Geoteknik Mühendisliğinde Sonlu Elemanlar Yöntemi

Geoteknik Meslekiçi Eğitim Kursu Sayısal Analiz GEOTEKNİK MÜHENDİSLİĞİNDE SAYISAL YÖNTEMLER VE PROGRAM KULLANIMI PROF. DR. MEHMET BERİLGEN YTÜ İNŞ. FAK. İNŞ.MÜH.BÖL. GEOTEKNİK ANABİLİM DALI Sayısal analiz, matematiğin bir dalı olup sürekli değişkenleri olan problemlerin çözümünü sayısal olarak elde etmekte kullanılmaktadır. n = 6 n = 8 n = 14 =3.14.. 16.10.2014 2 1. Temeller 2. Kazı ve şevler 3. Dolgular 4. İstinat yapıları 5. Yeraltı yapıları Geoteknik Analiz Geoteknik Problemlerin Analizi 1. Stabilite problemleri 2. Gerilme şekil değiştirme problemleri 3. Zemin içinde su hareketi 16.10.2014 3 Geoteknik Mühendisliğinde Sonlu Elemanlar Yöntemi Geoteknikte Kullanılan Diferansiyel Denklemler Problem Kategori Denklem Zeminde su akımı Kararlı veya denge u x + u y = 0 1B konolidasyon Kararsız u u = x t 1B dalga yayılımı Kararsız u x = u y = 0 Temel doğal frekansı Özdeğer m + ku = 0 Geoteknik Müh. de Problemlerin Sınıflandırılması Kararlı veya denge Kararsız Özdeğer Temeller, şevler, dolgular, tüneller ve diğer yapılarda statik gerilme-şekil değiştirme analizi Kararlı zemin suyu akımı Temeller, şevler, dolgular, tüneller ve diğer yapılarda dinamik gerilme-şekil değiştirme analizi Konsolidasyon Viskoelastik analiz Kararsız su akım Temel ve yapıların doğal frekansı Dalga yayılımı 1

Güncel Geoteknik Talepler Geoteknik mühendisliği için üç tespit 1. Geoteknik mühendisliği karmaşıktır. 2. Sayısal Analiz Yöntemleri kullanılarak daha basit hale getirebilir. 2. Bir çözüm aracının kalitesi önemlidir, ancak sonuçların kalitesi aynı zamanda kullanıcıların hem problemi hem de çözüm aracının anlamasına bağlıdır. 3. Tasarım işlemi analizden daha fazla önem arzeder. 16.10.2014 7 8 Geoteknik Tasarımda Amaçlar Tasarım gereçleri Yerel göçme şebeke Tünel Toptan göçme Göçme yüzeyi Zemin ve Komşu yapılarda şekil değiştirme Kesit tesirleri Geometri Zemin profili Zemin parametreleri YASS durumu Komşu yapılar İnşaat süresi ve adımları Yapı Ömrü Tasarım kısıtları 16.10.2014 9 16.10.2014 10 İdeal Çözüm Denge Denge, Uygunluk, Malzeme Bünye Davranışı, Sınır Koşulları (kuvvet ve yer değiştirme) koşullarını sağlamalıdır σ x + τ y + τ z + γ = 0 τ x + σ y + τ z = 0 τ x + τ y + σ z = 0 16.10.2014 11 16.10.2014 12 2

