i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/
ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni olmadan Elektronik, optik, mekanik ya da diğer yollarla basılamaz, çoğaltılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 2014 All rights reserved No parts of this book may be printed, Reproduced or distributed by any electronical, optical, mechanical or other means without the written permission of MAHMUT KOÇAK. Kapak Düzeni: Mahmut KOÇAK Tasarım-Dizgi: Mahmut KOÇAK ISBN 000-0000-0000-0-0 2. Baskı, Eskişehir, 2014 Mahmut Koçak tarafından LATEX kullanılarak hazırlanmıştır. Typesed by Mahmut Koçak using LATEX.
İçindekiler iii İ ç i n d e k i l e r Ö n sö z Bölüm 1 1 13 33 49 77 viii Sayı Kümeleri 1.1 Real Sayılar 2 Bölüm 2 1.2 Aralıklar 5 1.3 Üstlü İfadeler 6 1.4 Bir Reel Sayının Mutlak Değeri 10 1.5. Alıştırmalar 11 Denklemler ve Eşitsizlikler 2.1 Denklemler 14 Bölüm 3 2.2 Tek Değişkenli Lineer Denklemler 15 2.3 Tek Değişkenli Lineer Eşitsizlikler 18 2.4 2. Dereceden Tek Değişkenli Denklemler 20 2.5 2. Dereceden Tek Değişkenli Eşitsizlikler 27 2.6. Alıştırmalar 29 Düzlem ve Doğrular 3.1 Dik (Kartezyen) Koordinat Sistemi 34 Bölüm 4 3.2 Düzlemde Uzaklık 34 3.3 Düzlemde Doğrular 36 3.4 İki Değişkenli Lineer Denklemler 44 3.5 İki Değişkenli Lineer Eşitsizlikler 46 3.6. Alıştırmalar 48 Fonksiyonlar 4.1 Fonksiyon 50 Bölüm 5 4.2 Fonksiyon Grafikleri 54 4.3 Parçalı Fonksiyonlar 58 4.4 Mutlak Değer Fonksiyonu 61 4.5 Tam Değer Fonksiyonları 64 4.6 Fonksiyonlarda Cebirsel İşlemler 67 4.7. Alıştırmalar 73 Polinomlar ve Rasyonel Fonksiyonlar 5.1 İkinci Dereceden Polinomlar-Kuadratik Fonksiyonlar 78
iv İçindekiler 97 111 131 149 165 Bölüm 6 5.2 Kuadratik Fonksiyonların Grafikleri: Paraboller 79 5.3 Polinomlar 84 5.4 Rasyonel Fonksiyonlar 92 5.5. Alıştırmalar 94 Fonksiyonların İncelenmesi Bölüm 7 6.1 Bire-Bir Fonksiyonlar ve Örten Fonksiyonlar 98 6.2 Monoton Fonksiyonlar 101 6.3 Ters Fonksiyonlar 103 6.4 Tek ve Çift Fonksiyonlar 107 6.5. Alıştırmalar 109 Fonksiyonların Ekonomideki Bazı Uygulamaları 7.1 Arz ve Talep Fonksiyonları 112 Bölüm 8 7.2 Maliyet Fonksiyonu 114 7.3 Gelir ve Kar Fonksiyonları 115 7.4 Kar-Zarar Analizi 117 7.5 Pazar Dengesi 124 7.6. Alıştırmalar 128 Limit Kavramı 8.1 Bir Noktada Sonlu Limitler 132 Bölüm 9 8.2 Bir Noktada Sonsuz Limitler 139 8.3 Sonsuzlukda Sonlu Limitler 141 8.4 Sonsuzlukda Sonsuz Limitler 143 8.5. Alıştırmalar 146 Süreklilik Kavramı 9.1 Bir Fonksiyonun Sürekliliği 150 Bölüm 10 9.2 Sürekli Fonksiyonlar Üzerinde Aritmetik İşlemler 156 9.3 Bileşke Fonksiyonların Sürekliliği 157 9.4 Süreksizlik Noktaları 157 9.5 [a, b] Üzerinde Tanımlı Sürekli Fonksiyonların Özellikleri 159 9.6 Aradeğer Teoremi 160 9.7. Alıştırmalar 162 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 10.1 Genel Üstler 166 10.2 Üstel Fonksiyonlar 167 10.3 Üstel Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 167
İçindekiler v 10.4 Logaritmik Fonksiyonlar 169 10.5 Logaritmik Fonksiyonların Temel Özellikleri ve Grafikleri 170 10.6 Kuvvet Fonksiyonu 174 10.7 Elemanter Fonksiyonlar 174 10.8 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Limitleri 175 10.9 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Sürekliliği 178 183 Bölüm 11 10.10. Alıştırmalar 179 Türev Kavramı 11.1 Ortalama Değişim 184 11.2 Türev Tanımı 186 11.3 Temel Türev Alma Kuralları 189 11.4 Ters Fonksiyonların Türevi 191 11.5 Bileşke Fonksiyonların Türevi-Zincir Kuralı 193 11.6 Üstel Fonksiyonların