4 Kasım 1 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov) Soru 1. Şamandıra. Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün isimi camgöz olan kediye balık yakalamak için, balık tutmaya karar verdi. Ama olta üzerinde yüzen şamandıranın kaybolduğunu gördü. Kendi şamandırasını yapmaya karar verdi. Bunun için hafif kütleli bir tahta çubuk aldı ve onunla denemeler yapmaya başladı. Suya attığı yassı tahta çubuk suya paralel bir şekilde yüzmeye başladı. Ali nin çubuğu dik yüzdürme çabalarının hepsi boşa gitti. 1)İnce homojen bir çubuğun suda dikey şekilde yüzemeyeceğini ispatlayınız. Ali olayı daha ayrıntılı incelemesi gerektiğini anladı. Bunun için silindirik bir şekle sahip olan şamandıranın özelliklerini ölçtü; kütlesini (m 1 ), yarıçapını (R) uzunluğunu (l 1 >>R), ve yoğunluğunu (ρ1<<ρ, burada ρ suyun yoğunluğudur). Daha sonra Ali şamandıraya ağırlık asması gerektiğini anladı (şekildeki gibi). Ağırlık yerine bir kurşun parçası kullandı (kurşunun yoğunluğu ρ suyun yoğunluğundan daha fazladır ve bu ağırlığın sahip olduğu m kütlesinin ayarlanması gerekmektedir). Matematiksel işlemleri basitleştirmek için Ali asılan ağırlık için indirgenmiş kütle (μ) kullandı öyle ki Arşimet ve ağırlık kuvvetlerinin toplamı mg ye eşit olsun. )Bu şamandıranın indirgenmiş kütlesinin modelin diğer parametreleriyle olan bağlantısını bulunuz. 3)Şamandıranın suda batmaması için ağrılığın kütlesi (m ) en fazla (m max ) ne kadar olabilir? 4)Eğer m <m max ise şamandır suda ne kadar derinlikte (x) gömülür? Ali ağrılın kütlesinin küçük olduğu durumda şamandıranın suda neredeyse yatay şekilde yüzdüğünü, kütlesinin çok büyük olduğu durumda ise neredeyse suda dikey durduğunu gözlemliyor Ali olayı daha kolay inceleyebilmek için tahta çubuğun kalınlığını ihmal etmektedir (yani tahtayı ince tel gibi kabul ediyor). * 5)Böyle bir ince şamandıra için şunu ispatlayınız: kütlesi bir kritik değerden ( m ) faklı ise şamandıra sadece yatay veya sadece dikey durumda yüzebilir; kütlesi m = m * iken * şamandıra dikey ile her bir açı yaparak dengede bulunabilir. Bu kritik m kütleyi bulunuz. Ağrılığın kütlesinin hangi değerleri için şamandıra dikey durumda yüzmektedir? Ali bu sınırlı durumları beğenmeyince şamandırayı biraz daha kalın yapmaya karar veriyor: onu silindir şeklinde alıp ve parametrelerini varsayıp modelin teorisini yapmaya başlıyor.
6)Şamandıra dikey durumda üzerken su içinde gömülen kısmın uzunluğunu (x, şekildeki gibi) bulunuz. Ağırlığın etkisini onun indirgenmiş kütlesiyle gösteriniz. Bu uzunluğu bulmak için silindirden kesilmiş bir parçanın (şekildeki gibi) ağırlık merkezinin parametrelerini aşağıdaki gibi alınız: Sırasıyla, parçanın yüksekliği ve hacmi, kütle merkezinin (C) yüksekliği b, ve parçanın kenarından uzaklığı a aşağıdaki gibidir: Kütle merkezin koordinatları kesit alanın merkezine (O noktası) göre aşağıdaki ifadelerle veriliyor:
Dikkat: bu formüllerin ispatlaması gerekmemektedir, onları varsayınız!! 7) Şamandıraya etki eden kuvvetleri ve onların O göre momentlerini bulunuz ve şekilde gösteriniz. 8)Şamandıranın dengede kalması için koşulları yazınız. Bulunan denklemler basit olmadığı için Ali x ı varsayarak, modelin diğer parametrelerinden bağımsız olduğunu kabul eder. 9)x ı hangi değerleri için modelin denge durum denklemin bir çözümden fazla çözümleri vardır? Hangi koşullar için dikey durumdan farklı olan denge durumları bulunmaktadır? Bu durumlarda şamandıranın yatayla açılarını (α*) bulunuz. Bu dengeler kararlımıdır? Bu işlemleri yaptıktan sonra x modelin parametrelerine bağılı olarak bakınız. 1)Silindirin ve ağrılığın parametrelerin hangi değerleri için şamandıra dikey olmayan durumda da yüzebilir?
