İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün Önemi ve Analitik Çözümle Mukayesesi... 8 2. HATA VE HATA KAYNAKLARI... 11 2.1 Giriş... 11 2.2 Hata Kaynakları... 12 2.2.1 Yuvarlatma hatası... 12 2.2.2 Kesme hatası... 13 2.2.3 Giriş verisindeki hata... 13 2.2.4 İnsan hatası... 14 2.3 Bilgisayarda Sayıların Gösterimi... 14 2.3.1 Kayar nokta aritmetiği... 15 2.3.2 Aritmetik işlemlerde hataların etkisi... 19 2.4 Kesme Hatası Analizi... 22 2.5 Toplam Hata... 25 2.6 Fonksiyon Hatası... 26 2.7 Kararlılık ve Büyültme Çarpanı... 28 2.8 Hata Analizi... 31 Sorular... 32 Mühendislik Problemleri... 34 3. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ... 39 3.1 Lineer Denklem Sistemleri... 39 3.2 Analitik Yöntemler... 41 3.2.1 Cramer yöntemi... 41 3.2.2 Matris tersi yöntemi... 41 3.2.3 Gauss eliminasyonu... 42 3.2.4 Gauss-Jordan yöntemi... 48 3.2.5 LU Ayırma yöntemi... 52 3.2.6 Özel matrisler ve direkt çözümler... 57 3.2.7 Çözümün iyileştirilmesi... 60 vii
3.3 İteratif Yöntemler... 61 3.3.1 Jacobi yöntemi... 61 3.3.2 Gauss-Seidel yöntemi... 63 3.3.3 Rölaksasyon yöntemi... 64 3.4 Denklem Sistemlerinin Çözülebilirliği... 69 3.4.1 Çözümün varlığı ve tekliği... 69 3.4.2 Homojen denklem sistemleri... 69 3.4.3 Kötü şartlanmış denklem sistemleri...70 Sorular... 82 Mühendislik Problemleri... 87 Örnek Programlar... 92 4. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ... 105 4.1 Giriş... 105 4.2 Tek Değişkenli Denklemlerin Çözümü... 106 4.2.1 Yarıya bölme yöntemi... 106 4.2.2 Lineer interpolasyon yöntemi... 107 4.2.3 Basit iterasyon... 109 4.2.4 Newton-Raphson yöntemi... 115 4.2.5 Sekant yöntemi... 120 4.2.6 Polinom köklerinin bulunması... 121 4.3 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümü... 127 4.3.1 Basit iterasyon yönteminin kullanımı... 127 4.3.2 Genelleştirilmiş Newton-Raphson yöntemi... 129 4.3.3 Dik iniş yöntemi... 134 Sorular... 147 Mühendislik Problemleri... 149 Örnek Programlar... 159 5. SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ... 163 5.1 İnterpolasyon... 163 5.1.1 İleri sonlu farklar... 163 5.1.2 Geriye sonlu farklar... 165 5.1.3 Merkezi sonlu farklar... 167 5.2 İnterpolasyon polinomları... 169 5.2.1 Lineer interpolasyon... 169 5.2.2 İkinci dereceden interpolasyon... 172 5.2.3 Newton-Gregory ilerleme polinomu... 174 5.2.4 Newton-Gregory gerileme polinomu... 175 viii
5.2.5 Merkezi fark interpolasyon polinomları... 176 5.2.6 Lagrange interpolasyon polinomu... 177 5.2.7 Ters interpolasyon... 179 5.2.8 Ekstrapolasyon... 180 5.2.9 Hermite interpolasyonu... 180 5.2.10 Çok değişkenli interpolasyon... 182 5.2.11 Parça parça interpolasyon... 183 5.3 Bézier Eğrileri... 193 Sorular... 200 Mühendislik Problemleri... 203 Örnek Programlar... 208 6. İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ... 211 6.1 Giriş... 211 6.2 Temel İstatistik... 212 6.2.1 Frekans dağılımları ve data grupları... 216 6.2.2 İstatistiki ölçümlerin dağılımı... 220 6.3 Regresyon Analizi... 224 6.3.1 Lineer regresyon analizi... 224 6.3.2 Non-lineer regresyon analizi ve lineerleştirme... 228 6.3.3 Polinomial regresyon analizi... 232 6.3.4 Çok değişkenli regresyon analizi... 234 6.3.5 Genel non-lineer regresyon analizi... 236 6.4 Trigonometrik Yaklaşım ve Fourier Dönüşümleri... 242 6.4.1 Fourier serileri... 245 6.4.2 Fourier integralleri ve Fourier dönüşümleri... 250 6.4.3 Ayrık Fourier dönüşümleri... 251 6.4.4 Hızlı Fourier dönüşümleri... 252 Sorular... 253 Mühendislik Problemleri... 255 Örnek Programlar... 262 7. SAYISAL TÜREV... 267 7.1 Giriş... 267 7.2 Taylor Serisi... 267 7.3 İnterpolasyon Polinomlarının Türevleri... 271 7.3.1 Lineer interpolasyonun kullanılması... 271 7.3.2 İkinci dereceden interpolasyonun kullanılması... 272 7.3.3 Çok nokta kullanan türev formülleri... 273 ix
