Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda, trigonometrik oranları bulmak için özellikle üçgenler üzerinden istenilen sonuçlar elde edilebilir. Örnek olarak; 30 0 ve 60 0 nin trigonometrik oranlarını bulmak için, 30 0 60 0 90 0 üçgeni kullanılır: Sin 30 0 = 1/2 Cos 30 0 = /2 Tan 30 0 =1/ Cot 30 0 = Sin 60 0 = /2 Cos 60 0 = 1/2 Tan 60 0 = Cot 60 0 = 1/ Aynı şekilde 45 0 nin trigonometrik oranları sorulduğunda, 45 0 45 0 90 0 üçgeni kullanılır: Sin 45 0 = /2 Cos 45 0 = /2 Tan 45 0 =1 Cot 45 0 = 1 Görüldüğü gibi sonuçları bulmak için ilk olarak üçgenlerdeki bu özel üçgenlerdeki kenar oranlarının, ikinci olarak da trigonometrik fonksiyonun içeriğinin ve hangi dik kenara göre yapılacağının bilinmesi gerekir. Tabi ki 0 0 ve 90 0 nin trigonometrik oranlarını üçgen üzerinden yorumlamak ve bulmak oldukça zor. Üçgenleri kullanmadan, çok kullandığımız 0, 30, 45, 60 ve 90 derecenin trigonometrik değerlerini farklı şekillerde nasıl bulabiliriz. Projede yeni yöntemler nasıl çıkarabiliriz bunların üzerinde durdum. Muslu Pratik Yöntemleri 1-) Kök İçi Ardışık Sıralama Yöntemi a-) Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları için Kök içi Ardışık Sıralama Yöntemi 0, 30,45, 60 ve 90 derecenin sinüslerini bulmak için, açı değerlerini küçükten büyüğe tabloya yerleştirelim ve altlarına 0 dan başlayarak ardışık doğal sayıları yazalım: x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-1) Sinx 0 1 2 3 4
Sonrasında, verdiğimiz ardışık değerlerin kökünü alalım; Sinx x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-2) Şimdi de Tablo-2 deki değerleri 2 ye böldüğümüzde; Sinx x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-3) değerlerini elde ederiz. Yani, yerleştirdiğimiz ardışık sayı değerlerinin kökünü alıp 2 ye böldüğümüzde istenilen sinüs değerlerini bulmuş oluyoruz. Kosinüs değerleri için de aynı yöntemi kullanabiliriz. Kosinüste sinüsten farklı olarak, bu defa ardışık doğal sayı değerlerini sağdan sola doğru yazarız: x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-4) Cosx 4 3 2 1 0 Yine kökünü alıp ikiye böldüğümüzde: x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-5) Cosx değerlerini elde ederiz. İki tabloyu birleştirelim: x 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-6) Sinx Cosx Ayrıca sinüs değerleri bulunduğunda kosinüs değerini bulmakta oldukça kolay.
b-) Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları için Kök içi Ardışık Sıralama Yöntemi 0, 30, 45, 60 derecenin tanjantlarını bulmak için, açı değerlerini küçükten büyüğe tabloya yerleştiririz ve altlarına 0 la başlayarak 3 ün kuvvetlerini yazarız. Sıralamada son değer 90 dereceyi tanımsız olduğu için işleme sokmuyoruz: x 0 0 30 0 45 0 60 0 (Tablo-7) Tanx 0 Tablo-7 de elde edilen değerlerin köklerini alalım; x 0 0 30 0 45 0 60 0 (Tablo-8) Tanx Şimdi Tablo-8 de elde ettiğimiz değerleri 3 e bölelim; x 0 0 30 0 45 0 60 0 (Tablo-9) Tanx 0 1/ 1 Sonuçta, sırayla 0 la başlayarak ve 3 ün kuvvetleri yazılarak, bu kuvvetlerin kökleri 3 e bölündüğünde tanjant değerlerini bulmuş oluruz. Son açı değerini de tanımsız olduğu için almıyoruz Kotanjant değerleri için aynı yöntemi kullanabiliriz. Kotanjant da ise değerleri tanjantın tam tersi, sağdan sola yazarak işlem yaparız. Yine sağdan sola son açı değeri olan 0 dereceyi tanımsız olduğu için işleme almıyoruz: x 30 0 45 0 60 0 90 0 (Tablo-10) Cotx 1 1/ 0
