bir sisem için de dürü epkisi geçerli olacakır, diğer bir deyişle doğrusal olmayan bir sisemin girişine dürü uygulandığında çıkışında dürü epkisi gözlenecekir; ANCAK doğrusal olmayan bu sisem sadece dürü epkisi ile ifade edilemeyecekir, kalama işlemi doğrusal olmayan sisemde kullanılamayacakır Yer değişirme özelliği (Commuaive Propery) İser kesikli zamanda olsun, iser sürekli zamanda, kalama işleminin en basi ancak en emel özelliği yer değişirme özelliğidir. Eşilik 3.15 e sunulan denklem giriş sinyali ile DZD-LTI sisemin dürü epkisinin yer değişirebileceğini gösermekedir. Bunun praik olarak faydası kalama işleminin grafiksel olarak gerçekleşirilmesinde oraya çıkar. Kalama sırasında dilediğimiz sinyalin (dürü epkisi ya da giriş sinyali) ersini alabileceğimiz anlamına gelmekedir. Bu durumda Kesikli zaman doğrusal, zamanda değişmez sisemler için bir örnek bölümünde verdiğimiz üyolara ek olarak, grafiksel işlem ile kalama gerçekleşirirken dilediğimiz sinyalin y-eksenine göre simeriğini alabiliriz. İSPAT: y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] = x[k]h[n k] = h[k]x[n k] n k = r değişken dönüşümünü uygulayalım. Bu durumda k = n r elde edilir. k= k= y() = h() = h() = x(τ)h( τ) dτ = h(τ)x( τ) dτ (3.15) y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = x[n r]h[r] k= r= (3.16) Şimdi r yerine k değişkenini kullanıp Eşilik 3.16 yı organize edersek, y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = h[k]x[n k] = h[n] x[n] k= k= (3.17) Eşilik 3.17 ile Eşilik 3.15 in ıpaıp aynı olduğunu gösermiş oluruz. Sürekli zaman için ispa amamen aynı olduğu için yapılmayacakır Dağılma özelliği (Disribuive Propery) Kalama işlemi için geçerli olan bir diğer basi ama ekin özellik Eşilik 3.18 de verilen dağılma özelliğidir. y() = (h 1 () + h 2 ()) = h 1 () + h 2 () (3.18) Sayfa 2

3 İSPAT: y() = h() = h() = h(τ)x( τ) dτ, h() = h 1 () + h 2 () y() = (h 1 () + h 2 ()) = (h 1 (τ) + h 2 (τ))x( τ) dτ y() = h 1 (τ)x( τ) dτ + h 2 (τ)x( τ) dτ = h 1 () + h 2 () (3.19) Eşilik 3.19 daki ispaan açık ve ne olarak görülebileceği üzere dağılma özelliği ikiden çok sisem için de geçerli olacakır. Bu durumda dağılma özelliğinin fiziksel anlamı kendini paralel sisemlerde bulur. Şekil 3.13 e verilen paralel bağlı iki veya daha çok sisem ek bir sisem alında dağılma özelliği kullanılarak verilebilir. h 1 () y 1 () + y() h 2 () y 2 () a. h 1 () + h 2 () b. y() Şekil 3.13 Dağılma özelliğinin DZD-LTI sisemler için fiziksel anlamı. a. İki ayrı sisem ve b. Dağılma özelliği ile elde edilen ek bir sisem. Hazır ispalara başlamış iken dağılma özelliğini yer değişirme özelliği ile birleşirerek kullanırsak Eşilik 3.20 ye ulaşırız. Eşilik 3.20 anıdık gelmiş olmalı. Karmaşık bir giriş sinyalini, basi giriş sinyallerinin oplamı şeklinde ifade edebiliyor isek çıkış sinyali; sisemin, bu basi giriş sinyallerine verdiği çıkış sinyallerinin oplamı olur. y() = h() (x 1 () + x 2 ()) = x 1 () h() + x 2 () h() (3.20) Sayfa 3