7.4 Richardson Ekstrapolasyonu... 281 7.5 Özel Durumlar... 283 Sorular... 287 Mühendislik Problemleri... 289 8. SAYISAL İNTEGRASYON... 293 8.1 Giriş... 293 8.2 Yamuk Kuralı... 294 8.3 Simpson 1/3 Kuralı... 298 8.4 Simpson 3/8 Kuralı... 301 8.5 Üniform Olmayan Noktalar ve Açık İntegrasyon... 305 8.6 Çok Katlı İntegraller... 308 8.7 Romberg İntegrasyonu... 311 8.8 İmproper İntegraller... 315 8.9 Gaussian Quadrature... 318 Sorular... 330 Mühendislik Problemleri... 333 Örnek Programlar... 340 9. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ... 343 9.1 Giriş... 343 9.1.1 Başlangıç ve sınır değerleri... 343 9.1.2 Başlangıç değer problemi... 344 9.1.3 Sınır değer problemi... 344 9.2 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler... 345 9.2.1 Tek adımlı yöntemler... 345 9.2.2 Adımın yarılanması... 356 9.2.3 Çok adımlı yöntemler... 357 9.3 Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler... 362 9.3.1 Birinci mertebeden adi diferansiyel denklem sistemleri... 362 9.3.2 Yüksek mertebeden adi diferansiyel denklemler... 364 9.4 Stif Diferansiyel Denklemler... 366 9.5 Sınır Değer Problemleri... 368 9.5.1 Atış yöntemi... 369 9.5.2 Sonlu farklar yöntemi... 370 Sorular... 381 Mühendislik Problemleri... 384 Örnek Programlar... 392 x
10. KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER... 395 10.1 Giriş... 395 10.1.1 Matematiksel sınıflandırma... 395 10.1.2 Parabolik diferansiyel denklemler... 396 10.1.3 Hiperbolik diferansiyel denklemler... 397 10.1.4 Eliptik diferansiyel denklemler... 398 10.1.5 Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü... 399 10.2 Sonlu Farklar Yöntemi... 400 10.2.1 Taylor serisi açılımı ile sonlu fark formülleri... 402 10.3 Diferansiyel Denklemlerin Sonlu Fark Denklemlerine Dönüştürülmesi... 406 10.4 Parabolik Diferansiyel Denklemlerin Sonlu Farklarla Çözümü... 408 10.4.1 Açık çözüm yöntemleri... 409 10.4.2 Kapalı çözüm yöntemleri... 411 10.4.3 İki boyutlu parabolik denklemler... 414 10.4.4 Lineer olmayan parabolik denklemler... 417 10.5 Hiperbolik Diferansiyel Denklemlerin Sonlu Farklarla Çözümü... 418 10.5.1 Açık çözüm yöntemleri... 420 10.5.2 İki adımlı çözüm yöntemleri... 422 10.5.3 Kapalı çözüm yöntemleri... 423 10.5.4 İkinci dereceden dalga denkleminin çözümü... 425 10.6 Eliptik Diferansiyel Denklemlerin Sonlu Farklarla Çözümü... 427 10.6.1 5-nokta formülü... 427 10.6.2 9-nokta formülü... 428 10.6.3 Sınır şartları... 429 10.6.4 Denklem sistemlerinin çözümü... 430 10.7 Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Sayısal Çözümü... 434 10.8 Diferansiyel Quadrature Yöntemi... 438 10.8.1 Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Yöntemi... 439 10.8.2 İki boyutlu GDQ Yöntemi... 447 Sorular... 449 Mühendislik Problemleri... 450 KAYNAKLAR... 463 EK 1: Matrisler ve Determinantlar... 465 Seçilmiş Soruların Cevapları... 473 DİZİN... 483 xi