Eğitimle İlgili Sapan Değer İçeren Veri Kümelerinde En Küçük Kareler ve Robust M Tahmin Edicilerin Karşılaştırılması

Transkript

1 Eğtmle İlgl Sapa Değer İçere Ver Kümelerde E Küçük Kareler ve Robust M Tahm Edcler Karşılaştırılması Orku COŞKUNTUNCEL * Özet Eğtm araştırmalarıda regresyo katsayılarıı tahm etmek ç e çok kullaıla yötem klask yötem olarak da ble e küçük kareler (EKK) tahm edcsdr. Acak bu yötem gözlee verlerdek sapa değerlere karşı çok hassastır. Bu çalışmaı amacı, eğtm araştırmalarıda ortaya çıkable, sapa değer(ler)e sahp verlerde adı geçe problemlere karşı daha dayaıklı ola robust M regresyo tahm edcs performasıı celemektr. Buu ç, Öğrec Seçme Sıavı (ÖSS) puaları bağımlı değşke, orta öğretm ders başarı puaları (OÖBP) se bağımsız değşke olarak ele alıarak, bağımsız değşkeler bağımlı değşke e derece yordadığı k farklı regresyo yöteme dayalı olarak (E Küçük Kareler (EKK) ve robust M regresyo kestrm) belrlemş ve souçlar karşılaştırılmıştır. Aahtar kelmeler: Öğrec seçme sıavı, e küçük kareler, robust tahm, M tahm edcs, sapa değer. Abstract Comparso Least Squares Estmators wth Robust M-Estmators Educatoal Data Cota Outlers Least square estmator whch kow classcal method s most useable regresso parameter estmator educatoal research. But, whe the educatoal data have outler(s) the performace of the least square wll be poor. The am of ths study s to propose robust M estmator for the model parameter of a regresso models that ca combat wth the outler(s) educatoal research. Key words: Studet selecto exam, least squares, robust estmato, M estmato, outlers. Grş Eğtmde ve pskolojde ölçme araçlarıda elde edle souçlara dayalı çıkarımları doğruluğu ve bua dayalı verlecek kararları sabetl olması temelde ölçme araçlarıı k tekk özellğ sağlamasıa bağlıdır. Bular geçerlk ve güverlktr. Geçerlk, ölçme aracıyla ölçülmek stee özellğ amaca uygu olarak farklı özellklerle karıştırılmada ölçülmesdr. Başka br deyşle, br ölçme aracıı, gelştrlmş buluduğu kouda amaca hzmet etmesdr. Güvelrlk, br ölçme aracıı hatalarda arıık olma derecesdr. Ölçme aracıı hatalarda arııklığıı göstergelerde br de ayı brey üzerde yapıla br telğe at ölçümler bezer şartlarda tekrar * Orku Coşkutucel, Yrd. Doç. Dr., Mers Üverstes Eğtm Fakültes. Bu çalışma Mers Üverstes Blmsel Araştırma Projeler brm tarafıda desteklemştr. Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs, Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009, ss Mers Uversty Joural of the Faculty of Educato, Vol. 5, Issue 2, December 2009, pp

2 252 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN edlmes halde ayı souçları üretmesdr. Bu br ölçme aracıı hatada arııklığıı veya hatasız ölçüm yapablme gücüü br göstergesdr (Erkuş, 2003). Herhag br şe elema alıırke, ş ölçütlere uygu elema seçme veya br okula öğrec alıırke okulu ya da bölümü gerektrdğ yeteek ve blg düzeye sahp breyler seçme-yerleştrme ç ölçme araçlarıa ve testlere başvurulur. Breyler br ş yapıp yapamayacağıı ya da ölçüle özellkle lgl geleceğe döük performasıı ölçüsüü vere seçme ve yerleştrme amaçlı kullaıla testler geçerlğ, test ala breyler testte elde ettğ pualarla, ölçüle özellkle lşkl geçerlğ ve güverlğ kaıtlamış ölçüt takımları arasıdak lşky hesaplamak suretyle