Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN 1 Esra AKDENİZ Esra YİĞİT 3 Özet Avrua, Amerka ve Jaoya borsalarıda mekul kıymetler üzere yaıla çalışmalarda hata termler sıklıkla homoje olmaya varyasa sah oldukları gözlemştr. Mekul kıymet getrler modellemede yasa model kullaıldığıda, homoje olmaya varyas yaısıı varlığı arametre tahm ve arametreler alamlılık testlerde roblemlere yol açmaktadır. Bu çalışmada, homoje olmaya varyas yaısıı olu olmadığıı test edlmes ç kullaıla olablrlk ora yöteme dayalı testlerde geel olablrlk ora test, koşullu olablrlk ora test, artık olablrlk ora test, uyarlamış olablrlk ora test ve Bartlett-düzeltlmş olablrlk ora test ele alımıştır. Ayrıca smülasyo çalışması le bu testler erformasları karşılaştırılmalı olarak celemştr. Aahtar Kelmeler: Artık Olablrlk Ora Test,Bartlett-Düzeltlmş Olablrlk Ora Test, Geel Olablrlk Ora Test, Heteroje Varyas, Koşullu Olablrlk Ora Test, Pyasa Model, Profl Olablrlk Ora Test,Uyarlamış Olablrlk Ora Test JEL Sııfladırma Kodları: C01, C1, C15 A Mote Carlo Comarso Of Lkelhood Based Costructve Heteroscedastcty Tests For The Market Model Abstract The market model of Share whe aled to Euroea, U.S.A. ad Jaa stock markets usually results wth heteroscedastc error structure. Sce heteroscedastcty error terms cause effcet arameter estmato, t should be tested before data aalyss. The objectve of ths aer s to reset fve wdely used lkelhood based costructve heteroscedastcty tests whch are the ordary lkelhood rato test, the codtoal lkelhood rato test, the corrected modfed lkelhood rato test, the modfed lkelhood rato test, the rofle lkelhood rato test ad the resdual lkelhood rato test. Also smulato study s erformed to comare these tests. 1 Yrd.Doç.Dr., Gaz Üverstes, Fe Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü (fyuva@gaz.edu.tr ) Arş. Gör., Gaz Üverstes, Fe Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü (eakdez@gaz.edu.tr ) 3 Arş. Gör., Gaz Üverstes, Fe Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü ( eygt@gaz.edu.tr )
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Key Words: Bartlett-Corrected Lkelhood Rato Test, Codtoal Lkelhood Rato Test, Heteroscedastcty, Market Model, Modfed Lkelhood Rato Test, Ordary Lkelhood Rato Test, Profle Lkelhood Rato Test, Resdual Lkelhood Rato Test JEL Classfcato Codes: C01, C1, C15 1. Grş Yatırımcıı e y ortföyü oluşturmasıa yöelk öerle lk ve e çok ble model ola Markowtz Ortalama-Varyas Model hesalama karmaşıklığı edeyle ratk kullaıma elverşl bulumamıştır Share (1963,1964) tarafıda Markowtz model gelştrmek amacıyla öerle yasa model ortföy teorse öeml katkıda bulumuştur. Pyasa model (1) olu deklemde fade edldğ gbdr. R R e (1) t mt t R t, t eryodudak mekul, t eryodudak yasa getrs ve e t hata term Burada mekul kıymet sstematk rsk, kıymet getrs, R mt göstermektedr. ı doğru tahm edlmes yatırımcılar ç, rskl varlıklarda oluşa ortföyler getrler tahm ç çeştledrlmş ortföy seçm ve sstematk