ÖZL SRVRGZİ LİSSİ 2009 VIIMTMTİ YRIŞMSI ÇÖZÜMLRİ
1 5 (n 2009)! = 2 7 3 4 57 buradan n 2009 = 9 n = 2018 2 m + n = 2008 6 F β +β 3 t 1 kuralına göre 18 için (8 1)18 14 için (4 1)14 17 için (7 1)17 13 için (2 1)13 16 için (6 1)16 12 için (2 1)12 15 için (5 1)15 11 lerin hepsi bölünür 10 için (0 1)10 tek basmaklılar içinsayılar çift olduğunda + ve lerin sayısı birbirine eşit olur ve birbirini götürür 9 için +9 7 için 7 5 için +5 3 için 3 için +1 Toplarsak: (8 1)18 + (7 1)17 + (6 1)16 + (5 1)15 + (4 1)14 + (3 1)13 + (2 1)12 10+9 7+5 3+1 3 geldi 3 kalanı verir (mod11) 4 kümesindeki her sayı 2 1 k 1 (k 1 = 1 ek sayı) olacakşekide yazılabilir iki sayının birbirini bölmesi için örneğin 2 k i ve 2 j k j sayıları olsun k i = k j olmalıdır ki sayıları 1005 tanedir Yani seçtiğimiz küme 1005 elemanları olursa koşul sağlanır fakat 1006 41 seçtiğimizde bir tane k i = k j durumu gelir ve bu iki sayıdan biri diğerini böler YMNLR ĞİTİM URUMLRI 7 m(é)= β, m(é)= olsun m(é)= + β m(é)= olur m(éf)= 80 = 2 + β dır m(é)= 180 ( + β + ) = 180 (2 + β) m(é) = 180 80 = 100 Topun bırakıldığı yükseklik x olsun Top n defa yere değmek için 2n 1 kere x yolunu gider n = 5 için 9 x = 50 x = 10 m dir n = 8 için 15 x = 15 10 = 150 m dir 8 = {3, 6, 9, 2007} her bir işlemde daki sayıların sayısı 1 azalır; daki tüm sayıların toplamı da 1 azalır kümesinde 669 sayı var sona 1 sayı kalması için toplam 668 kez bu işlemi yapmalıyız Öyleyse toplam 668 azalır alan sayı nın elemanları toplamının 668 eksiğidir 3 6 9 2007 +2007 204 3 2s = 2010 669 s= 1005 669 1005 669 668 = 668(1004) + 1005 = 671677 kalanlar toplamı 34 x 2
9 14 itap x lira olsun Hakan nın parası x 3, lperen nin parası x 5 liradır (x 3) + (x 5) < x dir 2x 8 < x x < 8 dir Şıklardan 8 den küçük olan sadece 6 vardır 15 10 256 takım var ve her maçta birtakım eleniyor n sona bir takımın kalmasını istiyoruz u demektir ki 255 takım elenmeli yani 255 maç yapılmalı 11 a ir kenarının uzunluğu a olan düzgün altıgenin alanı 2a dir ir kenarı 2a olan eşkenar üçgenin alanı u durumda olan %33,ð3 azalmış olur 12 auchy-schwarz eşitsizliğinden: (x 2 +y 2 ) (5 2 + 12 2 ) (5x + 124) 2 dir (x 2 + y 2 )13 2 (5x + 12y) 2 (513) 2 (5x + 12y) 2 (65) 2 (5x + 12y) 2 5x + 12y nin max değeri = 65 tür YMNLR ĞİTİM URUMLRI // dir ı = olacak şekilde ı üçgeni çizebiliriz (,, doğrusal) bu durumda = 11, ı = = 60 ve ı = + ı = + = 61 ı üçgeni pisagoru sağladığınızdan ı dür () = ( ı ) dür Öyleyse ( ı )= = 330 16 n + k(n) = 2895 ise n sayısı 4 basamaklı olmalıdır n = ðaðbðcðd olsun ðaðbðcðd + a + b + c + d = 2895 1001a + 101b + 11c + 2d = 2895 a= 1 için b = c = d = 5 bile olsa toplam 2895 ten küçük gelir Yani a = 2 olmalı 101b + 11c + 2d = 893 b= 8 olmalıdır 11c + 2d = 85 buradanda tek çözüm c= 7, d= 4 gelir n = 2874 tek çözümdür ı 13 x3 x3 x3 x3 x3 5 15 45 135 405 1215 x3 x3 3645 10935 7 hafta sonunda toplam 16400 kişiye yardım edilmiş olur 17 1491 7 y= 0,, 213 değerlerini alabilir 14 213 214 dağalsayı ikilisi vardır 009 7 21 3