belrler. Bu tür kaıtlara dayalı geçerlğe, ölçüt bağıtılı geçerlk adı verlr. Br ölçüte dayalı geçerlk, br grup brey ölçme aracıda elde ettğ puaları, ölçüt durumudak pualar, sııflamalar ya da dğer yeteek ve becer ölçüleryle karşılaştırmasıa dayalı şlemler çerr. Br ölçüte dayalı geçerlk, ölçüt durumudak pua ya da pua takımlarıı elde edlş zamaıa göre, zamadaş geçerlk ve yordama geçerlğ olmak üzere k gruba ayrılır. Ölçüt puaları yordayıcı pualarla ayı zamada veya daha öcede elde edlmşse, ölçüt puaları le yordayıcı pualar arasıdak lşkye dayalı geçerlğe zamadaş geçerlk, ölçüt puaları yordayıcı pualarda sora elde edlmes durumuda ölçüt pualar le yordayıcı pualar arasıdak lşkye dayalı geçerlğe yordama geçerlğ adı verlr (Ake 2000; Aastas 997; Crocker ve Alga 986; Baykul 2000; Erkuş 2003; Baykul, Gelbal ve Kelecoğlu, 200). Ölçme aracıı geçerlğ belrleme değşk yolları vardır. Bularda bazıları salt statstksel yötemlerde yararlamayı, bazıları matıksal karşılaştırma ve yargılamayı, bazıları se ks brde kullamayı çerr. Bularda hagler kullaılacağı ölçme aracıı çerğe, aracı e gb karar şlemler ç kullaılacağıa ve var ola olaaklara bağlıdır. Öğrec seçme ve yerleştrme şlemler ç hazırlaa testler e ölçüde geçerl olduklarıı, bu testler kullaılmada öce belrlemek gerekldr. Ülkemzde, yüksek öğretm kurumlarıa öğrec seçme ve yerleştrme şlemlerde bu gerekllk, testler gzllk altıda hazırlaması zorululuğu yüzüde, mümkü ola her yol deeerek değl, olası bazı yötemler uygulaarak yapılmaktadır. Öreğ, testler hazırlamada yapıla kapsam belrleme çalışmaları kapsam geçerlğ sağlama grşmler yaıda, testler uyguladıkta sorada geçerlkler saptaması ç ölçüt bağıtılı geçerlk (yordama ve/veya zamadaş geçerlğ) çalışmalarıa başvurulmaktadır (Özçelk, 982). Türkye de gerek lsasüstü düzeyde tez çalışması, gerekse blmsel makale düzeyde Öğrec Seçme ve Yerleştrme Sıavıı (ÖSS) geçerlğe lşk brçok çalışma yapılmıştır. Yapıla çalışmalarda, çeştl statstksel tekkler kullaılarak, sıavı geçerlğe lşk çeştl souçlar elde edlmştr (Akhu, 980; Aşkar, 985; Demrok, 990; Dez ve Kelecoğlu, 2005; Erkuş, 998; Gelbal, 989; Koza ve Tezer,979; Köse, 990; Oral, 985; Tezbaşara, 99). Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs

3 COŞKUNTUNCEL 253 Br ölçüte dayalı geçerllğ belrlemede e çok kullaıla statstksel yötemlerde br regresyo aalzdr. Regresyo aalzde değşkeler arasıdak lşk matematksel br eştlkle fade edlr. Bu matematksel eştlk aracılığıyla bağımsız değşkeler, bağımlı değşke üzerdek etkler kestrleblr. Değşkeler arasıdak lşky belrlemek amacıyla kullaıla e yaygı regresyo yötem klask yötem olarak da ble e küçük kareler (EKK) yötemdr. EKK verdek sapa değerlere karşı çok hassas ola br yötemdr. Bu çalışmaı amacı regresyo aalze at k farklı kestrm yötem (EKK ve M-tahm edcs) geçerllk türü üzerdek etkler belrlemek ve sıkça karşılaşıla sapa değer probleme karşı daha etkl ola robust M tahm edcs performasıı celemektr. Yötem Bu çalışmada, ÖSS puaları bağımlı değşke, orta öğretm ders başarı puaları se bağımsız değşke olarak ele alımış ve bağımsız değşkeler bağımlı değşke e derece yordadığı k farklı tahm yöteme dayalı (e küçük kareler ve M tahm) regresyo aalz le belrlemeye çalışılmıştır. Bu k farklı kestrm yötem ayı ya da bezer souçlar üretp üretmedğ araştırılmıştır. Böylece, farklı kestrm yötemler br ölçüte dayalı geçerlk üzerdek etkler sorgulamıştır. Araştırma k farklı yötem performasıa dayalı olduğuda br evre ve bu evre temsl edecek br öreklem üzerde durulmamıştır. Buu yere br orta öğretm kurumuda mezu olmuş 92 öğrec üzerde yürütülmüştür. Araştırmada, öğrecler öğrem gördükler döemlerde elde ettkler matematk, fzk, kmya, byoloj, edebyat, tarh derslere lşk otlar le ÖSS de elde ettkler, sözel, sayısal ve eşt ağırlıklı pualar kullaılmıştır. Tüm bu verler, öğreclere at oluşturulmuş formlar vasıtasıyla okul kayıtlarıda elde edlmştr. ÖSS souçları okul yöetm ve ölçme ve değerledrme servs tarafıda ÖSYM'de elde edlmştr. Araştırmaı alt problemlere çözüm bulmak amacıyla, öcelkle ders otları bağımsız değşke kümes olarak, her br ÖSS puaları se bağımlı değşke olarak ele alımıştır. Ayrıca, araştırmaı amacıı daha y açıklayablmek ç, br tek sapa değer EKK tahme yaptığı olumsuz etky göstereblmek ve M-tahm edcs bu olumsuz etkye rağme daha y br tahm üretebleceğ göreblmek amacıyla verye 92 gözlemde farklı, sapa değer ola hayal br gözlem ekleerek tahm edcler performasları celemştr. Belrl br dersle lgl başarı otu, o dersle lgl meydaa gele hedeflerle tutarlı öğreme düzey gösterr. O halde, ormal şartlar altıda araştırmacı, derslerdek başarı otu yüksek ola br öğrec daha y sıav otua sahp olableceğ düşüeblr. Acak gözlemler arasıda düşük başarı otua sahp br öğrec dğerlerde daha yüksek ot alması EKK tahm ve dolayısıyla bu tahmde yola çıkılarak yapılacak çalışmaları olumsuz yöde etkleyeblr. Bu sebeple ek olarak; br tek sapa değer ble EKK tahme yaptığı olumsuz etky göstereblmek ve M Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009

4 254 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN tahm edcs bu sapa değer olumsuz etkler ortada kaldırma performasıı daha y göreblmek amacıyla 92 gözlem çersde e düşük başarı otu le e yüksek sıav otu belrleerek hayal br gözlem eklemştr. Şüphesz bu eklee hayal gözlem gerye kalalarda farklı, sapa değer, ola br gözlem olacaktır. EKK ve M tahmler hesaplamasıda R ve S-Plus statstk paket programlarıda yararlaılmıştır. İşlem Matrs göstermde, y x x2 L xk β0 ε y = y 2, X = x x L x k, β = β, ε = ε2 M M M M M M M y x x2 L xk β k ε şeklde olmak üzere y = Xβ + ε () çoklu doğrusal regresyo model ele alalım. Geel olarak, y, tpde gözlemler vektörü, X matrs, p tpde bağımlı değşke matrs, β, p tpde regresyo katsayılarıı vektörü ve ε, tpde rastgele hataları vektörüdür. Burada k bağımlı değşke sayısı olmak üzere p = k + dr ve ler sabt term çdr. Ayrıca k = alıırsa bast doğrusal regresyo model elde edlr. E küçük kareler 2 tahm edcler ε = y Xβ olmak üzere hata kareler toplamıı mmze eder. Böylece β ı e küçük kareler tahm ˆβ, ˆβ = (X X) - X y (2) ve varyas-kovaryas matrs, Var( ˆβ ) = σ 2 (X X) - (3) şeklde elde edlr. E küçük kareler ç stadartlaştırılmış rezdüler e = y ŷ olmak üzere, ε e r = ˆσ le verlr. Burada, (4) Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs

5 COŞKUNTUNCEL 255 ˆσ 2 = 2 e (5) p = dr ve hatalar bağımsız, sıfır ortalamalı, σ stadart sapmalı, özdeş dağılıma sahp 2 olduğuda ˆσ, σ 2 yasız tahm edcsdr. Baze stadartlaştırılmış rezdüler yere t = e σˆ h studetzed rezdüler kullaılır. Bu k çeşt rezdüye geel olarak stadartlaştırılmış rezdüler der. E küçük kareler yötem klaskleşmş olmasıı temel ede hesaplamasıı kolaylığıdır. Tahm verler yardımıyla herhag br teratf yöteme htyaç olmaksızı drek ve kolaylıkla hesaplamaktadır. Ayrıca dğer tüm yasız tahm edcler çde e y leer yasız tahm edcdr ve eğer hatalar ormal dağılıyorsa, Maksmum Lkelhood tahm edcse bezedğ gb bu durumda dğer yasız tahm edclere göre mmum varyaslı tahm verr. Robust statstk, statstksel yötemler sağlamlık teorsdr. Robust statstk verler modelde sapmalarıı klask yötemlere etkler celer ve gerekyorsa daha uygu br yötem gelştrr. E küçük kareler, regresyo model ormal dağılıma sahpke çoğu zama uygu yötemdr ve y statstksel özellklere sahp tahmler verr. Acak ormallkte sapmalar olduğu durumlarda uygu yötem olmakta çok uzaktadır. Bu tp durumlarda alteratf tahm edc olarak robust tahm edcler düşüeblrz. İstatstksel çalışmalarda, regresyo tahm edcs ç başlagıçta kabul edle statstksel model doğru olmazsa ble y souçlar vereble yötemler elde edeblme uğrua hatırı sayılır çabalar sarf edlmştr. E küçük kareler ormallk varsayımı altıda ble e uygu tahm edc olduğu düşüces Tukey (960) A survey of samplg from cotamated dstrbutos adlı çalışması le so bulmuştur. Daha sora bu çalışmada esleerek brbre paralel dört öeml robust teor, Huber (964), Huber (965), Hampel (968), Rousseuw (987) tarafıda ortaya atılmıştır. Regresyo aalzde karşılaşıla e büyük problem verdek br veya daha fazla gözlem dğer gözlemlerde farklı olması, ya sapa değer problemdr. Robust statstksel yötemler esas hedef bu tp sapa değer çere verler ç kullaılablecek, tutarlı souçlar vere yötemler gelştrmektr. Robust kelmes lk olarak 953 te G.E.P. Box tarafıda kullaılmıştır. Robust regresyo tahm yötemler, geellkle e küçük kareler yötemde daha y statstksel souçlar üretmelere rağme, lteratür celedğde, statstksel aalzlere gereksm duya ve statstksel yötemler kullaa blm dallarıda eğtm blmlerde kullaılmamaktadır. Buu başlıca ede robust yötemler e küçük kareler akse teratf yötemlere htyaç duymalarıda dolayı hesaplamasıı zor Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009 (6)

6 256 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN olmasıdır. Brçok robust tahm yötem vardır. Bular arasıda e çok kullaılalar klask robust tahm yötem olarak da ble M-tahm edcler (maxmum lkelyhood tp tahm edc), L-tahm edcler (sıra statstkler leer kombasyoları), R-tahm edcler (raka dayalı veya rak döüşümüe dayalı tahm edc), RM-tahm edcler (repeated meda-tekrarlı medya tahm edcler), LMS-tahm edcler (medya kareler e küçüğüü kullaa tahm edc) dr. () de verle model ç e küçük kareler tahm (2) de verlmşt. E geel halde () dek β katsayısı ç M tahm edcs, ρ(e), ) ρ(e) 0 ) ρ(0) = 0 ) ρ(e) = ρ(-e) v) e > e j, j ke ρ(e ) ρ(e j ), e = y x β koşullarıı sağlaya ble br foksyo olmak üzere = ρ( e ) = ρ( y x β) (7) = foksyouu mmum yapar. Foksyou mmum yapacak β değer elde etmek ç (2) dek foksyou β ya göre türev sıfıra eştlerse, ρ ( y β) x x = 0 (8) = elde edlr. (3) tek foksyou = ρ ( e ). e x e = 0, e 0 (9) olarak yazablrz. (4) tek foksyoda w = ρ (e )/e dersek foksyo, = w xe = w x ( y x β ) = 0 (0) = şeklde yazılır ve burada = w x y = = w x x β ormal deklemler elde edlr. Bua göre β ç M tahm edcs, () βˆ M = w (2) x x w x y = = dr. Matrs formuda, (2) dek ormal deklemler, W matrs köşegede w ağırlıkları bulua köşege br matrs olmak üzere, Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs

7 COŞKUNTUNCEL 257 X WXβ = X Wy (3) ve βˆ M tahm βˆ M = (X WX) - X Wy (4) olarak elde edlr. Buradak w ağırlıkları her br gözlem ç ele edlecek ve eğer gözlem veya gözlemler br gurubu gerye kalalarda farklı ola, sapa değerlerse, sıfıra yakı ağırlıklara sahp olacaktır. Bua karşılık kala gözlemler bre yakı ağırlıklara sahp olacaktır. Böylece sapa değerler modele yaptıkları olumsuz katkı mmuma drlmş olacaktır. Gerek bağımlı, gerekse bağımsız değşkeler sapa değerlere sahp olablrler. Bu çalışmada sadece bağımlı değşkeler sapa değer veya değerlere sahp olması durumu ele alıacaktır. Bulgular Öcelkle her pua türü ç EKK le elde edle souçlar 92 ve 93 gözlem ç karşılaştırılmıştır. Katsayı tahmler daha y karşılaştırılablmes ç souçlar tablolarda verlmştr. Tablo de her pua türü ç EKK le elde edle katsayı tahmler yer almaktadır. Tablo : 92 ve 93 Gözleml Verler İç EKK Souçları Pua Gözlem Sabt Matematk Fzk Kmya Byoloj Edebyat Tarh R 2 Sözel 92 72,45-0,2 0,4-0,02 0,4 0,3 0,63 0,56 (y ) 93 88,84-0,5 0,03-0,0 0,7 0,09 0,55 0,43 Sayısal 92 34,8-0,0 0,59 0,22 0,33 0,38-0,03 0,70 (y 2 ) 93 62,5-0,06 0,39 0,23 0,38 0,30-0,5 0,48 Eşt 92 53,3-0,07 0,36 0,0 0,24 0,25 0,30 0,76 Ağr.(y 3 ) 93 74,78-0,0 0,2 0,0 0,27 0,9 0,20 0,5 Tablo dek souçlara dkkat edlrse, eklee ye gözlem EKK souçlarıı oldukça değştrmş ve özellkle sabt term (kesm oktası) buda çok fazla etklemştr. Ayrıca R 2 değerler de dkkate alıacak orada azalmıştır. Bu durumda, robust M regresyo tahm edcsde bekletmz 93 gözlemlk verye uyguladığıda 92 gözlem ç elde edle EKK souçlarıa yakı katsayı tahmler üreterek eklee sapa değer modele yaptığı olumsuz katkıyı kısme veya tamame ortada kaldıracak tahmler üretmesdr. Tablo 2 de 93 gözleme M tahm edcs uygulaması le elde edle souçlar verlmştr (Robust M regresyo tahm ç R 2 değer hesaplamak teork olarak mümkü değldr). Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009

8 258 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN Tablo Gözleml Verler ç M Tahm Edcs le Elde Edle Souçlar Pua Sabt Matematk Fzk Kmya Byoloj Edebyat Tarh Sözel (y ) 75,74-0, 0,4-0,03 0,4 0,4 0,60 Sayısal (y 2 ) 40,67-0,04 0,66 0,7 0,35 0,33-0,08 Eşt Ağr. (y 3 ) 56,49-0,07 0,39 0,07 0,26 0,24 0,27 93 gözlemlk verye uygulaa robust M tahm edcs le elde edle souçlar bekleldğ gb 92 gözlemlk ver ç elde edle EKK tahme yakı elde edlmştr. Tablo 3 te M tahm her gözlem ç kulladığı ağırlıklar verlmştr. Tablo Gözleml Verler ç M Tahm Edcs le Elde Edle Ağırlıklar Sözel (y ) Sayısal (y 2 ) Eşt Ağırlık (y 3 ) 0,69 32,00 63,00 0,99 32,00 63,00 0,57 32,00 63,00 2,00 33,00 64,00 2, , ,63 2,00 33,00 64,00 3,00 34,00 65,00 3 0,66 34,00 65,00 3,00 34,00 65,00 4,00 35,00 66,00 4,00 35,00 66,00 4,00 35,00 66,00 5 0, ,87 67,00 5,00 36,00 67,00 5,00 36,00 67,00 6,00 37,00 68,00 6,00 37,00 68,00 6,00 37,00 68,00 7,00 38,00 69,00 7,00 38, ,68 7,00 38,00 69,00 8,00 39, ,67 8,00 39,00 70,00 8,00 39, ,70 9,00 40,00 7,00 9,00 40,00 7,00 9,00 40,00 7,00 0,00 4,00 72,00 0,00 4,00 72,00 0,00 4,00 72,00,00 42,00 73,00 0,94 42,00 73,00 0,88 42,00 73,00 2 0,95 