KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

Transkript

1 KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

2 İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler Mutlak Değer Çarpanlara Ayırma Üslü Sayılar... 9 Köklü Sayılar Denklemler... 9 Sıralama... Oran - Orantı... 9 Denklem Kurma - Kesir Problemleri... 5 Yaş Problemleri... 8 İşçi - Havuz Problemleri... 0 Hareket Problemleri... Yüzde - Kâr - Zarar - Faiz Problemleri... Karışım Problemleri İşlem - Bağıntı ve Fonksiyon - Modüler Aritmetik Saat Problemleri Saymanın Temel İlkesi - Permütasyon - Kombinasyon... 5 Olasılık Kümeler İstatistik ve Grafikler Sayısal Mantık

3 Matematiğe Giriş SIRALAMA Aralarında >, <,, sembollerinden biri bulunan ifadelere, eşitsizlik denir. a > b ifadesi a büyüktür b diye okunur. a < b ifadesi a küçüktür b diye okunur. a b ifadesi a büyük veya eşittir b diye okunur. Bir çarpımın sonucu sıfır ise çarpanlardan en az biri sıfıra eşittir. a. b 0 ise a 0 veya b 0 olur. Bir çarpımın sonucu sıfır değilse çarpanlardan hiç biri sıfır olamaz. a. b 0 ise a 0 ve b 0 olur. a b ifadesi a küçük veya eşittir b diye okunur. a > b ifadesine de a ile b nin sıralanmış biçimi denir. ÖRNEK (x ). (x + ) 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 5 sayısı sayısından büyüktür. Buna göre, > yazılır. ÖRNEK 7 sayısı 5 sayısından küçüktür. Buna göre, 7 < 5 yazılır. x eşitsizliğini gerçekleyen doğal sayıların toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 0 x eşitsizliğinde x; küçük veya eşittir olacak şekilde doğal sayıları temsil eder olur. Cevap: E (x ). (x + ) 0 ise x 0 veya x + 0 x veya x olur. x in alabileceği değerler toplamı olur. Cevap: D SIRA SENDE Satranç kurallarına göre, bir fil tek hamlede, aynı renkteki kareler üzerinde çapraz olarak ve yönünü değiştirmeden mümkün olan en son kareye kadar gidebilir. Örneğin aşağıdaki şekilde C ile gösterilen fil tek hamlede, kendi bulunduğu kare dışında noktalarla belirtilen 9 farklı kareden birine gidebilir. A A' a 7 > 6 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 a 7 > 6 a > a > ten büyük olan en küçük tam sayı olur. Cevap: C C B B' Şekildeki satranç kartonu A köşesi A I ile, B köşesi B I ile çakışacak şekilde bir silindir haline getirilerek AB ya da A I B I kenarına gelen taşlara kurallara uygun olarak aynı yönde ilerleme olanağı verilmiştir. Bu durumda C fili tek hamlede, kendi bulunduğu kare dışında kaç farklı kareden birine gidebilir? CEVAP: 6

4 TEMEL KAVRAMLAR Matematiğin ilk eylemi sayı saymaktır. Belki de sayılara ilk ihtiyacı olan kişi koyunlarını otlatan bir çobandı. Sayı sistemi oluşmaya başladığında insanlar çok uzun bir süre sadece ve yi kullandılar. ve nin dışındaki her topluluğu "çok" kelimesi ile ifade etmişlerdir. Sümerce ve ile "kadın" ve erkek" aynı sembollerle gösterilmiştir. Çin ideogramlarında anlamı "erkek" olan şekilden üç tane olunca anlam "herkes", "ağaç" anlamındaki şekilden üç tane varsa anlam "orman" ve "kadın" demek olan ideogramlardan üç tane varsa anlam "dedikodu" olarak değişiyor. Örneğin; 7, bir rakam ve aynı zamanda sayıdır. 97 ise bir sayıdır, bir rakam değildir. DOĞAL SAYI: N {0,,,,,...} kümesinin elemanlarının her birine doğal sayı denir. Bu kümeden 0 çıkarılarak elde edilen kümeye sayma sayıları kümesi denir ve N + {,,,,...} biçiminde gösterilir. RAKAM: Sayıları göstermek için kullandığımız sembollere rakam denir. (Cep telefonunun tuşları üzerindeki sayılar.) {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları birer rakamdır. a, b, c birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, a + b + c toplamı en çok kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 8 a ve b doğal sayılar olmak üzere, a. b olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır? A) 0 B) 0 C) 5 D) 5 E) 0 Birbirinden farklı en büyük üç rakam için cevap tür. Cevap: C SAYI: Rakamların tek başına ya da birlikte belirttiği çokluğa sayı denir. Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam değildir. a. b Çarpım sabitken toplamın en küçük olması için sayılar birbirine yakın seçilir. a. b a 6 ve b için a + b en küçük değer olur. Çarpım sabitken toplamın en büyük olması için sayılar birbirinden uzak seçilir. a. b a ve b için a + b + 5 en büyük değer olur. Bu değerlerin toplamı olur. Cevap: D

