EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr. Yasin KABALCI Ders Görüşme Saati: Çarşamba, 09:30 12:00 Çarşamba, 15:45 17:00 e m@il: yasinkabalci@gmail.com Ders Web Sayfası: kabalci.wordpress.com
EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ HAFTALIK İÇERİK Hafta Konular 1 Giriş ve Temel Kavramlar 2 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Temel Kavramlar 3 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Fourier Analizi 4 İşaretler ve Doğrusal Sistemler, Süzgeç Tasarımı,Alçak geçiren ve Band geçiren İşaretler 5 Genlik Modülasyonu 6 Genlik Modülasyonu 7 Genlik Demodülasyonu 8 Açı Modülasyonuna Giriş Ara Sınav (% 40) 9 Faz ve Frekans Modülasyonu 10 Açı Demodülasyonu 11 Olasılık ve Rastgele Süreçler 12 Olasılık ve Rastgele Süreçler 13 Analog İletişim Sistemleri Üzerinde Gürültünün Etkisi 14 Analog İletişim Sistemleri Üzerinde Gürültünün Etkisi Final (% 60)
EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ İÇERİK GİRİŞ Haberleşme Sistemlerinin Elemanları Modülasyon, Modülasyon Türlerinin Sınıflandırılması SPEKTRAL ANALİZ vedoğrusal SİSTEMLERDEN İLETİM Fourier Serileri, Fourier Dönüşümü ve Özellikleri Enerji ve Güç Spektral Yoğunlukları Katlama İntegrali, Transfer Fonksiyonu Genlik ve Faz Bozulmaları, Süzgeçler GENLİK MODÜLASYONU (GM) Çift Yan Band (ÇYB) Modülasyonu ve Modülatör Yapıları Tek Yan Band (TYB) Modülasyonu ve Modülatör Yapıları Artık Yan Band (AYB) Modülasyonu GM İşaretlerin Demodülasyonu Frekans Bölmeli Çoğullama AÇI MODÜLASYONU Faz ve Frekans Modülasyonu (PM ve FM) FM İşaretlerin Üretimi ve Demodülasyonu
EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ İÇERİK (devam) Olasılık verastgeledeğişkenlerin İncelenmesi Rastgele Süreçler Gauss ve Beyaz Süreçler ANALOG İLETİŞİM SİSTEMLERİ ÜZERİNDE GÜRÜLTÜNÜN ETKİSİ Genlik Modülasyon Sistemlerinde Gürültünün Etkisi Açı Modülasyonu Üzerinde Gürültünün Etkisi Analog Modülasyon Sistemlerinin Karşılaştırılması Analog İletişim Sistemlerinde İletim Kayıpları ve Gürültünün Etkileri ÖRNEKLEME ve ANALOG DARBE MODÜLASYONU Örnekleme Teoremi Darbe Genlik Modülasyonu (PAM) ve Zaman Bölmeli Çoğullama (TDM) Darbe Zaman Modülasyonu Türleri (PDM, PPM)
Giriş Temel Tanımlar Rastgele Süreçler Durağanlık Ergodik Süreçler Gauss Rastsal Süreci Isıl Gürültü Beyaz Gürültü Eşdeğer Gürültü Bant Genişliği Dar Bantlı Gürültü
Giriş Rastgele süreçler, bilgi kaynakları ve gürültü için uygun modeller sunarlar. Bir işaret bir iletişim kanalından iletildiğinde, alınan işaretinin gönderilen işaretten farklı olmasına neden olan iki düzensizlik söz konusu olur. Bu düzensizliklerden, doğrusal veya doğrusal olmayan bozulmalar, semboller arası girişim vb. şeklinde örneklendirilebilecek olan ilk sınıf doğasında deterministiktir. İkinci sınıf isegürültü eklenmesi, çok-yollu (multi-path) sönümleme gibi deterministik olmayan düzensizliklerdir. Bu tür olayların niceliksel açıdan incelenebilmesi için rastgele süreçlerden faydalanılmaktadır.
Temel Tanımlar Olasılık modellerinin tümünde temel kavram rastgele denemedir. Yani çıktısı kesin olarak belirlenemeyen herhangi bir deneme, deneydir. Yazı-tura atmak, zar atmak, bir kart destesinden kart çekmek rastgele denemelere örnek verilebilir. Her deney sonucu zamana bağlı bir işarettir ve rastsal sürecin bir örnek fonksiyonu olarak isimlendirilir. Her deney sonucu bir nokta ile temsil edilir. Noktaların oluşturduğu kümeyeörnek Uzayı denir.
