İÇİNDEKİLER I. BÖLÜM: GEOMETRİ A) ÜÇGENLER...8 1. Üçgende açılar...8. Üçgen eşitsizliği...11 3. Teoremler, Pisagor, Kosinüs, Stewart, Carnot, Öklid, Menaleus, Ceva Teoremleri...14 4. Açıortay, Kenarortay Teoremleri...16 5. Üçgenlerde Alan...18 B) ÇOKGENLER...0 1. Çokgenler, Düzgün çokgenler ve Dörtgenler...0. Özel Dörtgenler, Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar dörtgen, Dikdörtgen, Kare, Deltoid...3 C) ÇEMBERLER...8 1. Çemberde Açılar...8. Çemberde Uzunluk ve Dairenin Alanı...30 D) TRİGONOMETRİ VE ANALİTİK GEOMETRİ...4 E) GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER...44 F) KATI CİSİMLER...48 II. BÖLÜM: SAYILAR TEORİSİ A) TEMEL KAVRAMLAR...134 B) BÖLÜNEBİLME...138 C) ASAL SAYILAR...141 D) TAM SAYININ BÖLENLERİ, EBOB, EKOK...143 E) MODÜLER ARİTMETİK; Temel İlke ve Yöntemler...145 F) MODÜLER ARİTMETİK; Temel İlke ve Yöntemlerin Uygulaması...150 G) FERMAT IN KÜÇÜK TEOREMİ...155 H) EULER FONKSİYONU...157 I) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ...159 III. BÖLÜM: ANALİZ VE CEBİR SORULARI A) ANALİZ VE TEMEL KAVRAMLAR...0 B) FONKSİYONLAR...4 C) POLİNOMLAR ve ÇARPANLARA AYIRMA...9 D). VE 3. DERECEDEN DENKLEMLER, VİETA TEOREMİ...34 E) EŞİTSİZLİKLER...39 F) PROBLEMLER VE DENKLEM ÇÖZÜMLERİ...46 G) TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLLERİ...54 H) DİZİLER VE SERİLER...56
IV. BÖLÜM: SONLU MATEMATİK A) SAYMANININ TEMEL İLKESİ, PERMÜTASYON...35 B) KOMBİNASYON...358 C) BİNOM KATSAYILAR...363 D) DAĞILIM...364 E) OLASILIK...365 F) GÜVERCİN YUVASI PRENSİBİ...369 G) BOYAMA...371 H) EN BÜYÜK VE EN KÜÇÜK DEĞER İLKESİ...373 I) OYUN STRATEJİLERİ...375 J) PROBLEMLER...379
1. BÖLÜM: GEOMETRi SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 59 Soru 41 (011) ABC üçgeninin B ve C köşelerinden geçen bir çember [AB] kenarını D, [AC] kenarını da E noktasında kesiyor. ACD üçgeninin çevrel çemberi ise, BE doğrusunu [BE] dışındaki bir F noktasında kesiyor. AD =4 ve BD =8 ise, AF nedir? A) ñ3 B) ñ6 C) 4ñ6 D) ñ6 E) Hiçbiri Soru 4 (01) Bir ABC üçgeninin [AC] kenarının M orta noktası, B köşesine ait yüksekliğinin H ayağı ile C köşesi arasındadır. m(aébh)=m(mébc), m(aécb)=15 ve HM =ñ3 ise, AC nedir? 16 A) 6 B) 5ñ C) 8 D) E) 10 M3 Soru 43 (01) [AB] çaplı çemberin [CD] kirişi [AB] ye diktir. M ve N sırasıyla, [BC] ve [AD] nin orta noktaları olmak üzere, BC = 6 ve AD = ñ3 ise, MN nedir? A) 4 B) 3ñ C) ò1 D) 5 E) Hiçbiri Soru 44 (1995) Þekilde A noktasýndan geçen iki çemberden d doðrusuna B de teðet olanýn yarýçapý 9, C'de teðet olanýn yarýçapý 4 tür. ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarýçapý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A 5 A) B) 5 C) 6 D) ñ6 E) ò13 B C Soru 45 (1999) Yüksekliði 3 olan ABC eþkenar üçgeninin [BC] kenarýna orta noktasýnda teðet olan ve diðer kenarlarý da kesen yarýçaplý çember çiziliyor. AB ve AC nin çemberi üçgenin dýþýnda kestiði noktalar D ve E olmak üzere, Alan(ABC) nin Alan (ADE) ye oraný kaçtýr? A) (5+ñ3) B) 7ñ C) 5ñ3 D) (3+ñ5) E) (ñ3+ñ5) 38 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM ÇEMBERDE SORU SAYISI 59 UZUNLUK VE DAiRENiN ALANI Soru 46 (1999) AC =8ñ; [AC] nin orta noktasý B; [AB] ný kiriþ kabul eden çemberin AB yayýnýn orta noktasý E; C noktasýndan bu çembere çizilen teðetin deðme noktasý da, (D ile E, AB doðrusunun ters tarafýnda olmak üzere) D dir. [DE] [AB] = {F} ise, CF kaçtýr? A) 5ñ B) 4ñ C) 8 D) 6 E) 4ñ3 Soru 47 (1999) Köþeleri bir çember üzerinde bulunan dýþbükey bir sekizgenin dört kenarýnýn uzunluðu, diðer dört kenarýnýn uzunluðu da 6ñ ise, bu sekizgenin alaný kaçtýr? A) 10 B) 4+68ñ C) 88ñ D) 14 E) 