AKM 22 Akışkanlar Mekaniği Ders Notları 9.Bölüm Sıkıştırılamaz Viskoz Dış Akış İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi Hazırlayan Yrd. Doç. Dr. Şafak Nur Ertürk Oda No:417 Tel: (212) 285 6382 e-posta: erturk@itu.edu.tr
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Giriş Dış akış denilince, sınırsız akışkan içine batırılmış cisimlrin etrafındaki akış akla gelir. Bunlara örnek olarak daha önce gördüğümüz yarı-sonsuz düzlemsel plaka üzerindeki akış ile silindir etrafındaki akışı verebiliriz.amacımız, dış akışta sıkıştırılamaz viskoz akışın davranışını nitelik olarak incelemek. Bir cisim etrafındaki dış akışta, oluşan birkaç fiziksel olay şekildeki bir hidrofoil'in etrafındaki viskoz akış içerisinde gösterilmiştir. Şekil 9-1 Serbest akım durma noktasının etrafında ikiye ayrılır ve cisim etrafındaki akışına devam eder. Cisim yüzeyi için verilen sınır şartı sonucu akışkan yüzeye değen noktada cisim ile aynı hıza sahiptir. Sınır taka cismin hem alt hem de üst yüzeyinde oluşur. (İyi anlaşılilmesi için, şekilde sınır taka gerçekte olduğundan daha kalın gösterilmiştir) Sınır taka içindeki akış başlangıçta laminerdir. Türbülanslı akışa geçiş düzgün akış şartlarına, yüzey pürüzlülüğüne ve basınç gradyentine bağlı olarak durma noktasından belirli bir mesafede başlar. Geçiş noktaları şekilde G ile gösterilmiştir. Türbülanslı sınır taka geçiş noktasından sonra laminer takadan çok daha hızlı büyür. Yüzeydeki sınır takanın kalınlaşması akım hatlarının hafifçe değişmesine neden olur. Artan basınç bölgelerinde (ters basınç gradyenti) akım ayrılması oluşur. Ayrılma noktaları A ile gösterilmiştir. Cisim yüzeyinde sınır taka içinde yer almış olan akışkan ayrılma noktasının arkasında "viskoz iz"i oluşturur. Şekildeki cisim, yüzeyine etkiyen kayma ve basınç kuvvetlerinin sonucu net bir kuvvet etkisi altındadır. U hızının paralel bileşenine sürüklenme/direnç (drag), dik bileşenine de kaldırma (lift) kuvveti denir. Ayrılmanın varlığı bu iki kuvvetin analitik çözümünü imkansız kılar. BÖLÜM A SINIR TABAKALAR 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-1 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 9.1 Sınır Taka Kavramı Sınır taka kavramı ilk kez 194 yılında Alman bilim adamı Ludwig Prandtl tarafından ortaya atıldı. Prandtl'ın bu tarihi çıkışından önce, akışkanlar mekaniği bilimi iki farklı yönde gelişiyordu. Teorik hidrodinamik, 1755'te Leonard Euler tarafından yayınlanan hareket denklemlerinden viskoz olmayan akış için geliştirildi. Ancak hidrodinamik biliminin sonuçları denyesel gözlemler ile çeliştiğinden, pratikte mühendisler kendi deneysel (ampirik) formüllerini geliştirdiler. Bu yaklaşım tamamı ile deneysel verilere dayanıyordu ve kuramsal hidrodinamiğin matematiksel yaklaşımından tamamen farklıydı. Viskoz akışkanın hareketini tanımlayan denklemler (Navier-Stokes denklemleri, Navier 1827, Stokes 1845) Prandtl'ın çıkışından önce bilinmesine rağmen, bu denklemlerin matematiksel olarak çözümünün bir iki basit hal dışında güç olması viskoz akışın kuramsal olarak incelenmesine engel oldu. Prandtl ise birçok viskoz akışın iki ayrı bölgeye ayrılarak analiz edilebileceğini gösterdi; biri katı cisim sınırında yakın bölge, ikincisi ise geriye kalan tüm akış bölgesi. Yalnızca katı cisim sınırına yakın olan bölgede viskozitenin etkisi önemlidir. Bunun dışındaki bölgede bu etki ihmal edilebilir ve akışkan viskozitesiz kul edilebilir. Sınır-taka kavramı kuram ile uygulama arasındaki uyuşmazlığı kaldırmış ve ikisi arasında yıllardır kurulamayan ilişkiyi kurmuştur. Daha da önemlisi, sınır-taka kavramı, Navier- Stokes denklemleri kullanılarak çözümü imkansız olan viskoz akış problemlerinin çözümünü mümkün