Örnek uzayı oluşturan noktaların bütününe veya başka bir ifadeyle mümkün örnek fonksiyonların tamamına Rastsal Süreç denir. Rastgele değişken ve rastgele süreç şöyle ayırt edilebilir: Bir rastsal değişken, bir rastgele deneyin sonucunu bir sayıyla eşleştirir. Bir rastsal süreç ise bir rastgele deneyin sonucunu zamanın bir fonksiyonu olan dalga ile eşleştirir.
Rastsal sürecin 1. örnek fonksiyonu 1. Deney 2. Deney n. Deney t k anındaki rastsal değişkenler
Eğer örnek uzayın elemanları sonlu ise örnek uzay ayrık, aksi takdirde örnek uzay ayrık olmayan (non-discrete) uzaydır. Yazı-tura atmak, zar atmak, bir kart destesinden kart çekmek ayrık örnek uzayına sahip denemelerdir. Eğer 0 ve 1 arasında rastgele bir sayı seçilirse, bu durumda bu rastgele denemeye karşılık gelen uzay sonsuz ve sayılamaz sayıların kümesi olacaktır ve bu tür bir örnek uzay, ayrık olmayan uzaydır. Olay örnek uzayın bir alt kümesidir; yani olay çıktıların birbileşimidir. Örneğin, zar atmada, çıktının tek olması olayı; çıktının 3 ten büyük olması olayı; çıktının 4 e bölünebilir olması olayı gibi. Olaylar eğer kesişimleri boş küme ise ayrık olaylardır.
Koşullu Olasılık: örnek uzayının belirli bir kısmını kapsayan bir olay meydana geldikten sonra diğer bir olayın olma olasılığı şeklinde tanımlanır. Bayes Kuralına göre: Bayes kuralı genellikle sonuç çıkarmak için kullanılır. Örneğin gözlenen bir etkinin birden fazla sebebi olabilir. Etki gözlendiğinde, bunun hangi sebepten kaynaklandığı sonucunu çıkarma işlemine uygulanabilir.
Örnek: Bir ikili (binary) iletişim sisteminde, giriş bitleri kanal üzerinden 0veya1şeklinde, sırası ile 0.3 ve 0.7 olasılık ile iletilmektedir. Bir bit kanal üzerinden iletildiğinde, bu bit doğru veya yanlış şekilde (kanal gürültüsünden dolayı) alınır. Varsayalım ki 0 iletildiğinde, bunun yanlış olarak iletilme (yani 1 olarak algılanma) olasılığı 0.01 olsun ve eğer 1 iletilir ise, yanlış olarak iletilme olasılığı (yani 0 olarak algılanması) 0.1 olsun. Buna göre: 1. Bu kanalın çıkışının 1 olma olasılığı nedir? 2. Kanal çıkışında 1 gözlemlediğimizi varsayalım. Kanal girişinin 1 olma olasılığı nedir?
Bir A olayı için koşullu olasılıklarına sahip isek, P(A), toplam olasılık teoremikullanılarak yazılabilir. Buna göre:
Bir rastsal süreç, herhangi bir n değeri ve seçilen herhangi bir k t1, t2,, tk R,, X t,, X t k k f x x 1 1 k için verilen birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanır. M t, t,, t R Tüm ve için bir rastsal sürecin birleşik 1 2 k olasılık yoğunluk fonksiyonu verilirse, rastsal süreç M. mertebe istatistiği ile tanımlanmış olur. İletişim sistemlerinde M=2 yani ikinci mertebe istatistik (geniş anlamda durağanlık) ayrı bir öneme sahiptir. k
Durağanlık Bir rastsal sürecin istatistiksel karakteri gözlem zamanının başlangıcına bağlı değilse, sürecedurağan süreç denir. Katı Anlamda Durağanlık:
Geniş Anlamda Durağanlık Bir süreç, eğer ortalaması ve özilintisi zaman orijinin seçimine bağımlı değil ise, geniş anlamda durağandır.