4 Dağılma özelliği kullanarak karmaşık bir kalama işleminin basi hale indirgenmesine örnek Haberleşme eorisinde çok kullanılan ve öğrencilerin zaman bölgesinde olmasa da frekans bölgesinde kalamaka güçlük çekikleri sinyal Şekil 3.14 e verilmişir. Her ne kadar örnek çözümlü de olsa, çözümünü incelemeden kalama işlemini mulaka kendiniz gerçekleşirmeye çalışınız. Unumayınız kaç kere ve kaç farklı kişinin bisiklee bindiğini seyremek Size bisiklee binmeyi öğremez. Bisiklee kendiniz binip, en az bir kere düşmelisiniz. Aşağıdaki örneği çözerken birden fazla düşmeniz normal sayılabilir. h() 1 1 -T/2 T/2-2T -T -T 0 0 T T T 2T a. b. Şekil 3.14 a. h() ve b. sinyallerinin kalanması. Genel olarak herhangi bir sorunu çözerken dağılma özelliğinden faydalanabiliyor isek mulaka faydalanmalıyız. YANİ: Karmaşık bir problemi, birden çok basi problemin oplamı şeklinde ifade edebiliyor ve çözdüğümüz basi problemleri opladığımızda karmaşık problemin çözümüne ulaşabiliyor isek hayaı kolaylaşırmış oluruz. Kalama işleminin doğrusal ve zamanda değişmez olduğunu bildiğimizden ve dağılma özelliğinden dolayı karmaşık bir giriş sinyalini, basi giriş sinyallerinin oplamı şeklinde ifade edebilmemizden faydalanmak isersek, yukarıdaki problemi a) giriş sinyalini basi sinyal/sinyallerin oplamı olarak ifade edelim. b) Her bir basi giriş sinyali için kalama işlemini gerçekleşirelim. c) Kalama işlemlerinin oplamı bize aradığımız kalama işlemi sonucunu verecekir. Örnek soruyu felsefi yönden çözmüş bulunuyoruz. Şimdi maemaik kullanarak yordamın a) şıkkını çözelim. sinyali sürekli zamanda kaymış birim dürü sinyallerinin oplamından ibareir. a) giriş sinyalini basi sinyal/sinyallerin oplamı olarak ifade edelim, daha sonra oplamı oplama operaörü haline geirerek pekişirelim. Şekil 3.14.b de sunulan sinyalinden Eşilik 3.21.a ya, oradan da Eşilik 3.21.b ye geçiş yumuşak ve anlaşılır olmalıdır. Yordamın a) şıkkını anlamadan, b) şıkkını anlamak mümkün değildir. = + δ( 2T) + δ( T) + δ() + δ( + T) + δ( + 2T) + (3.21a) Sayfa 4

5 = k= δ( kt) (3.21b) b) Her bir basi giriş sinyali için kalama işlemini gerçekleşirelim. Mevcu durum iibarı ile h() sinyalini birim dürü sinyallerinden herhangi biri ile kalamak gerekmekedir. h() sinyalini örneğin δ() sinyali ile kaladığımızda ne elde ederiz? Umarım Eşilik 3.22 deki daha önce öğrendiklerimizi unumuyoruz. y() = x(τ)h( τ) dτ = h(τ)x( τ) dτ y() = h(τ)δ( τ) dτ = h() (3.22) Herhangi bir sinyali birim dürü sinyali ile kaladığımızda kendisini elde ederiz. Bu durumda sadece δ() sinyali ile kaladığımızda h() sinyalini elde emiş oluruz. Bu sinyal, Şekil 3.15 e göserilmiş olup, giriş sinyalinin =0 anındaki bileşeni nedeniyle oraya çıkığı için y 0 () olarak adlandırılacakır. y 0() -T/2 T/2 -T 0 T T Şekil 3.15 Şekil 3.14 e verilen h() sinyalinin δ() sinyali ile kalanması sonucu orayan çıkan sinyal. Kalama işlemine devam edersek sıra, sağa doğru gimemiz durumunda δ( T), sola doğru gimemiz durumunda ise δ( + T) sinyaline gelecekir. Nasıl olsa üm sinyaller ile ek ek kalayacağımıza göre hangi sinyal ile önce kaladığımızın hiçbir önemi yokur. Ben nedensel bir insan olduğum için δ( T) sinyaline öncelik vereceğim. Acaba δ( T) sinyali ile h() sinyalini kaladığımızda oraya ne çıkacakır? δ( T) sinyalini T kadar sola kaydırmamız durumunda δ() sinyalini elde ederiz. Bu sinyali h() sinyali ile kalar isek y 0 () sinyalini elde ederiz. Şimdi bu sinyali T kadar sağa kaydırmamız durumunda Şekil 3.16 da verilen kalama sonucunu elde ederiz. Kalama işleminin zamanda değişmezlik özelliğinden faydalandığımızı haırlamak iserim. Bu sinyali y T () olarak adlandırmayı uygun buluyorum. Sayfa 5