Türevi 195 11.7 Logaritmik Fonksiyonların Türevi 197 11.8 Yüksek Mertebeden Türevler 199 203 Bölüm 12 11.9. Alıştırmalar 201 Yerel Maksimum ve Minimum Noktaları 12.1 Tanım ve Temel Teoremler 204 12.2 Birinci Türev Testi 209 12.3 İkinci Türev Testi 211 12.4 Konveks ve Konkav Fonksiyonlar 218 225 12.5. Alıştırmalar 222 Bölüm 13 Fonksiyon Grafiklerinin Daha Detaylı Çizimi 13.1 Asimtotlar 226 13.2 Fonksiyon Grafiklerinin Çizimi 227 237 13.3. Alıştırmalar 235 Bölüm 14 Ekonomi ve İş Hayatında Marjinal Analiz 14.1 Ortalama Maliyet ve Marjinal Maliyet Fonksiyonları 238 14.2 Ortalama Gelir ve Marjinal Gelir Fonksiyonları 241 14.3 Ortalama Kar ve Marjinal Kar Fonksiyonları 242 14.4 Talep ve Arzın Fiyat Esnekliği 244 14.5 Optimizasyon (En İyileme) Problemleri 247 14.6. Alıştırmalar 253
vi İçindekiler 259 281 323 371 411 Bölüm 15 Üstel ve Logaritmik Modeller 15.1 Faiz Hesabı 260 Bölüm 16 Belirsiz İntegral Bölüm 17 15.2 Üstel Büyüme ve Yok Olma 269 15.3 İkiye Katlama Süresi ve Yarılama Süresi 276 15.4. Alıştırmalar 279 16.1 Belirsiz İntegral-Ters Türev 282 16.2 Temel İntegral Alma Teknikleri 295 16.3. Alıştırmalar 319 Belirli İntegral 17.1 Giriş 324 Bölüm 18 17.2 Riemann Toplamları 326 17.3 Bir Fonksiyonun Belirli İntegrali 331 17.4 Belirli (Riemann) İntegralinin Hesaplanması 333 17.5 Belirli İntegralin Temel Özellikleri 334 17.6 Alan Hesabı 339 17.7 Belirli İntegralin Bazı Uygulamaları 346 17.8 Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri 357 17.9 Has olmayan İntegraller 360 17.10. Alıştırmalar 365 Matrisler ve Matrisler Üzerinde Cebirsel İşlemler Bölüm 19 18.1 Tanım ve Örnekler 372 18.2 Matrisler Üzerinde Cebirsel İşlemler 376 18.3 Matris İşlemlerinin Özellikleri 386 18.4 Bir Matrisin Eşelon Formu 395 18.5 Ters Matrisler 400 18.6 Determinant 402 18.7. Alıştırmalar 408 Lineer Denklem Sistemleri 19.1 Lineer Denklem Sistemleri 412 19.2 Yerine Koyma Metodu 413 19.3 Yoketme Metodu 415 19.4 Gauss Yoketme Metodu 422 19.5 Ters Matris Metodu 429 19.6 Leontief Giridi-Çıktı Analizi 431
İçindekiler vii 441 Bölüm 20 19.7. Alıştırmalar 438 Lineer Programlama: Geometrik Yaklaşım 20.1 İki Bilinmeyenli Lineer Eşitsizlik Sistemleri 442 20.2 İki Karar Değişkenli LP Problemlerinin Geometrik Çözümleri 445 20.3. Alıştırmalar 469 Kaynaklar 473 Dizin 477
viii Önsöz Önsöz Bu kitap üniversitelerin İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi, Ziraat Fakültesi, Sağlık Bilimleri Fakültesi gibi değişik fakültelerinin birçok bölümlerinde değişik isimlerle okutulan Genel Matematik derslerinin kapsamındaki konuları içerecek şekilde hazırlanmıştır. Bu kitap hazırlanırken mümkün olduğunca teoriden kaçınılarak konulara sezgisel olarak yaklaşılmış, konuların anlaşılması için kavramlar çok sayıda örnekle desteklenmiştir. Bu kitap yirmi bölümden oluşmuştur. Bu bölümlerin içeriği aşağıdaki gibidir. Birinci bölümde, reel sayı kümeleri kısaca tanıtılarak, bir reel sayının (2 5, 3 2 gibi) tam üstleri ve reel sayların mutlak değerleri verilmiştir. İkinci bölümde, tek değişkenli liner denklem ve lineer eşitsizliklerle iki değişkenli lineer denklem ve lineer eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde, düzlemde doğru çeştleri ve doğru denklemleri ile iki değişkenli lineer denklem ve iki değişkenli lineer b eşitsizlikler verilmiştir. Dördüncü bölümde, fonksiyon kavramı ve basit fonksiyonların grafikleri verilerek sıkça kullanılan bazı temel fonksiyonlar ile fonksiyonlar üzerinde cebirsel işlemler