Geniş anlamda durağan bir X(t) süreci göz önünde bulundurulsun. Bu durumda X(t) sürecinin ortalama değeri m X (t) rastgele değişkenin ortalama değeri olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir: Geniş anlamda durağan bir X(t) sürecinin ortalama değeri m X (t) tüm t anları için sabit değerlidir: Geniş anlamda durağan bir X(t) sürecinin otokorelasyon (özilinti) değeri R X (t 1,t 2 ) sadece τ = t 2 t 1 aralığında bağımlıdır: mx t EX t X m t m, R t t R t t R X 1 2 X 2 1 X X
Örnek: ve f c rastgele sürecini düşünelim. Burada A sabitlerdir, Θ ise [-π, π] aralığında düzenli dağılmış bir rastsal değişkendir, yani: cos2 X t A f t f c 1 2 0 diğer bu sürecin otokorelasyonunu değerlendiriniz. Çözüm: Bu rastgele süreç bir iletişim sisteminin alıcı biriminde mesaj işaretini demodüle etmek için kullanılacak olan ve yerel olarak üretilen taşıyıcıyı temsil ediyor olabilir. Bu durumda Θ rastgele değişkeni yerel olarak üretilen taşıyıcı ile verici birimde mesaj işaretini modüle etmek için kullanılan taşıyıcı işaret arasındaki farkı gösterir.
X(t) rastgele sürecinin otokorelasyonu: Sonuç olarak, rastgele fazlı bir sinüsoidal dalganın otokorelasyonu farklı bir domende (τ ekseninde) ve aynı frekansta yine bir sinüzoittir.
Çapraz İlinti Fonksiyonu X(t) vey(t) rastsal süreçlerinin çapraz ilinti fonksiyonu:
Örnek: X(t) durağan süreci ile ilintili olan X 1 (t) vex 2 (t) süreçleriaşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. burada f c taşıyıcı frekansı, Θ ise [0, 2π] X1 t X t cos2 fct aralığında düzenli dağılmış bir rastsal X değişkendir. Ayrıca Θ, X(t) durağan 2 t X t sin 2 fct sürecinden bağımsızdır. X 1 (t) ve X 2 (t) süreçleri arasındaki çapraz ilintiyi hesaplayınız. Çözüm: X 1 (t) vex 2 (t) süreçleri arasındaki çapraz ilinti: R12 EX1 t X2 t EX t X tcos2 fctsin 2 fct2 fc EX t XtE cos2 ft c sin 2 ft c 2 fc 1 RX Esin 4 fct 2 fc 2 sin 2 fc 2 1 RX sin 2 fc 2
Ergodik Süreçler Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel ortalaması birbirine eşit ise, o sürece ortalamada ergodik denir. Eğer bir sürecin zaman ve istatistiksel öz ilinti fonksiyonu birbirine eşit ise, osüreceöz ilintide ergodik denir. Bir süreç ergodik ise katı anlamda durağandır, ancak tersi doğru olmak zorunda değildir.
Güç Spektral Yoğunluğu Durağan bir X(t) sürecinin güç spaktral yoğunluğu otokorelasyona bağlı olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir: buradaki SX fonksiyonu X(t) durağan sürecinin güç spektral yoğunluğu veya güç spektrumu olarak adlandırılır. Otokorelasyon fonksiyonu ise benzer mantıkla f SX f X exp 2 S f R j f d 2 E X t SX f df fonksiyonunun ters Fourier dönüşümüne eşittir. Bu iki eşitlik Wiener Khinchine theoremi olarak adlandırılmaktadır. X exp 2 RX SX f j f df
Örnek: rastgele sürecini düşünelim. Θ, [0, 2π] aralığında düzgün dağılımlı bir rastgele değişken ve X(t) geniş anlamda durağan olduğuna göre güç spektral yoğunluğunu belirleyiniz. Çözüm: cos2 Y t X t f t Y c cos2 c 2 c cos2 c R E Y t Y t E X t f t f X t f t EX t X t Ecos 2 fct2 fc cos 2 fct 1 RX Ecos2 fc cos4 fct 2 fc 2 2 1 RY RX cos2 fc 2 Fourier dönüşümü alınırsa: 1 S f S f f S f f 4 Y X c X c
Çapraz Spektral Yoğunluklar Güç spektral yoğunluğu tek bir rastgele sürecin frekans ekseni üzerindeki dağılımının ölçümünü sağlarken, çapraz spektral yoğunluklar iki rastgele süreç arasındaki frekans arası ilişkilerin ölçümünü sunar. X(t) vey(t), R XY (τ) ver YX (τ) çapraz korelasyon fonksiyonları ile birleşik durağan süreçler olsun. Bu durumda,