5 Temel Kavramlar a ve b doğal sayılar olmak üzere, a + b 7 olduğuna göre, a. b çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 8 C) 9 D) 00 E) 0 Toplam sabitken çarpımın en büyük olması için sayılar birbirine yakın seçilir. a + b 7 a ve b için a. b. 8 en büyük değer olur. Cevap: A a, b, c doğal sayılar olmak üzere, a + b b + c olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) 5 E) 6 a, b, c sayma sayısı olduğuna göre, b 5 olmalıdır. b 5 için a olur. c + 5 c 6 c dir. a + b + c en küçük değer olur. Cevap: D SIRA SENDE ABCD ifadesi ABCD (A+B). (A+C). (A+D). (B+C). (B+D). (C+D) biçiminde tanımlanıyor. Örneğin, (+). (+). (+). (+). (+). (+) 0 Buna göre, A + B + C + D olduğuna göre, ABCD ifadesinin en büyük değeri kaç olur? CEVAP: 7000 a + b a + b b + c b + c a c a 0 ve c 0 Payda sıfır olamayacağı için, b + c 0 b seçilir. a + b + c en küçük değer olur. Cevap: B TAM SAYILAR Z {...,,,, 0,,,,...} kümesinin elemanlarının her birine bir tam sayı denir. Z + {,,,,...} kümesine pozitif tam sayılar kümesi denir. Z {...,,,, } kümesine negatif tam sayılar denir. a, b ve c birbirlerinden farklı sayma sayıları olmak üzere, a b c a + b olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 SIFIR doğal sayı tam sayı rakam çift sayı sıfır pozitif ya da negatif değildir.

6 ÖZEL TANIMLANMIŞ SAYILAR MÜKEMMEL SAYI Mükemmel sayıları Pisagor tanımlamıştır. Pisagor a göre, sayısal mükemmelik bir sayının bölenleri ile ilgilidir. Mükemmel sayının tanımını, bir soru tarzıyla inceleyelim. ARMSTRONG SAYISI (Kendilerine Hayran Sayılar) Pozitif bir tam sayının kendisinden küçük pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı sayının kendisine eşit oluyorsa o sayıya mükemmel sayı denir. Örneğin; 6 sayısının kendinden küçük pozitif tam sayı bölenleri olan, ve ün toplamı sayının kendisine eşit olduğu için 6 mükemmel sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi mükemmel sayıdır? A) 8 B) C) 8 D) E) 5 Üç basamaklı bir ABC sayısı için A + B + C ABC eşitliğini sağlayan sayılara Armstrong (Narsistik) Sayısı denir. Örneğin, eşitliği sağlandığı için 07 bir Armstrong sayısıdır. B0 sayısı bir Armstrong sayısı olduğuna göre, B rakamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 Tek tek şıkları verilen tanıma göre inceleyelim. A) 8 in bölenleri,,, 6, B) ün bölenleri,,,, 6, 8, B0 sayısı üçyüzlü bir sayı olduğu için küpü üçyüzlü olacak şekilde şıkları deneyelim. B 7 olsun olduğu için B 7 olmalıdır. Cevap: E C) 8 in bölenleri,,, 7, Bu nedenle 8 mükemmel sayıdır. Cevap: C Pisagor dan yaklaşık 00 yıl sonra Öklid bu sayıların p asal sayı olmak üzere, P. ( P ) formülüyle genelleştirilebileceğini söylemiştir. P için. ( ). 6 P için. ( ). 7 8 P 5 için 5. ( 5 ) P 7 için 7. ( 7 ) KAPREKAR SAYILARI Bu sayılar, 99 yılında Hintli matematikçi Kaprekar tarafından tanımlanmıştır. n basamaklı bir k Kaprekar sayısının karesi alınıp sağdaki n basamağı solda kalan n basamağa eklendiğinde sonuç yine k sayısını verir. k 55 olsun k sağdan iki basamak 5 ve soldan iki basamak olan 0 un toplamı k olduğu için 55 bir Kaprekar sayısıdır., 9, 5, 55, 99, 70, 999,, 78, 879 sayıları da birer Kaprekar sayısıdır. k 70 k k 7

