HOMOJEN OLMAYAN VARYANS VARSAYIMI ALTINDA ORTALAMALARIN EŞİTLİĞİ İÇİN BAZI TEST İSTATİSTİKLERİ VE KARŞILAŞTIRMALARI Esra YİĞİT 1, Hamza GAMGAM 1 ÖZ

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERİTEİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİİ B Teor Blmler ANADOLU UNIVERITY JOURNAL OF CIENCE AND TECHNOLOGY B Theoretcal ceces Clt/Vol.:-ayı/No: : 57-7 (0) HOMOJEN OLMAYAN VARYAN VARAYIMI ALTINDA ORTALAMALARIN EŞİTLİĞİ İÇİN BAZI TET İTATİTİKLERİ VE KARŞILAŞTIRMALARI Esra YİĞİT, Hamza GAMGAM ÖZ İde fazla yığıı ortalamalarıı eştlğ hpotez test amacıyla ullaıla las F test, ormall ve yığı varyaslarıı homojel varsayımıa dayaır. Bu varsayımlar özellle varyasları homojel varsayımı, sağlamadığıda las F test ullaılması uygu olmamatadır. Bu durum özellle örelem hacm büyü olmadığıda, öeml br sııtı doğurmatadır. Lteratürde bu ouyla lgl br ço test statstğ gelştrlmştr. Bu çalışmada Brow-Forsythe, geelleştrlmş F, cott-mth, Welch, Xu-Wag testler taıtılmış ve testler farlı yığı parametreler ve öre hacmler altıda deeysel I.tp hata oraı ve test gücü baımıda arşılaştırılması yapılmıştır. Aahtar Kelmeler : Brow-Forsythe test, Geelleştrlmş F test, cott-mth test, Welch test, Xu-Wag test. THE TET PROPOED FOR THE ONE-WAY ANOVA UNDER UNEQUAL VARIANCE AND IMULATION TUDY ABTRACT Classcal F-test to compare several meas depeds o the assumptos of homogeety of populatos varaces ad ormalty. Whe these assumptos-especally the equalty of varace-s dropped, classcal F-test fals to reject the ull hypothess eve the data actually provdes strog evdece to do so. Ths ca be cosdered as a serous problem some applcatos especally whe the sample sze s ot large. For ths problem, a large umber of tests are avalable the lterature. I ths study Brow-Forsythe, geeralzed F, cott-mth, Welch, Xu-Wag are troduced. Also a smulato study s performed to compare these tests dfferet combato of varace, meas, populato umber ad sample sze. Keywords: The Brow-Forsythe test, The Geelleştrlmş F test, The cott-mth test, The Welch test, The Xu-Wag test., Gaz Üverstes Fe-Edebyat Faültes İstatst Bölümü Teoullar Aara, eygt@gaz.edu.tr. gamgam@gaz.edu.tr (Hamza GAMGAM) Gelş: 0 Em 009; Düzeltme: 4 Mart 00; Kabul: 4 Eylül 00