6 y -T() T/2 T 3T/2 -T 0 T T Şekil 3.16 Şekil 3.14 e verilen h() sinyalinin δ( T) sinyali ile kalanması sonucu orayan çıkan sinyal. Benzer şekilde = + δ( 2T) + δ( T) + δ() + δ( + T) + δ( + 2T) + sinyalinin üm bileşenleri için sırasıyla y() = + h 2T () + h T () + h 0 () + h T () + h 2T () + sinyalini elde ederiz. y() sinyali Şekil 3.17 de verilmişir. y() -T/2 0 T/2 T 3T/2 -T 0 T T Şekil 3.17 Şekil 3.14 e verilen h() sinyalinin sinyali ile kalanması sonucu orayan çıkan sinyal Birleşme özelliği (Assocaive Propery) Kalama işlemi için geçerli olan bir diğer basi ama ekin özellik Eşilik 3.23 e verilen birleşme özelliğidir. y() = (h 1 () h 2 ()) = ( h 1 ()) h 2 () = h() (3.23) Bu özellik, Şekil 3.18 de (kalamanın birleşme özelliğinde) göserildiği üzere birbirine (cascade) seri bağlı iki doğrusal zamanda değişmez sisemin aslında ek bir sisem alında birleşirilebileceğini gösermekedir. Aynı zamanda birden fazla doğrusal zamanda değişmez sisem bulunduğunda ilk sisemin çıkışının ikinci sisemin girişi olarak incelenmesini kolaylaşıracakır. Bir önceki bölümde incelendiği üzere yer değişirme ve dağılma özellikleri ile birlike incelemek mümkündür. Sayfa 6

7 h 1 () h 2 () y() h() = h 1 () h 2 () y() h() = h 2 () h 1 () y() h 2 () h 1 () y() Şekil 3.18 Kalamanın birleşme özelliği. 3.5 Doğrusal Zamanda Değişmez Sisem Özellikleri Bu bölümde sürekli zaman doğrusal zamanda değişmez sisemlerine ai özellikler açıklanacak, bu sisemlere ai maemaiksel anımlar verilecek ve en önemlisi bu modeller ile bu modellerin gerçek dünyada ifade eiği sisemler arasında bir köprü kurulacakır DZD bellekli ve belleksiz sisemler [LTI Sysems wih and wihou memory (memoryless)] Bir sisemin çıkışı, girişin SADECE o andaki değerlerine bağlı ise bu siseme belleksiz sisem denir. Bu durumda doğrusal zamanda değişmez siseme ai çıkış-giriş ilişkisi Eşilik 3.24 e verildiği gibi bir biçimde olmalıdır. Burada a sabi bir kasayı, dürü epkisi ise giriş sinyalinin sadece o anki değerlerinden oluşmalıdır. y() = a (3.24) Eşilik 3.24 e verilen sisem en basi belleksiz siseme güzel bir örnekir. Sisem çıkış sağlamak için girişin sadece o andaki değerine ihiyaç duyar, şimdi aşağıdaki denkleme bakmadan Eşilik 3.24 ile verilen sisem için sisemin dürü epkisini yazmanız beklenmekedir. Doğrusal zamanda değişmez bir sisem için dürü epkisi, giriş sinyalinin bir dürü olduğu durumdur. Bu durumda birim dürü yerine giriş sinyalini yazdığımızda, dürü epkisi çıkış sinyalini verecekir. h() = aδ() (3.25) Sayfa 7