Doğrusal Sistem İlişkileri X(t) rastgele sürecinin, h(t) dürtü yanıtına sahip lineer zamanla değişmez bir filtreye giriş olarak uygulandığı kabul edilirse, filtre çıkışında yeni bir rastgele süreç olan Y(t) elde edilecektir. X(t) rastgele sürecinin olasılıksal dağılımı için özelleştirilmiş olsa dahi, çıkıştaki Y(t) rastgele sürecinin olasılıksal dağılımını tanımlamak çok zordur. Giriş/Çıkış arasındaki ilişki güç spektral yoğunluğu cinsinden basitçe aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
X(t) rastgele sürecinin h 1 (t) dürtüyanıtına sahip, Y(t) rastgele sürecinin h 2 (t) dürtü yanıtına sahip lineer zamanla değişmez filtrelere giriş olarak uygulandığı; filtrelerin çıkışlarının da sırasıyla V(t) ve Z(t) rastgele süreçlerini ürettiği kabuledilsin. BudurumdaV(t) ve Z(t) için çapraz spektral yoğunluklar şöyle ifade edilir:
Gauss Rastsal Süreci Bir Gauss rastsal süreci doğrusal bir sistemden geçtiğinde sistem çıkışı da Gauss rastsal süreci olur. Gauss rastsal süreci (geniş anlamda) durağan ise katı anlamda da durağandır. RX d ise Gauss rastsal süreci ergodiktir. X(t 1 ), X(t 2 ),., X(t n ) rastsal değişkenleri ilintisiz ise yani, k Xt i Xt 0, E X t m X t m k i k i ise aynı zamanda birbirinden istatistiksel olarak bağımsızdır.
X(t 1 ), X(t 2 ),., X(t n )rastsaldeğişkenlerinin ilintisiz olması kovaryans matrisinin diagonal olması anlamına gelmektedir: 2 1 2 2 0 2 0 n 2 burada 2 i E X ti EX t i, i 1,2,, n Bu şartlar altında birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu: f X i x i n x fx fx x i i1 1 exp 2i i x m 2 i x i 2 2 i
Isıl Gürültü Elektriksel gürültü (ya da ısıl gürültü), iletkenlerin içindeki elektronların ısı dolayısı ile meydana gelen rastgele hareketlerinden kaynaklanır. Bir direncin uçlarında geriliminin kare ortalaması: Hz bant genişliğinde ölçülen ısıl gürültü E V TN 4 ktrf volt 2 2 burada k Boltzman sabiti olup değeri. J/K, T Kelvin cinsinden mutlak sıcaklık, R ohm cinsinden direnci ifade etmektedir. Bir dirençten aktarılan maksimum gürültü gücü ise Watt kadardır. Elektronların çoksayıda olması ve hareketlerinin birbirinden bağımsız olması dolayısı ile, ısıl gürültü geniş anlamda durağan, ergodik ve ortalaması sıfır beyaz bir Gauss rastsal sürecidir.
Beyaz Gürültü İletişim sistemlerinin analizinde genellikle gürültünün idealize edilmiş bir formu olan Beyaz Gürültü kullanılır. Alıcı eşdeğer sıcaklığı ile orantılı olarak, girişine taşınır. [N 0 ] : Watt/Hz değerinde alıcı Alıcıyı gürültüsüz kabul ederek, alıcı girişinde işarete ekleme yaparak kullanılır.
5.BÖLÜM Eşdeğer Gürültü Bant Genişliği
Dar Bantlı Gürültü Dar bantlı gürültü matematiksel olarak eş fazlı (I) ve dik fazlı (Q) bileşenler cinsinden ifade edilebilir: n(t) den dolayı n I (t) ven Q (t) bileşenlerinin de ortalaması sıfırdır. n(t) Gaussdağılımlı ise, n I (t) ven Q (t) bileşenleri de Gauss dağılımlıdır. n(t) durağan ise, n I (t) ven Q (t) bileşenleri de durağandır. n I (t) ven Q (t) bileşenleri aynı güç spektral yoğunluğa sahiptir. n I (t) ven Q (t) bileşenleri, n(t) ileaynı varyansa sahiptir.
5.BÖLÜM Dar Bantlı Gürültünün Başka Bir Temsili
5.BÖLÜM Sinüs + Dar Bantlı Gürültü 2 I x 1 0 exp cos 2 x d 0