2 58. GİRİŞ Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler Klas varyas aalz herbr ormal dağılıma sahp ola de fazla yığıı ortalamalarıı eştlğ hpotez test amacıyla ullaılır. Klas te fatörlü varyas aalz problemlerde, herbr ormal dağılıma sahp yığı sayısı, bu yığılarda. yığıı blmeye ortalaması µ ve geel ortalama µ olma üzere, yolu ve alteratf hpotezler H : µ = µ = = µ = µ ve H : µ µ, j (.) 0 j bçmde fade edlr.. yığıda hacml bağımsız örelemler X,, X ve =, olsu.. fatör düzey bağımlı değşe üzerde ets α,. yığıda seçle örelemde j. brm bağımlı değşe baımıda ölçüm değer x j, hata term ε j olma üzere, ble las te fatörlü varyas aalz model x = µ + α + ε, =,,, j =,, j j bçmde fade edlr (cheffe,959). Klas varyas aalzde Eş.. de H 0 hpotez test etme ç gerel ola varsayımlar; ) hacml örelemler her br ormal dağılımda gelmştr. ) hacml örelemler geldler yığıları varyasları homojedr. 3) örelemler rastsal olara seçlmşlerdr ve bağımsızdırlar. şelde fade edleblr. Homoje varyas varsayımı sağlamadığıda yolu hpotez redd desteler telte öeml aıtlar olsa ble baze las varyas aalz büyü hacml örelemler durumuda ble yolu hpotez reddedemeyeblr. Br ço alada, büyü hacml örelemler elde edlemeyeceğ düşüülürse bu durum öeml br sııtı doğurablr. Büyü hacml örelemler elde etme zor olduğu alalarda br bomedal çalışmalardır. Böyle uygulamalarda her br gözlem hayat öeme sahp olablr veya bu gözlem elde etme ço pahalı olup zama alablr. Bu gb durumlarda yeterl örelem hacme sahp oluamamatadır. Böylece üçü hacml örelemlerle çalışma zorululuğu ortaya çıar. Böyle durumlarda las varyas aalz olduça ötü souçlar vermesde dolayı alteratf br ço test gelştrlmştr. Bu test statstler bazılarıı dağılımı tam olara blre bazılarıı dağılımı smülasyo yoluyla yalaşı olara bulumatadır (Weerahad, 995; Weerahad, 004). Homoje varyas varsayımıı sağlamadığı durumda l olara ormal dağılıma sahp yığı ortalamasıı eştlğe at hpotez test celemştr. Bu durum, Behres-Fsher problem olara blmetedr. Behres-Fsher problem ç öerle l testlerde br de Welch (947) gelştrdğ testtr. Welch (95), bu test yığıı ortalamasıı eştlğe at hpotez test ç geelleştrmştr. cott ve mth (97) tarafıda cott-mth test statstğ, Brow-Forsythe (974) tarafıda las F test br uyarlaması ola Brow-Forsythe test öerlmştr. Ayrıca Weerahad (995a), örelemler orta ölçüm döüşümler altıda değşmeye Geelleştrlmş F test gelştrmştr. Geelleştrlmş F teste dayalı br dğer testte Xu ve Wag (007) tarafıda öerlmştr. Ayrıca Gamage ve Weerahad (998) smülasyo yoluyla Geelleştrlmş F test, las F, ağırlıladırılmış F, Welch ve Brow- Forsythe testler le arşılaştırmışlardır. Geram ve Zaheda (00) se çalışmasıda Welch test, cott-mth test, Weerahad Geelleştrlmş F test ve Che ve Che (998) tarafıda öerle Te Aşamalı testler arşılaştırmasıı smülasyo yoluyla yapmışlardır. Bu çalışmaı c bölümüde ormal dağılıma sahp aca homoje varyas varsayımıı sağlamaya yığı ortalamasıı eştlğ hpotez test ç gelştrle Welch Test, cott ve mth Test, Brow ve Forsythe Test, Weerahad Geelleştrlmş F Test, Xu ve Wag ı Geelleştrlmş F test taıtılmıştır. Üçücü bölümde se smülasyo yoluyla bu test statstler, farlı örelem hacm ve yığıları farlı varyasları altıda deeysel I. tp hata baımıda arşılaştırma-