7ñ3 Soru 48 (000) Alaný a olan bir dik üçgenin iç teðet çemberi ile, alaný b olan bir dik üçgenin çevrel çemberi a ayný çember ise, en az nedir? b A) 3+ñ B) 1+ñ C) ñ D) +ñ3 E) ñ3 Soru 49 (001) AB // CD olan ikizkenar bir ABCD yamuðunun tüm kenarlarý bir çembere teðettir. [AD] nin bu çembere deðme noktasý N; NC ve NB doðrularýnýn çemberi N dýþýnda kestiði BN noktalar sýrasýyla K ve L ise, BL + CN CK nedir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 Soru 50 (004) S 1 ve S çemberleri A ve B noktalarýnda kesiþi-yor. B den geçen bir doðru S 1 i B dýþýnda D noktasýnda ve S yi ise yine B dýþýnda C noktasýnda kesiyor. D den S 1 e çizilen teðet ile C den S ye çizilen teðetin kesiþim noktasý E ve AD =15, AC =16, AB =10 ise, AE kaçtýr? A) 0 B) 4 C) 5 D) 6 E) 31 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 39
1. BÖLÜM: GEOMETRi SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 59 Soru 51 (009) ABCD kirişler dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenleri, P noktasında kesişiyor. APB ve CPD üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri, ABCD dörtgeninin çevrel çemberi üstünde ve AC + BD =18 ise, ABCD dörtgeninin alanı nedir? 81 36M3 81M3 A) 36 B) C) D) E) Hiçbiri 4 Soru 5 (009) Dışbükey bir ABCD dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası E olmak üzere, AEB, BEC, CED ve DEA üçgenlerinin çevre uzunlukları birbirlerine eşittir. AEB, BEC ve CED üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, 3, 4 ve 6 ise, DEA üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır? 9 7 13 A) B) C) D) 5 E) Hiçbiri 3 Soru 53 (01) AB = 5, BC = 6 ve CA = 7 olan bir ABC üçgeninin A köşesine ait açıortayı [BC] kenarını D noktasında kesiyor. A dan geçen ve BC ye D de teğet olan çember ise, [AB] ve [AC] kenarlarını sırasıyla, P ve Q noktalarında kesiyor. AD ve PQ doğruları T noktasında kesişiyorsa, AT / TD nedir? 7 7 A) B) C) 3 D) E) 4 5 Soru 54 (1996) Þekilde ABCD kare, m(aéed)= 90 ve [BD] nin orta noktasý F dir. EA = a, EF = b, ED = c ise, ABD üçgeninin alaný aþaðýdakilerden hangisidir? A) a +b +ab B) b a + ac +4ac C) D) b ac E) b ac 3 40 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM ÇEMBERDE SORU SAYISI 59 UZUNLUK VE DAiRENiN ALANI Soru 55 (1997) O merkezli R yarýçaplý bir çemberin [OA] ve [OB] yarýçaplarý üzerinde sýrasýyla L ve M noktalarý alýnýyor. AB yayýnýn orta noktasý K olmak üzere, KLM üçgeni eþkenar üçgen ve (M3 3)R Alan(K LM)= ise, m(aéob) kaç derecedir? 8 A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 Soru 56 (001) Bir ABC üçgeninde AC =1, AB =ñ dir. AB doðrusuna göre C ile farklý tarafta, MA = AB ve m(méab)=90 olacak þekilde M noktasý ile AC doðrusuna göre B ile farklý tarafta, NA = AC ve m(néac)=90 olacak þekilde bir N noktasý alýnýyor. MAN üçgeninin çevrel çember merkezi ile A'dan geçen doðru, [BC]'yi F noktasýnda kesiyorsa, A) ñ B) ñ3 C) D) 3 E) 3ñ Soru 57 (00) BF FC nedir? AD//BC ve AB = CD koþullarýný saðlayan bir ABCD yamuðu ayný zamanda bir teðetler dörtgenidir. Ýç teðet çemberinin [CD] kenarýna deðme noktasý N, [AN]'nin çemberi ikinci kez kestiði nokta K, [BN]'nin çemberi ikinci kez kestiði nokta L olmak üzere A) 8 B) 9 C) 10 D) 1 E) 16 AN AK + BN BL dir? Soru 58 (005) AD//BC olmak üzere ABCD ikizkenar yamuðunun köþegen uzunluðu ñ3 ve taban açýsý 60 olsun. Bu yamukla ayný düzlemde bulunan bir P noktasý, PA =1 ve PD =3 koþullarýný saðlýyorsa, PC aþaðýdakilerden hangisi olabilir? A) ñ6 B) ñ C) ñ3 D) 3ñ3 E) ñ7 Soru 59 (1997) Bir ABCD dýþbükey dörtgeninde AD =, m(aébd)=m(aécd)= 90, E ve F noktalarý sýrasýyla AéBD ve AéCD ve üçgenlerinin iç teðet çemberlerinin merkezi olmak üzere, EF =ñ ise, BC nedir? M3 M5 3M A) B) ñ3 C) D) E) ñ5 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 41
