TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum) Noktaları fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise Bu durumda; noktasında bu fonksiyonun bir maksimumu vardır. olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. Bu durumda ise; olur. Maksimum ve minimum noktalarına ekstremum noktaları da denir. Teorem 1: fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. fonksiyonu bu aralığın bir noktasında maksimum veya minimuma sahipse ve bu noktada fonksiyonun türevi sonlu ise bu türev sıfıra eşittir. Yani ; dır. Teorem 2 (Rolle Teoremi) : fonksiyonu aralığında sürekli, aralığında türevi olan bir fonksiyon ve ise açık aralığı içinde en az bir noktası vardır ki bu noktada fonksiyonun türevi sıfıra eşittir. Yani; dır. 1
Aşağıdaki animasyonda da görüldüğü gibi ve olup noktasında fonksiyonun bir maksimumu noktasında ise bir minimumu vardır. Bu iki noktada da olup dır. Teorem 3 (Ortalama Değer Teoremi) : fonksiyonu aralığında sürekli ve aralığında türevi olan bir fonksiyon ise; olacak şekilde en az bir noktası vardır. Geometrik olarak aşağıdaki şekillerden de izlenebildiği gibi fonksiyonu aralığında sürekli ve aralığında türevi olan fonksiyonlar olduğu için olan gibi noktalar daima vardır. 2
11.1.1 Artan ve Azalan Fonksiyonlar Teorem : kapalı aralığında türevi daima pozitif olan fonksiyon bu aralıkta artan, türevi daima negatif olan fonksiyon ise bu aralıkta azalandır. Karşıt Teorem : aralığında artan bir fonksiyonun türevi varsa bu türev pozitiftir. Benzer şekilde azalan bir fonksiyonun türevi varsa bu negatiftir. Herhangi bir fonksiyonun türevi sıfır olsa da fonksiyon her zaman sıfır değildir. 11.1.2 Dış Bükey Eğriler, İç Bükey Eğriler ve Büküm Noktası Bir eğrinin bükülme yönü OY ekseninin pozitif yönünde ise eğriye OY eksenine göre dış bükey (konveks), negatif yönünde ise iç bükey (konkav) denir. İlk eğride (dış bükey) A 1 noktasından A 2 noktasına gidildikçe teğetlerin eğimleri gitgide artar. Yani bu eğrinin türev fonksiyonu artan bir fonksiyondur ve dır. İkinci eğride ise (iç bükey) B 1 noktasında B 2 noktasına gidildikçe teğetlerin eğimleri gitgide azalır. Yani bu eğrinin türev fonksiyonu azalan bir fonksiyondur ve dır. Eğrinin yön değiştirdiği yani olduğu noktaya ise büküm noktası deir. Eğri bu noktada dış bükeylikten iç bükeyliğe ya da iç bükeylikten dışbükeyliğe geçer. Yani eğrinin bükülme yönü değişir. Bu bilgiler ışığında ekstremum noktaları ile ilgili olarak şu sonuçlara varabiliriz : fonksiyonu maksimum olduğu noktasında ; 3
ve Yani eğri bu noktada iç bükeydir. Minimum olduğu noktasında ise ; ve Yani eğri bu noktada dış bükeydir. 11.1.3 Teğet - Normal Bir fonksiyonunun gösterdiği eğrinin herhangi bir noktasındaki eğimi olsun. Eğerinin bu noktadaki teğetinin denklemi; veya 4
olur. Buradan teğet denklemi; olarak yazılabilir. noktasından geçen ve bu noktadaki teğete dik olan doğruya ise normal(n) denir. Dik iki doğrunun eğimleri arasında ( ve eğimleri göstermek üzere) bağıntısı vardır. Buna göre normal denklemi; ve olarak elde edilir. 11.2 Belirsiz Şekiller Bağımsız değişkenin belli bir değeri için bazı fonksiyonların limitleri belirsizdir. Bu gibi limitlere belirsiz şekiller denir. Belirsiz şekilleri bazı türev işlemleri yardımıyla belirli hale getirmek mümkündür. Bunun için verilen ifadenin ne türden bir belirsiz şekil olduğunu saptamak ve bu belirsiz şekle uygun işlemleri uygulamak gereklidir. Belirsiz şekiller yandaki gibi sıralanabilir. 5
11.2.1 (0/0) Şeklindeki Belirsizlik ve L hopital Kuralı Kesirli rasyonel bir fonksiyonun için limiti şeklinde belirsiz ise, pay ve paydanın için ayrı ayrı türevleri alınarak belirsizlik giderilmeye çalışılır. Yani; olarak yazılabilir. Bu kurala L hopital kuralı denir. Eğer oranı da şeklinde belirsiz ise bu defa ikinci türevlerinin noktasındaki değerleri bulunarak ; oranı hesaplanır. Eğer yine belirsizlik varsa ardışık türevler alınarak belirsizlik giderilene kadar türev alma işlemi sürdürülür. olduğu için L hospital kuralı uygulanabilir. olduğu için L hospital kuralı uygulanabilir. 6
olduğu için L hospital kuralı uygulanabilir. 11.2.2 ( / ) Şeklindeki Belirsizlikler şeklinde belirsiz ise limiti belirli hale getirmek için; ve dönüşümleri yapılarak belirsizlik, şeklinden şekline dönüştürülür. Böylece, bu belirsizlik şeklinde de L hopital kuralı uygulanarak belirsizlik giderilmeye çalışılır. 7
11.2.3 (0. ) Şeklindeki Belirsizlikler şeklinde belirsiz ise limiti belirli bir hale getirmek için ; yazılarak veya veya elde edilir ve belirsizlik veya şekillerinden birine dönüştürülmüş olur. Bu şekillerden biri ile sonucu ulaşılamaması halinde, diğer şekli denemek gerekir. olduğu için önce veya belirsizliklerinden birisine dönüştürülürek çözülür. 8
olduğu için önce veya belirsizliklerinden birisine dönüştürülürek çözülür. 11.2.4 0 0, 0, 1 Şeklindeki Belirsizlikler şeklinde belirsiz ise limiti belirli hale getirmek için ; fonksiyonunda her iki tarafın logaritması alınarak ; elde edilir. Bu ifadenin her iki tarafının limitleri alınarak ; şekline dönüştürülür. Daha sonra yazılarak belirsizlik veya şekline dönüştürülür. Böylece; 9
limiti bulunur. Burada aranılan limit olarak elde edilir. olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır. yazılarak; elde edilir O halde; ve işlemin sonucu olarak elde edilir. olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır. yazılarak, elde edilir. 10
ve sonuç olarak elde edilir. olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır. yazılarak, elde edilir. elde edilir. Burada sonuç 11
olarak bulunur. alınır. olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti belirsizliği olduğu için L hospital kuralı uygulanır. elde edilir. Buradan aranan sonuç olarak bulunur. alınır. olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti 12
yazılarak her iki tarafın logaritması alınırsa; bulunur. Yani; bulunur. Buradan sonuç ; elde edilir. 11.2.5 ( - ) Şeklindeki Belirsizlikler olması halinde limiti belirli hale getirmek için; = F(x), = G(x) koyarak şeklini alır. Bu ifade için veya belirsiz şekline dönüştürülür. Daha sonra L hospital kuralı uygulanır. 13
olduğu için belirsizlikten kurtulunur. Paydalar eşitlenirse; olarak elde edilir. olduğu için belirsizlikten kurtulunur. Paydalar eşitlenirse; Açıklama : 14
15