43,00 74,00 2,00 43,00 74,00 2, ,93 74,00 3,00 44,00 75,00 3 0,49 44, ,79 3 0,56 44, ,76 4,00 45,00 76,00 4 0,85 45,00 76,00 4,00 45,00 76,00 5 0,9 46 0,64 77,00 5, , ,73 5 0, , ,80 6,00 47,00 78,00 6 0,76 47,00 78,00 6 0,85 47,00 78,00 7,00 48,00 79,00 7,00 48, ,80 7,00 48,00 79,00 8,00 49,00 80,00 8,00 49,00 80,00 8, ,9 80,00 9 0,50 50,00 8,00 9, ,77 8,00 9 0, ,86 8,00 20,00 5,00 82, ,82 5 0, ,93 20,00 5, ,85 2 0, ,63 83,00 2, ,6 83,00 2,00 52,00 83,00 22, ,92 84,00 22,00 53, ,40 22,00 53, ,82 23,00 54,00 85,00 23,00 54,00 85,00 23,00 54,00 85,00 24,00 55,00 86,00 24,00 55,00 86,00 24,00 55,00 86,00 25,00 56,00 87,00 25,00 56,00 87,00 25,00 56,00 87,00 26,00 57,00 88,00 26,00 57,00 88,00 26,00 57,00 88, ,85 58,00 89,00 27,00 58, ,33 27, , ,40 28,00 59,00 90,00 28,00 59,00 90,00 28,00 59,00 90,00 29,00 60,00 9 0,88 29,00 60,00 9,00 29, ,80 9, ,57 6,00 92,00 30,00 6,00 92, ,68 6,00 92,00 3,00 62, ,2 3 0,94 62, ,2 3,00 62, , Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs

9 COŞKUNTUNCEL 259 Altı çzgl olarak verle ağırlıklar dğerlere göre kısme düşük olup dkkat edlmes gereke gözlemlerdr. Geel olarak 0,5 değerde daha düşük ola ağırlığa sahp gözlemler celemes gereke gözlemlerdr. Burada özellkle 93. gözleme at ağırlıklar dğerler akse sıfıra daha yakı elde edlmş ve böylece modelde oluşturduğu hasar oldukça düzeltlmştr. 92 gözlemde olaşa ver ç robust M tahm edcs le elde edle ağırlıklar Tablo 4 te verlmştr ve M tahm edcs souçları Tablo 5 te verlmştr. Tablo Gözleml Verler ç M Tahm Edcs le Elde Edle Ağırlıklar Sözel (y ) Sayısal (y 2 ) Eşt Ağırlık (y 3 ) 0,70 32,00 63,00 0,95 32,00 63,00 0,57 32,00 63,00 2,00 33,00 64,00 2, , ,6 2,00 33,00 64,00 3,00 34,00 65,00 3 0,6 34,00 65,00 3,00 34,00 65,00 4,00 35,00 66,00 4,00 35,00 66,00 4,00 35,00 66,00 5 0, ,95 67,00 5,00 36,00 67,00 5,00 36,00 67,00 6,00 37,00 68,00 6,00 37,00 68,00 6,00 37,00 68,00 7,00 38,00 69,00 7,00 38, ,64 7,00 38,00 69,00 8,00 39, ,68 8,00 39,00 70,00 8,00 39, ,69 9,00 40,00 7,00 9,00 40,00 7,00 9,00 40,00 7,00 0,00 4,00 72,00 0,00 4,00 72,00 0,00 4,00 72,00,00 42, ,96 0,98 42,00 73,00 0,95 42,00 73,00 2 0,94 43,00 74,00 2,00 43,00 74,00 2, ,94 74,00 3,00 44,00 75,00 3 0,46 44, ,76 3 0,54 44, ,77 4,00 45,00 76,00 4 0,79 45,00 76,00 4,00 45,00 76,00 5 0, ,64 77,00 5, , ,69 5 0, , ,79 6,00 47,00 78,00 6 0,75 47,00 78,00 6 0,87 47,00 78,00 7,00 48,00 79,00 7,00 48, ,79 7,00 48,00 79,00 8,00 49,00 80,00 8,00 49,00 80,00 8, ,88 80,00 9 0,5 50,00 8,00 9, ,74 8,00 9 0, ,86 8,00 20,00 5,00 82, ,79 5 0, ,87 20,00 5, ,84 2 0, ,64 83,00 2, ,59 83,00 2,00 52,00 83,00 22,00 53,00 84,00 22,00 53, ,40 22,00 53, ,88 23,00 54,00 85,00 23,00 54,00 85,00 23,00 54,00 85,00 24,00 55,00 86,00 24,00 55,00 86,00 24,00 55,00 86,00 25,00 56,00 87,00 25,00 56,00 87,00 25,00 56,00 87,00 26,00 57,00 88,00 26,00 57,00 88,00 26,00 57,00 88, ,85 58,00 89,00 27,00 58, ,32 27, ,8 89 0,4 28,00 59,00 90,00 28,00 59,00 90,00 28,00 59,00 90,00 29,00 60,00 9 0,94 29, ,96 9,00 29, ,78 9, ,57 6,00 92,00 30,00 6,00 92, ,66 6,00 92,00 3,00 62,00 3 0,9 62,00 3,00 62,00 Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009

