MATEMATİK TARİHİNDEN ESİNTİLER: BABİL DE MATEMATİK Yrd. Doç. Dr. Erdal Karapınar ın 27.04.2011 tarihinde gerçekleştirdiği konferans metnidir. Erdal Karapınar 1995 te Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümünden mezun olmuştur. Yüksek Lisansını 1998 de Doktorasını 2004 yılında ODTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Köthe Uzaylarının Sınıflandırması çalışmasıyla almıştır. 1996 2003 yılları arasında ODTÜ Matematik Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak akademik hayatına başlayan Erdal Karapınar 2004 2005 yılları arasında Sabancı Üniversitesi nde doktora sonrası Araştırmacı daha sonradan Öğretim Görevlisi olarak 2005 2006 yılları arasında İzmir Ekonomi Üniversitesi nde Yardımcı Doçent olarak çalışmıştır. 2007 yılından itibaren Atılım Üniversitesi Matematik Bölümünde Öğretim Üyesi olarak görevini sürdüren Erdal Karapınar ın Uluslararası Endekslere giren dergilerde yayınlanmış 20 den fazla akademik makalesi bulunmaktadır. Ayrıca Sayın Karapınar Türk Matematik Derneği Üyesidir. Atılım Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Erdal Karapınar: Matematik üzerine konuşmaya başlamadan önce matematik tanımını biraz açmak istiyorum. Üniversiteye başladığım yıllardan itibaren hangi bölümü kazandın dendiği anda Matematik Bölümü dediğimde karşımdakinin yüzünde değişik bir ifade beliriyordu oradan şu sonuca varıyordum yanlış bir şey mi yapıyorum acaba? Daha sonraki dönemlerde de ne iş yapıyorsun dendiği zaman matematik dediğim zaman garip bir tavır sergileniyordu belki korkudan, belki de yani bir şeylerin yanlış olup olmadığına dair. Şimdi o zaman şunu düşündüm yani bunca eğitim aldıktan sonra anladım ki ben matematiği seviyorum ve içinde hiç yanlış bir şey yok ve çok da güzel. Demek ki o karşımdaki insanların matematikten anladığı şeyle benim matematikten anladığım şey aynı değil. O yüzden ilk önce matematik kavramını kendi anladığım şekilde sizinle paylaşmaya çalışacağım. Matematik deyince hemen Türk Dil Kurumunun sözlüğünü açıyoruz ve birtakım tanımlar geliyor. Sayıya dayalı, mantıklı, ince hesaba bağlı ya da Orta dereceli ve yüksek okullarda öğrencilerin diye devam ediyor. Şimdi buradan ben şunu anlıyorum. Yani orta derecede okulda okutulan derste olduğuna göre şimdi kampusun dışına çıktım ve matematik bitti. Yani ben buradaki tanımları tek tek altüst edebilirim ama onunla uğraşmayacağım. Onun yerine kendi algıladığım matematiği sizinle paylaşmaya çalışacağım. Nedir matematik sorusunun yanıtı bence biraz etimolojik olacak yani köken bilimine bakacağız kelime ilk nereden çıkmış. Eski Yunanlılarda çıkmış arkadaşlar ve çok güzel bir sözcükten geliyor işte Mathema dan. Bu ne demek derseniz çok güzel gerçekten hem bunu bu en azından benim için Öğrenilmesi gereken şey arkadaşlar. Matematik nedir? Matematik öğrenilmesi gereken şeydir benim açımdan da aslında her insan açısından da öyledir. Bunu konuşmanın ilerleyen safhalarında tekrar tekrar vurgulayacağız. Bu sözcük ilk kez Pisagorcular tarafından kullanılmıştır. Pisagor biliyorsunuz milattan önce 550 yıllarında yaşamış bildiğiniz ünlü Pisagor Bağlantısını bulduğu ya da ispat ettiği söylenen kişidir ki bunu da tartışacağız konuşmanın içeriğinde. Ondan sonra işte şunu da ifade etmem gerekecek Eski Yunanlılarda aslında matematik kavramı daha çok geometri olarak algılanıyordu. 1
