YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I İST205U KISA ÖZET

DİKKAT Burada ilk 4 sahife gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 1

1.ÜNİTE Yöneylem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yöneylem Araştırması nın doğuşu II. Dünya Savaşı yıllarındaki askeri uygulamalara dayandırılmakla birlikte, 1911 lerde Frederick Taylor un yayınladığı Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışmasının da aslında bu bilim dalının köklerini oluşturduğu söylenebilir. Yıllar içerisinde Yöneylem Araştırması, örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm arayan bir bilim dalı olarak yerini almıştır. Matematik, çözüm tekniklerinin altında yatan temel bilimdir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI NIN ÜÇ TEMEL ÖZELLİĞİ Yöneylem Araştırması nın üç temel özelliği; a. Bilimsel yöntem, b. Bütünleşik yaklaşım ve c. Disiplinlerarası yaklaşım. Bilimsel yöntem, basitçe, problemlerin çözümünde bilimsel bir yaklaşımın izlenmesini ifade eder. Bu anlamda bilimsel yöntem; incelenen problem veya olayla ilgili önce gözlem yapılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin deneylerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Ardından geri bildirimler ve gerekliyse kontrollerle sistem üzerinde geliştirmeler devam edebilir. Bütünleşik yaklaşım, ele alınan problemin, içerisinde yer aldığı sistem ile birlikte tüm bileşenleri ve boyutlarıyla incelenmesidir. Birden fazla ve karşılıklı ilişki içinde bulunan ve belirli bir amaca yönelik olarak bir arada bulunan oluşumlar (sistemler) ile karşılaşıldığından, bu özellik sistem yaklaşımı olarak da ifade edilebilmektedir. Son olarak disiplinlerarası yaklaşım ise, Yöneylem Araştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde yer alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YAKLAŞIMI Yöneylem Araştırması, problemleri, yukarıda belirtildiği gibi, disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir yöntemi izleyerek ve sistemi bütünüyle ele alarak çözer. Bu temel özellikleri kullanan, aynı zamanda Yöneylem Araştırması Yaklaşımı da denen problem çözme aşamaları aşağıdaki gibi özetlenebilir: a. Gerekli verilerin elde edilmesi ve sistemin analiz edilmesi c. Modelin geliştirilmesi d. Modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması e. Modelin uygulanması ve karar. Problemin varlığının ortaya konması ve doğru tanımlanması, çözüm sürecinde en önemli aşamadır. Daha sonra ise problemin girdisi olabilecek ve yaşandığı sistemden türetilebilecek verilerin, gerektiği Problemin belirlenmesi b. ölçüde ve güncel bir biçimde elde edilmesi gerekir. Hangi tür verilere ihtiyaç duyulduğu, ilgili sistemin ayrıntılı analizi ile ortaya çıkabilir. MODEL, KARAR MODELİ Model, bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan eşdeğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilirler. Yapılarına göre modeller; uyuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe ayrılırlar. Uçak simulatörleri, maket inşaat projeleri uyuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Matematiksel mo- 2

del ise bir sistemin veya problemin matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak olan f büyüklüğündeki kuvvetin ifadesidir. m, a ve f den herhangi ikisi biliniyorsa, üçüncünün değeri bu ilişki ile bulunabilir. Karar süreci; problemi belirleme, seçenekleri türetme ve en iyi seçeneği bulma adımlarından oluşur. Bir problem olup olmadığı, Giriş bölümünde de belirtildiği gibi, problemin çözümü için birden fazla seçeneğin olması durumunda ortaya çıkar. Öte yandan çoğu durumda seçenekleri belirlemek de oldukça zordur. DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Pratik olarak tüm kısıtları ve amaç fonksiyonu, her biri doğrusal birer fonksiyon ise, bir başka deyişle tüm fonksiyonlarda yer alan her bir terim birinci dereceden ifadelerden oluşmakta, iki değişkenin çarpımı veya bir değişkenin üssünün olmadığı terimler yer almakta ise ilgili karar modeli doğrusaldır denir. Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar değişkenlerinin her reel değeri alabilmesi, oranlılık, karar değişkenlerinin aldıkları değere göre oluşan katkı ve kullanılan kaynak miktarının değişkenin değeri ile doğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların toplanabilmesidir. Bu özellikler var ise bir karar modeli doğrusaldır. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEKNİKLERİ VE KULLANIM ALANLARI Yöneylem Araştırması teknikleri pek çok alanda uygulama olanağı bulabilir. Aslında, tanımında da belirtildiği gibi örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm arayan bir bilim dalı olduğu hatırlanırsa, Yöneylem Araştırması ile ilgili çalışmaların ne kadar geniş bir yelpazede yer alabileceği kolayca görülebilir. Ulaştırma ve lojistik faaliyetleri açısından şu tür örnekler vermek mümkündür: Bir işletmenin, ürünlerinin sevkiyatında kullanacağı araç filosunda yer alacak araçlarının tiplerini ve sayılarını ya da mevcut araçlarının ürün sevkiyatı sırasında izlemesi gereken rotalarını belirlemesi problemleri bu kapsamdadır. Rota belirleme sürecinde genellikle, en kısa yol bağlı olarak da en az taşıma maliyeti amaçlanmaktadır. Özellikle son elli yıldır büyük ölçekli projelerde uygulanabilen Yöneylem Araştırması teknikleri konusunda, GANTT Diyagramı denen teknik en eskiler arasındadır. 1958 de Amerikan Deniz Kuvvetleri Özel Projeler Bölümü tarafından, PERT, hemen hemen aynı zamanlara rastlayan Kritik Yol Yöntemi ise (CPM-Critical Path Method), Dupont Kimyevi Madde Fabrikası nda bakım onarım faaliyetlerine yardımcı olmak üzere geliştirilmiştir. 3 2.ÜNİTE Doğrusal Programlama GİRİŞ Yöneylem araştırmasının en gelişmiş ve yaygın uygulama alanını oluşturan doğrusal programlama, doğrusal karar problemleriyle ilgili kavram ve teknikler topluluğudur. Bu bölümde, önce doğrusal problemlerin matematiksel modellemesi anlatılıp, sonra da örnek problemler ele alınıp modellenecektir. Doğrusal programlama, belirli bir amaca ulaşmak için, bazı kısıtlayıcılar altında kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlayan bir matematiksel yöntemdir. Bu şekilde varılmak istenen amaç, kâr maksimizasyonu (en büyükleme) veya maliyet minimizasyonu (en küçükleme) olarak belirlenebilir. Doğrusal programlamada

doğrusal sözcüğü, fonksiyonların doğrusallığını, programlama ise planlama işlemini ifade etmektedir. Doğrusal programlamanın uygulama alanları ile ilgili olarak aşağıdaki liste verilebilir. Ulaştırma ve lojistik problemleri, Endüstriyel üretim planlaması ve envanter (stok) kontrolü Personel programlaması, Beslenme(diyet) problemleri, Karışım problemleri, Tarımsal planlama, Finansal planlama, Yatırım planlaması, Sağlık sistemleri, Askeri planlama, Trafik planlaması. DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN VARSAYIMLARI Gerçek hayatta karşılaşılan çoğu karar problemi için, en azından uygun kabullerle, doğrusal karar modeli geliştirmek mümkündür. Bir problem için karar modeli geliştirmek ve kurmak gerçek sistemi matematiksel olarak ifade etmek demektir. Bu işlem yapılırken bilgi kaybı kaçınılmazdır. Doğrusallık (Oranlılık) Varsayımı Bu varsayım modelin amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonları ile ilgilidir. Doğrusallık varsayımı, işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu gösterir. Üretim düzeyi artarken aynı oranda üretim girdileri de artar. Eğer, Xj inci eylem için amacın oluşumu doğrusallık özelliği gösteriyorsa, Xj nin her bir birim değerinin kara katkısı cj iken, Xj nin çözüm değerinin amaca katkısı cjxj kadar olur. Bunun yanında karar problemine esas olan bi inci kaynaktan her bir birim Xj için gerekli kaynak miktarı aij olmak üzere Xj için kaynak gereksinimi aijxj kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksiyonu birinci dereceden fonksiyon olmalıdır. Toplanabilirlik Varsayımı Doğrusal programlamada her fonksiyon, ilişkili olduğu faaliyetlerin, bireysel katkılarının toplamıdır. Karar değişkenlerine verilecek