verilmiştir. Beşinci bölümde, polinom ve rasyonel fonksiyonlar verilmiş ve ikinci dereceden polinom (kuadratik) fonksiyonları ve bunların değişik yazılımları ile kuadratik fonksiyonların grafiklerinin (parabollerin) basitçe nasıl çizileceği verilmiştir. Altıncı bölümde, beşinci bölümde verilen fonksiyonların incelenmesi verilecektir. Bu bölümde bir fonksiyonun bire-bir, örten, artan, azalan olması verilerek bu kavramlar arasındaki ilişkiler verilmiştir. Yedinci bölümde, fonksiyonların özellikle ekonomiye bazı uygulamaları verilecektir. maliyet, gelir ve kar fonksiyonları verilecektir. Bu bölümde arz, talep, Sekizinci bölümde, matemetiğin önemli konularından biri olan ve daha sonraki konulara temel teşkil edecek olan limit kavramı ve limitlerle ilgili kurallar verilecektir. Dokuzuncu bölümde, limit kavramıyla yakından ilişkili olan süreklilik kavramı ve süreklilikle ilgili aritmetik işlemler verilecektir. Onuncu bölümde, limit kavramı yardımıyla tam üsler kullanılarak (2 0.5, 3 π gibi) genel üsler tanıtılacaktır. Bu bölümde genel üstler yardımıyla bilimin herdalında sıkça kullanılan genel üstel fonksiyonlar ve bu fonksiyonların ters fonksiyonları olan logaritmik fonksiyonlarla bu fonksiyonların grafikleri ile temel özellikleri verilecektir. On birinci bölümde, bir fonksiyonun ortalama değeri ve daha sonraki bölümlerde önemli uygulamaları bulunan bir fonksiyonun türevi ve yüksek mertebeden türev kavramları tanımlanacaktır. On ikinci bölümde, bir fonksiyonun yerel maksimumu ve yerel minimumu ile kapalı ve sınrlı aralıklar üzerinde tanımlı olan fonksiyonların global maksimum ve minimumlarının türev yardımıyla nasıl bulunacağı verilecektir. On üçüncü bölümde, verilen bir fonksiyonun grafiğinin türev yardımıyla daha detaylı nasıl çizileceğini vereceğiz. On dördüncü bölümde, türev kavramının bazı bilimdallarında özellikle ekonomideki uygulamaları ile türev kavramı kullanılarak optimizasyon (eniyileme) problemlerinin çözümlerinin nasıl bulunacağını göreceğiz. On beşinci bölümde, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla oluşturulan modeller incelenecektir. Bu bölümde basit faiz, birleşik faiz, sürekli birleşik faiz hesaplanaması verildikten sonra daha genel olarak üstel büyüme ve üstel yok olma kavramları verilerek bunların uygulamaları verilecektir. On altıncı bölümde türev kavramının tersi sayılabilecek belirsiz integral kavramı verilerek, telem integral alma teknikleri verilecektir. On yedinci bölümde, belirli integral kavramı verilerek belirli integralin belirsiz integral yardımıyla kolayca nasıl bulunacağını göreceğiz. Ay rıca bu bölümde bir fonksiyonun ortalama değeri ile belirli integralin bir genellemesi
Önsöz ix olan has olmayan integraller verilecektir. On sekizinci bölümde, daha sonraki bölümde verilecek olan lineer denklem sistemlerin çözümünde kullanılacak olan matris kavramı tanıtılacak, matrisler üzerinde cebirsel işlemler verilerek bir matrisin rankı ve determinantı gibi kavramlar verilecektir. On dokuzuncu bölümde, lineer denklem sistemleri ve bu sistemlerin çözüm metodları verilecektir. Daha sonra denklem sistemlerinin bazı uygulamaları verilecektir. Yirminci bölümde, iki bilinmeyenli lineer eşitsizlik sistemleri ve iki karar değişkenli lineer programlama problemlerinin geometrik çözümleri ile bunların bazı uygulamaları verilecektir. Eskişehir, 2014 Prof. Dr. Mahmut KOÇAK Email: mkocak@ogu.edu.tr http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/