Geometri de yine iki tane sözcüğün birleşiminden kaynaklanıyor Geo ve Metre ne tür ya da metre yine işte bildiğiniz bugünde kullandığımız gibi ölçüm anlamına geliyor Geo da yerdir yer ölçüm anlamına geliyor. Neden ilk insanlar için matematik geometri ye denk geliyor? Şimdi hemen sizinde Matematik sözcüğünün değişik dillerdeki ifadesini paylaşmak istiyorum çok böyle birbirine yakın şu en çok hoşuma giden mesela Matematik Türkçe, Danca ve İşveçce de aynı yere denk geliyor. Şimdi biraz insanlık tarihine gideceğiz. Hazır matematik tarihinden esintilere başlamışken ki burada işte matematiksel kavramın niye insanlar için bu kadar önemli olduğunu da tartışacağız. İşte yaşam 500 550 milyon yıl önce başlıyor ama insanların yaşama işte izleri diyelim 5 milyon yıl öncesine kadar dayanıyor. En eski fosil insanlıkta 150 bin yıllık ondan sonra kayalara çizilen ilk resimler 40 bin yıllık. Şimdi yazı ne zaman bulundu milattan önce 3.500 yıllarında Sümer de bulunduğu söyleniyor. Peki, ilk matematiksel semboller ne zaman bulunmuş? 37 bin yıl önce yani Matematik yazmadan bile daha değerli daha önemli daha hızlı keşfedilmiş bir ilerlemiş bir şey. Diğer taraftan şu resimde görmek istiyoruz. 550 milyon gibi çok büyük bir rakam içerisinde hani insanlık tarihinin ilerleyişinin yavaşlığını da dikkatinizi çekmek için bu slayttı kullanıyorum. 37 bin yıllık bir tane matematiksel alet var. Nedir o? Bir kemik var arkadaşlar. Bu kemiğin adı Lebombo, Lebombo denmesinin nedeni Güney Afrika da Lebombo Dağında bulunmuş olması. Bunun üzerinde gerçekten 29 tane çentik sayılabiliyor ve buradan işte sayma sistemlerinin oluşturulmaya başlandığı düşünülebilir. Diğer taraftan o Avrupa da 30 bin yıllık başka bir kemik bulunuyor Kurt Kemiği. Burada 57 çizik var 5 erli kümeler halinde. Buradan şöyle bir şey diyebiliriz adamlar hani 5 erli saymayı biliyorlar. Ondan sonra şimdi bir tane daha kemik söyleyeceğim. 20 25 bin yıllık Ishango şimdi bunun üzerine biraz gideceğiz. Bu 1970 lerde bulunan bir kemik 25 bin yıllık olduğu söylenebilir. İlk bulunduğunda 6 bin yıllık falan diye düşünülüyor ama karbon testlerinden geçirildikten sonra 25 bin yıl civarında olduğu tahmin ediliyor. Ishango Kemiğini biraz açarsak arkadaşlar kendisi Brüksel de bulunuyor şu anda koruma altında. Şöyle yani şunları tabii göremiyoruz ama şunları açtığımız zaman kemiğin şu yapıda olduğunu görülüyor. Burada neyi fark ediyoruz. Dikkat ederseniz şuradaki 60 lık toplamlar acaba bunlar 60 lık sayı sistemi mi kullanıyor diye düşündürüyor. Diğer taraftan şuraya bakıyorsunuz bunların hepsi asal arkadaşlar. 25 bin yıl önce acaba bunlar asal sayıları biliyorlar mı diye düşünmekten insan kendini alamıyor. Diğer taraftan şuraya bakın hani burada tek sayıları falan almışlar. O tek sayıların şöyle bir özelliği var hem bu 9 1 bu 19 1 o işte 21+1 öbürü de 1+1 bu bir çeşit belki şu anda bizim çözemediğimiz bir cetvel de olabilir enteresan bir cetvel. Diğer detaylarda şu 3 ün 2 katı 6 4 ün 2 katı 8 gibi 5 in işte 2 katı 10 gibi çok güzel enteresan bir tane alet yapılmış dediğim gibi bundan tam işte yaklaşık 25 bin yıl önce ve bu dediğim gibi tarihteki en eski matematiksel semboller ve tekrar söylüyorum yazının bulunuşu milattan önce 3.500 yıl. Şimdi yine işte yani bu konuşma kesinlikle esintilerden oluşacak. Matematiğin nerede ve nasıl doğduğuna dair hani biraz daha sistematik olarak matematiğin nerede ve nasıl doğduğuna dair iki tane tezi paylaşacağız bir tanesi Heredot a ünlü Yunanlı tarihçi öbürü de Aristo ya ait. Heredot diyor ki yani Mısır da Nil Nehri taşar. Şimdi Nil Nehri niye önemlidir, çünkü tarım yapılabilecek tek kalan Nil Deltasıdır. Ama mesela orada araziniz var Nil taştığı zaman hiç kimsenin arazisinin sınırı kalmıyor bütün geçim kaynağı orası yeri geldiği zaman ne yapmak 2