kıldı. Sınır taka içinde, hem viskoz kuvvetler hem de atalet kuvvetleri önemlidir. Bunun sonucu olarak, atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranı olan Reynolds sayısının sınır taka akışını tanımlamada önemli olması hiç de hayret verici değildir. Reynolds sayısında kullanılan tipik uzunluk ya akış yönünde sınır takanın uzunluğu ya da sınır takanın kalınlığıdır. Sınır taka içindeki akış laminer veya türbülanslı olilir. Geçiş bölgesini belirleyecek herhangibir Reynolds sayısı yoktur. Sınır takadaki geçişi etkileyecek etmenler basınç gradyenti, yüzey pürüzlülüğü, ısı taşınımı, dış kuvvetler ve serbest akımdaki bozulmalardır. 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-2 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Birçok gerçek akışda, sınır taka uzun ve düz yüzeyler üzerinde oluşur. Gemi ve denizaltı teknesi, uçak kanatları ve düz araziler üzerindeki atmosferik olaylar buna örnek olarak verilebilir.... Sınır taka, giriş ucundan kısa bir mesafe içinde laminerdir. Geçiş tek bir nokta yerine, belirli bir bölgede oluşur. Geçiş bölgesi akışın tamamen türbülanslı hale geldiği bölgeye kadar devam eder. Şekil 9-2 9.2 Sınır Taka Kalınlığı Sınır taka viskoz kuvvetlerin önemli olduğu katı cisim yüzeyine yakın olan bölgedir. Sınır taka kalınlığı, katı cisim yüzeyinden ölçülen ve hızın %1yaklaşıklıkla serbest akım hızına eşit olduğu noktaya kadar olan mesafedir. Hız profili, yumuşak bir şekilde ve asimptotik olarak serbest akıma birleştiği için, sınır taka kalınlığı 'yı ölçmek zordur. Sınır taka içindeki viskoz kuvvetlerin etkisi il akış yavaşlar. Katı cisim yüzeyi üzerindeki kütle akış hızı, sınır takanın olmaması halinde aynı bölgeden geçecek lan kütle akış hızından daha azdır. Viskoz kuvvetlerin etkisi ile akış hızındaki azalma ρ ( U u) dy Eğer viskoz kuvvetler yoksa, bir kesitteki hız U olacaktı. Deplasman kalınlığını * olarak * alırsak, kütle akışındaki azalma ρu olur. ρ U * ρ ( U u) dy Sıkıştırılamaz akış için ρsit 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-3 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ * u u 1 dy 1 dy U U (9.1) u U alınırsa o zaman integre edilen terim y için sıfır olur. Sınır taka içindeki akışın yavaşlaması viskoz olmayan akışa göre herhangi bir kesitteki momentum akışında bir azalmaya neden olur. Sınır taka boyunca gerçek kütle akışındaki, ρ udy 'daki, momentum azalması, ρu( U u) dy 'dir. Eğer viskoz kuvvetler yoksa, o zaman katı cisim yüzeyini θ momentum kalınlığı kadar yukarıya ötelemek gerekir. Momentumdaki azalma ρu 2 θ 'dır. Momentum kalınlığı, θ, momentum akışı sınır taka boyunca momentum akışındaki azalmaya eşit olan, U hızındaki akışkan takasının kalınlığı olarak tanımlanır. 2 ρu θ ρu ρsit ( U u) dy θ u u u u 1 dy 1 dy U U U U (9.2) terim y için sıfır olur. Deplasman ve momentum kalınlıkları, * ve θ, integral kalınlıkları olarak tanımlanır. Tanımları yapılan integraller sınır tka boyuncadır. Integrantın serbest akımda sıfır olduğu integraller yardımıyla tanımlandıkları için, deneysel veriler yoluyla hesaplanmaları sınır taka kalınlığı kullanılarak hesaplanmalarından daha kolaydır. 9.3 Momentum İntegral Denklemi Laminer sınır taka (düz plaka üzerinde) çözümü 198'de Blasius tarafından elde edildi. Blasius'un ortaya koyduğu ifadelerin tam çözümü sınır taka kalınlığı için ve kayma gerilmesi için gerekli ifadeleri bize verir. Hız profilleri u/u ve y/ olarak boyutsuz olarak çizilirse gene benzer formda çıkarlar. Hız profili için kapalı çözüm mümkün değildir ve sayısal çözüm gerekir. Bunun yanısıra, yaklaşık yöntemler düz plaka üzerindeki laminer-sınır taka için kapalı çözümler elde etmek için kullanılır. Aynı yaklaşık yöntemler türbülanslı