olmaya rsk e küçük yama alamıda öemldr. Geleeksel e küçük kareler (EKK) yötem ı tahm ç kullaılablr. Acak hata termler varyasıı homoje olmaması tahm etk br tahm olmaması le souçlaır. Mekul kıymetler üzere yaıla çalışmalarda, hata termler sıklıkla homoje olmaya varyasa sah oldukları gözlemştr. Homoje olmaya varyas mekul kıymet yasaya göre daha değşke olu olmadığıı belrlemek ç yaıla 1 hotez test edlmesde hatalı souçlar vereblr. Bu edele le lgl aalzler yaılmada öce varyas homojelğ güvelr ve güçlü br test le sıaması gerekldr (Lyo ve Tsa, 1996:337-338). Varyas homojelğ test edlmes ç lteratürde geel olarak kabul görmüş br test statstğ yoktur. Varyas homojelğ testler yaısal ve yaısal olmaya testler olarak k gruta celeeblr. Yaısal olmaya testler sadece varyası heteroje olu olmadığı hakkıda blg verrke, yaısal testler bua ek olarak varyası heterojelğ foksyoel yaısı hakkıda da blg verr. Yaısal testler Olablrlk Ora ve Wald testlerdr (Edmoto, 1984:199). 136
Kardye-Akdez-Yğt/Olablrlk Oraı Bu çalışmada, varyas homojelğ test edlmesde kullaıla olablrlk ora testler ola geel olablrlk ora test, koşullu olablrlk ora test, uyarlamış olablrlk ora test, artık olablrlk ora test ve Bartlett-düzeltlmş olablrlk ora test ele alıacaktır. Bu testler hata termler çarımsal homoje olmaya yaı gösterdğ durumlarda, farklı örek çalarıa göre, I. t hata, güç değerler ve heterojelk yaısı ve dağılım varsayımlarıa duyarlılıkları bakımıda Mote Carlo Metodu le karşılaştırılacaktır.. Değşe Varyas Model ve Testler Geel doğrusal regresyo model () dek deklem gbdr. () Burada, Y, -c 1,..., brme at bağımlı değşke değer, x -c brm bağımsız değşkee lşk değerlerde oluşa 1 boyutlu vektör,, 1boyutlu blmeye arametre vektörüü ve -c brme lşk brbrde bağımsız hata termler göstermektedr. w z z K z (3) * 1 q q w yaısıdadır ve burada w bağımsız değşkeler br foksyou ola varyas ağırlıkladırma vektörüdür. z, heterojelk yaısıı yarata bağımsız değşkeler göstermek üzere z, q 1 boyutlu vektördür ( q). E çok karşılaşıla homoje olmaya varyas yaıları tolamsal ve çarımsal formlardır. * Heterojelk arametrelerde oluşa vektör [ 1K q ] olsu. Hldreth ve Houck (1968) ve Amemya (1977) tolamsal formu bağımsız değşkeler doğrusal br foksyou olarak ele almış ve ağırlıkladırma vektörüü (3) olu deklemdek gb fade etmştr. Harvey (1976) çarımsal formu geel formülüde ağırlıkladırma vektörüü (4) olu deklemdek gb ele almıştır. w z z K z (4) * ex( ) ex( 1 q q ) Just ve Poe (1978,1979) se çarımsal formu * 1 q [log K ] ve 137
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 z [1 log x ] olduğu (4) olu deklemdek özel ağırlıkladırma vektörüü ele ' almıştır. w ex( z ) z K z (5) * q 1 q Bu makalede (5) olu deklemdek çarımsal heterojelk yaısı ele alımıştır. Yokluk hotezde sıaması yaıla arametre vektörü [ K q ] dür. Yokluk hotezdek vektörüü değer 0 0 olduğuda, w 1 olur ve () olu model 1 homoje varyas yaısıa sah olur. Model homoje br yaıya sah olu olmadığıı sıamak ç kullaıla olablrlk ora yöteme dayalı yaısal homoje varyas testler alt bölümlerde verlmştr..1. Geel Olablrlk Ora Test () olu modelde hata termler bağımsız ve ormal dağılıma sah olduğuda, olablrlk foksyouu logartması sabt termler göz ardı edlerek (6) olu deklemdek gb elde edlr. 1 1 ( y x ) ' ( ;,, ) log log w 1 1 w L Y (6) arametres e çok olablrlk tahm edcs (7) olu deklemde verle rofl olablrlk foksyou maksmze edlerek buluur. 