lazım herkesin arazisini tekrar paylaştırması lazım. İşte neden geometri çok önemlidir tartışmasının nedeni de bu aslında buradan geliyor. Hani çok çok ciddi anlamda ihtiyaçtan doğuyor. O yüzden de diyor ki ilk Mısır da doğmuştur çünkü bir şekilde bunları becerebilmeleri lazım. Yoksa her gün bir tane savaş çıkar sen benim arazime kaptın sen onunkini kaptın diye. Diğeri Aristo nun fikri bu biraz daha komik diyor ki Mısır da rahipler vardı ve çok kazanıyorlar. Çalışmadan adamlar getiriyorlar veriyorlardı, yiyorlardı, canı sıkılıyor, karnı tok ne yapacak. İşte bir oyun olsun diye bunu geliştirdiler diyorlar. Daha sonra bunlar üzerinde tekrar duracağım. Şimdi matematik nedir sorusunun yanıtı yani TDK sözlüğünün dışında şunlarda olabilir: Matematik bir oyundur. Yani gerçekten de oyundur nasıl satrançta at neye gider hem bizde de sayma vardır 1 den sonra 2 gelir bir kurallar zinciri koymuşuz toplamayı tanımlamışız ve buna göre oyun oynuyoruz. Onun dışında ne söyleyebiliriz? Matematik bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer mesela bizim kurallarımızdan biri At işte L gider gibi aksiyonlarımız. Yani matematik bir oyundur dediğimiz içinde de bu Aristocu yaklaşım olarak algılayabiliriz. Matematik bir araçtır arkadaşlar gerçekten de öyledir. Yani işte sel taştı arazinizi geri almanız lazım. O yüzden bunu kullanmanız lazım ya da ilk başta Calculus un bulunuşu gibi. İşte 4 tane koyununuz var, sayıları da bilmiyorsunuz ne yapıyorsunuz? Her koyun için kendi cebinize bir taş alıyorsunuz. Akşam getirirken kendiniz baktınız 4 tane taş 4 tane koyun bunun 4 olduğunu da bilmiyorsunuz ama. İşte bakıyorsunuz karşılaştırdınız ve her şey yolunda. Eğer fazla koyun az taş varsa kardasınız ama tersi olabilir kurt gelmiş olabilir. Şimdi evet bunları da bu Heredotçu bir yaklaşım çünkü araçtır ihtiyaçtır. Matematik bir dildir. İki türlü düşünebiliriz matematik gerçekten de bir dildir. Kendi içinde bir sembolü vardır işte bu ifadeyi gördüğünüz zaman orada bir Integral ( ) sembolü 0 dan 2 ye kadar işte 4- x lerin altında kalan alan işte (π) Pi dir diyor. Şimdi bunu söyleyebilmek için hani Türkçe, İngilizce, Fransızca bilmeye gerek yok dünyanın her yerindeki her matematikçi bunu gördüğü zaman bunun tam olarak ne ifade ettiğini bilir. Bu işte her yerde aynı anlama gelir. Diğer taraftan bilimle ilgili olarak Reg lerin söylediği bir şey vardır. Yani evreni nasıl algılayabiliriz? Evreni algılayabilmenizin tek yolu işte onu matematiksel denklemleri olarak ifade edebilmek matematik diliyle algılayalım ve Galileo işte bunu öyle çok düzgün ifadelerle söylüyor diyor ki Evren aslında Matematik Dilinde yazılmıştır. En ünlü Newton mesela Matematikçidir aynı zamanda. Diğer taraftan matematik bir sanattır. Matematik niye bir sanattır? Çünkü mesela işte Tchaikovsky i Tchaikovsky i yapan nedir? İşte sizde gidersiniz bir Kuğ Gölü, kuğulu bir göl bir bakarsınız çok güzel kuğ var işte her şey güzel ya da ormana gittiniz müthiş bir renk cümbüşü var geldiniz bitti. Ama oraya Tchaikovsky giderse işte oradan bir Kuğ Gölü Balesi çıkıyor ya da işte Mozart giderse bir tane senfoni çıkıyor. Bu ne demek? Doğadaki sesleri ya da doğadaki var olan