Soru 1.Çözüm: 1)İnce çubuğa iki kuvvet etki etmektedir: yer çekim ve Arşimet kuvveti. Çubuk homojen olduğuna göre kuvvetlerin uygulama noktalarını sırasıyla çubuğun ortasında (C noktası, çubuğun ucundan l/ mesafede bulunan C noktasında) ve çubuğun suda gömülmüş kısmın ortasında almalıyız (çubuğun sudaki ucundan x/ mesafede bulunan P noktası, burada x çubuğun suda gömülmüş kısmin uzunluğudur, şekildeki gibi). Verilere göre şamandıra yüzmektedir, dolayısıyla x<l ve P noktası C noktasına göre aşağıda bulunmaktadır. Buna göre çubuk dikey durumda kararlı dengede bulunamaz çünkü her hangi dengeden küçük sapma bile çubuğu deviren bir torka sebep oluyor. -4) Şamandıraya ağırlıkla birlikte etki eden kuvvetler (şekildeki gibi): -yer çekim kuvveti ve -Arşimet kuvveti ve Ağırlığa etki eden kuvvet ilerde sık kullanıldığı için bu kuvveti indirgenmiş kütlenin yer çekim kuvvetiyle gösterelim:. Sistemin dengede olması için bileşke kuvvet sıfır olmalıdır, buradan şu denklemi yazabiliriz: (1) μ = m ρ ρ) / ρ. Yukarıdaki denklemden çubuğun gömülen uzunluğunu buluruz () Yani, ( ) x l koşuldan (şamandıranın batmaması gerekiyor) ağırlığın kütlesinin en fazla ne kadar olabileceğini buluruz: (3) 5) Bu modelde (ince tahta çubuğu) şamandıra ile dikey arasında açı α iken sisteme etki eden kuvvetler şekildeki gibidir. Sistemin dengede olması için momentlerin toplamı da sıfır olmalıdır. Bileşke kuvvet sıfır olduğuna göre, momentleri en uygun bir noktaya göre alabiliriz. Öyle bir nokta çubuğun kütle merkezidir: Bu denklemin çözümlerden biri α =, yani şamandıranın dikey konumu dengelerden biridir. α iken ve = ( μ + m g üzere alıp yukarıdaki denklemden F A1 1 )
(4) denklemini buluruz, buradan ise (5) Bu ifade denk() den farklı olduğu için sistemin dikey (veya yatay) durumundan farklı denge durumu olamaz. Fakat x denk() ve denk(5) te aynı ise, yani İken sistem her bir konumda denge olacaktır. İndirgenmiş kütlenin tanımını üzere alıp (6) buluruz. (7) iken (yani iken) şamandıra dikey durumda bulunacaktır. 6)Şamandıra dikey durumda iken sudaki kısmının uzunluğunu çok kolay buluruz: Arşimet kuvveti yer çekim kuvvetine eşittir (8) Buradan: 7) Şamandıra dikey ile a açısı yaptığında sisteme etki eden kuvvetler şekildeki gibidir.