Uygunluk: Geometrik Uygunluk: Matematiksel (a)orijinal (b) Uygun olmayan (c) Uygun ε = u x γ = u y v x ε = v y γ = w y v z ε = w z γ = w x u z 16.10.2014 13 16.10.2014 14 Malzeme bünye davranışı İdeal malzeme : lineer elastik homojen izotrop D D D D D D x 11 12 13 14 15 16 x D D D D D D y 21 22 23 24 25 26 y D D D D D D z 31 32 33 34 35 36 z D D D D D D xy 41 42 43 44 45 46 xy D D D D D D yz 51 52 53 54 55 56 yz D D D D D D xz 61 62 63 64 65 66 xz D 16.10.2014 15 Zemin için bünye davranışı σ = ( D + D ) ε σ = D ε u = D ε σ =Gerilme değişimi D = Zemin iskeleti bünye matrisi D =Boşluk suyu bünye matrisi ε= şekil değiştirme değişimi 16.10.2014 16 Geometrik İdealizasyon Düzlem şekil değiştirme Eksenel simetri Düzlem şekil değiştirme w z 0 z w v yz 0; w u yz 0 y z x z x D11 D12 D14 D D D y 21 22 24 x z D31 D32 D 34 y xy D41 D42 D44 xy xz D51 D52 D 54 zy D61 D62 D64 16.10.2014 17 16.10.2014 18 3

Eksenel Simetri KAPALI FORM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ AMPRIK, LİMİT DENGE TECRUBEYE DAYALI SAYISAL DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMLERİ ε = u r ε = u r ; SONLU FARKLAR YÖNTEMİ SAYISAL INTEGRASYON KARAKTERİSTİK YÖNTEM SINIR İNTEGRAL DENKLEMİ YÖNTEMİ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ ε = v z AĞIRLIKLI KALANLAR AYRIK ELEMANLAR YÖNTEMİ γ = v r u z γ = γ = 0 Galerkin Kolokasyon VARYASYONAL VE RALEIGH RITZ YÖNTEMLER AĞSIZ YÖNTEM Alt domain 16.10.2014 19 En küçük 16.10.2014kareler 20 ANALİZ YÖNTEMİ Denge ÇÖZÜM GEREÇLERİ Uygunluk Bünye Davranışı Sınır Koşulları Kuvvet Deplas. Kapalı çözüm Lineer elastik Limit Denge X Gerilme alanı X Limit Analiz Bir göçme kriteri ile rijit X Bir göçme kriteri ile rijit X Alt sınır X Bileşik akma X Üst sınır X kuralı ile İdeal Plastik X Kiriş-Yay Yaklaşımı Zemin yaylarla modellenir Tam Sayısal Analizler Herhangi 21 Sayısal analizin avantajları 1. Uygun bir şekilde kullanıldığında, sayısal analizler ile pratik zemin mühendisliği problemleri için gerçeğe yakın sonuçlar elde edilebilir. 2. Zemin ve yapı davranışını benzeştirerek mühendisin problemi daha iyi anlamasını sağlar. 3. Karmaşık geometri, malzeme davranışı, yükleme ve sınır koşullarını modellemek mümkündür. 4. Farklı problemleri birarada çözmek (bütünleşik problemler) mümkündür 5. İnşa adımları gözönüne alınabilir. 6. Analizlerde bilgisayar kullanımı zorunlu olduğundan analizler hızlı yapılabilir. 7. Parametrik analizler yapılabilir ve tasarımda optimizasyon sağlanabilir. 8. Tasarımda kullanılan model üzerinde geri analizler yapılabilir. 16.10.2014 22 Geoteknik problemlerin sayısal analizine etki eden faktörler Sayısal analiz yöntemi Model geometrisi ve sınır koşulları Malzeme bünye davranışı Doğrusal olmayan çözüm yaklaşımı Drenajlı-drenajsız analiz Zemin yapı etkileşimi Malzeme parametreleri Kullanıcı alışkınlıkları Sayısal analiz yöntemi etkisi Örnek: Özaydın, K., Zemin Mekaniği, s. 203. E=8650 kpa c v =3.939x10-3 m 2 /gün 6 d.n. n=17 e=44 15 d.n. n=260 e=2173 16.10.2014 23 16.10.2014 24 4