yapıları soyutlayabilme yeteneği var işte sanatçılık tam olarak buradan geliyor arkadaşlar. Mesela doğada bana 5 i gösterebilecek bir insan var mı? Doğada 5 yoktur ama 5 tane elma vardır, doğada 3 yoktur ama 3 tane elma vardır. Bizim yaptığımız şey az önce işte Reg lerin söylediği gibi oradaki soyut kavramları algılayabilmek geliştirebilmek o yüzden hani matematikle uğraşan insanların çoğunda böyle biraz bu vardır çünkü bu sanatçı gururudur aslında. Yani bir tane Düzlem Teoremi vardır işte hani işte Pisagor un basit bir bağlantısı var onun bir tane ispatını görür o ispatı anlar ve müthiş mutlu olur. Bu dediğim gibi sanatçı mutluluğudur sanatçı gururudur. Evet, şimdi Sayı Sistemlerine geçeceğiz. Öncelikle bizim kullandığımız Sayı Sistemi nedir 10 luk Sayı Sistemidir hani bu çok doğal değil mi niye 10 luk Sayı Sistemi kullanıyoruz? Çünkü 10 tane parmağımız var işte saydık 1 2 3 4 5 bitti. O yüzden bir çentik attık demek ki işte 10 luk Sayı Sistemi oldu tekrar saymaya başlayabilir. 3
Şimdi bu çok doğal aslında yani gerçekten dünyada herkes ya da bütün uygarlıklar Aman Allah ım işte 10 parmaklılar 10 luk Sayı Sistemi diyebilmişler mi ne yazık ki diyememişler arkadaşlar. Mesela Aborjinler için çok güzel bir sayı sistemi var 1 ve çok bitti ne kadar adam var çok bitti. Saydım sizi. Şimdi Amazonlarda hayat biraz daha zor 6 ya kadar sayabiliyorlar. Nasıl? 2, 2, 2 ondan sonra çok, tamam yani yine çok hala çok. Ondan sonra Afrika da Bushmen Kabilesi var. Onlar da 10 a kadar sayabiliyorlar. Peki, nasıl sayıyorlar aynı şey. Yani şunu anlatmaya çalışıyorum aslında yani hani bu kadarda kolay bir şey değil. Yani bildiğimiz bir şey kolaydır ama bilmediğimiz şey o kadar kolay değil ve işte bunları söyledikten sonra yani bu kabilelerden bazıları sanırım Bushmen Kabilesi hala Afrika da yaşıyor, Babillere geçeceğim onların yaptığı şeylerin ya da ilerleyişinin ne kadar ciddi anlamda bir ilerleyiş olduğunu ifade etmeye çalışacağım. Şimdi Mezopotamya deyince ya da işte Babil Sümerler deyince aklınıza Fırat ve Dicle arası gelecek ve işte burası bize çok yakın olduğu içinde özellikle bu konuyu seçmiştim. Yazıyı buldular. Kil Tabletler üzerine sayıları yazmaya başlıyorlar. Ama şunu söylemem lazım Sümerler işte sayıları bulmadan öncede biraz Matematik yapıyorlar. Yani adamlar şunları kullanıyorlar bunlara fiş ya da jeton demek mümkün. Mesela atıyorum yani gerçekten bilmiyorum ama yani adamın mesela koyunu varsa koyun için bir tane jeton yapmış. Kaç tane koyun var 10 tane. Şundan 10 tane ne yapıyor veriyor. Mesela satarken bunu veriyor 10 tane koyun verdim anlamında anlaşmada. Şunlara benzer killerin sayısı 500 tablet bulunmuş belki de daha çok var, çünkü kil işte Mezopotamya nın aslında handikabıdır da. Niye? Çünkü killer toprak içinde erir ve hiçbir iz bırakmaz. Yani şunları bulmakla biz acayip şanslıyız Sümer su ya da Babil Matematiğini anlamada. İlk matematiksel girişimleri bunlar milattan önce 7 bin hatta 11 bin yılına kadar uzanıyor bunları kullanma hikayeleri. Matematiğe başlıyorlar daha sonra 60 lık Sayı Sistemini kullanıyorlar. 60 lık Sayı Sistemi niye çok önemli? Çünkü eğer elinize bakarsanız 12 tane boğum var her parmakta 3 tane 12 tane 5 tane de bu 12x5=60 işte size sayı sistemi. 60 niye önemli? 