Soru 1 (1994) A-TEMEL KAVRAMLAR Bir çiftlikteki tavþanlarýn sayýsý Mart ayýnda bir tam karedir. Tavþanlarýn sayýsý Nisan ayýnda 100 adet artarak bir tam kareden bir fazla hale gelir. Mayýs ayýnda, tavþan sayýsý, yine 100 adetlik bir artýþtan sonra yeniden tam kare olur. Tavþanlarýn Mart ayýndaki sayýsý nedir? A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) 51 Soru (1994) n pozitif bir tam sayý olmak üzere, S n ile {1,,...,n} kümesini gösterelim. S n kümesinin içerdikleri elemanlarýn toplamlarý birbirine eþit olan iki ayrýk alt kümeye ayrýlabildiðini kabul edelim. Bu durumda aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) n, 4k + 1 biçiminde olmak zorundadýr. B)n, 4k + biçiminde olabilir. C) n, 4k biçiminde olmak zorundadýr. D) n, ya 4k ya da 4k + 3 biçiminde olmak zorundadýr. E) Ýstenen koþulu saðlayan hiçbir n sayýsý yoktur. Soru 3 (1995) (ABC) 7 =(CBA) 9 ise, C aþaðýdakilerden hangisidir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Soru 4 (1995) Aþaðýdaki sayýlardan hangisi b > 1 doðal sayýsý ne olursa olsun asal deðildir? A) (11) b B) (111) b C) (1111) b D) (11111) b E) Hiçbiri Soru 5 (1997) N sayýsýnýn ondalýk yazýlýmýnda birler basamaðýndaki rakam 'dir. Bu rakamý bulunduðu yerden kaldýrýp en baþa yazdýðýmýzda elde ettiðimiz sayý N' nin iki katý ise, N' nin basamak sayýsý en az kaçtýr? A) 36 B) 6 C) 18 D) 1 E) 4 134 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM TEMEL SORU SAYISI KAVRAMLAR Soru 6 (1999) Aþaðýdaki sayýlardan hangisi, m ve n tam sayýlar olmak üzere, m +3mn 4n þeklinde ifade edilemez? A) 69 B) 76 C) 91 D) 94 E) Hiçbiri Soru 7 (003) 000! sayýsýnýn ondalýk yazýlýmýnýn sonunda tam olarak kaç 0 vardýr? A) B) 499 C) 65 D) 999 E) Hiçbiri Soru 8 (004) Ýkisinde 1, sekizinde, on ikisinde 3, dördünde 4 ve beþinde 5 yazýlý otuz bir taþtan otuzu herhangi iki satýrdaki sayýlarýn toplamý eþit ve herhangi iki sütundaki sayýlarýn toplamý eþit olacak biçimde 5 x 6 bir satranç tahtasýna yerleþtirilmiþse, kullanýlmayan taþtaki sayý nedir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Soru 9 (006) 1000 den küçük olan ve veya daha fazla ardýþýk pozitif tam sayýnýn toplamý olarak yazýlamayan kaç pozitif tam sayý vardýr? A) 6 B) 10 C) 6 D)68 E) 7 Soru 10 (1998) m=(abab) ve n=(cdcd) ondalýk sistemde dört basamaklý iki tam sayýnýn gösterimi olsun. m + n sayýsýnýn tam kare olmasýný saðlayan (m, n) çiftleri için, a. b. c. d çarpýmý en çok kaç olabilir? A) 39 B) 40 C) 588 D) 600 E) 750 Soru 11 (00) Üç bileþik tek sayýnýn toplamý olarak yazýlabilen tüm tam karelerin kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {(k+1) : k 0} B) {(4k+3) : k 1} C) {(k+1) : k 3} D) {(4k+1) : k } E) Hiçbiri Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 135
.BÖLÜM: SAYILAR TEORiSi SORULARI TOPLAM SORU SAYISI Soru 1 (00) Bir A sayýsýnýn ondalýk gösteriminin saðýna üç rakam yazarak, 1 + +...+ A toplamýna eþit bir sayý elde edilmesini olanaklý kýlan kaç tane A pozitif tam sayýsý vardýr? A) 0 B) 1 C) D) 00 E) Hiçbiri Soru 13 (004) i,o,p,t,y {0,1,,...,9} olmak üzere, top =iyitop ise, y i kaçtýr? A) 1 B) C) 3 D) 5 E) Hiçbiri Soru 14 (011) 100 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı ikiyi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir? A) 1 B) 18 C) 17 D) 16 E) Hiçbiri Soru 15 (01) Farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılımında sıfırdan farklı tüm kuvvetlerin tek sayılar olduğu bir pozitif tam sayıya tekil sayı diyelim. En