Sonuçların karşılaştırılması Model Geometrisi ve Sınır Koşulları D D/2 D L=D 16.10.2014 25 16.10.2014 26 Malzeme Bünye Davranışı Doğrusal ve doğrusal olmayan elastik modeller Doğrusal(doğrusal olmayan) elastik ideal plastik modeller İzotropik pekleşen tek yüzey plastik modeller İzotropik pekleşen çift yüzey plastik modeller Zemin malzemesi için bünye modelleri Mohr-Columb Model Hiperbolik modeller Koedner(1963) Duncan-Chan (1971) Hardening Soil model (Schanz, 1996) Cam Clay modeller Cam clay Modifiye Cam Clay Soft Soil Model Ve diğerleri (Lade(1977), Sekiguchi-Ohda(1977), vs) 16.10.2014 27 Kaya için malzeme bünye modelleri Basit plastik bünye modeli: Elastik-İdeal plastik model Mohr Coulomb Hoek Brown Jointed Rock Başlangıç yüklemesi Boşaltma Geri Yükleme Mohr Coulomb Model: Rijtlik sabit Mohr Coulomb Model: Rijtlik sabit Başlangıç yüklemesi (deviatorik) Boşaltma Geri Yükleme MOHR-COULOMB MODEL 16.10.2014 30 5

İleri düzey plastik model: İzotropik pekleşen çift yüzey plastik model Drenajlı-Drenajsız Analiz Göçme hattı Deviatorik akma yüzeyi Elastik bölge Hacimsel akma yüzeyi Hacimsel akma yüzeyi (başlık) Deviatorik akma yüzeyi Toplam Gerilme Analizi Δσ=DΔε Tamamen drenajlı Toplam gerilme=efektif gerilme D matrisi drenajlı parametrelerden oluşur Tamamen drenajsız (φ u =0, s u =c u ) D matrisi drenajsız parametrelerden oluşur Bütünleşik Analiz σ= σ +p w Δσ=([D ]+[D w ])Δε 16.10.2014 31 16.10.2014 32 Analizde drenajlı / drenajsız Drenaj durumuna karar vermek içi Vermeer ve Meier, (1998) önerisi kullanılabilir: Drenajsız analiz U < % 10 (T < 0.10) Drenajlı analiz U > %70 (T > 0.40) 0.10 >T>0.40 ise Konsolidasyon analizi U= 1B konsolidasyon %si T=1B konsolidasyon teorisi zaman faktörü Drenajsız durumu modelleme Yöntem A Bütünleşik durum (İki fazlı ortam) Boşluk suyu basıncı üretilir Efektif kayma mukavemeti ve rijitlik parametreleri Yöntem B Bütünleşik durum (İki fazlı ortam) Boşluk suyu basıncı üretilir ama güvenilmez Drenajsız kayma mukavemeti ve efektif rijitlik parametreleri Yöntem C Tek fazlı ortam Drenajsız kayma mukavemeti ve rijitlik parametreleri 16.10.2014 33 16.10.2014 34 Drenajsız davranışa bünye modeli etkisi MC ve HS Modeller ile üç eksenli CU deneyi Doğrusal Olmayan Çözüm Yaklaşımı 1) Tanjant rijitlik 2) Visko-plastik 3) Newton-Raphson Yük, R Δσ 1=245kPa Yük Gerçek çözüm Δσ 3=99kPa Yük Gerçek çözüm Elastik olmayan çözüm Yer değiştirme Yer değiştirme 16.10.2014 35 16.10.2014 36 6