60 önemli çünkü paylaşmak var değil mi yaşamda. Yani 60 bir sürü sayıya bölünebilen bir şey diğer taraftan 60 tarihsel olarak yani bir sürü yerde hala kullanırız saat 1 dakika 60 dakikadır falan. İşte denizcilikte hala 60 lık sistemin kullanıldığı söyleniyor. İlk kullanılan Çivi Yazısıyla ifadeler bunlar yani gördüğünüz zaman 1 bunu gördüğünüz zaman 10 yan yana gelince topluyorsunuz o kadar. İlk kez bunu da Sümerler kullanıyorlar ve 4 bin yıllarının son döneminde IP Tablette öyle bir ifade var. Bu ne demek ya da işte şöyle bir ifade var ne demek hemen alıyorsunuz. Diyorsunuz ki şu var 600 bu da 60 tı işte 3 tane de 10 var bu kadar işte bir tane 1 var şurada 691. Şurada bunları da ifade etmek lazım. Burada yerleri hiç önemli değil bunların sadece neyi ifade ettikleri önemli yani onlar nedir 3.600 temsil ediyordu nereye koyarsanız koyun. Hiç fark etmez yani böyle de koysak böyle de koysak böyle de koysak aynı sayıyı gösteriyor. 4
Daha sonra şunu yapıyorlar çıkartma işlemi diyebileceğimiz bir şey. Şimdi mesela şu sayı sisteminde yazıp işte şuradaki işaret çıkartma işareti olacak. Bu kaça denk geliyor? İşte (600x4)-(4x10) 2360 bunu diğer türlü yazmak isterse bir sürü sembol kullanmak zorunda. Adam da onun yerine diyor ki işte bunlara en yakın büyük sayıyı alırım ondan ne çıkması gerekiyor şu onu çıkarıyor. Bunu keşfetmeleri de gerçekten çok önemli ve işte sayı sisteminde çıkartmayı keşfediyorlar. Diğer taraftan oradaki ifadeleri aldık topladık çıkardık. Şimdi Babil Sayıları yani bu Sümerlerden daha sonra ilerleyen dönemlerde Babil Sayıları yine 60 lık sayı tabanı ama iki tane sembol kullanarak halletmeye başlıyorlar. Az önce konu önemli değildi. Yani ifade oraya koy buraya koy fark etmez topladım kaçsa o ama burada yer çok önemli. 2 şer 2 şer bloklar halinde düşünüyorlar ve bu 1 ve 10 iki şekilde kullanarak 60 tane sayıyı 60 sayısını böyle yazabiliyoruz arkadaşlar. Bakın işte şu işte çividen bir tane koyduk 1 9 a kadar sonuçsuz 1 sonra 10 sonra onun yanına bir tane daha koyuyor çivi tekrar 11 yani çok rahat hemen algılayabileceğiniz gibi 60 lık sayı sistemini oluşturuyoruz ve söylüyorum burada konum çok önemli yani hani bunun bunun yanında olması çok önemlidir ve 60 lık sayı tabanı kullanıyoruz bunu da unutmayalım. Şimdi burada birkaç tane tablet resmi var. Yani Babilliler gerçekten ya da Sümerliler Mezopotamya da yaşayan iki uygarlık da daha doğrusu bunlar birbirinin devamı tarzında. Çok fazla tablet geliştiriyorlar şöyle de söyleyebilirim Muazzez İlmiye Çığ ın Sümerli Ludingirra diye bir kitabı var; orayı açıp baktığınız zaman çok ciddi bir okul sistemi bile kurmuşlar. Yani tabletler var mesela bitirme sınavları var tıpkı ÖSYM nin yaptığı sınav gibi genelde her yere aynı tabletler geliyor o gün açıyorsun o tabletleri orada sınav yapıyorsun. Şifresiz yani şifre yok. Çok güzel bir şey, o kadar sistemliler bu tabletler çok işe yarıyor. Yani onu sistematik olur her okulda var. Hatta mesela siz beğendiniz işte alıyorsunuz bir tablet ben kendime kopyalıyorum diyorsunuz çok sık yapılan bir şey. Evet, fotokopi yapıyor kopyalamanın ilk kez orada çıkıyor. Buradaki tek sıkıntı bu bilgileri zaten birazda öyle algılıyoruz. Tabletler toprakta karışıyor yok oluyor ama şunu fark ediyorlar: Mesela bu tabletin yarısını başka bir yerde rastlıyorlar. Yani başka bir okulda başka bir şehirde arada birkaç yüz kilometre olan şehirde rastlıyorlar. Adam mesela bir hikaye yazmış. Adamın kendi kaleminden yani kendi kalemi değil artık nedir kendi çivisinden killere yazdığı bir hikaye bu hikaye 20 ayrı yerde bulunuyor ve parçaları birleştiriliyor bütün hikaye ortaya çıkarılıyor. 5