çok kaç ardışık tekil sayı vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Hiçbiri Soru 16 (1996) Elemanlarýndan herhangi ikisi aralarýnda asal olan ve herhangi ikisinin farký üçüncüsü ile bölünen, üç elemanlý tüm {a, b, c} Z kümelerini dikkate aldýðýmýzda, aþaðýdakilerden hangisi doðru deðildir? A) a, b, c sayýlarýndan en az biri negatif olmalýdýr. B) Sýfýrdan farklý hangi c tam sayýsý verilirse verilsin, {a, b, c} istenen koþulu saðlayacak biçimde a ve b tam sayýlarý bulunur. C) a, b, c sayýlarýndan en az birinin mutlak deðeri 1 ya da dir. D) a, b, c ardýþýk tam sayýlar olamaz. E) Hiçbiri 136 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
.BÖLÜM: SAYILAR TEORiSi ÇÖZÜMLERi TOPLAM SORU SAYISI 9 Çözüm 8 x 1 (mod p) p asal sayı denkliğinin kökü sadece p 1 (mod 4) durumunda vardır. O halde, 97 1 (mod 4), x 1 (mod 97) için çözüm var. Bunlardan bazıları; 48, 4 veya 1 dir. a 1 (mod 98) olsaydı, a 1 (mod 7) olup bu durum mümkün değildir çünkü, 7 3 (mod 4) a 1 (mod 99) olsaydı, a 1 (mod 11) olup bu durum mümkün değildir çünkü, 11 3 (mod 4) a 1 (mod 100) olsaydı, a 1 (mod4) olup bu durum mümkün değildir Cevap B Çözüm 9 Bir sayı 5 ile bölünüyorsa 5 e de bölünür. 5 e bölünmeyenin 5 e bölünmeyeceği açıktır. (Her 5 e bölünen 5 e bölünür diye bir şey söylenemez.) A) (x 1) 3 + 5x (mod 5) 5(x 1) 3 0 (mod 5) bunu sağlamak için x 1 (mod 5) olmalıdır. Fakat x 1 (mod 5) için (x 1) 3 + 5x 15k 3 + 5k + 5 5 (mod 5) B) (x + 1) 5 5x 0 (mod 5) 5(x + 1) 3 0 (mod 5) Bunun için x 1 (mod 5) olmalı fakat x 1 (mod 5) için (x + 1) 3 5x = 15k + 5 5 (mod 5) C) (x + 1) 3 + 11x 9 = x 3 + 14x + 3x 8 ve x 1 (mod 5) için (x + 1) 3 + 11x 9 0 (mod 5) olur. x = 11 için x 3 + 14x + 3x 8 0 (mod 5) dir. D) x 3 + x + 1 T 0 (mod 5) Cevap C Çözüm 10 Çözüm 1: a + b 4 = 5 n ifadesi Pisagor üslülerinden a = (3k) ve b = 4k olup a + b 4 = 5 n de yerine yazıldığında (3k) 4 + (4k) 4 = 5 n ve (9k ) + (16k ) = (5k ) = 5 n ve n = m + için 5k = 5.5 m ve k = 5m ve k = ± 5m elde edilir. O halde sonsuz çoklukta m değeri için k değeri vardır ve soruda istenen durumu sağlayan (a, b, n) pozitif tam sayı üçlüleri çokluktadır. Çözüm 1I: 3 + 4 = 5 eşitliği Pisagor üçlüsü olup, bu eşitliğin her iki tarafını 5 4k ile çarparsak (5 k 3) + (5 k ) 4 = (5 k + 1 ) eşitliğinden sonsuz çözüm elde edilir. Cevap E 196 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM MODÜLER SORU SAYISI 9 ARiTMETiK; Temel ilke ve Yöntemlerin Uygulaması Çözüm 11 11 + 13 + 17 1 + 1 + 1 3 (mod 4) olup tam kare değildir. Tam kare bir sayı a 0, 1 (mod 4) 4 +5 + 6 ( 1) + 0 + 1 (mod 5) tam kare bir ifade a 0, 1, 4, (mod 5) olup tam kare değildir. 1 + 4 + 36 1 (1 + + 3 ) = 1.14 tam kare değildir. 11 + 1 + 13 = 11 + 1 + (11.1) = x + (x + 1) + (x(x + 1)) = (x(x + 1) + 1) Yani tam karedir. 13 + 144 + 11 = 13 +.13 + 1 = (13 + 1) dir. Cevap D Çözüm 1 a = 547,503,491 durumlarında a asal olduğundan, Fermat ın Küçük Teoreminden dolayı n 4 n (mod a) olur. a = 561 = 11.3.17 durumunda; ebob(n, 11) = 1 ise, n 10 1 (mod 11) ise n 561 (n 10 ) 56. n n(mod 11) olur. Şayet 11 n ise n 561 0 (mod 11) dir. ebob(n, 3) = 1 ise, n 561 (n ) 80.n n(mod 3) olur. Şayet 3 n ise n 561 0 (mod 3) tür. ebob(n, 17) = 1 ise, n 561 (n 16 ) 35.n n(mod 17) olur. Şayet 17 n ise n 561 0 (mod 17) dir. a = 667 = 3.9 dir. n 666 1 (mod 667) olduğunu kabul edelim. O halde, n 1 (mod 3) ve n 8 1 (mod 9) olmalıdır. Fakat ve 8 sayıları 666 nın böleni olmadıklarından n 666 1 (mod 3) ve n 666 1 (mod 3) n 666 1 (mod 9) yazamayız. Buradan n 666 1 (mod 667) dir denilemez. Cevap A Çözüm 13 (5 + 1). (a 0 + a 1 5 + a 5 +... + a 9 5 9 ) = A A = a 0 + (a 0 + a 1 )5 + (a 1 + a )5 + (a + a 3 )5 3 +...+ (a 8 + a 9 )5 9 + a 9 5 10 A 1 (mod 5 10 ) ise A 1 (mod 5 k ) (1 k 10) dur. O halde A 1 (mod 5) den a 0 = 1, A 1 (mod 5 ) den a 1 = 4, A 1 (mod 5 3 ) den a = 0, Benzer şekilde bir 4 bir 0 olarak gider. Yani a 9 = 4 dür. Hakikaten = 1 + 5 + 4. 5 + 4. 5 3 + 4. 5 3 +... + 4. 5 10 = 1 + 5 11 olur. Cevap E Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 197
3. BÖLÜM: ANALiZ VE CEBiR SORULARI TOPLAM SAYISI 37 Soru 7 (001) a ve b pozitif gerçel sayýlar ve ab(a b) = 1 ise, a + b aþaðýdakilerden hangisine eþit olabilir? A) 1 B) C) ñ D) ò11 E) Hiçbiri Soru 8 (005) x +y +x 6y=6 eþitliðini saðlayan (x, y) gerçel sayý ikilileri için, (x 1) +(y ) ifadesi aþaðýdaki deðerlerden hangisini alamaz? A) B) 9 C) 16 D) 3 E) 30 Soru 9 (005) a,b ve c, a < b koþulunu saðlayan gerçel sayýlar olmak üzere, her x gerçel sayýsý için, ax + bx + c 0 ise, a + b + c b a ifadesinin alabileceði en küçük deðer nedir? 5 M5 A) B) C) D) 3 E) M7 M3 Soru 30 (006) x, y, z pozitif gerçel sayıları xy + yz + zx = 5 koşulunu sağlıyorsa, x + y + z xyz ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz? A) 3 B) 4 C) 5 D) 3ñ3 E) Hiçbiri Soru 31 (008) xy=1 koþulunu saðlayan her x, y gerçel sayýlarý için ((x + y) + 4)((x + y) ) A (x y) eþitsizliði saðlanýyorsa, A sayýsýnýn alabileceði en büyük deðer aþaðýdakilerden hangisidir? A) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 Soru 3 (008) x bir gerçel sayý ise kaçtýr? ifadesinin alabileceði en küçük gerçel deðer A) ò39 B) 6 C) D) ñ+ò13 E) Hiçbiri 43 6 44 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM EŞiTSiZLiKLER SORU SAYISI 37 Soru 33 (009) x + y =13 eşitliğini sağlayan (x,y) gerçel sayı ikilileri için, x +7x 3y+y ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz? 35 A) 08 B) 15ñ C) D) 37 E) Hiçbiri Soru 34 (010) Aşağıdaki ifadelerden hangisi, 0<x<1 ve 0<y<1 koşullarını sağlayan tüm x, y gerçel sayıları için x 3 +y 5 ten küçük değildir? A) x y B) x y C) x y 3 D) x y E) xy 4 Soru 35 (011) i +j +k = 011 koşulunu sağlayan i, j, k tam sayıları için, i+j+k ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir? A) 71 B) 73 C) 74 D) 76 E) 77 Soru 36 (01) x 3 +y 4 = x y eşitliğini sağlayan tüm (x, y) pozitif gerçel sayı ikililerinde x in aldığı en büyük değer A ve y nin aldığı en büyük değer B ise, A/B nedir? 51 79 3 A) B) C) D) E) 43 3 79 104 4 56 Soru 37 (011) Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir? x x 3 A) B) C) D) E) 1 + x 1 1 + x 11 1 + x 10 1 + x 9 x 4 x 5 x 6 1 + x 8 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 45
3. BÖLÜM: ANALiZ VE CEBiR ÇÖZÜMLERi TOPLAM SORU SAYISI 37 Çözüm 8 x + y + 6y=6 ifadesinin (x + 1) + (y 3) = 4 şeklinde düzenlendiğinde Merkezi M 1 ( 1, 3) yarıçapı r=4 olan bir çember olduğu görülür. (x 1) + (y ) = r için M (1, ) dir. MM = ( 1, 1) + ( 3 ) = 5 1 4 + ñ5 r 4 ñ5 ve 1 +8ñ5 r 1 8ñ5 olup bu değerler yaklaşık olarak 30, ~ r 3, ~ Cevap A Çözüm 9 x R için ax + bx + c 0 olduğundan a > 0 dır. a > 0 olduğundan x b c + + 0 olup a x a x + mx + n 0 dır. a+b+c = 1+m+n b a m 1 olup 1+m+n m 1 in minimum değeri aranan çözümdür. x + mx + n 0 için = m 4n 0, n m 4 tür. 1+m+n m 1 m n+ = 1+ nin en küçük değeri n = içindir. m 1 4 m n + + 1 1 1 4 8 + 1 = + m + = + m m 1 4( m 1) m +8 m 1 9 9 = m + 1+ + olup AO GO dan m 1 + 6 dır. m 1 m 1 m +8 m 1 Çözüm 30 1+m+n 1 8 olup, 1 +. 