GENETİK ALGORİTMA İLE GÖRÜNTÜ BÖLÜTLEME Oğuz Mut ve Fatoş T. Yarman Vural Orta Doğu Teknik Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 06531 Ankara, Türkiye omut@havelsan.com.tr, vural@ceng.metu.edu.tr 1. Giriş Özetçe Bu çalõşmada, görüntü bölütleme problemi için iki boyutlu bir genetik algoritma tanõmlanmaktadõr. Bu yaklaşõmda genetik algoritma, dolaylõ olarak en iyileme yapan matematiksel bir araç olarak değil, doğrudan bölütleme yapan yeni bir yöntem olarak kullanõlmaktadõr. Genetik algoritma, günümüzde, giderek yaygõnlaşarak nonlinear optimizasyon problemlerine çözüm üreten önemli bir matematiksel araç haline gelmiştir. Bu araç sayesinde kromozom adõ verilen tek boyutlu dizilerin dönüşüm ve çaprazlanmlarõ ile bir problem için tanõmlanmõş uygunluk fonksiyonu en iyilenebilmektedir. Genetik algoritma, bu şekilde formüle edilen birçok problemde olduğu gibi görüntü işleme problemlerinde de yaygõn bir biçimde kullanõlmaktadõr. Ancak, yapõsal olarak iki boyutlu olan görüntü, genetik algoritma için tek boyutlu sunulmak zorundadõr. Bu çalõşmada, görüntü bölütleme problemi genetik algoritmanõn yapõsõna uydurulacağõna, genetik algoritma iki boyutlu tanõmlanarak görüntü bölütleme problemine ayarlanmõştõr. Önerilen genetik algoritmada herbir kromozom bölütlemenin olasõ bir cevabõnõ temsil etmektedir. Bir kromozom topluluğu zaman içinde en uygun kromozoma, yani en doğru bölütlemeye evrimleşir. Bu çalõşma ile birlikte önerilen yenilik, kromozomlarõ tek boyutlu diziler olarak tanõmlamak yerine 2 boyutlu matrisler olarak tanõmlamaktõr. Çünkü doğasõ 2 boyutlu olan bir problemi çözmek için tek boyutlu gösterim, uzay bilgisinin bir kõsmõnõn kaybolmasõna neden olmaktadõr. Oysa ki bölütleme probleminde uzay bilgisinin önemi büyüktür. Dolayõsõyla, bu bilgiden belli bir oranda vazgeçilmesi, genetik algoritmanõn yakõnsama süresini ya uzatacak ya da hiç yakõnsamayarak doğru cevaba ulaşmasõna engel olacaktõr. Kromozomu iki boyutlu olarak tanõmlamak, aynõ zamanda çaprazlama ve dönüşümü de yeniden tanõmlamayõ gerektirmekte, bu bağlamda geleneksel genetik algoritmadan uzaklaşõlmaktadõr. Bu bildiride, öncelikle geleneksel genetik algoritma kavramlarõ genişletilerek, bölütleme için iki boyutlu bir genetik algoritma sunulacaktõr. Daha sonra, tanõmlanan kromozom yapõsõ, uygunluk fonksiyonu ve dönüşüm işlemi kullanõlarak oluşturulan algoritma tek renkli bölgelerden oluşan görüntülerde denenecek ve son olarak da çalõşmanõn bundan sonraki adõmlarõ özetlenecektir. 2. Geleneksel Genetik Algoritmanõn İki Boyutlu Modellenmesi Bilindiği gibi, çözümü n tane değişkene en uygun değeri bulmak olan bir problemi geleneksel genetik algoritma ile çözmek için uzunluğu n olan kromozomlardan oluşmuş bir topluluk (population) kullanõlõr. Her kromozomun olasõ bir cevabõ temsil ettiği genetik algoritmada, genel işleyiş şu şekilde gerçekleşmektedir: İlk nesilde tüm kromozomlar rastgele üretilir.kromozomlarõn doğru cevaba ne kadar yaklaştõğõnõ gösteren bir uygunluk fonksiyonunun yardõmõ ile her neslin başõnda tüm kromozomlarõn uygunluğu ölçülür. Bir seçim işlemi ile ara nesil oluşturulur. Uygunluk değeri yüksek olan, yani doğru cevaba yakõn olan bir kromozom