Sümer Dilinin de işte 1960 lar civarında çözüldüğünü hatırlatayım yani bu bilgiler gerçekten çok yeni. Bunlar tabletlerle tabletteki o çivi sayısının yanında açılımları yani şurada gördüğünüz gibi bunlar 60 lık sayı sistemi yani şuradan bir tane 4 tane 10 luk göreceğiz. Yani ben her ne kadar çok seçemiyorsam çünkü çok fazla. Ondan sonra şuradaki ifade için ne yapıyoruz 46 yı 60 la çarpıyoruz. Yani bu 60 üzeri 0 bunda 60 üzeri 1 bunda 60 üzeri 2 çarpıp yandaki sayı sistemini buluyoruz 60 lık sayı tabanı arkadaşlar çok basit bir şey. Hemen birkaç tane örnek ifade edelim. Şimdi buna baktık ne yaptık? İşte sayıyoruz bir tane 10 luk var şurada 4 tane 1 lik var çok güzel şurada 6 tane 1 lik var şunda da 4 tane 10 luk var, bunu böyle ikişerli ikişerli blokladığımı varsayalım. 14,46 benim için ne demek ya da buradaki ifade 1,45,29,36 ne demek? Yani şu: (4x10+6x1 bunlar klasik hikaye yani zaten 60 lık tabanın kendisi diğerini ne ile çarpıyorum 60 tabanıyla ve sonuç ortada. Diğeri de aynı şekilde 60 tabanıyla çarpıyoruz değil mi arkadaşlar? Şimdi bunu nasıl yazacağız kaç bu? 19. Yani çok zor değil mi hani onu da üşengeçler. Matematik biraz üşenme sanatıdır. Yani genelleştirirsin ki çok fazla uğraşmayasın hemen bir genel formül bulursun yani bunları böyle çıkar hepsini tek tek öğrenmeyeyim dersin. Adamlar da üşeniyorlar tabii ve diyorlar ki bu 19 tanımının yerine onu bulup da şunu yazsak diyorlar. Şu işaret arkadaşlar az önceki çıkartma işaretidir. Ne oldu? 20 den 1 çıkarttılar daha az sayı var. Evet, atalarımız onları da tanımak lazım. Şimdi başka bir örnek de şu arkadaşlar şimdi bunu şöyle yaparsak 21,58 geliyor ve az önceki sayı mantığıyla kolayca çözümlersiniz. Diğer taraftan bunu şöyle de yazabiliriz. Şurada görürseniz bunun iki tane kodlaması oldu 21,58,22 mi 1,28,52,02 mi? Neden o oldu çünkü şurada azıcık bir boşluk var gibi o yazanın hatası mı yoksa adam kasıtlı olarak boşluk mu bırakıyor. İşte bu 0 sayısının tam olarak olmasa da kullanılması için ilk adım arada muazzam bir fark var yani bu sayı değerlerine bakın ikişer ikişer grupluyorduk orada sorun var. Daha sonra bu sorunu çözüyorlar. Nasıl çözüyorlar? Eğer işte hani şu yukarıdaki 0,2 yazmak istiyorsa şu sembolü ya da şu sembolü kullanıyor. Yani o sembolleri kullandığı zaman bakın şu iki ifade birbirine çok yakın değil mi? Yani burada az önceki gibi aman Allah ım çok geliştik şunun gibi okursam arada muazzam bir sayı farkı vardır onu da çözüyorlar. Demek ki biz zaten bu işareti görmeyene kadar bu adamları 0 kabul etmiyoruz. Ama onu 0 kabul ediyoruz gördüğünüz gibi çok benzer iki tane sembol arasındaki muazzam sayı farkı. Sanırım tüccarlardan biri zarar edince bunu hemen keşfetmiş. Tebrik ediyoruz. Şimdi çarpma işlemini nasıl yapıyorlar diyebilirsiniz. Bunlar çarpma işlemini çok iyi yapıyorlar. Bir tane tablet bulunuyor arkadaşlar bu tablet onlardan bir tanesinde şu var 1 den 59 a kadar bütün sayıların kareleri var arkasını çeviriyorsunuz tabletin 32 ye kadar olan sayıların da küpleri var bir başkasında küplerle karelerin toplamları var. 6