3 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 59 ları ve sora da farlı örelem hacm, yığıları farlı varyasları ve ortalamaları altıda test gücü baımıda arşılaştırmaları yapılmıştır.. TET İTATİTİKLERİ Bu bölümde ormal dağılıma sahp aca homoje varyas varsayımıı sağlamaya yığı ortalamasıı eştlğ hpotez test ç gelştrle bazı test statstlere yer verlmştr.. yığıı varyası σ, =,, ve buları homoje olmadığı varsayılsı, bu durumda. örelem ç ortalaması X ve varyası olma üzere, tadartlaştırılmış Gruplar Arası Kareler Toplamı ve tadartlaştırılmış Hata Kareler Toplamı sırasıyla, X = σ = X ( σ,, σ b b ) =, = σ σ = (.) e = σ = (.) olara fade edlr. Homoje varyas varsayımı sağlamadığı zama las F test statstğ dağılımı teor olara elde edlememetedr (Weerahad, 995). Bu yüzde ortalamaları eştlğ hpotez test etme ç las F teste alteratf başa test statstler ullaılmatadır.. Welch Test Yığı varyasları homoje olmadığıda yığıı ortalamasıı eştlğ hpotez test etme ç Welch (95), Behre-Fsher problem çözümü ç gelştrdğ test geelleştrlmş bçm öermştr. Bu test prat olması baımıda uygulamalarda sılıla ullaılmatadır. Bua göre w = olma üzere, Welch (95) test statstğ W = w X X = + = w w j (.3) şelde taımlaır. Yolu hpotez doğruluğu altıda W test statstğ dağılımı, - ve f serbestl derecel F dağılımıa yaısamatadır (Welch, 95). Bu F dağılımıı paydası ç serbestl dereces f = 3 w = wj eştlğde elde edlmetedr. W test statstğ ç hesaplaa değer w olma üzere,

4 60 ( f ) P F w, α Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler se ortalamaları eştlğ hpotez red edlr.. cott-mth Test Yığı varyasları homoje olmadığıda sayıda yığıı ortalamalarıı eştlğ hpotez test ç cott-mth (97) tarafıda öerle test statstğ aşağıda verlmştr. F s = ( ) X X = (.4) * Burada *, = * 3 bçmdedr. Yolu hpotez doğruluğu altıda F s statstğ serbestl derecel χ dağılımıa yaısamatadır (cott ve mth,97). Bua göre F s statstğ ç hesaplaa değer f s olma üzere, ( ) P F f α s s se ortalamaları eştlğ hpotez red edlr..3 Brow-Forsythe Test Brow ve Forsythe (974) tarafıda öerle Brow-Forsythe test las F test uyarlamış br bçmdr. Bu test statstğ B = = = ( ) X X olara öerlmştr. Yolu hpotez doğruluğu altıda B statstğ ve v serbestl derecel F dağılımıa sahptr (Brow ve Forsythe, 974). Bu F dağılımıı payda ç serbestl dereces (.5) v = = = 4 eştlğ le verlmştr. Bua göre B statstğ ç hesaplaa değer b olma üzere, ( v ) P F b, α olduğuda ortalamaları eştlğ hpotez red edlr.

5 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 6.4 Weerahad Geelleştrlmş F Test Klas yalaşımda test statstğ dağılımıı sağ uyru bölges ullaılıre geelleştrlmş yalaşımda se test değşe ç oluşturula öre uzayıı sağ uyru bölges ullaılır. Geelleştrlmş F test p değer hesaplaması ç sağ uyru bölgede gözlee öre otalarıı sayısı date alıır. Yolu hpotez doğruluğu altıda bu bölge olasılığı geelleştrlmş p değer vermetedr (Gamage ve Weerahad, 998). Weerahad, bu yötemde X X statstğ yere σ parametres eço olablrl tahm edcs ( ) = j = = Xj X = statstğ ullaımıı öermştr (Weerahad, 995a). B j değşe, ola ( ) σ statstğ br fosyou olara aşağıda gb taımlamıştır. j = σ B j =, j =,, (.6) j+ = σ Bua göre B j statstğ dağılımı B j beta j = ( ) ( ) j+, olur (Weerahad, 995a).. öre ç rasgele değşe Eş.. de verle e ve Eş..6 da σ verle B j değşee bağlı olara aşağıda gb elde edlr. σ = BB B, e σ = e( B ) B B, =,, σ e ( B ) =. statstğ ç yapıla ayrıştırma, blmeye br parametreye bağlı değldr. Bu yüzde H 0 hpotez abul edlp edlmemes bu fadey σ etlememetedr. Bu durumda Eş.. de verle b fosyou gözlem değerlerde elde edle fosyou s b olma üzere geelleştrlmş p değer