ara nesilde büyük olasõlõkla birden fazla kopya çõkarõrken, uygunluğu kötü olan, yani doğru cevaba çok uzak olan bir kromozom yüksek bir olasõlõkla ara nesile bir kopya çõkaramayacaktõr. Bu şekilde ara nesillerde daha uygun bir topluluk oluşturulmaktadõr. Ardõndan, belli bir oranda kromozomlar çaprazlanõr. Çaprazlama iki kromozomun değerlerinin bir bölümünün değiş tokuş edilmesidir. Bu sayede toplulukta olmayan yeni bireyler üretilir. Peşinden, rastgele bir kromozomun n tane değerinden birisini rastgele değiştirmek olan dönüşüm (mutasyon) işlemi belli bir olasõlõk dahilinde gerçekleştirilir. Bu işlem ile de çaprazlama ile üretilemeyen bireyler üretilip toplulukta çeşitlilik sağlanõr. Bir genetik algoritma en uygun kromozom bulunana kadar sürer. Genetik algoritma ile ilgili daha ayrõntõlõ bilgiler [ 1, 2, 3, 4] te bulunabilir. Yukarõda kabaca tarif edilen genetik algoritma doğrudan görüntü bölütlemede kullanõlamaz. Aşağõda iki boyutlu bir genetik algoritma için önerilen kromozom yapõsõ, uygunluk fonksiyonu, dönüşüm, ve çaprazlama tanõmlarõ verilmektedir. Tanõm 1: Kromozom yapõsõ, nxm lik bir görüntü üzerinde tanõmlanan nxm lik bir matristir. Kromozom matrisinin her bir elemanõ görüntünün bir görelini (pixel) denk gelmektedir. Her bir görel için tutulan bilgi, 4 yöndeki komşu görellerinin hangileri ile aynõ bölüt içinde olduğudur. Bu şekilde nxm lik kromozom olasõ bir bölütlemeyi modellemektedir. Tanõm 2: Gen bir bölüttür. Bölütler genetik algoritmanõn herhangi bir adõmõnda elde edilen kromozomlardaki bölgelere karşõ gelir (Şekil 1 de G 1, G 2, G 3, G 4 birer bölüttür). Geleneksel genetik algoritmanõn aksine bu çalõşmada tanõmlanan gen sayõsõ her kromozom için değişir. Bir gen, kendi içinde benzer, komşu genlerden farklõ görellerden oluşur. Çalõşmada kullanõlacak uygunluk fonsiyonu bu düşünceden yola çõkõlarak tasarlanmõştõr. Tanõm 3: Uygunluk fonksiyonu, bir kromozomun görüntüyü ne kadar tektürel (homojen) bölütlere ayõrdõğõnõ ölçen bir fonksiyondur. Bütün komşu görel (pixel) çiftleri için, görüntüdeki iki komşu görelin benzer renk olup olmamasõ ile kromozomdaki benzer iki görelin bölütdeş olup olmamasõna bakõlarak oluşturulmuştur. f(g, x, y) 1 = 0 r(g, x) r(g, y) ve x aksi haller η(y) g(k, x, y) 1 = 0 x Gi y Gi ve x η(y) ve Gi K aksi haller (1) Yukarõdaki ilk denklemde G, görüntüyü, x ve y, iki göreli belirtmekte, r(g,x) fonksiyonu, x görelinin G görüntüsündeki renk değerini tanõmlamaktadõr. İkinci denklemde ise, x ve y, yine iki göreli, K, kromozomu, G i ise i. geni belirtmektedir. İki denklemde de yer alan η(y) fonksiyonu ise y görelinin komşularõ kümesini tanõmlamaktadõr. Bu iki fonksiyonun kullanõlarak uygunluk fonksiyonu u(g, K), şöyle tanõmlanmõştõr: u(g, K) = [(1-f(G,x,y))(1-g(K,x,y))+Af(G,x,y)g(K,x,y)]/[1+(1-f(G,x,y))g(K,x,y)+f(G,x,y)(1-g(K,x,y))] (2)
Yukarõdaki denklemde; G, görüntüyü, K, kromozomu, x ve y ise komşu iki göreli belirtmektedir. A çarpanõ ise her görüntü için sabit olmakta ve görüntünün büyüklüğüne bağlõ olarak değer almaktadõr. Bu çarpanõn değeri 20x20 lik görüntüler için deneme yanõlma ile bulunmuştur. Algoritmanõn çalõşabilirliği görüldükten sonra A çarpanõnõn değerinin bulunmasõ için genel bir yöntem belirlenecektir; görüntünün görel sayõsõ kadar olmasõ, ya da yapay sinir ağõ ile yapõlacak bir eğitim ile belirlenmesi gibi... Fonksiyona bölenin eklenmesinin sebebi, fonksiyonun geometrik olarak artmasõnõ sağlamaktõr. Bunun algoritmaya hõz kazandõracağõ düşünülmüştür. Tanõm 4: Dönüşüm işlemi, kromozomdaki herhangi bir genin, ya komşu genleri ile rastgele birleşerek daha büyük bir gen oluşturmasõ, ya da rastgele bölünmesidir. (a) (b) (c) Şekil 