8 = 3 tür. m 1 4 x, y, z R + olduğundan, x + y + z xy + yz + xz =5 Cevap D xy + yz + xz 5 = 3 3 ( xy)( yz)( xz) = x y z ise 3 3 3 5 xyz olup, x + y + z 5 xyz 5 < 3 tür. 3 3 3 Cevap E 31 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM EŞiTSiZLiKLER SORU SAYISI 37 Çözüm 31 x + y = m olsun. ((x+y) + 4) ((x +y) ) A(x y) (x + xy + y + 4) (x +xy + y ) A(x +xy + y ) dir. x. y = 1 olduğundan, (m + 6) m A(m ) olur. m + (6 A) m + A 0 ise =0 dır. =b 4ac = (6 A) 4. A= 0 A 0A + 36 = 0 elde edilir. (A - 18) (A - ) =0 max A =18 bulunur. Cevap D Çözüm 3 x 6x+ 13+ x 14x+ 58 = ( x 3) + + ( x 7) + 3 ifadesini analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık şeklinde ifade edebiliriz. AC + CB toplamının en küçük değeri olması için A noktasının X eksenine göre, simetriği olan A ile C 1, B noktaları doğrusal olmalıdır. A B uzunluğu AC + CB nin alabileceği en küçük değerdir. İki nokta arasındaki uzaklık A B = ( 7 3) + ( 3 ( )) = 16 + 5 = 41 bulunur. Cevap E Çözüm 33 A = x + 7x 3y + y 7 =(x + ) 3 + (y ) 9 olsun. Buna göre, (x, y) gerçel sayı ikilileri için A nın alabileceği en büyük değeri KM ve en küçük değerde KN olur. Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklıktan; 7 ( +13 ) +( 3 7 ) A ( 13 ) +( 3 ) eşitsizliğinden 370 1089 Α + 9 yanı 9,5 Α 74,5 4 4 4 bulunur. Seçeneklerdeki tüm değerler bulunan aralıktadır. Cevap E Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 313
Soru 1 (006) J-PROBLEMLER Kenar uzunluklarý 1 olan 7 tane küpten her birinde, iki karþýlýklý yüz birer nokta, baþka iki karþýlýklý yüz ikiþer nokta, geri kalan iki karþýlýklý yüz de üçer nokta ile iþaretleniyor. Bu 7 küp ile 3 3 3 boyutlarýnda bir küp oluþturursak, bu küpün yüzleri üstünde iþaretlenmiþ toplam nokta sayýsý en az kaç olabilir? A) 54 B) 60 C) 7 D) 90 E) 96 Soru (010) 1001 kişilik bir okulda herhangi üç öğrenciden en az ikisi arkadaştır. Bu okulda en çok arkadaşa sahip olan öğrencilerden birinin arkadaş sayısı, 334, 41, 450, 499 değerlerinden kaçını alabilir? A) 4 B) 3 C) D) 1 E) Hiçbiri Soru 3 (1997) a, b, c adýndaki üç adam, adlarý (ayný sýrayla olmasý gerekmeksizin) x, y, z olan eþleri ile kitap almaya çýkarlar. Kitaplarýn fiyatlarý tam sayýlar olup bir kiþinin aldýðý tüm kitaplarýn fiyatý aynýdýr. Bu altý kiþiden her biri bu alýþveriþte bir kitaba ödediði para kadar kitap alýr. Adamlardan her biri kendi eþinden 63 lira; a, y den 3 lira; b de x ten 11 lira daha fazla harcar. d nin w ile evli olma durumunu (d, w) ile gösterirsek, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) (a, z), (b, x), (c,y) B) (a, y), (b,z), (c, x) C) (a, x), (b, y), (c, z) Soru 4 (001) D) (a, z), (b, y), (c, x) E) (z, y), (b, x), (c, z) Berk, Ayça'nýn tuttuðu iki basamaklý bir sayýyý tahmin etmeye çalýþýyor. Berk'in her tahminine karþýlýk, Ayça, doðru bilinen basamaklarýn sayýsýný söylüyor. Ayça'nýn tutuðu sayý ne olursa olsun, Berk bu sayýyý n tahminde bulmayý garanti ediyorsa, n en az kaçtýr? A) 9 B) 10 C) 11 D) 415 E) 0 Soru 5 (001) A, B, C, D, E kasabalarý çember biçimindeki bir yol üstünde, saat yönünde A ile B, B ile C, C ile D, D ile E ve E ile A arasýndaki yollarýn uzunluklarý sýrasýyla 5, 5,, 1 ve 4 km olacak þekilde yer alýyor. Bu yol üstünde kurulacak bir saðlýk ocaðýnýn yeri, saðlýk ocaðýndan bu kasabalara giden en kýsa yollarýn uzunluklarýnýn maksimumunu en aza indirecek biçimde seçilmek isteniyor. Bu koþulu saðlayan kaç yer vardýr? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Soru 6 (1998) Alýnan herhangi n küme arasýnda birbirini içermeyen en az 3 tane veya herhangi ikisinden biri diðerini içeren en az 3 tane küme bulunmasýný garanti eden en küçük n tam sayýsý nedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 379