sınır taka 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-4 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ oluşumuna ait özellikler için kullanılilir. Tam çözüm türbülanslı sınır taka için mevcut olmadığından, bu durumda yaklaşık yöntemler gerekli olur. Burada, bir cisim boyunca mesafenin fonksiyonu olarak laminer veya türbülanslı S-T kalınlığı için iyi bir yaklaşım yapmamıza yardım edecek bir analiz gerçekleştireceğiz. İntegral denklemlerini diferansiyel kontrol hacmine uygulayacağız. Buradaki amacımız, cisim boyunca uzunluğun fonksiyonu olarak büyüyen S-T 'nın davranışını tahmin etmemize yarayacak bir denklem bulmak. Çıkan bağıntı hem laminer hem de türbülanslı takaya uygulanilecek ve sıfır basınç gradyentiyle sınırlı kalmayacak. Katı bir yüzey üzerinde sıkıştırılamaz, daimi bir akışı düşünelim. S-T kalınlığı, artan x mesafesi ile kalınlaşır. Analiz için şekildeki gibi uzunluğunda, w kalınlığında ve (x) yüksekliğinde bir kontrol hacmi alıyoruz. Şekil 9-3 S-T kalınlığı 'yı x'in fonksiyonu olarak bulmak istiyoruz. ad kontrol hacmininin ve yüzeylerinden kütle akışı olacaktır. yüzeyi için ne denilebilir? yüzeyinden kütle akışı olacak mıdır? Daha önce, S-T'nin sınırının bir akım hattı olmadığını görmüştük. Bu yüzden yüzeyince kütle akışı olacaktır. ad katı cisim sınırı olduğunan, bu yüzey boyunca kütle akışı olmayacaktır. Kontrol hacminin üzerine etkiyen kuvvetleri ve kontrol yüzeyleri boyunca momentum akışını ele almadan önce, kontrol hacm,n,n herbir yüzeyinden geçen kütle miktarını hesaplamak için süreklilik denklemini uygulayalım. a) Süreklili Denklemi Temel denklem, r r ρd + ρvda (4.13) t CV Kuller: 1) Daimi akış 2) İki boyutlu akış O zaman r r ρ V da m& veya CS + m& + m& CS m & m& m& 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-5 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Şimdi bu terimleri hesap edelim. Yüzey Kütle Akışı yüzeyi x'de yer alıyor. Akış iki-boyutlu olduğu için (z ile değişim yok), kütle akışı m& ρudy yüzeyi x+'de yer alıyor. x koordinatı civarında m& 'yi Taylor serisine açarsak m& m& x+ m& x + ve böylece m& ρudy + yüzeyi için & m x udy ρ ρudy Şimdi de momentum akışı ve kuvvetlerini ele alalım. b) Momentum Denklemi Momentum denkleminin x bileşeninin ad kontrol hacmine uygulayalım. Temel denklem, F Sx + F Bx t r r u ρ d + u ρ V. da (4.19a) CV CS Kul: F Bx O zaman, F ( ma) + ( ma) + ( ma) (ma):momentum akışı Sx Bu denklemi ad diferansiyel kontrol hacmine uygulamak için, kontrol yüzeylerinden geçen momentum akışı için ve yüzeylere etkiyen kuvvetler için bağıntıları elde etmemiz gerekir. 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-6 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Yüzey Momentum Akışı yüzeyi x'de yer alıyor. Akış iki-boyutlu olduğu için (z ile değişim yok), yüzeyince momentum akışı (ma) ( ma) uρudy yüzeyi x+'de yer alıyor. x koordinatı civarında (ma)'yı Taylor serisine açarsak ( ma) ( ma) x+ ( ma) x + ve böylece x ( ma) u udy u uudy w ρ + ρ yüzeyinden geçen kütle U hızına sahip olduğu için, 'yi geçen momentum akışı ( ma ) U & ( ma) m U udy ρ Kontrol yüzeyinden geçen net momentum akışı, CS r uρv. da uρudy w + uρudy w + u udy w U udy ρ ρ Terimleri toplarsak CS r uρv. da u udy U udy ρ ρ Şimdi kontrol yüzeyinden geçen momentum akışının x bileşenine ait bağıntıyı elde ettik. Dolayısı ile kontrol hacmine etkiyen yüzey kuvvetlerinin x bileşenini ele alalım. Kuvvetlerin x bileşenlerinin analiz etmek için, normal kuvvetlerin kontrol hacminin üç yüzeyine etkidiğini görebiliriz. Ek olarak, kayma kuvveti ad yüzeyine etkir. Hız gradyenti S-T'nin ucunda sıfır olduğundan yüzeyine hiçbir kesme kuvveti etkimez. 