1. Bir kromozom ve sol alt geninin (bölüt) iki farklõ dönüşümü Şekil 1-a da, G 1 geni rastgele bölünerek Şekil 1-b de G 11, G 12, G 13 ve G 14 genlerine, Şekil 1-c de ise G 1 ve G 2 genleri birleşerek G 0 genine dönüşmüştür. Tanõm 5: Çaprazlama işlemi, kabaca, iki kromozomun genlerinin değiş tokuş edilmesidir. Bu sayede, ana babaya benzer iki tane çocuk kromozom oluşur. Tanõm 2 de gen olarak bir bölütün kabul edildiği belirtilmişti. Yalnõz, bu bakõş açõsõ ile çaprazlama işleminde bir sorun yaşanmaktadõr: Genlerin değiş tokuş edilmesi sõrasõnda kimi genler parçalanmak zorundadõr. Çünkü artõk aynõ kromozomda yer alacak iki komşu gen yüksek bir olasõlõkla kesişecektir. Bu sorunun çözümü için farklõ tanõmlamalar yapõp, deneylerle en verimli olanlar tespit edilecektir. Şekil 2 de olasõ bir çözüm sunulmuştur. Bu çözümde uygunluk değeri daha düşük olan kromozomun genleri kesişmeyi önleyecek şekilde parçalanõr. 3. İlk Sonuçlar (a) (b) (c) (d) Şekil 2. Ana, baba ve iki çocuk kromozomlar Yukarõda tanõmlanan işlemlerin doğruluklarõnõn teker teker denetlenmelerine, dolayõsõyla genetik algoritmanõn aşama aşama oluşturulmasõna karar verilmiştir. Bu bağlamda, ilk genetik algoritmaya çaprazlama işlemi konmamõş, bunun yerine dönüşüm işleminin 100% olasõlõkla gerçekleşeceği varsayõlmõştõr. Ancak dönüşüm işleminin sonucunda iyi bir kromozomun uygunluk değeri çok düşebilmekte ve böylece algoritmanõn çalõşmasõ sõrasõnda oluşan iyi bireyler ertesi nesillerde kaybolabilmektedir. Bu durum yakõnsama süresini uzatacağõndan, algoritma, yeni bir neslin en kötü bireyi yerine bir önceki neslin en iyisi konulacak şekilde tanõmlanmõştõr.
Çaprazlama işlemi algoritmada yer almadõğõndan, bir nesil içerisindeki kromozomlarõn bilgi (bölüt) değiş tokuşu yaparak doğru cevaba daha çabuk yakõnsamalarõ imkansõz olmuştur. Dolayõsõyla her kromozom, sadece ve sadece sürekli dönüşerek doğru cevaba yakõnsamak zorundadõr. Bu da oldukça zaman alabildiğinden deneyde küçük ölçekli bir arama uzayõ (search space) kullanõlmõştõr; 20x20 lik görüntüler üzerinde çalõşõlmõştõr. Uygunluk fonksiyonda yer alan A sabitinin değeri denemeler sonunda 1000 olarak alõnmõştõr. Deney 9 adet görüntü üzerinde 20 şer defa tekrarlanmõştõr. Her bir çalõştõrma 500 nesil boyunca sürdürülmüş ve 500. neslin sonundaki en iyi bireyler kaydedilmiştir. Burada, örnek olarak 3 (şekil 3) görüntünün üçer adet çözümü sunulmuştur. Şekil 3. Deneyde kullanõlan üç görüntü. Şekil 4 de her görüntünün ideal kromozomu, bulunan üçer adet çözüm ve kromozomlarõn uygunluk değerleri sergilenmiştir: 60700.000 2825.737 1524.679 532.346 52708.000 3438.769 1595.739 991.568 62698.000 2784.300 1175.763 865.404 (a) (b) (c) (d) ideal kromozom en uygun sonuç iyice sonuç kötüce sonuç Şekil 4. Ideal kromozomlar, örnek çõktõ kromozomlar ve uygunluklarõ
İlk kolon ideal kromozomu, ikinci kolon 20 deneyde elde edilen en iyi bireyi, kalan iki kolon ise kötüce bireyleri göstermektedir. Şekil 5 de yer alan ilk grafik, şekil 4 deki ilk sõranõn en kötü bireyini oluşturan çalõşmanõn nesiller arasõndaki dağõlõmõnõ göstermektedir. Görüldüğü gibi 50. nesil civarõnda oluşturulan en uygun kromozom aynõ zamanda, 500 nesil içindeki en uygun kromozom olmuştur. Ancak, şekil 4 deki ilk sõranõn en iyi bireyini oluşturan çalõşmanõn nesiller arasõndaki dağõlõmõnõ belirten şekil 5 deki ikinci grafikte görüldüğü üzere, ileriki nesillerde daha uygun bir kromozom dönüşüm işlemi tarafõndan oluşturulabilmekte, bu sayede ideal kromozoma yaklaşõlabilmektedir. Burada görülen yakõnsamadaki tutarsõzlõğõn, çaprazlamanõn eksikliğinden kaynaklandõğõ düşünülmektedir. Çaprazlamanõn eklenmesiyle bu tutarsõzlõğõn ortadan kalkacağõ varsayõlmaktadõr. 