değerlere göre, her birinin sağladığı katkılar toplanıp, toplam katkıyı, yani amaç fonksiyonunu oluşturuyorsa, toplanabilirlik varsayımı geçerlidir demektir. Bu varsayımı, kısıtlayıcıların sol tarafındaki sabitler için ele alırsak; değişik üretim faaliyetlerine kaynak olan, üretim girdilerinin toplamının, her bir işlem için ayrı ayrı kullanılan girdilerin toplamına eşit olduğunu gösterir. Bölünebilirlik Varsayımı Modelin karar değişkenleri Xj ler, her türlü reel değerleri alabiliyorsa, bölünebilirlik varsayımı sağlanıyor demektir. Böylece, karar değişkenleri, bazı faaliyetlerin düzeyini gösterdiğinden, faaliyetlerin kesirli düzeylerde çalışabileceği varsayılır. Bazen girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu nedeniyle, karar değişkenlerini tamamının veya bazılarının tam sayı olması gerekebilir. Böyle durumlarda, tam sayılı programlama söz konusu olur. Belirlilik (Kesinlik) Varsayımı Doğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin biliniyor olduğu varsayımıdır. Parametre değerlerini kesin olarak biliniyor olması varsayımı, modelin deterministtik model olduğunun göstergesidir. Bir problemde, karar değişkenleri ve parametrelerle ilgili olarak; doğrusallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsayımları geçerli ise bu problem doğrusal programlama problemi olarak modellenip çözülebilir. DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA MODEL KURMA Model kelime anlamı gerçeğin benzeri demektir. Model kurma, sistemi oluşturan unsurların matematiksel terimlerle ifade edilmesidir. Başka bir deyişle problem, matematik diline tercüme edilir. Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model halinde ifade edilebiliyorsa, bilinen algoritmalar yardımıyla çözüme ulaşılabilir. Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi 4

Bir problemin doğrusal programlama modelinin kurulmasına, öncelikle karar değişkenlerinin tanımlanmasıyla başlanır. Karar değişkeni: bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, değeri araştırılan eylemler, karar değişkenleridir. Herhangi bir doğrusal programlama modelinde karar değişkenleri, alınacak kararları tamamen betimlemelidir. Karar değişkenleri, alınacak kararlara ilişkin faaliyetlerin düzeyini göstermektedir. Karar değişkenleri genellikle; Xj sembolü ile gösterilir. Xj: j inci üründen üretilecek (veya taşınacak) miktar anlamındadır. Amaç Fonksiyonunun Belirlenmesi Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksiyonunu maksimum veya minimum yapmak ister. Maksimum veya minimum yapılmak istenen fonksiyona, amaç fonksiyonu adı verilir. Amaç fonksiyonu: Max/Min Z = c1x1 + c2x2+ +cjxj+ + cnxn veya genel olarak şeklinde de yazılabilir. Kısıtlayıcıların Belirlenmesi Ekonomide üretim kaynakları veya üretim faktörleri sınırlıdır. Bir işletmenin elindeki makine kapasitesi, teknolojisi, işgücü, enerji, sermaye, hammadde, yarı mamul madde, malzeme gibi üretim faktörleri ile ürünlerine olan talep de sınırlıdır. Dolayısıyla karar değişkenlerinin miktarı da sınırlı olacaktır. Önemli olan, bu kısıtlayıcılar altında amaç fonksiyonunu sağlayan ürünler üretmektir. İşletmenin faaliyetlerinde, bi: i inci kaynak miktarı(i inci kısıtın sağ taraf sabiti), (i=1,2,3, m) aij: bir birim Xj için gerekli i inci kaynak miktarı(xj lerin i inci kısıttaki teknoloji katsayıları) sembolleri ile gösterirsek, m kısıt ve n karar değişkeninden oluşan doğrusal kısıtlayıcı fonksyonların genel hali aşağıdaki gibi ifade edilebilir. İşaret Kısıtlaması Doğrusal programlama probleminin matematiksel modelini tamamlamak için her bir karar değişkeninin negatif olmama varsayımını sağlaması gerekir. Karar değişkeni Xj nin sadece pozitif değerli olduğu varsayılırsa, Xj 0 işaret kısıtı modele eklenir. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA UYGULAMALARI Bu başlık altında doğrusal programlamanın varsayımları altında bir problemin, doğrusal programlama modeli olarak nasıl ifade edilebileceği, örneklerle anlatılmaya çalışılacaktır. Bir karar problemi için model geliştirme öncesinde amacın, karar değişkenlerinin ve parametrelerin tanımlanmış olması gerekir. Üretim Planlaması Doğrusal programlamanın en yaygın kullanıldığı alanlardan birisi, üretim işletmelerin de maksimum karlı veya minimum maliyetli üretim bileşenlerini belirlemede kullanılmasıdır. Örnek 2.1. Bir marangoz işletmesi masa ve sandalye üretmektedir. Bir masa yapımı için 30 metre tahtaya ve 5 saat iş gücüne gerek vardır. Bir sandalye yapımı için de 20 metre tahtaya ve 10 saat iş gücüne gerek vardır. İşletmenin elinde 300 metre tahta ile 110 saat iş gücü vardır. Ayrıca bir masanın satışından elde edilen kâr 6 ve bir sandalyenin satışından elde edilen kâr 8 dir. İşletmenin amacı maksimum kara ulaşmaktır. Buna göre marangoz işletmesi ne kadar masa ve sandalye üretmelidir. Problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X1: üretilecek masa miktarını, X2: üretilecek sandalye miktarını, göstersin. Amaç fonksiyonu; Max Z = 6 X1 + 8 X2 (Toplam kar. Üretilecek X1 adet masa ve X2 adet sandalyeden elde edilecek karların toplamı.) Kısıtlayıcılar 30X1 + 20X2 300 (tahta kısıtı)+ 10X2 110 (iş gücü kısıtı) ve X1,X2 0 Tarım Planlaması 5

Tarım sektöründe çiftçiler için en önemli problem, en çok karı sağlamak için eldeki arazinin ürün türlerine göre taksimi nasıl olmalıdır? Ayrıca arazinin üretim verimliliğinin bilinmesi halinde, hangi üründen ne kadar üretim elde edilebileceği de belirlenebilmektedir. Örnek 2.6. Bir çiftçinin toplam 100 dönümlük arazisi vardır. Yetiştirebildiği kadar; mısır, fasulye ve karpuz satabilmektedir. Mısır 3/kg, fasulye 2/kg ve karpuz 0,25/kg kâr getirmektedir. Bütün bu ürünler için aynı gübre kullanılabilir ve gübrenin fiyatı 2 /kg dır. Gereken gübre miktarı mısır için 20 kg/dönüm, fasulye için 10 kg/dönüm ve karpuz için 5 kg/dönümdür. Beklenen ürün miktarı 100 kg mısır/dönüm, 80 kg fasulye/dönüm ve 1000 kg karpuz/dönümdür. Bütün ürünün 5 gün içinde toplanması gerekir. Toplam 20 işçi vardır ve her birinin ücreti 30/gün dür. Her bir işçi günde 10 saat çalışabilmektedir. Mısırı toplamak için 20 işçi saati/dönüm, fasulyeyi toplamak için 8 işçi saati/dönüm ve karpuz toplamak için 12 işçi saati/dönüm gerekmektedir. Buna göre çiftçinin karını maksimum kılacak ürün ekimi ne olmalıdır. Problemi doğrusal programlama problemi olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar değişkenleri: X1: mısır ekilecek arazi(dönüm) miktarını, X2: fasulye ekilecek arazi(dönüm) miktarını, X3: karpuz ekilecek arazi(dönüm) miktarını, göstersin. Amaç karın maksimizasyonu olduğundan, öncelikle çiftçinin üreteceği üç ürün için birim karlarının bulunması gerekmektedir. Mısır kâr = (3/kg 100kg/dönüm) 2/kg 20 kg/dönüm- 30/gün 2 gün/dönüm = 300 40 60 = 200/dönüm Fasulye kâr = (2/kg 80kg/dönüm) - 2/kg 10 kg/dönüm- 30/gün 8/10 gün/dönüm = 160 20 24 = 116/dönüm Karpuz kâr = (0,25/kg 1000kg/dönüm) 2/kg 5 kg/dönüm 30/gün 12/10 gün/dönüm = 250 10 36 = 204/dönüm Amaç fonksiyonu; Max Z = 200X1 + 116X2 +204X3 Kısıtlayıcılar X1 + X2 + X3 100 (arazi kısıtı) 20X1 + 8X2 +12X3 1000 (20 işçi 10 saat 5 gün) (iş gücü kısıtı) ve X1, X2, X3 0 Karışım Problemi Örnek 2.7. Kümes havanı besicilerine yem üretip satan bir firma minimum maliyetli yemi üretmeyi istemektedir. Her bir tavuğun 1. 2. ve 3. besleyici elemandan (vitaminden) günde 250, 150 ve 400 birimlik ihtiyacı olduğu varsayılmaktadır. Bu besleyici elemanlar A,B,C ve D besin maddelerinin aşağıda belirtilen miktarlarında (kilo başına) karışımlarından elde edilebilir. Çözüm: Karar değişkenleri: X1: A besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X2: B besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X3: C besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X4: D besin maddesinden yeme katılacak miktarı, göstersin. Amaç fonksiyonu; Max Z = 30X1 + 10X2 +20X3 + 40X4 Kısıtlayıcılar 20X1 + 15X2 + 10X3 + 30X4 250 25X1 + 15X2 + 20X3 + 25X4 150 25X1 + 20X2 + 20X3 + 30X4 400 ve X1,X2, X3,X4 0 Ulaştırma ve Lojistik Problemler 6