8 3.5.2 DZD Nedensel sisemler (LTI, Casual sysems) Eğer bir sisemin çıkışı, girişin o an dâhil olmak üzere önceki değerlerine bağlı ise siseme nedensel (casual) sisem denir. Bu durumda Eşilik 3.25 e belleksiz sisemler için verdiğimiz dürü epkisi anımını nedensel sisemler için yapabilir misiniz? h() = 0, < 0 (3.26) Eşilik 3.26 da verilen sisemlere sağa yaslı (righ sided) sisemler denir. Bunun nedeni sisemin nedensel olabilmesi için dürü epkisinin sadece 0 ve sıfırdan sonraki değerleri içermesi gerekliliğidir. İSPAT: Doğrusal zamanda değişmez bir sisem için kalama inegralini alır isek: y() = x(τ)h( τ) dτ = h(τ)x( τ) dτ Sisemin nedensel olabilmesi için çıkış sinyalinin, giriş sinyalinin sadece o an ve o andan önceki değerlerine bağlı olması gerekir. Bu durumda inegralin sınırları negaif değerler içeremez. Aksi akdirde çıkış sinyalinin anındaki değeri için giriş sinyalinin anından sonraki değerlerine ( + τ) ihiyaç duyulur. y() = Eşilik 3.27 den açıkça görülebileceği üzere nedensel DZD bir sisem için 0 h(τ)x( τ) dτ (3.27) h(τ) = 0, τ < 0 olmalıdır. İSPAT burada biirilemez. Peki bu durumda yer değişirme özelliği hala daha geçerli midir? y() = h(τ)x( τ) dτ x(τ)h( τ) dτ 0 0 (3.28) Şüphesiz, Eşilik 3.28 in ikinci kısmı, giriş sinyalinin sadece zaman için sıfırdan büyük olduğu anların kullanımını gerekirmekedir. Bu nedenle yer değişirme özelliği nedensel DZD sisemler için bu şekilde anımlanamaz. PEKİ nasıl anımlanır? Basi bir değişken dönüşümü ile sonucu sizin bulmanızı bekliyorum. Bir ipucu daha vereyim, önce u = ( τ) değişken dönüşümü yapıp daha sonra (τ) = u değişken dönüşümü yapığınızda Eşilik 3.29 a ulaşmanız gerekir. y() = x(τ)h( τ) dτ = h(τ)x( τ) dτ 0 (3.29) Sayfa 8

9 Eşilik 3.29 u incelediğimizde harcadığınız mürekkep ve kâğıda değdiğini göreceksiniz. Çıkış sinyalinin anındaki değerini elde edebilmek için giriş sinyalinin anından önceki üm değerlerini kullanmamız gerekiği görülmekedir ki, bu am olarak nedensel sisemin anımı ile örüşmekedir. Bir kez daha maemaik olayın doğasını, fiziğini anlamamız için mükemmel bir araç olmuşur. Nedensel DZD sisemler için çıkış sinyalinin o anki değerini elde edebilmemiz için giriş sinyalinin sadece o an ve/veya o andan önceki değerlerini kullanmamız gerekmekedir. Giriş sinyalinin anından sonraki değerlerini kullanıyor olsa idik sisemi nedensel olarak adlandıramazdık. Tüm bu arışmalarımız sırasında nedensel DZD bir sisem ile bu siseme ai dürü epkisi sinyalinin nedensel olmasının aynı anlama geldiği açıkır. Bu durum, DZD sisemler için dürü epkisi sinyalinin sisemi beimlemek için ek başına yeerli olmasının doğal bir sonucudur DZD Kararlı sisemler (LTI Sable sysems) Kararlı Sisemler bölümüne geri dönersek, kararlı sisemler için: Sınırlı bir girişe sınırlı bir çıkış veren sisemlere kararlı sisemler denir. Bu anım, bizi dürü epkisi açısından acaba nereye göürür? < S üm değerleri için (3.30) Giriş sınırlı bir değere sahip ise üm zaman değerleri için giriş sinyali sınırlı bir S değerinden küçük olmalıdır. Bu durumda kalama inegralinin her iki arafının mulak değerini alırsak: y() = h(τ)x( τ) dτ Eşilik 3.31 üzerinde üçgen eşisizliğini uygular isek: y() h(τ) x( τ) dτ (3.31) (3.32) Giriş sinyalinin üm değerleri S den küçük olduğuna göre ve S bir sabi olduğuna göre inegral dışına çıkarılabilir. y() S h(τ) dτ (3.33) Kararlı bir sisem, sınırlı bir girişe sınırlı bir çıkış vereceğinden Eşilik 3.34 sağlanmalıdır. Diğer bir deyişle DZD bir sisem için; sınırlı bir girişin sınırlı bir çıkış verebilmesi için dürü epkisinin mulak inegrallenebilir (oplanabilir) (absoluely inegrable) olması, yani Eşilik 3.34 ü sağlaması gerekir. Sayfa 9