x sabit kabul edildiği için denk(9) ve sistemin geometrisine göre Şimdi sisteme etki eden tüm kuvvetlerin büyüklerini ve momentlerini hesaplayalım: şamandıra için Ağırlık için, Silindirin alt bölgesine etki eden Arşimet kuvveti için, Silindirin kesit kısmına etki eden Arşimet kuvveti için Sistem dengede iken bileşke kuvvet ve bileşke moment (burada O noktaya göre) sıfır olmalıdır, yani Hesaplanan momentleri bu denkleme yerleştirdiğimizde, Veya ( α iken) Denklemlerde yapılan işlemlerde şu bağlantı üzere alınmıştır: Denk(17) çözümü olması için
gerektir ve çözüm şudur: Sistemin potansiyel enerjisi a açıya şu ifadeyle bağlıdır Burada Bu fonksiyonun grafiği şekildeki gibidir. Bu grafiğe göre denk.(18) geçerli iken dikey durum kararsız dengedir (grafikte bu tepeye karşılıklıdır), ters durumda (denk(18) geçerli olmayan koşullarda) potansiyel enerjinin grafiği çukurdur ve tek karalı denge dikey konumdur. Soru. Fotosel Bir diyota paralel bağlı olan bir elektrik akım kaynağı (şekildeki gibi) ideal bir güneş pilin modeli olarak kabul edebilinir. Kaynağın akımı (I F ) sadece ışığın şiddetine ve spektral kompozisyonuna bağlı olarak devredeki dirençlerden (şekilde R H ile gösterilen) bağımsızdır. Diyot D ise lineer olmayan bir alettir: akımı ile (I D ) gerilimi (U D ) arasında şu bağlantı geçerlidir I D = CU D Burada C bilinen bir sabittir. 1)Güneş piline R H direnci bağlanıyor. Akımı I F varsayıp ampermetrenin ve voltmetrenin okudu değerler ne kadardır?
)R H direnci sıfırdan sonsuza kadar değiştiğinde dirençten geçen akım ile gerilimi arasında bağlantı, ( I ( ) ) nedir? H = F U H 3)Kısa devre akımı (R H sıfır iken) ve açık devre akımı ( R H iken) ne kadardır? 4) I ( ) fonksiyonun grafiğini çiziniz. H = F U H 5)Dirençteki gücün maksimum değeri (P max ) ne kadardır ve güç maksimum iken direnç R Hmax ne kadardır? Bu durumda dirençte I Pmax ve U Pmax ne kadardır? 6) ve 3 I = 1mA C = 4 1 A/ V iken sorulara sayısal cevap veriniz. Φ Soru : Çözüm 1)Dirençteki akım Kirçof kuralına göre foto ve diyotun akımların farkıdır: gerilimi ise diyotun gerilimine eşittir (paralel bağlı olduğu için). verileri kullanarak gerilim için şu parabolik denklemini buluruz: Buradan: )Denklem (1) de I D = CU D kullanarak, dirençteki akımı buluruz. 3)Kısa devre (R H =) durumunda UH= ve denk(5) e göre I KD = I Φ (6) Açık devre içi ise IH=, denk(5) e göre U AD = I / C (7) 4)Denk(5) e göre I H = F( U H ) bir parabolik grafiktir. 5)Denk(5) in iki tarafını UH çarpalım: Φ ve gerilime göre birici türevini sıfır alalım: buradan Verilere göre
Soru 3. "İki generator" A). Yuvarlak jeneratör. Şekildeki gösterilen çembersel ağ merkezi aynı olan N=1 tane yarıklı tel çemberinden oluşuyor. Tellerin öz direnci r, çapı ise d dir. Çemberlerin uçları direnci çok düşük olan iki tane doğru tel parçası ile bir AC ampermetreye bağlanıyor. (Not: AC ampermetre akımın etkin değerini, I / ölçer, burada I max AC akımın genliğidir). ) max Çemberlerin yarıçapı tellerin çapından çok daha büyük olarak çemberin numarasına orantılıdır a k = ka ( k = 1,,...,1) Ağ, ağının düzleminde homojen bir manyetik alan oluşturan elektromanyetik bir mıknatısın kutupları arasında yerleştiriliyor (şekildeki gibi). Manyetik alanın şiddeti zamanla B t) = B cosωt (1) ( şeklinde değişiyor. Burada B ve ω bilinen sabitlerdir. 1)Ağının her bir çemberinde oluşan indüksiyon emk yı zamanın fonksiyonu olarak bulunuz, e(t). )Ampermetrenin okudu değeri bulunuz (ampermetrenin iç direncini ihmal ediniz) 3)Ampermetreni direnci R ise gösterdiği akım ne kadardır? B) Dikdörtgen jeneratör