Doğrusal Olmayan Çözüm Yaklaşımı Başlangıç gerilmeleri Hacimsal ş.d. (%) Deviator gerilme (kpa) Analitik çözüm Tanjant rijitlik Hacimsal ş.d. (%) Deviator gerilme (kpa) Eksenel ş.d. (%) Eksenel ş.d. (%) Analitik çözüm Visko-plastik Drenajlı üç eksenli basınç deneyi (Potts ve Zdravkovic, 1999) Hacimsal ş.d. (%) Deviator gerilme (kpa) Analitik çözüm Eksenel ş.d. (%) Zemin malzemesi gerilme izine bağlı ve doğrusal olmayan davranış sergiler Analizde doğru sonuç elde etmek için analizin başında belirlenmelidir Başlangıç gerilmeleri örselenmemiş zeminin denge durumunu gösterir ve bileşenleri : Zemin ağırlığı Yükleme tarihçesi İki şekilde tanımlanabilir: K 0 yöntemi Ağırlık yöntemi 16.10.2014 37 16.10.2014 38 İnşa Adımları Zemin Yapı Etkileşimi Beton kaplama Geçici alın kaplaması Geçici destek Üst başlık Plak eleman (1D, 2 d.o.f.) kazıcı kademe Geçici invert kademe Nihai destek Geçici invert Arayüzey elemansız Arayüzey elemanlı 16.10.2014 39 16.10.2014 40 Malzeme Parametreleri Kullanıcı Alışkanlıkları Gerilme şekil değiştirme hesapları Taşıma gücü ve stabilite hesapları Kayma modülü, G Yükleme-boşaltmalı PMT Flat DMT Başlangıç Yükü ile PMT Penetrasyon deneyleri Kayma şekil değiştirmesi, γ s (Mayne, 2001) AK 1.6 "Numerical Methods in Geotechnics", Alman Geoteknik Derneği, (Schweiger, 2002) 16.10.2014 41 16.10.2014 42 7

Farklı kullanıcıların sonuçları SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ 16.10.2014 43 Sonlu elemanlar yöntemi Düğümler birincil değişkenlerin(yer değiştirmeler) değerlerinin hesaplandığı noktalardır. Footing width = B SEY de aşağıdaki adımlar izlenir Elemanlara ayırma Bu, incelenen problemin geometrisinin sonlu eleman denilen küçük sonlu bölgelerin birleşimiyle modelleme işlemidir. Bu elamanlar, eleman sınırlarında veya içlerinde düğüm noktalarına sahiptir. Düğüm deplasmanları tüm sonlu elemanlar ağda deplasman ve şekil değiştirmeler için cebrik ifadeleri vermek üzere eleman içlerinde interpole edilir. Eleman düğümlerinde etkiyen kuvvetlerin yolaçtığı gerilme ve şekil değiştirmeler arasındaki ilişkiyi belirlemek için bir bünye yasası kullanılır. Düğüm kuvvetleri ile düğüm deplasmanları oluşturulan ve çözülen denklemlerle ilişkilendirilir. Node Gauss point Birincil değişken yaklaşımı Bi birincil değişken seçilmeli (örn. Deplasman) ve oluşturulan sonlu eleman üzerindeki değişimi tanımlanmalıdır. Bu değişim nodal (düğüm) değerleri cinsinden ifade edilir. Bir polinom formu kabul edilir. Polinomum mertebesi elemandaki düğüm noktası sayısana bağlıdır. Daha yüksek mertebeden düğüm sayısı (polinom mertebesi) daha doğru sonuçlar elde edilmesini sağlar(daha fazla hçözüm zamanı). 45 46 SEY de aşağıdaki adımlar izlenir Eleman denklemleri Eleman denklemlerini elde etmek için uygun bir varyasyonel kural (örn, minimum potensiyel enerji) uygulanır: K e U e =P e K e eleman rijitlik matrisi, U e düğüm yer değiştirmeleri ve P e düğüm kuvvetlerini gösterir. Global denklemler Global denklemleri elde etmek için eleman denklemleri birleştirilir: KU = P Sınır koşulları Sınır koşulları uygulanır ve global denklemler değiştirilir. Yükler P yi değiştirirken, deplasmanlar U yu değiştirir. Global denklemlerin çözümü Düğümlerdeki deplasmanları elde etmek için global denklemler çözülür. Düğüm deplasmanlarından ikincil Deplasman interpolasyonu En çok(yaygın) kullanılan elemanlar iso-parametrik yaklaşımı esas alır Eleman geometrisi vedeplasmanlar aynı şekil fonksiyonları ile temsil edilir (iso = aynı) bilinmeyenler(şekil değiştirme ve gerilme) elde edilir. 47 48 8