1 L Y L Y w z (7) ˆ ( ; ) ( ;, ˆ, ) log ˆ log (, ) 1 Burada, ˆ 1 1 ' 1 x w x xw y 1 1 ve 1 ˆ ( ˆ ) dr. ' 1 y x w 1 Profl olablrlk foksyou arametre vektörüü doğrusal olmaya br foksyou olduğuda arametre vektörü teratf yötemlerle buluur ve (8) olu deklemdek test statstğde yere kour. LRT { LR ( Y; ) LR ( Y; ˆ )} (8) 0 Olablrlk ora test statstğ dağılımı Tsa,1996:340). dr (Lyo ve ( q 1) 138
Kardye-Akdez-Yğt/Olablrlk Oraı.. Koşullu Olablrlk Ora Test Profl olablrlk ora test lglelmeye arametre (usace arametre) sayısı çok küçük olduğuda ble y souç vermeyeblr. Hoda (1989) lglelmeye arametreler ortak olasılık yoğuluk foksyolarıı kullaarak koşullu rofl olablrlk ora test öermştr. CL ( ; ) ( ˆ, ˆ Y CL Y ; ) 1 ' 1 L ( ; ) {( )log ˆ Y log x w x } (9) Koşullu olablrlk ora test statstğ (9) olu deklemde verlmştr. CLRT { CL ( Y; ) CL ( Y; ˆ )} (10) 0.3. Uyarlamış Olablrlk Ora Test Cox ve Red (1987), lglelmeye arametreler le test edlmek stee arametre ı ortogoal olmamasıda dolayı rofl olablrlk ora test uyarlayarak (10) olu deklem elde etmşlerdr. ML ( Y; ) CL ( Y; ) 1 log w (11) Uyarlamış olablrlk ora test statstğ (1) olu deklemde verlmştr. MLRT { ML ( Y; ) ML ( Y; ˆ )} (1).4. Artık Olablrlk Ora Test 0 Ölçü ve ağırlıkladırma arametreler, test etmek stedğmz arametre olduğuda, ˆ ı e çok olablrlk ora tahm edcs vere koşullu rofl olablrlk ora foksyou artık olablrlk foksyou hale gelr. Böylece serbestlk dereces kaybıı dkkate alarak test etmey sağlar (Verblya, 1993:6) RL ˆ ( Y;, ) RL ( Y ;, ), 139
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 CL (Y ; ) log ˆ (13) Artık olablrlk ora test statstğ (14) olu deklemde verlmştr. RLRT CLRT (log ˆ 0 log ˆ ) (14).5. Bartlett-Düzeltlmş Olablrlk Ora Test Örek çaı yeter kadar büyük olmadığıda ve lglemedğmz arametre sayısı çok olduğuda olablrlk ora test statstğ y souç vermeyeblr. Cordero (1993), olablrlk ora teste Bartlett düzeltmes uygulayarak düzeltlmş olablrlk ora test statstğ (15) olu deklemdek gb elde etmştr. LRT * LRT 1 c (15) - Burada A R( R ' R) 1 R ', R [1 Z ], H x (x x' ) 1 x', 1, tüm elemaları 1 1 lerde oluşa x1 boyutlu vektör, d ds se buluduğu matrs köşegeleştrlmş bçm fade etmektedr. sembolü se, ayı boyuttak matrs Hadamard çarımıı göstermektedr (Ferrar ve Neto, 00) 3. Smülasyo Çalışması Bu bölümde.1-.5 te verle test statstkler örek çaları, I. t hata, güç değerlere ve heterojelk yaısıa ve dağılım varsayımlarıa duyarlılıkları bakımıda karşılaştırılacaktır. Profl olablrlk foksyoları arametres doğrusal olmaya br foksyou olduğuda arametres e çok olablrlk tahm buluamaz. Bu edele arametres tahm BFGS quas-newto algortması le elde edlmştr. MATLAB rogramı kullaılarak elde edle smülasyo souçları (16) 140