Kalınlığı h, öz direnci ise ρ olan uzun iletken bir bant yatay yönde sabit bir mıknatısın kutupları arasında hareket etmektedir (şekildeki gibi). Sabit mıknatıs bantta şiddeti B olan sabit homojen bir dikdörtgen manyetik alanı oluşturuyor: manyetik alanın genişliği banttın genişline (a) eşittir, dikdörtgenin diğer kenarı ise b dir. Banttın yan kenarları, R direnci ile bağlı olan sabit çubuklar arasında kaymaktadır ve bant hareket ettiğinde dirençten elektrik akımı geçiyor. 1)Dirençten geçen akımı bulunuz. )Bant v büyükte sabit hızı ile hareket edebilmesi için nasıl bir F kuvvetiyle çekmelidir? 3)Dirençteki gücü bulunuz. 4)Jeneratörün verimini, yani dirençteki gücün F kuvvetin gücünün oranını, bulunuz. Kaymada sürtünmeyi ihmal ediniz. Soru 3: Çözüm A)Değişken manyetik alan. Zamanla değişen manyetik alanı elektrik alanı Faraday yasasına göre elektrik alanı oluşturuyor: bu alanın bir döngüde oluşturduğu emk dφ B ε = = S dt t Burada S döngünün kapsadı alandır. Verilere göre k nolu döngüde ε k = πa k Bω sinωt Bu döngünün direnci ise πa k ( )/ 4 8 ak rk = ρ = ρ πd d Ampermetrenin iç direncini ihmal edersek, ampermetreden geçen akım 1 d a d a i = ε k π 55π ik = = B ω sinωt k = Bω sinωt k k rk 8ρ k= 1 8ρ Etkin akım ise 55πd a I = Bω 8 ρ Ampermetrenin iç direncini üzere alırsak, her bir döngü için Burada,
Yani, B)Sabit mıknatıs. Bantla hareket eden her bir elektrona Lorentz kuvveti etki etmektedir (şekildeki gibi) ve Faraday yasasına göre bir emk oluşturuyor: Elektrik alanın bölgesinde bulunan banttın direnci şudur: Ohm yasasına göre devrede oluşan akımın değeri şuna eşittir: Bu akıma Ampere kuvveti etki etmektedir. Banttın sabit hız ile hareket etmesi içi bantta Ampere kuvvetin büyüklüğünde hız ile aynı yönde bir mekanik kuvvetin uygulaması gerektir. Bu kuvvetin gücü
Dirençte birim zamanda açığa çıkan ısı miktarı ise Joule-Lentz yasasına göre Buradan, jeneratörün verimi için şu değeri buluruz: yani normal emk lı devrelerdeki gibi. Soru 4. Havanın sıcaklığı Bir uçak Dünyanın ekvator bölgelerinde uçsa bile 1 km yükseklikte yolculara uçaktaki monitörlerde dış havanın sıcaklığını yaklaşık -55 C derece olarak gösteriyorlar. Havanın sıcaklığının yükseklikle değişmesi için bir model oluşturun. Bu modelde havayı termodinamik dengede olmayan (sıcaklı faklı noktalarda farklıdır) bir ideal gaz olarak kabul ediniz ve sıcaklı yüksekliğin fonksiyonu olarak bulunuz. Soru 4: Çözüm Dünyanın yüzeyine yakın olan bölgelerde havanın yoğunluğu sıcaklığın artışınla etraftaki havanın yoğunluğuna göre azalıyor ve Arşimet kaldırma kuvvetine yol açıyor: atmosferde devamlı konveksiyon akışı oluşuyor. Bu akışın hızı ısı iletim hızından çok daha büyük olduğuna göre konveksiyon akışım adyabatik bir süreçtir. Bir