4. BÖLÜM: SONLU MATEMATiK SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 19 Soru 7 (009) Tüm tam sayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı altkümeye düşmeyecek biçimde, n altkümeye ayrılabiliyorsa, n en az kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) Hiçbiri Soru 8 (011) Boyları birbirinden farklı 14 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yanyana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur? A) 4 B) 43 C) 45 D) 5 E) Hiçbiri Soru 9 (1996) Farklý boylarda 17 kiþi yan yana dizilmiþ olsun. Bunlardan n tanesi artan ya da azalan bir boy sýrasýnda kalacak þekilde geri kalanlar sýradan uzaklaþtýrýlýyor. Bu diziliþ ne olursa olsun, böyle bir iþlemi olanaklý kýlan en büyük n sayýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 Soru 10 (1998) birim kareyi göstermek üzere, istenilen sayýda, ve en çok bir tane kullanýlarak aþaðýdaki n tam sayýlarýndan hangisi için n x n lik bir satranç tahtasý kaplanamaz? A)96 B) 97 C) 98 D) 99 E) 100 Soru 11 (1999) 13 kent arasýnda, karþýlýklý olmasý gerekmeyen uçak seferleri yapýlýyor. k olmak üzere A 1 den A ye, A den A 3 e,..., A k-1 den A k ye ve A k den A 1 e uçak seferi varsa, A 1, A,..., A k dizisine bir çevrim diyelim. Seferler hangi kentler arasýnda olursa olsun, bir çevrimin olmasýný gerektiren en küçük toplam sefer sayýsý kaçtýr? A) 14 B) 53 C) 66 D) 79 E) 156 Soru 1 (007) Bir çember etrafýnda yazýlý n tam sayýdan her biri, kendisini saat yönünde izleyen iki sayýnýn farkýnýn mutlak deðerine eþit olup, tüm sayýlarýn toplamý 78 ise, n kaç farklý deðer alabilir? A) 1 B) C) 4 D) 139 E) Hiçbiri Soru 13 (009) Her biri dört elemanlı n kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, başlangıçtaki n kümeden birine eşitse, n en çok kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 15 E) Hiçbiri 380 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM PROBLEMLER SORU SAYISI 19 Soru 14 (010) 010 kişinin yaşadığı bir köyde her ikisi de aynı arkadaş sayısına sahip olan bir tek ikili varsa, bu sayı kaç farklı değer alabilir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Hiçbiri Soru 15 (011) Ağırlıkları pozitif tam sayılar olan herhangi 011 taş, biri diğerinin iki katı ağırlıkta iki taş içermeyen n öbeğe ayrılabiliyorsa, n en az kaç olabilir? A) 10 B) 51 C) 1 D) 11 E) Hiçbiri Soru 16 (008) n 4 kiþilik bir partide, her 3 kiþinin tam olarak 1 ortak arkadaþý varsa n kaç farklý deðer alabilir? A) 1 B) C) 4 D) Sonsuz sayıda E) Hiçbiri Soru 17 (009) Yüz kenti olan bir ülkedeki bazı kentler arasında yapılan tek yönlü uçak seferleri, başkentten başlayıp, ülkedeki her kentten en az bir kez geçerek, yeniden başkente dönmeyi mümkün kılan en az bir sefer dizisi bulunacak biçimde düzenlenmiştir. Böyle bir düzenlemede, bu şekildeki uçak seferi dizilerinden sefer sayısı en az olanın sefer sayısı, bütün bu tür düzenlemeler arasında en çok kaç olabilir? A) 1850 B) 100 C) 550 D) 3060 E) Hiçbiri Soru 18 (01) Her kutuda en çok 0 taş olmak koşuluyla k tane taş 01 kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, k en az kaç olabilir? A) 500 B) 450 C) 40 D) 345 E) 96 Soru 19 (011) 1,,..., 40 sayıları x011 bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? A) 16168444 B) 1168440 C) 100884 D) 80844 E) Hiçbiri Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 381
4. BÖLÜM: SONLU MATEMATiK SORULARI TOPLAM SORU SAYISI 19 38 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