10 260 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN Tablo Gözleml Verler ç M Tahm Edcs le Elde Edle Souçlar Pua Sabt Matematk Fzk Kmya Byoloj Edebyat Tarh Sözel (y ) 7,4-0,0 0,7-0,03 0,3 0,5 0,6 Sayısal (y 2 ) 36,2-0,03 0,69 0,7 0,34 0,35-0,06 Eşt Ağr. (y 3 ) 53,40-0,07 0,4 0,06 0,26 0,25 0,28 Dkkat edlrse sözel pua ç elde edle souç, EKK le heme heme ayı olmakla beraber M tahm ürettğ ağırlıklar celedğde tümüü veya e çok yakı olduğu görülmektedr. Sayısal pua ç elde edle souçlar se dkkate değer şeklde değşmştr. Ağırlıklar celedğde 3, 84 ve 89. gözlemlere at ağırlıkları sıfıra yakı dğerler se e yakı olduğu görülmektedr. Bezer şeklde eşt ağırlık puaı ç elde edle souçları EKK souçlarıda gösterdğ farklılığı sayısal puadak kadar olmadığı görülmektedr. Acak eşt ağırlık ç M tahm ürettğ ağırlıklarda 9, 46 ve 89. gözlemlere at ağırlıkları dğerler akse 0 a yakı olduğu görülmektedr. Sapa değerler modele ola etkler araştırmak ç e pratk yötem bu gözlemler verde çıkararak tekrar EKK uygulamaktır. Bu durumda sayısal ve eşt ağırlık ç elde edle M tahm souçlarıda düşük ağırlık ala gözlemler çıkararak EKK uyguladığımızda elde ettğmz souçlar Tablo 6 da verlmştr. Tablo 6. Düşük Ağırlığa Sahp Gözlemlerler Çıkarıldıkta Sora Elde Edle Souçlar Pua Sabt Matematk Fzk Kmya Byoloj Edebyat Tarh R 2 Sayısal (y 2 ) 4,75-0,03 0,77 0,04 0,42 0,24-0,06 0,78 Eşt Ağr. (y 3 ) 56,50-0,08 0,47 0,0 0,28 0,20 0,27 0,79 Elde edle souçlar 92 gözleme uygulaa EKK souçlarıyla karşılaştırıldığıda çıkarıla gözlemler modele etkler açıkça görüleblmektedr. Acak burada br oktayı tekrar vurgulamakta yarar vardır. So yapıla verde gözlem çıkarma şlem sadece şüphelele gözlemler regresyo katsayıları üzerdek etkler celemek ç yapılmaktadır. Çükü bu gözlemler atıldığıda zama gerye kala gözlemler çde sapa değerler olablr ve bularda kayaklaa katsayı tahm hataları oluşablr; hatta bağımsız değşkeler oluşturduğu matrste olması muhtemel kötü koşulluluk daha da vahm br düzeye ulaşablr, belk de ortada kalkablr. Bu yüzde sadece katsayılara bakarak gözlemler hakkıda oluşa sapa değer yargısıı ölçmek ç gözlem çıkartılır. Buu dışıda very lk hal le ele almak gerekr. Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs

11 COŞKUNTUNCEL 26 Souçlar ve Öerler Yukarıda verle örekte de görüldüğü gb regresyo aalzde sapa değerler regresyo katsayıları üzerde çok olumsuz etkler vardır. Bu olumsuz etkler ham ver le oyamada azaltmak veya tamame ortada kaldırablmek ç robust M regresyo tahm edcler uygu tahm yötem olarak ele alıablr. Bldğ gb ver toplama her aşaması çok dkkat, zama ve emek gerektrmektedr; ayrıca ekoomk şartlar da bua ekledğde, öem br kat daha artmaktadır. Özellkle eğtm blmler alaıda yapıla çalışmalar öreklem tutarlılığı ve geelleeblrlğ açsıda çoğulukla yüksek gözlem sayısıa sahptr. Buda dolayı zama zama ver ormallğ boza gözlemler atılması veya toplaa ver topladığı öreklemde ormal dağılacak şeklde ye br öreklem çeklmes sıkça karşılaşıla br durumdur. Acak bu durum baze çalışmaı geçerlğ ve geelleeblrlğ açısıda sorular doğurablr. Ayrıca gözlem sayısı fazla ola verlerde gruplaşmaları olması htmal yüksek olması araştırmacıyı küçük ola grubu verde çıkarılmasıa sevk edeblecektr. İşte oluşablecek bu ve bezer sorularla mücadele edeblmek ç eğtm araştırmalarıda robust tahm edcler EKK tahme alteratf olarak düşüüleblrler. Kayakça Akhu, İ. (980). Akademk