miktar gaz atmosferde yükseldiğinde basıncı, yoğunlu ve sıcaklı ile arasında ideal gaz durum denklemine ve adyabatik denklemine göre bağlantılar sağlanıyor: ρ RT p dp p dp p = + μ dv V dv + γ V = dt T = Burada μ havanın ortalama moleküler kütlesi, ρ yoğunluğu, γ ise adyabatik sabitidir (iki atomlu molekül içinγ 7 / 5 ). Aynı anda yer çekim sebebiyle yükseklikle havanın basıncı azalıyor: dp = ρgdy, () Burada g yer çekim ivmesi, y ise gaz miktarın zemine göre konumudur. Denk(1) den ve () den dp dp dt dp γ dt = = p γp T p γ 1 T μρgdy γ dt γ 1 μρgdy = dt = ρrt γ 1 T γ R buluruz, yani γ 1 μρgy T ( y) = T γ R (1)
Burada T havanın zemindeki sıcaklıdır. Soru 5. Uydunun Yörüngesi Bir uydu Dünyanın etrafında çembersel bir yörüngede dönerken hızının yönünü bir anda α açısına kadar değiştiriyor ( α < π ), hızın büyüklüğü ise aynı kalıyor. Yeni yörünge ne olacaktır ve onun yeni parametrelerini bulunuz. Dönme periyotu ne kadar olacaktı? Soru 5: Çözüm Uydu hızının yönünü değiştirdiğinde Dünya-uydu sistemin enerjisi değişmiyor. Buna göre uydunun yeni yörüngesi genel olarak bir elips olacaktır (özel bir açı içi bu elips bir çember de olabilir). İfadeleri daha kısa yazmak için kütle birimi uydunun kütlesi m=1, hız birimi uydunun ilk hızı v=1, mesafe birimi ise çembersel yörüngenin yarıçapı r =1 ve evrensel sabiti çarpı Dünyanın kütlesi γ M = c olsun. Uydu çembersel yörüngede iken γmm mv = γm = c = 1 r r İlk anda sistemin enerjisi 1 γmmr 1 1 1 E = mv = mv mv = mv = dir. r Uydu hızının yönü değiştirdikten hemen ardından sistemin açısal momentumun büyüklüğü π L = mv sin + α = cosα dır. Zamanla o değişmiyor. Uydu elipsin büyük ekseni uçlarında iken hızı eksene diktir ve açısal momentumu L = mur = ur = cosα ye eşittir, burada u o noktada uydunun hızıdır, enerjisi ise 1 1 1 1 1 E = mu = u =, r r Buradan r r + cos α = Bu denklemin çözümleri r 1 = 1 sinα, r = 1+ sinα. Verilere göre α < π, yani yeni yörünge r = 1 sinα r r = 1+ sinα r. Kepler in yasalarına göre bir elipstir. Boyutlu şekilde 1 ( ), ( ) T T uydunun periyotu için = 3 3 r r 1 + r T = T Soru 6 Mercek ve Ayna Odak uzunluğu F olan ince kenarlı bir merceğin odak ekseni dik olarak bir ayna yerleştiriliyor (şekildeki gibi). Bu optik sistemi, merceğin odak noktası ile mercek arasında bulunan bir A cisminin gerçek bir görüntüsünü oluşturup onu Γ = F / d kadar büyütüyor, burada d mercek ile cisim arasındaki mesafedir. Bu verilere göre mercek ile ayna arasındaki mesafeyi (a) bulunuz.
Soru 6: Çözüm A cisminin bu sistemde gerçek görüntüsü oluşması için cisim mercek ile odak noktası arasında bulunmalıdır. Ayna böyle bir cismin sanal görüntüsünü görüyor ve onu yansıtıyor. Yansıtılan görüntü mercek için yeni bir cisim gibidir. Bu görüntü orijinal cisme göre df Γ1 = F /( F d) ) kere büyütülmüştür ve mercekten f1 = uzaklıkta bulunmaktadır. F d Mercek ile aynadaki görüntü arasında mesafe ise d = a + f1 dir. Merek ise aynadaki = F / d F kere büyütüyor (verilere göre son görüntü gerçek görüntüdür). görüntüyü ( ) Γ Buna göre toplam büyütme sayısı f1 değerini yerleştirdiğimizde Γ = Γ Γ F a = buluruz. F F 1 = = oluyor. Bu denkleme ( F d )( a + f F ) d 1