10 h(τ) dτ < (3.34) DZD bir sisemin sadece dürü epkisine bakarak kararlılığına karar verebilmek şaşırıcı olmamalıdır; ancak acaba sınırlı bir giriş nasıl olur da sınırlı olmayan bir çıkış sinyali üreebilir? Bu durumu anlamak için Eşilik 3.34 incelenmelidir. Eşilik 3.34 sağlanmadığında, giriş sınırlı bile olsa çıkış sınırlı olmayacakır. Aklınıza gelen böyle en az bir sisem var mıdır? DZD Tersinir sisemler (LTI Inverse sysems) Doğrusal zamanda değişmez bir sisemin ersinin olması; ilk siseme seri bağlanması durumunda ikinci sisemin çıkışının, ilk sisemin girişi ile aynı olması durumunda gerçekleşir. Şekil 3.19 da doğrusal zamanda değişmez bir ersinir sisem göserilmekedir. h() y() h 1 () y () = Ideniy (Özdeş) Sisem δ() Şekil 3.19 DZD ersinir sisem. Kalama işleminin birleşme özelliğini kullanırsak, y () = = ( h()) h 1 () = y() h 1 () = (h() h 1 ()) = δ() (3.35) Bu durumda h() h 1 () = δ() vermelidir. Diğer bir deyişle bir sisemin ersini aradığımızda elimizdeki sisemin dürü epkisini ne ile kalamalıyım ki birim dürü fonksiyonunu elde edeyim sorusunun cevabını aramaka oluruz. Hemen ifade emeliyim ki zaman bölgesinde çözümü kolay bir soru değildir. Frekans bölgesinin kullanışlı olduğu bir diğer alan da ersinir sisemlerdir; ancak bunun için sonraki bölümleri okumak gerekecekir. Sayfa 10

11 3.6 Kendini birim dürü zanneden sinyaller (Singulariy funcions) Doğrusal zamanda değişmez sisemler ve bu sisemlerin ayrılmaz bir büünü olan kalama inegrali denince akla ilk gelen birim dürü fonksiyonu olmalıdır Sürekli zamanda birim dürü ve birim basamak fonksiyonları bölümünde deaylı anlaıldığı üzere sürekli zaman birim dürü sinyali çoğu zaman kolaylıkla anlaşılamayan ve üzerinde çok haa yapılan sinyallerden biridir. Örnek olarak δ () fonksiyonunu ele alalım. Çok iyi biliyoruz ki herhangi bir sinyali birim dürü fonksiyonu ile kaladığımızda yine aynı sinyali (ya da fonksiyonu) elde ederiz. Bu durumda birim dürü sinyali ile birim dürü sinyalini kaladığımızda gene birim dürü sinyalini elde edeceğimiz açıkır. = δ() δ() = δ() δ() (3.36) Bu durumda acaba δ () δ () sonucunda ne elde ederiz? Şekil 3.20.a da δ () fonksiyonu göserilmekedir. Bu bölümün sonuna geldiğimizde bu sinyali kendi ile kalamayı başarabileceğinizden eminim. Ben yine de sonucu Şekil 3.20.b de vermeyi uygun buluyorum /dela 1.5 dirak dela() dela a. Sayfa 11

12 /dela o ne() *dela b. Şekil 3.20 a. δ () sinyali ve b. o ne () = δ () δ () kendini birim dürü zanneden sinyal. Kalama sonucunda çıkan sinyalden açıkça görüleceği üzere δ () fonksiyonunun kendi ile kalanması sonucunda δ () fonksiyonu oraya çıkmamışır. o ne () = δ () δ () δ () (3.37) Bu durumda δ () fonksiyonunun sürekli zaman birim dürü fonksiyonu olmadığı fikri mi oraya aılmalıdır? Bu gerçeken karışık bir durumdur, üselik çoğu öğrencinin kesikli zamanda inceleyelim, öyle anlarız, öyle çözeriz yaklaşımı yeersiz kalacakır (İserseniz bir de siz deneyin.). Bu durum sürekli zaman fonksiyonlarına özel bir durumdur. Özel durumlar, özel incelemeler gerekirir. Malum eşilik sadece limi durumda geçerlidir. lim (δ () δ ()) = limo ne () = lim δ () = δ() (3.38) Eşilik 3.38, bir basamak daha ileri göürülebilir. δ () fonksiyonu bu incelemenin konusu olan ek fonksiyon değildir, limi durumda δ() fonksiyonuna dönüşen üm fonksiyonları (örneğin o ne ()) kendini birim dürü zanneden sinyaller olarak adlandırabiliriz. Bizim için önemli olan limi durumda Eşilik 3.38 in varlığıdır. Deaylı arışma ve inceleme maemaik lieraüründe Disribuion Theory and Transform Analysis ve Generalised Funcions başlıkları alında yaygın olarak bulunabilir. Sayfa 12