başarıı kestrlmes. Akara Üverstes Eğtm Fakültes Yayıları. Aastas, A. (997). Psychologcal testg. New York, USA: Pretce Hall Ic. Arsla, O. (2004). Covergece behavor of a teratve reweghtg algorthm to compute multvarate M-estmates for locato ad scatter. Joural of Statstcal Plag ad Iferece, 8, Aşkar, P. (985). Yükseköğretme öğrec seçme ve yerleştrme sstem geçerlğ. Yayımlamamış doktora tez, Hacettepe Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü, Akara. Baykul, Y. (2000). Eğtmde ve pskolojde ölçme: Klask test teors ve uygulaması. Akara: ÖSYM. Baykul, Y., Gelbal, S., ve Kelecoğlu, H. (200). Eğtmde ölçme ve değerledrme, Akara: MEB. Crocker, L. ve Alga, J. (986). Itroducto to classcal ad moder test theory. Florda, USA: Harcourt Brace Jovaovch College Publshers. Demrok, S. (990). ÖSS ve ÖYS puaları le lse ve deg okullardak başarıı yüksek öğretmdek başarıyla lşks. Yayımlamamış yüksek lsas tez, Hacettepe Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü, Akara. Dez, Z.K. ve Kelecoğlu, H. (2005). İlköğretm başarı ölçüler le Ortaöğretm Kurumları Öğrec Seçme ve Yerleştrme Sıavı arasıdak lşkler, Akara Üverstes Eğtm Blmler Fakültes Dergs, 38, Doğa, N. (999). Dershae deeme sıavları le ÖSS ve ÖYS arasıdak lşk. Yayımlamamış yüksek lsas tez, Hacettepe Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü, Akara. Clt 5, Sayı 2, Aralık 2009

12 262 EN KÜÇÜK KARELER VE ROBUST M TAHMİN EDİCİLERİN Erkuş, A. (998) ÖYS terchler test-tekrar test güverlkler le yordama geçerlkler zama çde gösterdkler değşm. 0. Ulusal Pskoloj Kogres (Serbest Bldr), Akara Üverstes. Erkuş A (2003) Pskometr üzere yazılar: ölçme ve pskometr tarhsel kökeler, güverlk, geçerlk, madde aalz, tutumlar; bleşeler ve ölçülmes.. baskı, Akara. Türk Pskologlar Dereğ Yayıları No:24. s Gelbal, S. (989). Öğrec seçme sıavı le ÖSS testler öğrec başarıları yöüde lşkler, güvelrlkler ve ÖYS y yordama güçler. Yayımlamamış yüksek lsas tez, Hacettepe Üverstes, Akara. Hampel, F.R., Rochett, E.M., Rousseeuw, P.J., ve Stahel, W.A. (986). Robust statstcs: The approach based o fluetal fuctos. New York: Wley. Huber, P.J. (964). Robust estmato of a locato parameters. The Aals of Mathematcal Statstcs, 35, Huber, P.J. (98). Robust statstcs. New York: Wley. Koza, K. ve Tezer, E. (979). Üverstelerarası seçme sıavı geçerlk araştırması, ÜSYM, AB Köse, M.R. (990). Üversteye grş ve lselermz. Hacettepe Üverstes Eğtm Fakültes Dergs, 5, Oral, T. (985). Lse başarı ölçüler le ÖSYS puaları arasıdak uyum. Yayımlamamış doktora tez, Hacettepe Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü, Akara. Özçelk, D.A. (982). Öğrec seçme ve yerleştrme sıavı geçerlk araştırması. Öğrec seçme ve yerleştrmede kullaıla yötemlere lşk bazı sorular. ÖSYM Araştırma-Gelştrme Brm, Akara. Rousseeuw, P.J. ve Leroy, A.M. (987). Robust regresso ad outler detecto. New York: Wley. Tezbaşara, A. (99). Yüksek öğretme öğrec seçme ve yerleştrme sstemde 987 yılıda yapıla değşklkler üzere br araştırma. Yayımlamamış doktora tez, Hacettepe Üverstes Sosyal Blmler Esttüsü, Akara. Tokat, E. ve Demrtaşlı, N. (2004). Lsasüstü eğtm grş sıavı (LES) ve dğer kabul ölçüler yordama geçerllğe lşk br çalışma. Eğtm Blmler ve Uygulama, 3(5), Mers Üverstes Eğtm Fakültes Dergs