600.000 3.000.000 500.000 2.500.000 max. uygunluk 400.000 300.000 200.000 max. uygunluk 2.000.000 1.500.000 1.000.000 100.000 500.000 0 0 1 32 63 94 125 156 187 218 249 280 nesil 311 342 373 404 435 466 497 1 33 65 97 129 161 193 225 257 289 nesil 321 353 385 417 449 481 Şekil 5. Her neslin en iyi kromozomunun uygunluğunun dağõlõmõ Çaprazlama işleminin olmadõğõ, yalnõz dönüşüm işleminin tanõmlandõğõ bir genetik algoritma çalõştõrmanõn sonucunda yakõnsamanõn olup olmayacağõndan emin olmak için ek bir deney yapõlmõş, bu deneylerde algoritmanõn 10000 nesil çalõşmasõ sağlanmõştõr. Bir resim için algoritma 10 kere çalõştõrõlmõş, ve ortaya çõkan en iyi bireyler şekil 6 da gösterilmiştir. Şekilde yer alan çözümlerin şekil 4 te yer alan çözümlerden %70 daha iyi olmasõ şekil 6 da yer alan 3 adet çözümün uygunluk değeri şekil 4 deki en iyi çözümün uygunluk değerinden daha kötüdür bir yakõnsama olduğunu göstermektedir. Şekil 6 da ilk kolon, bir çalõştõrmada oluşan en uygun kromozomun hangi nesilde ortaya çõktõğõnõ göstermekte, ikinci kolon o kromozomun uygunluk değerini belirtmekte ve son kolon ise kromozomun görüntüsüne yer vermektedir. Ortaya Uygunluk Görüntü Ortaya Uygunluk çõktõğõ nesil değeri çõktõğõ nesil değeri 7607 9941.400 9055 52708.000 Görüntü 1174 10141.200 267 2080.800
558 2913.533 5167 5300.556 8920 9941.400 9447 1726.043 7503 4155.000 3007 10141.200 Şekil 6. 10000 nesil devam eden algoritmanõn 10 defa çalõştõrõlmasõ ve sonuçlarõ Yapõlan deneyler sonunda, genetik algoritmanõn yakõnsayabileceği, ancak sadece dönüşüm işlemi kullanõlarak bunun her zaman makul bir sürede gerçekleşemeyebileceği görülmüştür. Aynõ zamanda, görüntünün boyunun büyütülmesiyle de arama uzayõnõn (search space) da boyunun büyüyeceği ve dolayõsõyla makul bir zamanda doğru cevaba yakõnsanamayacağõ düşünülmektedir. Bu biçimiyle, algoritmanõn, yakõnsadõğõ bilinen, tepe tõrmanma (hill climbing) algoritmasõ gibi davrandõğõ farkedilmiştir. 4. Sonuç ve Geleceğe Yönelik Çalõşmalar Bu çalõşmada, tek boyutlu geleneksel genetik algoritma kavramõ iki boyuta genişletilmiş ve görüntü bölütleme problemi için gerekli tanõmlamalar yapõlmõştõr. İki boyutlu dönüşüm, çaprazlama ve basit bir uygunluk fonksiyonu tanõmlanmõştõr. Tanõmlanan dönüşüm işlemi ve uygunluk fonksiyonu ile, çaprazlama işlemi kullanmadan, bir genetik algoritma oluşturulmuş ve tektürel (homojen) bölgelerden oluşan görüntüler üzerinde denenmiştir. Algoritmanõn yakõnsadõğõ görülmüştür. Bundan sonraki aşama, çaprazlamanõn da eklenerek algoritmanõn çalõştõğõnõ görmek ve ardõndan daha karõşõk uygunluk fonksiyonlarõ tanõmlayarak çoktürel (heterojen) bölgeli görüntüler üzerinde deneyler yapmaktõr. 5. Kaynakça [1]. Beasley D., Bull D. R., ve Martin R. R., An overview of Genetik Algorithms: Part 1, Fundementals. University Computing, 1993, 15(2) 58-69. [2]. Beasley D., Bull D. R., ve Martin R. R., An overview of Genetik Algorithms: Part 2, Research Topics. University Computing, 1993, 15(4) 170-181. [3]. Whitley D., A Genetic Algorithm Tutorial.Technical Report CS-93-103, 1993. [4]. Goldberg D. E., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley, 1989.