Kardye-Akdez-Yğt/Olablrlk Oraı ve bağımsız ola bast regresyo modele dayamaktadır ve 0 1 1 olarak alımıştır. Burada varsayıla (16) olu deklemdek heterojelk yaısı gereğ x ler oztf olması ç x ler U (0,15) dağılımıda bağımsız olarak üretlmştr. Hataları ormal dağıldığı (16) olu doğrusal regresyo model ç geel olablrlk (LR), Bartlett-düzeltlmş olablrlk (LR*), uyarlamış olablrlk (MLR), artık olablrlk (RLR) ve koşullu olablrlk (CLR) ora test statstkler elde edlmş ve bu şlemler I. t hata ayı 0.05 ç 1000 kez tekrarlamıştır. Tablo 1:Test statstkler I.t hataları LRT LRT* CLRT MLRT RLRT =0 0.066 0.053 0.11 0.048 0.06 0.366 0.341 0.401 0.34 0.35 0.098 0.075 0.148 0.078 0.096 0.183 0.15 0.189 0.155 0.183 0.057 0.40 0.088 0.54 0.055 0.405 0.074 0.60 0.061 0.419 0.079 0.69 0.058 0.048 0.053 0.059 0.41 0.084 0.67 0.051 =50 0.054 0.414 0.077 0.58 =80 0.051 Tablo 1 de bu test statstkler 0,50,80 ola farklı örek çaları ç I. t hataları ve hata termler dağılımı logormal(0,1), lojstk(0,1) ve t3 dağılımları olduğuda duyarlılıklarıa bakılmıştır. Tablo 1 souçlarıa bakıldığıda LRT ve CLRT statstkler I. t hataları ögörüle 0.05 değerde büyük olma eğlmdedr. Örek çaı küçük olduğuda (=0) LRT* ve MLRT statstkler, LRT statstğe göre ögörüle I. t hata değere daha yakı souç vermektedr, örek çaı artıkça aralarıdak fark azalmaktadır. Hata termler dağılımı logormal(0,1), lojstk(0,1) ve 141
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 t3 dağılımları olduğuda tüm test statstkler I. t hata değerler yüksek olduğuda sağlam test statstkler olmadıkları görülmektedr. (5) olu deklemdek çarımsal yaıya uygu olarak elde edle test statstkler e : N 0, x olduğuda ı farklı değerler ç 1, 1.5, 1, 0.5, 0.5,1,1.5, test statstkler güç değerler Tablo de Tablo : Test statstkler güç değerler (,, 0 ) LRT LRT* CLRT MLRT RLRT -.0 0.967 0.964 0.989 0.955 0.963-1.5 0.919 0.905 0.977 0.889 0.898-1.0 0.757 0.71 0.87 0.679 0.703-0.5 0.36 0.36 0.531 0.83 0.314 0.5 0.4 0.191 0.076 0.15 0.50 1.0 0.68 0.595 0.97 0.60 0.655 1.5 0.877 0.860 0.566 0.870 0.89.0 0.971 0.966 0.744 0.971 0.975 verlmştr. ı 0 a yakı değerlerde heterojelk az olduğuda test statstkler ver homoje olu olmadığıı belrleme gücü düşüktür. 0 değerler ç CLRT statstğ, 0 olduğuda RLRT statstğ güç bakımıda dğer test statstklere göre daha ydr. Hata termler (3) olu deklemdek gb tolamsal yaıda heteroje olduğuda =0,50 ç bulua güç değerler Tablo 3 de verlmştr. Bua göre RLRT statstğ dğer test statstklere göre daha güçlüdür. Tablo 3: Tolamsal homoje olmaya varyas yaısı ç testler güç değerler LRT LRT* CLRT MLRT RLRT =0 0.591 0.537 0.50 0.584 0.630 =50 0.966 0.959 0.877 0.966 0.968 14