6 6 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler s s s 3 3 s = E H, s b,,,, BB B ( B) B B ( B) B3 B ( B ) şelde taımlaır (Weerahad, 995a). H,, - ve - serbestl derecese sahp F dağılımıı ümülatf dağılım fosyoudur ve Geelleştrlmş p, bu fade belee değer alıara buluur. Bua göre p < α olduğuda yolu hpotez red edlr..5 Xu ve Wag ı Geelleştrlmş F Test Homoje olmaya varyas durumuda yığıları ortalamalarıı eştlğ hpotez test ç öerle dğer br test statstğ de Xu ve Wag (007) tarafıda gelştrle geelleştrlmş F testdr. Eş.. de yolu hpotez H 0 : µ =µ ; µ =µ ;... ;µ - =µ bçmde gösterlebleceğ Xu ve Wag (007) tarafıda fade edlmştr. v a le v b v = µ, µ,, µ, v = µ ( ) a b - le gösterlrse, yolu hpotez ve arşıt hpotez H : v = v, H : v v (.7) 0 a b a b boyutlu tüm elemaları ola vetördür. Xu ve Wag (007) tarafıda gelştrle geelleştrlmş p ç gerel taımlar aşağıda gbdr. Geelleştrlmş F teste dayalı br test olduğuda σ yere e ço olablrl tahm edcs ola = ( ) Xj X ullaılmıştır. Ya, Yb, ave b fadeler şelde yede düzeleeblr. Burada -, ( ) j= ( ) Y =,, a X X Y = X b öş =,,, = a b şelde taımlamıştır. Geelleştrlmş test değşe değer ola t t = y y s + s y y ( ) ( ) ( ) a b a b a b olara buluur. Burada ya, yb, sa ve s b sırasıyla Ya, Yb, ave b gözlem değerlerdr. Test değşe T se, / s s s / T = Y ( sa + sb) öş,, + ( sa + sb) Y U U U şelde taımlaır (Xu ve Wag, 007). Burada Y ve U değerler

7 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 63 ( ) χ Y N 0, I U,,, = şeldedr. Böylece H o hpotez doğruluğu altıda geelleştrlmş p değer ( ) p = PT t H olara fade edlr İMÜLAYON ÇALIŞMAI Bu bölümde, Bölüm de taıtıla test statstler deeysel I.tp hata oraları ve güçler baımıda arşılaştırılması smülasyo yoluyla yapılara souçlar tablolarla ve graflerle gösterlmştr. 3. Test İstatstler Deeysel I.Tp Hata Oraları Baımıda Karşılaştırılması mülasyo çalışmasıda, test statstler deeysel I.tp hata oraları baımıda arşılaştırılmasıda ortalamaları eşt olara belrlee =3, =5 ve =7 sayıda yığılar ç, öre hacmler ve yığı varyaslarıı çeştl ombasyoları ullaılmıştır. Bu ombasyolar öre hacmler eşt ve farlı, yığı varyaslarıı homoje ( σ = = σ ) ve heteroje ( σ < < σ veya σ > > σ ), öre hacmler le yığı varyaslarıı doğru ve ters oratılı olduğu durumlar date alıara oluşturulmuştur. Ayrıca yığı varyaslarıı heterojeller arta br şelde oluşturulara heterojel sevyeler de date alımıştır. Öcede belrlee yığıları sayısıa göre yuarıda bahsedle durumlar date alıara ayı ortalamalı ormal dağılımlı yığılarda hacmde öreler üretlmştr (=,..,, j=,..., ). Bu öreler herbr ç ortalamaları eştlğ hpotez test amacıyla. bölümde bahsedle las varyas aalz (KF), Welch (W), cott-mth (), Brow-Forsythe (BF), Weerahad Geelleştrlmş F (GF), ve Xu le Wag ı Geelleştrlmş F (XW) testler algortmaları ullaılara test statstler herbr değer hesaplamış ve bu testler herbr ç p değerler bulumuştur. p değerler seçle omal α (alam sevyes) değer le arşılaştırılara p değer < omal α se ortalamaları eştlğ hpotez red edlmştr. Bu şlemler 5000 ez terarlaara omal α =0.05 durumu ç her br test statstğ ortalamaları eştlğ hpotez red etme sayıları saptamış ve bular 5000 terar sayısıa bölüere her br test statstğ ç deeysel I.tp hata oraları hesaplamıştır. Bu testlerde geelleştrlmş p değer geretre GF ve XW testler p değer bulma amacıyla herbr ayrıca 5000 terara dayalı smülasyo le olasılı dağılımları türetlere bu dağılımlarda geelleştrlmş p değerler hesaplamıştır. mülasyo çalışması Matlab R008a program dl ullaılara yapılmıştır ve omal α =0.05 ç elde edle testler deeysel I.tp hata oraları =3, =5 ve =7 ç sırasıyla Tablo 3., 3., 3.3 de verlmştr. Bu souçlarla lgl yorumlar aşağıda verlmştr.