Bir 2B eleman için izoparametrik gösterim Doğal koordinatlar Şekil fonksiyonları N i e Geometri 1,x,y Deplasman interpolasyonu u x,u y Sonlu eleman örnekleri Bir boyutlu elemanlar İki boyutlu elemanlar Üç boyutlu elemanlar 49 Birincil bilinmeyenler: düğüm deplasmanlarının değerleri eleman içindeki deplasman: interpolasyon fonksiyonu kullanarak düğüm değerleri cinsinden ifade edilir. Altı düğüm noktalı üçgen eleman için şekil fonksiyonları n u( ) N ( ) u, N Düğüm shapefunction i nin şekil ofonksiyonu node i i1 i i i i düğümünün şekil fonksiyonu i düğümünde 1 diğer tüm n-1 düğümde 0 değerini alır 3 düğümlü çizgisel eleman için şekil fonksiyonları 3 y v 6 5 u 1 2 4 x 2 den interpolasyon u( x, y) a a x a y a x a xy a y 2 2 0 1 2 3 4 5 v( x, y) b b x b y b x b xy b y 2 2 0 1 2 3 4 5 12 düğüm deplasmanı değerine bağl 12 katsayı 1 1 N1 (1 ), N 2 (1 )(1 ), N3 (1 ) 2 2 51 52 Bünye ilişkisi (elastisite) Altı düğüm noktalı üçgen eleman için şekil değiştirme yer değiştirme ilişkisi Şekil değiştirmeler standart tanımlar kullanarak eleman içlerinde elde edilebilir. u xx a1 2a3x a4y x v yy b2 b4 x 2b5 y y u v xy ( b1 a2) ( a4 2 b3 ) x (2 a5 b4 ) y y x Elastisite: bir SE çevrede gerilme ve şekil değiştirme arasında bire bir ilişki vardır, gerilmeler ve şekil değiştirmeler vektör formunda yazılırsa gerilme şekil değiştirme ilişkisi = D şeklinde gösterilir Düzlem şekil değiştirmede lineer izotropik elastisite 1 v v 0 E D v 1 v 0 ( 1 2v)(1 v) 1 2v 0 0 2 Matrisin elemanları sabitler olup SE denklemlerin lineer olduğuna işaret eder 53 54 9

Elastik olmayan bünye ilişkisinde ne olur? Elastisitenin avantajı katsayılar matrisinin sabit olmasıdır. Böylece SE denklemleri lineer olur ve dış yüklerin hepsi tek hesap adımında birlikte uygulanarak çözülebilir. Zeminler genellikle elastik davranmaz! D D mevcut ve geçmiş gerilme tarihçesine bağlıdır. Dış yükü farklı adımlarda uygulamak ve uygun bir non-lineer çözüm şeması kabul etmek gerekir. Eleman stiffness (rijitlik) matrisi Elemana uygulanmış kütle kuvvetleri ve yüzeysel kuvvetler düğüme etkiyen kuvvet kümesine (düğüm kuvvetleri vektörü) dönüştürülür. Düğüm kuvvetler düğüm deplamanları ile ilişkilidir : K e K e e K U P eleman rijitlik matrisi e e T B DBdv P 1 x 1 P 1 y 6 3 4 5 2 P1 x P1 y P2 x e P2 y P P6 x P6 y D malzeme rijitlik matrisi B şekil değiştirmelerin düğüm deplasmanları ile ilişkisini veren matris 55 56 Gauss noktaları K e T B DBdv K e yi elde etmek için her elemanda integrasyon almak gerekir. Genelde bu integrasyon sayısal olarak gerçekleştirilir (Gauss integrasyonu) Aslında bir fonksiyonun integrali çok sayıda integrasyon noktasında elde edilen fonksiyonun ağırlıklı toplamı ile bulunur. Global rijitlik matrisi (1) Tüm ağ için rijitlik matrisi eleman rijitlik matrislerinin birleştirilmesi ile elde edilir. Bu ağdaki serbestlik derecesi sayısına eşit bir kare matris K yı üretir. Düğüm kuvvetlerinin global vektörü P benzer şekilde eleman düğüm kuvvetlerin birleştirilmesiyle elde edilir. Birleştirilmiş rijitlik matrisi ve kuvvet vektörü : KU P burada U vektörü ağdaki tüm düğümlerin deplasmanlarını gösterir. 57 58 Geoteknik Müh. de Sayısal Analizler Sürekli ortam Başlangıç Gerilmeleri Elasto-Plastik Malzeme Davranışı Drenajlı-drenajsız davranış Toplam Gerilme Analizi Efektif gerilmeler Boşluk basınçları Anizotropi Kompleks yükleme ve sınır koşulları Zemin-Yapı etkileşimi PROGRAM KULLANIMI 59 10