18 22 R R= 360 2 O olup R= 360 273 = 214 R (180 den küçük olan) açısı 146 bulunur 19 3 n m= (25+24)1(24+23)15131 = dir olup 16 + 5 + 1= 22 tane 3 çarpanı ve 2 + 8= 10 tane 3 çarpanı oludğundan 22 10= 12 bulunur 20 11:00 ile 9:30 arasında 1:30 saatlik fark vardır u farkın 5 te ikisi ileri gidenden, 5 te 3 ü geri gidenden kaynaklanmaktadır 21 5 te 3 lük farkı 9:30 a eklersek: 3 = 54 dk olup 9:30 dan 54 dk sonra saat 10:24 olur YMNLR ĞİTİM URUMLRI 23 Her puanı alan 8 er kişi olduğunda bunlardan sonraki kişi herhangi 8 kişiyle aynı puanı almış olacağından aynı puanı alan 9 kişi almış olur 8100 + 1 = 801 kişi katılır 24 25 esinlikle bilmesi için 999 defa sormalı, hepsine hayır derse sonuncusu rda nın evidir 26 6 nın yanına sırayla 1, 2, 3, 4 ve 5 i alırsak iki elemanlı ve {6} elemanını içeren kümelerde en büyük eleman 6 dır Yani 6 nın yanına diğer 5 sayıdan biri gelince tane 6 nın en büyük olduğu alt küme bulunur iğer 5 sayıdan ikisi gelince kadar 6 nın n büyük olduğu alt küme, bu şekilde 7n+6 62 olup 7n+6=62,31,2,1, 1, 2, 31, 62 olabilir u sayılardan mod7 de 6 kalanı verenler: 62, 1 olduğundan n=8, 1 olabilir u değerler için 13+, 7 ye bölünür 2 değer vardır 4
27 10y 2 = y 2 + 9y 2 (y+3) 2 = y 2 + 6y + 9 x 2 6xy + 9y 2 = (x 3y) 2 (x 3y) 2 + (y + 3) 2 + 10 İki tamkarenin toplamı en küçük 0 olur y= 3 x= 9 için cevap 10 31 li ilk başta zemine 64 farklı şeklide yerleşebilir li yerleştikten sonra Veli nin yerleşebilecği kare sayısı 49 dur Çünkü li bir kareye yerleştiğinde Veli li nin bulunduğu karenin satır ve sütunundaki karelere gelemiyor ve bu da 15 kare yapar Sonuçta li ve Veli 6449= 3136 şekilde yerleşebilir 32 28 x Z olmak üzere x 2 0,1 (mod4) olabilir n 4 için n! 0 (mod4) ve n! + 3 3 (mod4) olur ve n! + 3 tamkare olmaz n= 0 için n! + 3 = 4 = 2 2 n= 1 için n! + 3 = 4 = 2 2 n= 2 için n! + 3 = 5 n = 3 için n! + 3 = 9 = 3 2 3 tane değer için olur L Yamukta [] // [] olduğu için ( )= ( L) çünkü tabanarı ortak yükseklikleri eşit buradan ( ) = ( L) buluruz enzer şeklide ( FL) = ( F) ( F) + ( )= 48 = ( L) + ( F) F 29 x 13 = olacak şekilde yi yönünde uzatalım 5 2 5 YMNLR ĞİTİM URUMLRI 33 2m a5 2 2m 1,5m a5m Şekilde görüldüğü üzere açıları yazarsak 0,5 m buluruz 1,5m 0,5m x 2 = 90 x = 3ò10 30 10, 20, 30,90 sayıları için işlem sonunda 0 elde edilir Mesela 10 sayısını da (10= 25)25 ve 52 den elde ederiz 20 sayısını 45 ve 54 ten elde ederiz 25, 52, 45, 54, 56, 65, 58, 85 45 i 95 ve 59 dan 54 ü 69 ve 96 dan 56 yı 78 ve 87 den 25 i 55 ten elde ederiz öylece 10, 20, 30,90, 25, 52, 45, 54, 56, 65, 58, 85, 95, 59, 69, 96, 78, 87, 55 24 sayı 24 sayı için işlem sonucu 0 bulur 34 = G olacak şekilde G noktası alalım m(ég)=60 olduğundan = G = G olur ve G =, F = F ve m(éf)=m(fé) olduğu için, F, G doğrusaldır Yani // G dir olmalıdır 3= F = FG G ikizkenar yamuktur u yüzden G =6 ise = 6 dır 35 F = 0 dersek, çemberde kuvvetten 2a 2 = 72 a = b buluruz çap olduğu için é =90 x= G = GF = F = a=6 5