8 64 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler Tablo 3. Nomal α =0.05, =3, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler deeysel I.tp hata oraları σ KF W BF GF XW (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (.5,.5,) (4,,) (9,4,) (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (.5,.5,) (4,,) (9,4,) (,,) (4,4,4) (9,9,9) (,.5,.5) (,,4) (,4,9) (.5,.5,) (4,,) (9,4,) (4,4,4) (0,0,0) (30,30,30) (3,5,7) (7,0,3) (0,5,30)

9 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 65 Tablo 3. Nomal α =0.05, =5, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler deeysel I.tp hata oraları σ K W BF GF XW (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,.75,.5,.5,) (8,6,4,,) (8,3,9,4,) (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,.75,.5,.5,) (8,6,4,,) (8,3,9,4,) (,,,,) (4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8) (,.5,.5,.75,) (,,4,6,8) (,4,9,3,8) (,.75,.5,.5,) (8,6,4,,) (8,3,9,4,) (4,4,4,4,4) (0,0,0,0,0) (30,30,30,30,30) (3,4,5,6,7) (7,9,,3,5) (0,3,6,9,3)

10 66 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler Tablo 3.3. Nomal α =0.05, =7, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler deeysel I.tp hata oraları (4,4,4,4,4,4,4) σi KF W BF GF XW (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (0,0,0,0,0, 0,0) (30,30,30,30,30, 30,30) (3,4,4,5,6,6,7) (7,9,9,,3,3,5) (0,3,3,6,9,9,3) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,.75,.75,.5,.5,.5,) (8,6,6,4,,,) (8,3,3,9,4,4,) (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,.75,.75,.5,.5,.5,) (8,6,6,4,,,) (8,3,3,9,4,4,) (,,,,,,) (4,4,4,4,4,4,4) (9,9,9,9,9,9,9) (8,8,8,8,8,8,8) (,.5,.5,.5,.75,.75,) (,,,4,6,6,8) (,4,4,9,3,3,8) (,.75,.75,.5,.5,.5,) (8,6,6,4,,,) (8,3,3,9,4,4,)