J-PROBLEMLER Çözüm 1 Küplerin yüzlerindeki sayıların toplamının en az olması için şekildeki gibi bir dizilimin olması gerektiği aşikardır. Bu durum diğer üç yüz için simetrik olacağından, (9+15+1)=90 dır. Çözüm Çözüm 1 Cevap D A ve B arkadaş olmayan iki kişi olsun. Sınıftaki herhangi üç kişiden ikisi arkadaş olacağına göre, geriye kalan herkes ya A ile ya da B ile arkadaştır. Buna göre, A nın en az 500 arkadaşı vardır. Çözüm Hepsi birbiriyle tanışıyorsa S=1000. Tanışmayan iki A ve B öğrencileri bulunsun Herhangi C A, B için {A, B, C} üçlüsünden ikisi arkadaştır. Bunlar A, C veya B, C olabilir. Her C kişisi ya A ile yada B ile arkadaştır. A nın arkadaş sayısı + B nin arkadaş sayısı 999 A nın arkadaş sayısı 500 veya B nin arkadaş sayısı 500 S 500 Cevap E Çözüm 3 k liradan k tane kitap alan birinin eşi de m liradan m kitap alırsa k m = 63 olup, kitapların fiyatları tam sayılar olduğundan (k m) (k + m) = 63 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 1 63 3 1 7 9 buradan k 1 = 3 ve m 1 = 31 k = 1 ve m = 9 k 3 = 8 ve m 3 = 1 a y = 3 b x =11 olduğuna göre, a=k 1 = 3 y= m = 9 b=k = 1 x= m 3 = 1 (a, z), (b,y), (c,x) c=k 3 = 8 z= m 1 = 31 Cevap B 448 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri
TOPLAM PROBLEMLER SORU SAYISI 19 Çözüm 4 Ayça nın tuttuğu iki basamaklı sayının rakamlarını en az beş hamlede bulur. 10,3, 45, 67, 89 beş tane sayının, Berk in tahmini için bu beş sayıdan biri kalmışsa sayı ab ve ba dır. Örneğin kalan sayı 3 ise Ayça nın tuttuğu sayı 3 veya 3 dir. Berk in tahmini için bu beş sayıdan ab, cd gibi ikisi kalmışsa Ayça nın tuttuğu sayı; ac, ad, bc, bd Örneğin; Ayça nın tuttuğu sayı 73 ise, 3 ile 97 sayıları kalacaktır. 9, 7, 7, 39, 93, 37, 73, 9 değilse, 9 de değildir. (6. tahmin) 7 değilde 7 de değildir. (7. tahmin) 39 değilse 93 de değildir. (8. tahmin) 37 değilse 73 tür. (9. tahmin) Cevap A Çözüm 5 Şekilde görüldüğü gibi en uzak kasabanın sağlık ocağına 6 km de ulaşabileceği saat yönünde A kasabasına 1 km uzakta ve D kasabası ile C kasabasının ortasında aynı koşulları sağlayan iki yer vardır. Cevap C Çözüm 6 A B olsun. A C ve B D şartını sağlayan C ve D kümeleri için A, B, C, D nin yanına hangi kümeyi alırsak alalım şart sağlanır. A={a} B={b} C={a,c} D={b,d}, E={a,b,c,d} kümelerini aranan durumun sağlandığını gösterir. Cevap B Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri 449
4. BÖLÜM: SONLU MATEMATiK ÇÖZÜMLERi TOPLAM SORU SAYISI 19 Çözüm 7 n = veya n = 3 olamaz. n= için {1, {1, {,3 {3,4 olmadığını gösterdik. n=3 için aynı şekilde olamaz. n=4 için mod 4 e göre, {..., 1, 5, 9,...} {...,, 6, 10,...} {..., 3, 7, 11,...} {..., 4, 8, 1,...} olup herhangi iki sayının farkı her zaman 4k k Z formunda olacaktır. Cevap C Çözüm 8 14 öğrencinin yan yana dizlişinde sağdan sola veya soldan sağa bakıldığında hangisinde küçükten büyüğe doğru dizilişin çok olduğuna bakılır. Örneğin 1,, 3, 4 sayıları için 143 şeklindeki bir sıralanışta 1 veya 34 başlangıç olarak alınabilir. Buna göre, en fazla Bu da 45 demektir. 14 / den küçük en büyük tamsayı adımdaboy sırasına koymak mümkün olur. Cevap C Çözüm 9 Çözüm 1 n elemanlı bir dizide n = a. b + 1 olmak üzere a+1 ya da b+1 tane bu dizinin artan ya da azalan dizisi vardır. Buna göre, ilk diziliş ne olursa olsun dediğine göre, a=b için alırsak istenen durum sağlanır. Buna göre, 17 = 4. 4 + 1 alındığında ilk diziliş ne olursa olsun 4 + 1 = 5 tane artan ya da azalan alt dizi vardır. Çözüm Genel durumu bozmadan kişilerin boylarını 1,,..., 17 varsayabiliriz. Kişiler 16, 17, 11, 1, 13, 14, 15, 6, 7, 8, 9, 10, 1,, 3, 4, 5 şeklinde dizilmişse, buradan artan veya azalan ve altı kişiden oluşan bir alt dizi seçme mümkün değildir. Öte yandan kişiler ne şekilde dizilirse dizilsin, buna göre, 5 kişilik artan veya 5 kişilik azalan bir alt diziliş bulunur. Cevap D 450 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatları Soru ve Çözümleri