Ne işe yarayacak? Bakın adam çarpmayı nasıl tanımlıyor? X çarpı y diyor bunun toplamının karesiyle bunun toplamının karesini işte 4 te 1 iyle. Bu niye önemli adamın elinde çünkü toplamların tableti yok mu toplama işlemi de daha basit çarpma işlemiyle karşılaştırırsak. Açıyor tabletini diyor ki o zaman bunun yerine bunu, bunun yerine bunu koyarım işlem bitti ya da şu işareti kullanıyorlar bu da diğer bir şey. Yine elindeki tabloyu açıyorsun çünkü 1 den 59 a kadar bütün sayıların ellerinde tabletleri var tabletten çarpı. Bölme İşlemini tanımlıyorlar. Şimdi elimizdeki bir tabletin işte tabii ki günümüz yazımı yani işte tableti gösteremiyoruz. Şunu yazmışlar 2 çarpı 3 işte 30 3 çarpı 20 4 çarpı 15 bu nedir? 60 lık sayı sistemi şu perde de yazdığımız gibi x çarpı y 1 çarpı y şeklinde yazma diye düşünülüyorlar. Çarpımları 60 olan sayılar bunları kullanarak hani bizim Birlik sistemi düşünün 1/10 gibi ½ yi 0,5 diyelim yazarım olur biter diye. Adamlar da bunu yazıyorlar. İşte 8 çarpı 7;30 8 çarpı 7;30 bizim için ne demek? Şimdi burada noktalı virgül olursa artık küsura geçiyor yani sayı tabanında bundan öncekileri 60 ve 60 ın kuvvetleriyle çarparken burada da 60 ve kuvvetlerine bölüyoruz ve orada da işte gördüğünüz gibi çarpanları ve rasyonel sayıları keşfetmiş oluyoruz. Mesela 1/8 sayısını çok net ve çok doğru bir şekilde hesaplıyorlar. Rasyonel Sayıların işte tamamını neredeyse hesaplıyorlar. Ama birtakım sıkıntıları var ½ kolay 1/6 kolay 1/9 işte kolay peki 1/59 bunda biraz zorlanıyorlar. Ama daha çok zorlandığı sayılar var arkadaşlar bunlar yaklaşık değerleri. O şu 1/61 1/7 1/13 1/ gibi sayılar onları yine yaklaşık değerler buluyorlar. Ama diyorlar ki 7 bölmez yani bunu tablete yazıyorlar. Yani bu değerleri yaklaşık olarak hesaplıyorlar ondan sonra da diyorlar ki 1/7 işte 13/9 gibi bir şeyse her tarafı işte 13 le çarpın ondan sonra 13/9 u 90 na işte biraz yuvarlarsanız şöyle bir ifade elde ederiz falan diyor. Çünkü 91 küsuratlı bir şey 90 na yuvarlanır oradan değerini buluyorlar. Ama şunu yazıyorlar yani cevabımız tam değil çünkü diyorlar 7 bölmez. Evet. Linear Denklemleri çözüyorlar bu çok güzel çok enteresan bir metot. Düşünün milattan önce 3 bin yıllarında 2 bin yıllarında Linear Denklemler çözülüyor sistem çözülüyor. Şimdi böyle iki bilinmeyenli bir denklemi nasıl çözeceğiz? Biz hemen yok ediyoruz onlarda yanlışlama dedikleri bir metot kullanıyorlar bu buna eşit olsa ne olur diyor. Mesela aldı ikinci denklemi dedi ki bu adamların işte x le y eşit olsun ama aynı x y olmadığı içinde onların üstüne bir süs koyalım. O zaman diyor ki işte x le y süslü x süslü y 900 olur diyor. Ama eğer doğru o olursa o yukarıdaki yerine koyduğu zaman 500 çıkması lazım değil mi ama doğru değil. Çünkü ben bunu zaten yanlış olduğunu kabul ettim. O zaman ne yaptık bir hata yaptık. Hata payın ne olsun d olsun demek ki birinde d kadar fazla birinde de d kadar eksik olacak. Bu onların yazımının tamamen günümüz Türkçesinde yazılmış matematiksel ifadesi arkadaşlar aynen böyle yapıyorlar. Ondan sonrada yerine koyuyorlar yani o zaman diyor ki işte x-y 500 se hani 900 artı de 900-d yani ½ si 2/3 ü 500 dü d kaçtır 300 yerine koyduk hayırlı olsun çözdük bitti. Demek ki Linear Denklemleri çözebiliyorlarmış. Başka ne yapabiliyorlar? Problem çözüyorlar arkadaşlar. Mesela. (Yandaki Tablo) Şimdi bu ne demek aslında önce şu demek bir kareye bir kenarının iki katı koyduk işte şu 2,51,60 da çözdüm 10300 ediyormuş. Peki, son bir 11530 özür dilerim. Bende öğreneceğim. Şimdi diyor ki acaba x nedir diyor. 7