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-7 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Yüzey ad Kuvvet x'de basınç p ise, o zaman yüzeyindeki kuvvet, F pw S-T çok inceolduğu için basıncın y yönündeki değişimi ihmal edilebilir, pp(x) yüzeyi x+'de yer alıyor. x koordinatı civarında basıncı Taylor serisine açarsak dp px+ px + x ve böylece yüzeyine etkiyen kuvvet dp F p ( d )w x + + x yüzeyine etkiyen ortalama basınç 1 dp p + 2 x yüzeyine etkiyen normal kuvvetin x bileşeni 1 dp F p wd + 2 x ad yüzeyine etkiyen kesme kuvveti 1 Fad τ w + dτ w w 2 Kontrol hacmine etkiyen herbir kuvvetin x bileşenini toplarsak F Sx dp 1 dp 1. d dτ w w 2 2 dad olduğu için yukarıdaki denklemdeki ikinci terim ihmal edilir. Bu terimleri x momentum denkleminde yerine koyarsak, dp τ w w Her iki tarafı w ile bölersek uρudy U ρudy w dp τ w uρudy U ρudy (9.16) Bu denklem, S-T içinde etkiyen kuvvetlerin x bileşeni ile momentum akışı arasındaki bağıntıyı veren "momentum integral denklemi"dir. S-T içindeki hız asimptotik olarak serbest akışın hızına yükseldiği için, hesaplamalar için bu denklem düzenlenebilir. Basınç gradyenti dp/, S-T dışındaki akışa Bernoulli denklemini uygulayarak hesaplanilir; 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-8 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ dp / ρudu /. dy olduğuna göre τ w uρudy + U ρudy + du ρudy U o zaman ρudy du ρuudy ρ udy τ w ve du ρu( U u) dy + ρ( U u) dy τ w τ ρ d U 2 2 ( U θ ) w * u u du u ρ ( 1 ) dy + U ρ(1 ) dy U U U + U du Bu "momentum integral denklemi"dir. Hız profili için uygun bir form kulü yapılır ve kayma gerilmesi diğer değişkenlere bağlı olarak ifade ediliyorsa bu denklem sınır taka kalınlığı için adi bir diferansiyel denklem verir. S-T kalınlığı bir kez hesaplanırsa, momentum kalınlığı, deplasman kalınlığı ve kayma gerilmesi hesaplanilir. yukarıdaki denklem, kontrol hacmine süreklilik ve momentum denklemlerini uygulayarak elde edildi. Bu denklem çıkarılırken yapılan kuller, a) Daimi akış b) Sıkıştırılamaz akış c) İki boyutlu akış d) Dış kuvvet yok Burada τ w kayma gerilmesini hız alanına bağlayan özel bir kul yapılmamıştır. Bu yüzden denklem hem laminer hem de türbülanslı S-T için geçerlidir. S-T kalınlığını x'in fonksiyonu olarak bulmak için, 1) U(x) hız dağılımına ilk yaklaşım yapılır. Bu, viskoz olmayan akış teoreminden yapılır (S-T yokmuş gibi düşünülen hız dağılımı). Bernoulli denklemi kullanılarak S-T içindeki basınç serbest akım hızı U'ya bağlı olarak ifade edilir. 2) S-T içinde uygun bir hız profili kulü yapılır. 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-9 9. Bölüm
DERS NOTLARI SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ AKM 22 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 3) τ w hız alanına bağlı olarak ifade edilir. Türbülanslı Akış Sıfır basınç gradyenti için sınır tkaya ait hız profili detayları boru içindeki türbülanslı akış için olana benzer. Momentum integral denklemi bir yaklaşım olduğu için uygun bir hız profili seçmek zorundayız. Aksi taktirde çözüm zorlaşır. 2 dθ 2 d u u τ w ρu ρu 1 dy (9.18) U U 9.4 Sınır Taka Akışı İçindeki Basınç Gradyenti Düz plaka üzerindeki sınır taka akışına ait analizler başlangıçta sıfır basınç gradyenti için yapılır. Bu hal için momentum integral denklemi Bu denklem çıkarılırken akış için herhangi bir modelleme yapılmadığı için hem laminer sınır taka hem de türbülanslı sınır taka için geçerlidir. Denklem, kayma gerilmesinin akışkanın momentumundaki azalma ile dengelendiğini gösterir. Bunun sonucu olarak da hız profili x boyunca değişime uğrar. Sınır taka gittikçe kalınlaşır ve cidara yakın akışkan daha da yavaşlar (momentum kaybı). BÖLÜM B BATIRILMIŞ CİSİMLER ETRAFINDAKİ AKIŞ 23, Şafak Nur ERTÜRK 9-1 9. Bölüm