7 EBOB - EKOK İki doğal sayının EBOB u 6 dır. Bu sayıların oranı olduğuna göre, küçük sayı kaçtır? A) B) 8 C) D) 0 E) 6 a b.. 5 olduğuna göre, EBOB (a, b) kaçtır? A) 60 B) 0 C) 00 D) 80 E) 0 a b ise a k ve b k olur. EBOB 6 olduğu için k ve k sayıları 6 nın katı olmalıdır. k 6 için a.6 8 ve b.6 olur. Küçük sayı 8 olur. Cevap: B Tabanları asal iken EBOB en küçük üslü sayıların çarpımıdır. ve ten küçük olan ü ve ten küçük olan yi 5 5 ve 5 ten küçük olan 5 i çarparak verilen sayıların EBOB u hesaplanır. EBOB (..5 5,..5) Cevap: A Rasyonel sayıların EBOB unu bulmak için sayıların paydaları eşitlenir ve payların EBOB u hesaplanır. a bir pozitif tam sayı olmak üzere, 70 ve a 00 a ifadelerini tam sayı yapan en büyük a değeri kaçtır? A) B) 8 C) D) 0 E) 6, 5, sayılarını ayrı ayrı böldüğünde sonucu tam sayı yapan en büyük sayı 9 6 kaçtır? A) 6 B) C) 8 D) 0 EBOB, 5, EBOB 7, 0, f 9 6 p b 6 6 ( 9) ( ) ( 6) EBOB ( 7, 0, 6) l E) 6 Cevap: E 70 ve 00 sayılarını bölen en büyük sayı istenen a değeridir EBOB (70, 00) olur. Cevap: D

8 RASYONEL SAYILAR KESİR a ve b tam sayılar ve b 0 olmak üzere, b a ifadesine kesir denir. a pay b payda ÖRNEK,, 5,,, 0, sayılarının her biri birer kesirdir. BİR KESRİN GENİŞLETİLMESİ Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tam sayı ile çarpılırsa kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi denir. ÖRNEK kesrinin pay ve paydası 5 ile çarpılarak kesrine genişletilir. 0 SAYI 0 (SAYI 0) BİR KESRİN SADELEŞTİRİLMESİ Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tam sayıyla bölünürse kesir sadeleştirilmiş olur. SAYI 0 (TANIMSIZ) (Payda sıfır olamaz.) RASYONEL SAYI Kesirlerin belirttiği sayılara rasyonel sayı denir ve Q ile gösterilir. Q a % ab, d Z ve b! 0/ b ÖRNEK 6. kesrinin pay ve paydası e bölünürse 9. kesri elde edilir ÖRNEK, 6, 8, 0, kesirleri birer rasyonel sayıdır Her tam sayı paydası olan rasyonel sayıdır. a kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle b elde edilen kesirler a ye denk kesirlerdir. b Kesir çizgisinin önündeki ( ) işareti pay ya da paydaya yazılabilir. a a a b b b ÖRNEK kesirleri denktir ve bu eşitlikte 0 yazılabilecek tüm kesirlerin değeri tir. 5

9 Basit Eşitsizlikler EŞİTSİZLİKTE İŞARET TABLOSU x'li ifadeler çarpılıp, bölünüyorsa, > 0, < 0 kullanılıyorsa eşitsizlik işaret tablosu yapılarak çözülür. < 0 veya > 0 ise ( ) (x + ). ( x) 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? 0 veya 0 ise [ ] A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Tablo yapılırken aşağıdaki aşamalar izlenir. i. Önce çarpanlar sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. x + 0 x 0 x x ii. Kökler küçükten büyüğe doğru sıralanarak bölgelere ayrılır. + ( x+ ).( x ) < 0 ( x+ ).( x+ 5) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) i. x + 0 x 0 x + 0 x x x x x 5 iii. En büyük dereceli x'li ifadelerin önündeki işaretler çarpılarak en sağa yazılır. + x x iv. Her bölgede işaret değişir. ii. (x+).( x ) ( x+).(x+5) < (x+).( x ) ( x+).(x+5) + (x + ). ( x) 0 + x + + x x + + x x,,, 0,,,, olmak üzere, 8 tane tam sayı vardır. Cevap: D Ç.K. ( 5, ) (, ) tam sayı yok, olur. Cevap: B 75