11 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 67 Örelem hacmler eşt ve yığı varyasları heteroje olduğu durum altıda testler celedğde, W, BF ve GF testler deeysel I.tp hata oralarıı omal α =0.05 değere yaı souçlar verdğ gözlemetedr. XW test ç bu oraı, öre hacmler arttıça omal α =0.05 değerde uzalaştığı görülmetedr. Öreğ yığı varyasları σ =, σ = 4, σ3 = 9 ç öre hacm = = 3 =4 olduğuda XW test deeysel I.tp hata oraı e = = 3 =30 olduğuda olduğu gözlemetedr. test se dğer testlere göre heterojelte ço fazla olumsuz yöde etledğ görülmetedr. Yığı sayısı arttığıda se örelem hacmler üçüe BF test; örelem hacmler arttığıda da W ve GF testler deeysel I.tp hata oralarıı omal α =0.05 değere olduça yaı souçlar verdğ görülmetedr. Örelem hacmler le yığı varyaslarıı doğru oratılı olduğu durum altıda testler celedğde, W, BF ve GF testler deeysel I.tp hata oralarıı omal α =0.05 değere olduça yalaştığı görülmetedr. Ayrıca XW test ç bu ora, heterojel az olduğuda omal α =0.05 değerde uzalaşıre heterojel arttığıda bu değere yalaşmıştır. Yığı sayısı arttığıda se KF test olumlu yöde etlere BF ve XW testler bu durumda olumsuz yöde etlemş olduğu gözlemetedr. Örelem hacmler le yığı varyaslarıı ters oratılı olduğu durum altıda testler celedğde örelem hacmler üçüe XW test, örelem hacm arttıça bu teste e olara GF ve W testler deeysel I.tp hata oralarıı omal α =0.05 değere olduça yaı souçlar verdğ görülmetedr. Yığı sayısı arttığıda da bezer souçları elde edldğ gözlemştr. 3. Test İstatstler Güç Baımıda Karşılaştırılması mülasyo çalışmasıda testler güç baımıda arşılaştırılması amacıyla farlı ortalamalı ormal dağılımlı yığılarda hacml örelemler üretlmştr (=..., j=,..., ). =3, =5 ve =7 sayıda yığılar ç farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyaslarıı çeştl ombasyoları ullaılmıştır. Bu örelemler her br ç gerçete yalış ola ortalamaları eştlğ hpotez test amacıyla. bölümde bahsedle test statstler değerler hesaplamış ve bu testler her br ç p değerler bulumuştur. Bu şlemler 5000 ez terarlaara omal α =0.05 ç her br test statstğ ortalamaları eştlğ hpotez red etme sayıları saptamış ve bular terar sayısıa ya 5000 e bölüere her br test statstğ deeysel güç değerler (oraları) hesaplamıştır. Bu souçlar Tablo 3.4, 3.5 ve 3.6 da özetlemştr.

12 68 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler Tablo 3.4. Nomal α =0.05, =3, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler ç güç değerler σ (µ, µ, µ 3 ) KF W BF GF XW (0,5,30) (3,5,7) (30,30,30) (4,4,4) (9,4,) (,4,9) (9,4,) (,4,9) (,4,9) (,4,9) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5) (-.5,0,.5) (-4.5,0,4.5) (-7.5,0,7.5) (-0.5,0,0.5)

13 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 69 Tablo 3.5. Nomal α =0.05, =5, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler ç güç değerler σ (µ, µ, µ 3, µ 4, µ 5 ) KF W BF GF XW (0,3,6,9,3) (3,,4,5,6,7) (30,30,30,30, (4,4,4,4,4) (,4,9,3,8) 30) (,4,9,3,8) (,4,9,3,8) (8,3,,9,4,) (,4,9,3,8) (8,3,,9,4,) (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, ,0,0.5,) (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, ,0,0.5,) (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, ,0,0.5,) (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, ,0,0.5,) (-3,-.5,0,.5,3) (-9,-4.5,0,4.5,9) (-5,-7.5,0,7.5,5) (-, ,0,0.5,)

14 70 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler Tablo 3.6. Nomal α =0.05, =7, farlı örelem hacmler ve farlı yığı varyasları ç test statstler ç güç değerler σ (µ, µ, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6, µ 7 ) KF W BF GF XW (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (4,4,4,4,4,4,4) (,4,4,9,3,3,8) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) (30,30,30,30,30,3 (3,4,4,5,6,6,7) (0,3,3,6,9,9,3) (8,3,3,9,4,4,) (,4,4,9,3,3,8) (8,3,3,9,4,4,) (,4,4,9,3,3,8) (,4,4,9,3,3,8) (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) (-3,-.5,-.5,0,.5,.5,3) (-9,-4.5,-4.5,0,4.5,4.5,9) (-5,-7.5,-7.5,0,7.5,7.5,5) (-,-0.5,-0.5,0,0.5,0.5,) Testler deeysel I.tp hata oralarıı omal α =0.05 değerde olduça uzalaştığı durumlarda lgl test güç baımıda değerledrmes date alımamıştır. Bua göre testler güç baımıda geel olara değerledrldğde yığı sayısı =3 e GF ve W testler le öre hacmler ve yığı varyaslarıı ters oratılı olduğu durumda da XW test yüse güç değerlere sahp olduğu görülmetedr. Hem yığı sayısıı artışıı hem de örelem hacm üçü olmasıı testler güç değerler olduça etleyere brbrde farlılı gösterdğ gözlemştr. Örelem hacm üçüe BF ve özellle XW testler dğer testlere göre yüse güç değerlere sahp olduğu görülmetedr. Örelem hacm arttığıda se W ve GF testler le örelem hacmler le yığı varya-