2-) Açı Katlarına Göre Bağıntı Bulma Yöntemi Bu kısımda özellikle 30, 45 ve 60 değerleri için inceleme yapacağız. Bundan dolayı, elde edeceğimiz değerler n nin 2, 3 ve 4 değerleri için geçerli olacaktır. 15 in katlarına göre açıyı ayrıştıralım; n 2 3 4 (Tablo-11) 15n 2.15 0 3.15 0 4.15 0 sin15n Tablo-11 e dikkat edilirse kök içindeki değerler, her zaman n değerlerinin bir eksiğidir. Buna göre genel bir bağıntı yazabiliriz: Benzer yöntemi kosinüs fonksiyonu için uyarlayalım: n 2 3 4 (Tablo-12) 15n 2.15 0 3.15 0 4.15 0 cos15n Tablo-12 ye dikkat edilirse kök içindeki değerler ile n değerleri toplamı her zaman 5 tir. Buna göre genel bir bağıntı yazabiliriz: Sinüs ve Kosinüs değerlerini biliyorsak Tanjant ve Kotanjant değerlerini de yazabiliriz: =
= İşlemleri 30 un katlarına da çekebiliriz. Bu sayede 90 ve 90 dereceden büyük açı değerlerine de ulaşmış oluruz. Bunun için yarım açı bağıntılarını kullanabiliriz. Sinüsle başlayalım:.. biçiminde yazılabilir. = = Örnek: Sin90 0 = Sin(30.3) = = 1 Kosinüs değeri içinde yarım açı bağıntısını kullanalım: 1= Örnek: Cos120 0 = Cos (30.4) = = 3-) Üçüncü Dereceden Denkleme Çevirme Yöntemi Bu yöntemde 15 derecenin katlarını içeren genel bir formül bulmayı amaçlıyoruz. Daha önceki yöntemlerde kullandığımız 15 in katı bağıntılarını alalım ve aralarındaki ilişkiyi belirlemeye çalışalım. Burada yine amaç temel açı değerlerini elde etmek: n 0 2 3 4 6 15n 0.15 0 2.15 0 3.15 0 4.15 0 6.15 0 sin15n 15 in katsayısına bağlı olarak kök içinde oluşan değeri bir fonksiyon olarak kabul edersek bunu sağlayan fonksiyonun:
biçiminde olması gerekir. Bu fonksiyona göre de aynı zamanda aşağıdaki noktaların sağlanması gerekir: n=0 için A (0,0) n=2 için B (2,1) n=3 için C (3,2) n=4 için D (4,3) n=6 için E (6,4) Şimdi elimizde noktalar da olduğuna göre fonksiyonu bulmaya çalışalım. Birinci ve ikinci dereceden fonksiyonlar bu değerleri sağlayamaz. Çünkü birbirinde bağımsız çok nokta var.bu durumda üçüncü dereceden bir fonksiyon olur mu deneyelim: bulalım. A(0,0) noktası için genel denkleminde noktaları yerleştirerek a, b, c, d yi d B (2,1) noktası için C (3,2) noktası için D(4,3) noktası için E(6,4) noktası için Ortaya çıkan dört denklemde ortak çözüm yapalım; I/ II/ III/ IV/ II. ve IV. denklemleri alalım ve I. denklemi (-2) ile çarpalım, alt alta toplayalım:
I ve III. denklemleri alalım ve eşitliğini yerleştirerek çözüm yapalım: Bu iki denklemin ortak çözümünü yapalım, bunun için birinci denklemi (-2) ile çarpalım; Bu durumda 3. dereceden denklemde a, b, c, d değerlerinin yerine bulduğumuz değerleri yazarsak; denklemi elde edilir. Graph programıyla bu fonksiyonun grafiğine bakalım;
Görüldüğü gibi noktalarımız fonksiyonu grafiksel olarak da sağlıyor. Şimdi genel formülümüzü yazalım: bağıntısı için; değerini yerine yerleştirelim. Şimdi bu fonksiyonu noktalarımız için deneyelim: = n=0 için = =0 n=2 için = = n=3 için = = = n=4 için = = = n=6 için = =1 Bütün noktaların sağladığını göstererek yöntemin doğruluğunu göstermiş olduk. Sonuç ve tartışma Projeye ilk başladığımda hedefim trigonometrik oranları yeni bir bakış açısı ile değerlendirmek ve pratik yöntemler elde etmekti. Ancak bazı değerlerdeki uyumsuzluk ve tanımsızlık sonuca varmakta zorlayıcı oldu. Bundan dolayı elde ettiğim yöntemleri tüm değerler için genelleştirmek çok zor oldu. İlk iki yöntem pratik yöntemler oldu ama bazen kapsamları çok geniş olmadı. Üçüncü yöntemde ise kesin ve genelleştirilmiş bir bağıntı elde ettim ancak elde edilen bağıntı çok akılda kalıcı ve pratik bir yöntem olmadı. Pratiklikle genel geçerlilik ters orantılı gelişti. Beni rahatlatan nokta ise sonuçların kesinliği ve doğruluğu oldu.
KAYNAKÇA 1-) Demir, A., (2008), 10.Sınıf Matematik Konu Anlatımlı, Ankara: Zafer Yayınları 2-) Yan, S.& Marchand, A., (2001), Graphing Functions: Douglas College < http://www.douglas.bc.ca/services/learning-centre/pdf/math/ma1_80_graphing_functions.pdf> 3-) Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. <http://en.wikipedia.org/wiki/list_of_trigonometric_identities>