10 KÖKLÜ SAYILAR Tanım: n, 'den büyük doğal sayı olmak üzere, x n a denklemini sağlayan x sayısına a'nın n. dereceden kökü denir ve n x a şeklinde gösterilir. KÖKLÜ İFADELER a karekök a (kök derecesi ise yazılmaz.) a küp kök a a. dereceden kök a x 8 ifadesi gerçel sayı belirttiğine göre, x'in en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 5 İfadenin gerçel sayı olabilmesi için 0 şartı sağlanmalıdır. x 8 0 x 8 x 8 x,6... x'in en küçük tam sayı değeri olur. Cevap: C şeklinde okunur. n a ifadesinin gerçel sayı belirtebilmesi için; i. n tek sayı ise her durumda ifade gerçel sayı belirtir yani a negatif, sıfır ya da pozitif olabilir. ii. n çift sayı ise a 0 olmalıdır yani a negatif olamaz. A x + x 6 x ifadesi gerçel sayı belirttiğine göre, A kaçtır? A) B) C) 5 D) 8 E) 5,, 0,, 6 6 ( ) 7 sayılarının her biri gerçel sayıdır. 6, 8, 8, 8 8 sayıları, kök derecesi çift iken kök içi negatif olduğu için gerçel sayı belirtmez. Köklü ifadelerin gerçel sayı olabilmesi için kök derecesinin çift sayı olduğu ifadelerde kök içi 0 olmalıdır. n 0 İfadenin gerçel sayı belirtmesi için çift dereceli köklerin içi x 0 olmalıdır. x x 0 x... x R x 0 x... ve no'lu eşitsizliklerden x olur. x için A sayısı; A x + x 6 x Cevap: B 65

11 Köklü Sayılar İÇ İÇE KÖKLER m pozitif tam sayı ve a 0 olmak üzere, ^ m ah n m a n n m nm. a a n m nm. m a. b a. b ^ h 9 9 ^ 9 h 7 n m k nmk.. mk. k a b c a. b. c ÖRNEKLER KÖK DERECESİNİN SADELEŞTİRİLMESİ VEYA GENİŞLETİLMESİ c 0 n a m nc. a mc. Kök derecesi hangi sayı ile çarpılıyorsa o sayı içerdeki sayının üssü ile de çarpılır n a m n c m a c Kök derecesi hangi sayı ile bölünüyorsa içerdeki sayının üssü de o sayı ile bölünür. ÖRNEKLER 8 8 KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM ÇARPMA - BÖLME i. Kök dereceleri aynı olan köklü sayıların içindeki ifadeler tek kök altında çarpılıp, bölünebilir KÖK DIŞINDAKİ İFADEYİ KÖK İÇİNE ALMA Kök dışında çarpım durumunda bulunan pozitif bir ifade kök içine alınırken, ifadenin üssü kök derecesi ile çarpılır. a. n n n b a. b m n n mn. a. b a. b 0. 7 işleminin sonucu kaçtır? 0 A) B) C) D) 6 E) 0 ÖRNEKLER Kök dereceleri aynı olduğu için sayılar tek kök altında çarpılıp bölünür olur. 0 0 Cevap: B 67