Kardye-Akdez-Yğt/Olablrlk Oraı 5. Souç Mekul kıymet getrler modellemede kullaıla yasa model, mekul kıymet getrs bağımlı değşke, yasa getrs bağımsız değşke olduğu bast, doğrusal br regresyo modeldr. Pyasa modelde, regresyo katsayısı sstematk rsk göstergesdr ve doğru tahm edlmes yatırımcılar ç öemldr. Bu edele, doğrusal regresyoda arametre tahmler olumsuz etkleye, hata termler homoje olmaya varyas yaısıa sah olması, yasa modeller çde araştırılması gereke br koudur. Doğrusal regresyo modelde arametre tahmler yaılmada öce ver homoje olu olmadığıı test edlmes öemldr. Hata termler ormal dağıldığıda olablrlk ora test statstkler kullaılarak ver homoje olu olmadığı test edleblr. Hata termler ormal dağılmadığıda. bölümde verle artık olablrlk ora test, Bartlett-düzeltlmş olablrlk ora test, geel olablrlk ora test, koşullu olablrlk ora test veya uyarlamış olablrlk ora testler kullaılmamalıdır. Örek çaı küçük olduğuda Bartlettdüzeltlmş ve uyarlamş olablrlk ora test dğer test statstklere göre ögörüle I. t hata değere daha yakıdır. Bu souçlar, Lyo ve Tsa (1996) souçları le örtüşmektedr. Heterojelğ az olduğu ( 0.5, 0.5) durumlarda test statstkler gücü azalırke, heterojelğ yüksek olduğu durumlarda koşullu olablrlk ora test ve artık olablrlk ora test statstkler dğer test statstklere göre daha güçlüdür. Tüm test statstkler, elde edldkler varyas yaısıı dışıdak heteroje ver yaısıı test edeblme özellğe sahtr. Test statstkler çde artık olablrlk ora test statstğ heterojelk yaısı farklı olduğuda dğer test statstklere göre daha güçlüdür. Kayaklar Amemya, T. (1977), A Note o a Heteroscedastc Model, Joural of Ecoometrcs, 6, 365-370. Cordero, G.M.(1993), Bartlett Correctos ad Bas Correcto for Two Heteroscedastc Regresso Models, Commucatos Statstcs Theory Methods,, 169-188. Cox, D.R. ve Red, N. (1987), Parameter Orthogoalty ad Aroxmate Codtoal Iferece, Joural of the Royal Statstcal Socety, 49, 1-39. 143
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Edmoto, B.A. (1984), Tests for Addtve Hetoskedastcty, Emrcal Ecoomcs, 9, 199-16. Ferrar, S.L.P. ve Crbar-Neto F. (00), Corrected Modfed Profle Lkelhood Heteroscedastcty Tests, Statstcs ad Probablty Letters, 57(4), 353-361. Harvey, A.C. (1976), Estmatg Regresso Models wth Multlcatve Heteroscedastcty, Ecoometrca, 44, 461-466. Hldreth, C. ve Houck, J.P. (1968), Some Estmators for a Leer Model wth Radom Coeffcets, Joural of Amerca Statstcal Assocato, 63, 584-595. Hoda, Y. (1989), O The Otmalty of Some Tests of the Error Covarace Matrx the Lear Regresso Model, Joural of Royal Statstcal Socety, 51, 71-79. Just, R.E. ve Poe, R.D. (1978), Stochastc Secfcato of Producto Fuctos ad Ecoomc Imlcatos, Joural of Ecoometrcs, 7, 67-86. Lyo, J.D., Tsa, C. (1996), A Comarso of Tests for Heteroscedastcty, The Statstca, 45, 337-349. Share, W. (1963), A Smlfed Model of Portfolo Aalyss, Maagemet Scece, 9, 77-93. Share, W. (1964), Catal Asset Prces: A Theory of Market Equlbrum Uder Codtos of Rsk, Joural of Face,19(3), 45-44. Verbyla, A.P. (1993), Modellg Varace Heterogeety: Resdual Maxmum Lkelhood ad Dagostcs, J.R. Statst.Soc. B, 55 (), 493-508. 144