15 Aadolu Uversty Joural of cece ad Techology - B () Theoretcal ceces 7 slarıı ters oratılı olduğu durumda da XW test yüse güç değerlere sahp olduğu görülmetedr. Test gücü örelem hacm arta br fosyou olduğuda örelem hacm büyüdüçe testler güç değerler değere yalaşması belee br souçtur. 4. ONUÇ Testler arşılaştırılıre hag test daha y olduğuu alama ç sadece deeysel I.tp hata oralarıa değl ayı zamada güç değerlere de baılması geremetedr. Yığı varyasları heteroje olduğuda örelem hacmler üçüe KF test deeysel I.tp hata oraları omal α =0.05 değerde olduça uzalaştığıda yorumlarda bu test güç baımıda arşılaştırılması yapılmamıştır. Örelem hacmler arttığıda KF test deeysel I.tp hata oraları omal α =0.05 değere yaı souçlar vermese rağme, dğer testlere göre güç değerler daha düşütür. Geel olara durumları değerledrdğmzde örelem hacmler üçü olması tüm testler güç değerler düşürmüştür. Örelem hacmler arttığıda beleldğ gb testler güç değerler artmatadır. Dğer br fadeyle yığıda daha büyü hacml örelem almaı heterojelğ ets azalttığı söyleeblr. Testler güç baımıda tüm durumlar altıda celedğmzde, geellle ve KF testler deeysel I.tp hata oraları omal α değerde olduça uza olduğu ç değerledrmeye alımamıştır. W ve özellle GF testler geel olara dğer testlere göre daha yüse güç değerlere sahp olduğu gözlemştr. Ayrıca XW test örelem hacmler le yığı varyaslarıı ters lşl olduğu durumda özellle örelem hacm arttığıda olduça yüse güç değerlere sahp olduğuu görülmetedr. KAYNAKLAR Brow, M.B. ve Forsythe, A.B. (974). The small sample behavor of some statstcs whch test the equalty of several meas. Techometrcs 6, 9-3. Che,. ve Che, J.H. (998). gle-tage aalyss of varace uder heteroscedastcty. Commucatos tatstcs ad mulatos 7(3), Gamage, J. ve Weerahad,. (998). ze performace of some tests oe-way ANOVA Commucatos tatstcs ad mulatos 7(3), Geram, A. ve Zaheda, A. (00). Comparg the meas of ormal populatos wth uequal varaces. roceedgs of the 53rd esso of Iteatoal tatstcal Isttute, eoul, Korea. cheffe, H. (959). The aalyss of varace, Wley, New Yor, cott, A.J. ve mth, T.M.F. (97). Iterval estmates for lear combatos of meas. Appled tatstcs 0(3), Weerahad,. (995a). ANOVA uder uequal error varaces. Bometrca 38, Weerahad,. (995). Exact statstcal method for data aalyss. prger-verlag, NewYor, -50. Weerahad,. (004). Geeralzed ferece repeated measures: Exact methods MANOVA ad mxed models. Wley, New Yor, -60. Welch, B.L. (947). The geeralzato of studet s problem whe several dfferet populato varaces are volved. Bometra 34, Welch, B.L. (95). O the comparso of several mea values: A alteratve approach. Bometrca 38, Xu, L. ve Wag,. (007). A ew geeralzed p-value ad ts upper boud for ANOVA uder uequal erros varaces. Commucatos tatstcs Theory ad Methods 37,

16 58 Aadolu Üverstes Blm ve Teoloj Dergs - B () Teor Blmler