Program Kullanımı Bilgisayarların boyutlarının küçülmesi, kapasitelerinin ve grafik yeteneklerinin artması ile program geliştirme profosyonelleşmiştir. Grafik ara yüz geliştiren yazılımlar veri girişi ve çıkışını kolaylaştırarak kullanıcıların öğrenmeleri ve kullanmalarını kolaylaştırmak yanında gelişmiş bünye modelleri eklenmiş ve doğrusal olmayan hesap tekniklerin de önemli gelişmeler sağlamıştır. Bu nedenlerden ötürü geçmişte kendi yazılımlarını geliştiren mühendisler ve kuruluşlar artık ticari yazılımları tercih etmektedir. Bugün çok çeşitli özelliklerdeki malzeme davranışını gözönüne alarak farklı disiplinlerdeki problemleri çözmek için geliştirilmiş yazılımlar mevcuttur. Bu yazılımlar çok pahalı ve kullanılması uğraştırıcıdır. Geoteknik problemler için yukarıda anlatılan durumları gözönüne alan yazılımlar geliştirilmiştir. Geoteknik Yazılımlar Gerilme Şekil değiştirme 2 Boyutlu: Plaxis, Zsoil, Sigma, Flac 2D, SoilWorks, 3Boyutlu: Plaxis 3D, Flac 3D, Midas GTX Su Akımı 2D: Plaxis (kararlı akım), Plaxflow (kararsız akım), Seep (kararlı ve kararsız akım), Flac, SoilWorks Dalga yayılımı 1 Boyutlu: Shake, Eera, DeepSoil, 2 Boyutlu : Plaxis, Flac 2D, Quake,SoilWorks 3 Boyutlu: Flac 3D, Şev Stabilite Analizleri SE ve SF: Plaxis 2D ve 3D, Flac 2D ve 3D Limit Denge (Dilim): Slope/W, Talren 4, Geo5 Kazık ve Kazık Grupları Analizleri D-Pile Group, Allpile, Geo5 1B Destekli kazı analizleri D-Sheet Piling, K-rea, Geo5 Genel Amaçlı Yazılımlar 1B,2B ve 3B Sonlu elemanlar Kararlı-Kararsız durumlar Gerilme-Şekil değiştirme, Sızma, Mağnetizma, ısı yayılımı Zemin-yapı etkileşimi Bütünleşik analizler Özdeğer analizi Gelişmiş eleman kütüphanesi Gelişmiş grafik arayüz ABAQUS, TNO DIANA, ANSYS, LUSAS, MIDAS Sonuç Yukarıda anlatılanlar ışığında Sayısal analizler ile ideal çözümler yapılabileceği Günümüz koşullarında sayısal analizlerin kullanımının geoteknik mühendisliğinde bir çok problemin analizinde kaçınılmaz olduğu Geoteknik Mühendisliği problemlerinin çözümünde sayısal analizlerin klasik analiz yöntemlerine göre üstün yanları olsa da bir takım kısıtları (belirsizliklerin) olduğu gözönünde bulundurulmalıdır. 16.10.2014 64 11