12 DENKLEM KURMA - KESİR PROBLEMLERİ PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ Problem çözme; soruyu anlama, çözüm yolunu oluşturma ve soruyu çözme olarak üç aşamada gerçekleşir. Buna göre, problemleri çözerken;. Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.. Verilenler matematik diline çevrilir.. Denklem kurma metodları ile matematik diline çevrilir.. Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir. Problemlerde toplamın verildiği sorularda iki bilinmeyen kullanılır ya da kolaylık olması açısından tek bilinmeyenle çözüm yapılır. Örneğin; "Umut ile Ceren'in yaşları toplamı 7'dir", şeklindeki bir ifadeyi Umut'un yaşı x ve Ceren'in yaşı y olmak üzere x + y 7 şeklinde ifade edebiliriz. Ya da kolaylık olması açısından Umut'un yaşını x olarak alıp Ceren'in yaşını 7 x olarak ifade ederiz. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.. Bilinmeyen sayı x olmak üzere; Bir sayının 5 fazlası: x + 5 Bir sayının eksiği: x Bir sayının ü: x Bir sayının ünün x i: x $ $ Bir sayının 7 katı: 7.x Bir sayının katının fazlası: x + Bir sayının fazlasının katı: (x + ). x + 6 Bir sayının karesinin 7 fazlası: x + 7 Bir sayının 7 fazlasının karesi: (x + 7) x + x + 9 biçiminde ifade edilir. 8 katının 8 eksiği 0 olan sayı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. İki bilinmeyenli ifadelerde ise bilinmeyenler x ve y olsun; İki sayının farkı: x y İki sayının toplamı: x + y İki sayının toplamının katı: (x + y). x + y İki sayının farkının x y i: 5 5 İki sayının kareleri farkı x y (x y). (x + y) İki sayının farkının karesi: (x y) x xy + y İki sayının karelerinin toplamı: x + y Problemi matematik diline çevirirken problemde anlatılan sıraya göre hareket etmeliyiz. Sayı x olsun. Sayının 8 katı: 8x 8 eksiği: 8x 8 olur. Buradan 8x 8 0 denklemi elde edilir. 8x 8 x 6 olur. Cevap: B 5

13 Denklem Kurma - Kesir Problemleri Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her çarpışında bir önceki düşüş yüksekliğinin i 8 kadar yükseliyor. Top yere ikinci çarpışından sonra 7 cm yükseldiğine göre, kaç cm yükseklikten bırakılmıştır? A) 60 B) 68 C) 7 D) 80 E) cm çarpış. çarpış. çarpış x cm olsun x. 8 Toplam yol cm 0,9 metre Cevap: B x çarpış. çarpış 9x 7 6 9x 6. 7 x 9 cmolur. Ercüment parasının ü ile 7 gömlek ve 6 kravat, kalan parasıyla da gömlek ve kravat alabiliyor. Buna göre, bir gömleğin fiyatı bir kravatın fiyatının kaç katıdır? Pratik Yol: Bu tarz sorularda ilk yüksekliğin yanında kesri topun yere çarpma sayısı kadar çarparsak son yüksekliği buluruz. x.. 7 ilk 8 8 son yükseklik top kez yükseklik sektiği için 6 x 7. 9 cm Cevap: E 500 cm yükseklikten bırakılan bir top yere her çarpısında bir önceki düşüş yüksekliğinin i 5 kadar yükseliyor. Top yere üçüncü kez çarpıp yükseldiğinde toplam kaç metre yol gitmiş olur? A) 0 B) 0,9 C),8 D) E),6 A) B) C) 5 D) 6 E) 7 Para x olsun x. x para ile 7 gömlek ve 6 kravat x 7g + 6k... I Kalan parası x x x olur x g + k... II I ve II nolu denklemler ortak çözülürse x 7g + 6k / x g + k x 6g + k 7g + 6k 6g + k g 6k Gömleğin fiyatı, kravatın fiyatının 6 katıdır. Cevap: D 66

14 Sayısal Mantık.. Yukarıdaki örüntüye göre, A olduğuna göre, A sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 6 B) 9 C) 6 D) 8 E) Sierpinski fraktalı adı verilen aşağıdaki şekil eşkenar üçgenlerden oluşmaktadır. A B C ABC üçgeninin bir kenar uzunluğu birim olduğuna göre, siyah üçgenlerin alanları toplamı kaç br dir? A) 5 B) 7 C) 8 D) 08 E) Dikkat edilirse n : rakamının adedi olmak üzere rakamlar toplamı n dir. A sayısında 8 adet olduğu için n 8 dir. A sayısının rakamları toplamı n 8 6 olur. Cevap: C Şekil eşkenar üçgenlerden oluştuğu için üçgenin her bir kenarı 8 eşit parçaya bölünmüştür. 8 br A B C. adım. adım. adım. adım Yukarıda verilen örüntü, aynı kurala göre devam ettirildiğinde 97. adımdaki çemberin içine çizilen çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 9 B) 9 C) 9 D) 9 E) 95. adımda kenar vardır.. +. adımda 5 kenar vardır adımda 7 kenar vardır Dikkat edilirse n : adım sayısı olmak üzere kenar sayısı n + dir. 97. adımda kenar olur. Eşkenar üçgenin alanı bir kenarı a olmak üzere a br dir. Bir tane siyah üçgenin alanı br Şekilde 7 tane siyah üçgen olduğu için siyah üçgenlerin alanları toplamı br olur. Cevap: D Cevap: E 60