İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya sahip yedi sorudan oluşmaktadır. Tam puan almak için yaptığınız işlemleri sınav kâğıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav süresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını içeren herhangi bir aracın sınav süresince kullanılması yasaktır. Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır. Başarılar. Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman Soru 1. Soru 5. Soru. Soru 6. Soru 3. Soru 7. Soru 4. TOPLAM
Soru 1. (a)-(e) şıklarından istediğiniz 3 tanesini cevaplandırınız. 5+5+5puan (a) Cauchy dizisinin tanımını veriniz. (b) Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu Teoremi ni ifade ediniz. (c) Bir a noktasında f fonksiyonunun soldan limitinin tanımını veriniz. (d) lim a f() = ifadesini formal olarak açıklayınız. (e) Ara Değer Teoremi ni ifade ediniz. Cevap. (a) n R noktalar dizisinin (R de) bir Cauchy dizisi olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart her ε>0 sayısına karşılık n, m N için n m <ε olacak şekilde bir N N doğal sayısının var olmasıdır. (b) a R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı bir reel fonksiyon olsun. Buna göre L a f() limitinin mevcut olması için gerek ve yeter şart n iken a değerine yakınsayan her n I\{a} dizisi için n iken f( n ) L olmasıdır. (c) noktası a noktasına soldan yaklaşırken f() fonksiyonunun L ye yakınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart, f fonksiyonu sağ uç-noktası a olan bir I açık aralığında tanımlı ve her ε>0 sayısına karşılık a δ I ve a δ<<a olduğu müddetçe f() L < ε eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 sayısının var olmasıdır. (d) Her M > 0 sayısına karşılık a < δ olduğu müddetçe f() > M eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir δ>0 sayısı mevcuttur. (e) a<bve f :[a, b] R sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer y 0 sayısı f(a) ile f(b) arasında yer alıyor ise bu durumda f( 0 )=y 0 olacak şekilde bir 0 (a, b) sayısı vardır. MB1001 Analiz I. Yıliçi Sınavı
Soru. 15 puan n =1+ n ( nπ ) n +1 cos dizisinin lim sup n ve lim inf n değerlerini tespit ediniz. Bu değerlere göre dizinin yakınsaklığı hakkında ne söylenebilir? Cevap. n N olmak üzere n =m 1 formunda bir tek sayı ise n = m 1 =1+ m 1 ((m m cos 1) π ) =1, n =m formunda bir çift sayı ise n = m =1+ m m +1 cos (mπ) m =1+( 1)m m +1 elde edilir. Burada m sayısının tek olması halinde m = 1 m+1 halinde m = 4m+1 m+1 = 1 m+1 ve sup k n ( 1+ k k +1 cos kπ, m sayısının çift olması eşitliği gerçeklenir. Buna göre her n N için ) ( inf 1+ k k n k +1 cos kπ = 1 n +1 ) = 1 n +1 olduğundan lim sup n olduğundan lim inf n =0 elde edilir. Limit supremum değeri limit infimum değerinden farklı olduğundan verilen dizi yakınsak değildir. = Soru 3. Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu nu kullanarak { cos 1 0 f() = 0 =0 şeklinde tanımlanan fonksiyonun 0 iken limitinin olmadığını göseriniz. Cevap. n N için a n := 1 nπ ve b 1 n := nπ + π olarak tanımlansın. Açıktır ki her iki dizi de n iken 0 değerine yakınsar. Diğer taraftan her n N için ( f(a n )=cos(nπ) =1vef(b n )=cos nπ + π ) =0 olduğundan n iken f(a n ) 1vef(b n ) 0gerçeklenir. Bu ise Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu na göre 0ikenf() fonksiyonunun limitinin olmadığı anlamına gelir. MB1001 Analiz I 3. Yıliçi Sınavı
Soru 4. Süreklilik tanımını kullanarak f() = { 1+e 1/ 0 0 =0 şeklinde tanımlanan fonksiyonun = 0 noktasında sürekli olduğunu gösteriniz. Cevap. Gösterilmesi gereken her ε > 0 sayısına karşılık 0 = < δolduğu müddetçe f() f(0) < ε eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir δ > 0 sayısının var olduğudur. Her R için e 1/ > 0 olduğundan 1 < 1+e 1/ dolayısıyla 1/(1 + e 1/ ) < 1 eşitsizliği gerçeklenir. Buna göre f() f(0) = 1+e 0 1/ = < <δ 1+e1/ olduğundan δ = ε alınır ise <δoldukça /(1 + e 1/ ) <εyapılabilir. O halde f() fonksiyonu = 0 noktasında süreklidir. Soru 5. f() = 1 fonksiyonunun I =(0, 1) üzerinde düzgün sürekli olmadığını gösteriniz. Cevap. f fonksiyonu I =(0, 1) üzerinde düzgün sürekli olsun. ε = 1 verilsin. Buna göre her, a (0, 1) için a <δolduğu müddetçe f() f(a) = 1 1 a a = < 1 a eşitsizliğini sağlayan bir δ>0 sayısı vardır. Genelliği bozmadan 0 <δ<1 olduğunu varsayalım. a = δ ve = δ/ olsun. Dolayısıyla 1 > a a = δ δ δ δ = δ δ = 1 δ > 1 çelişkisi elde edilir. Bu çelişki f fonksiyonunun I = (0, 1) üzerinde düzgün sürekli olmadığını ortaya koymaktadır. MB1001 Analiz I 4. Yıliçi Sınavı
Soru 6. Tanımı kullanarak n = n +3 n +1,n N dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz. Cevap. Gösterilmesi gereken her ε > 0 sayısına karşılık bir N pozitif tamsayısının n, m N için n m = n +3 n +1 m +3 m +1 <ε eşitsizliğini sağlayacak şekilde var olduğudur. Herhangi n, m N pozitif tamsayıları göz önüne alınsın. Buna göre n m = n +3 n +1 m +3 m +1 = (nm + n +6m +3) (nm + m +6n +3) (n + 1)(m +1) 5 m n = 4nm +n +m +1 < 5 m n 5 m + n 4 mn 4 mn < 5 ( 1 4 n + 1 ) < 5 ( 1 m 4 N + 1 ) = 5 N N 5 olduğundan eğer N tam sayısı den büyük olacak şekilde seçilirse ε n m <ε elde edilir. Buna göre verilen dizi bir Cauchy dizisidir. MB1001 Analiz I 5. Yıliçi Sınavı
Soru 7. Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız (l Hôpital kuralını kullanmayınız). (a) lim 1+ 1 1 (b) lim π sin( π) π +4 (c) lim Cevap. (a) lim 1+ 1 1 1 1 1+ 1 = lim 1+ 1 = lim 1+ 1 1 = (b) sin( π) lim π π sin y y 0 y =1 ( π = y) (c) lim +4 ( 1+ 4 ) (1+ 4 ) (1+ ) 4 = lim (1+ 4 ) = 1 MB1001 Analiz I 6. Yıliçi Sınavı