Şimdi burada tam olarak ikinci dereceden denklemleri çözüyorlar. Nasıl yapıyor bunu böyle algıladı. Bunu böyle yazıyor x(x+2) şimdi bunu genel halde çekiyorum. Çünkü aslında bunlar genel halini yapmıyorlar asla. Ama buna benzer bir sürü örnek var aynı metotla çözmüşler. X(x+p) sonra da q yazdım ondan sonra x+p ye bir rakam söylüyoruz diyoruz ki x+p işte x-y=p olsun işte x*y =q olsun bu denkleme göre yanlış değilse sonra x-y+4xy dediğim adam yani yerine koyarsam x-y yani 4xy dediğim adam ne oluyor p 2 +4y oluyor sonra x+y o zaman şurada bir hata yapıyorum. (x+y) nin karesi p 2 +4q ysa x+y p+karın 4 bilmem nesidir. Sonra değerini y yerine değerini yazarsam x değerini burada buluyorum. Buradaki tek hataları p+p 2-4q/2 deki tek hataları şu arkadaşlar negatif sayıları bilmiyorlar. Ama bunu yadırgamayın negatif sayıları milattan sonra 1100 lere kadar kimse bilmiyordu Ebul Vefa denilen bir Arap matematikçiye kadar kimse bilmiyordu. Şimdi ikinci dereceden buna benzer denklemleri çözüyorlar arkadaşlar. Üçüncü dereceden bazı denklemleri de çözüyorlar çünkü ellerinde bunun tablosu var bu formata çevirdiği anda işi bitmiş oluyor. Mesela işte ax+bx 2 +cx formatında bir şey varsa bunu a 2 yke çarpıp her tarafı b 3 bölerse işte y 3 +y 2 +d formatında bir şey elde ediyor o da az önceki tablette vardı. Burada işte y ve d yi böyle seçeriz. Sonra yukarıdaki tablete gidiyor d değerini buluyor. Sonra y değerini biliyorsanız a ve b değeri zaten bilindiği için x de biliyorsunuz ve soruyu çözmüş oluyorsunuz. O zaman buna benzer işte küplü dereceli ifadeleri de buluyorlar. Pi (π) sayısını biliyorlar. İlk önce 3 olarak alıyorlar daha sonra çok daha iyi bir hesap yapıyorlar yani onun karekökü cinsinden düşünüyorlar. Şimdi Pisagor Denklemine geçeyim yani konuşmayı sonuna doğru bu konuşmadaki asıl temalardan bir tanesi buydu. Dedik ki milattan önce 550 yılında yaşamış Pisagor ve işte ünlü bir bağlantısı var bende diyorum ki ondan tam 1.000 yıl önce aslında işte Babil de bunu biliyorlarmış. İşte İngiliz Kütüphanesi müzesindeki bir tane ifade diyor ki Bir kenarın uzunluğu 4 olan hipotenüsü 5 olan dik kenarın uzunluğu bilinmiyorsa bu nedir? diyor yani buna bir dikkatle baktığımızda ne yapmış oluyor Pisagor Bağlantısını biliyormuş daha da güzeli işte size gelen slaytlardaki resim. Evet şimdi buna biraz dikkatle baktığımız zaman şunu göreceğiz ifade tam olarak bu. Bu nedir arkadaşlar? 30 az önce gördük şu alttaki sayıda işte 2 ye denk gelen şu ifade 1,24,51,10 onu 30 la çarptığınız zamanda elde ettiğiniz köşegenin uzunluğu demek ki yani gerçekten de Pisagor Bağlantısını buluyorlar. Bu arada 1,24 ün ne kadar 2 ye yakın olduğunu görebiliriz hesaplamaları yaptıkları tam olan bu. Demek ki Pisagor Denklemini Pisagor dan çok çok daha önce biliyorlarmış bu her iki tablette görüldüğü gibi. Bunlar işte görünen tabletlerden bir tanesi burada da işte üçgenlerle ilgili yaptığı bir şey var çok uzatmayacağım. İşte sekantını filan bulunarak bir tane tablo yapıyorlar ve işte bir üçgenin işte iki kenarı varsa üçüncüsünü de otomatikman buradan buluyorlar. Evet, burada tablodan işte değerini daha önceden hesaplatmışlar. 8
Kesik koniyle de uğraşıyorlar bu arada biraz başarısız oluyorlar ve bu da sonuç arkadaşlar. Mezopotamya matematiğin ya da Babilliler deyince aklımızda kalması gereken şeyler Linear Denklemleri çözüyorlar işte toplama, çıkartma, çarpma her şey var. 0 dan bahsediyorlar ama 0 ı günümüz kullandığımız anlamda değil de sadece boşluk dolduruyor sayı yerini anlama anlamında kullanıyorlar. Karekökü hesaplıyorlar gayet iyi bir şekilde. Pi de (π) çok iyiler Geometride de biraz zayıflar. Geometri için biraz Mısır Matematiğine bakmak lazım. 9