OLSILIK opulasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 7 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim ş göstermiş ş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, ğ ir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???
Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir tek çıktı şans değişkeni oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. asit Olay: ir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması. 3 Temel Tanımlar ve Kavramlar-II Olay: irden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması. Örnek Uzayı: ir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S { x; x,,3,4,5,6 } 4
Temel Tanımlar ve Kavramlar-III yrık Olay: Eğer ve gibi iki olay aynı anda geçekleşemiyor ise bu olaylara ayrıkbirbirini engelleyen olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır. Zarın atılması sonucu ve tek sayı gelmesi olayları ayrık olaylar değildirler. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. Eşit Olasılıklı Olaylar: ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: ir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. 5 Olasılığın İki Temel Kuralı; Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile arasındadır. ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı e eşittir. DİKKT!!!! Hiç bir olayın OLSILIĞI den büyük olamaz!!!! ir olayın ortaya çıkma olasılığı; şeklinde gösterilir. 6 3
Olasılığın Gelişim şamaları Klasik riori Olasılık Frekans osteriori Olasılığı ksiyom Olasılığı NOT:u sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. 7 Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı ns adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan l n adedi di olayının özelliğinesahipise nın olasılığı: n / ns kesri ile elde edilir Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur. 8 4
Örnek: ir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? : Çekilen bir bilyenin sarı olması ns: Örnek uzayı eleman sayısı 5 n: Örnek uzayındaki elemanı sayısı 5 n 5 n S 5 3 9 Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, d Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, Tümdengelim çıkarımları yapılamadığında klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından dolayı yetersizdir. 0 5
Ne Yapılabilir? raştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir. Frekans Olasılığı raştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen olayı n defa gözlenmiş ise olayının göreli frekansı yaklaşık olasılığı: n / n olarak bulunur. 6
Örnek: ir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: ş S{sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre eşit olasılıklı olaylar p0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak p nh / n olasılığını hesaplamaktır. 3 Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. u duruma kararlılık özelliği adı verilir. ir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır: p lim n n / n 4 7
Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir. ynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? 5 ksiyom Olasılığı Nedir? Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. u teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır. Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda teorik olarak aynı koşullarda uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. ununla birlikte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında KSİYOM OLSILIĞI yardımcı olur. 6 8
enzer Koşullarda Tekrarlı Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Türkiye nin hafta içinde Kuzay Irağa sınır ötesi operasyon düzenleme olasılığı nedir? Çok hoşlandığınız bir arkadaşınızla çıkma olasılığı nedir? Fenerbahçe - Galatasaray maçının 6-0 bitmesi olasılığı nedir? 7 ksiyom : ksiyomlar örnek uzayı S deki her olayı için 0 olan bir gerçel sayıdır. ksiyom : S { 0 } ksiyom 3: Eğer S,S,...Olaylarının her biri S deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle S i S j tüm i j için ise, S S...S +S +... 8 9
Sadece ksiyomlar Yeterli mi? HYIR u aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYON ya da bir KURL gereksinim vardır 9 u fonksiyonlar İlgilenilen anakütlenin Tanımladığı ÖRNEK UZYIN Göre Farklılık Gösterir. Sık karşılaşılanş ş üç farklı örnek uzayı; Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı sayılabilir sonlu Genel kesikli örnek uzayı sayılabilir sonsuz Sürekli örnek uzayı sayılamaz sonsuz olarak ifade edilir. 0 0
x : herhangi bir gün içinde yağmur yağması x 0 yağmur yağmaz x yağmur yağar Örnek Uzayı; S { x / 0, } veya S { x / Yağmursuz ğ, Yağmurlu ğ } olarak belirlenir ve sayılabilir sonlu bir örnek uzayıdır. x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S { x /,,3,.. } olarak belirlenir l i ve sayılabilir sonsuz bir örnek uzayıdır. kesikli şans değişkeni x: öğrencilerin boyları Örnek Uzayı; S { x / 50 < x < 00 } olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek uzayıdır. sürekli şans değişkeni
azı Temel Olasılık ksiyomları. S. 0 3. olayının tümleyeni olarak gösterilir. 4. ve herhangi iki olay olmak üzere; U + 5. ve ayrık iki olay ise; U + 3 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını elirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların l geçerli olduğu ğ durumlarda: d Örnek uzayının elemansayısı, İlgilenilen olayın elemansayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; Toplama Yöntemi Çarpma Yöntemi 4
Toplama Yöntemi ir olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise; veya olayı n + m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: İstanbul dan İzmir e farklı tren seferi, 4 farklı havayolua firması, 40 farklı otobüs firması ve adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul dan İzmir e kaç farklı şekilde gidilir? +4+40+47 5 Çarpma Yöntemi ir olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise; ve olayı n*mfarklı şekilde oluşabilir. Örnek: ir iskambil destesinden çekilen iki kartın birinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 3 * 3 69 NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır. 6 3
k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; k r olarak hesaplanır. Örnek: ir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 3 6 adettir. Örnek uzayının eleman sayısı 6 dır. 7 Örnek Uzayı ve Olay Sayısının üyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyükük olduğu ğ durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; ermütasyon Kombinasyon 8 4
ermütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir? n n- n-... n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı: nn-n-...n! n n n! 9 n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı..olarak ifade edilir. n x Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdırveşu şekilde hesaplanır: n x n! n x! Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli 30 5
Örnek: 8atletinkatıldığı 00 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir? 8! 8 3 8*7*6 336 8 3! Örnek:,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? 6! 6 4 6*5* 4*3 360 6 4! 6 5 4 3 360 3 Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı C n x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. u sayı şu şekilde hesaplanır: C x n n! n x!xx! Kullanıldığı durumlar; İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz 3 6
Örnek: eş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir? 5! 5*4*3* 5 3!3! *3* 5 C3 0 Örnek: 0 bay ve 5 bayan arasından bay ve bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur? 0! 0*9 0 C 45 0!! 5! 5 C 5 5!! 0 bay arasından bay 5 bayan arasından bayan Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 5 farklı şekilde 33 oluşturulur. Örnek: 0 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme iktisat, 3 işletme iktisat C C C C C C C C C 59 0,6 8568 0 5 8 0 0 4 8 0 3 8 + + 8 5 8 5 8 Örnek: li ve Veli isimli iki arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna li başlıyor. Zar veya gelirse oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırası Veliye geçiyor. li nin bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz. li nin oyunu kazanma olasılığı p olsun, li veya atar oyunu kazanır, olasılık :/6 3,4 ve 5 atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: 3/6p İlk atışta 6 atar oyun veliye geçer ve veli oyunu kaybeder olasılık /6-p p /6 + 3/6p + /6-p 5 p3/4 34 7
ğaç Diyagramı Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymakk içini kullanılır. l 35 Örnek: li ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz. Olası Durumlar;,CCC C,CCC C,CCC CCC,C CC,CCC CC,CCC CCC,CC CCC,CC CC,CCC CCC,CC 0 D E T 36 8
Şartlı Olasılık ve gibi iki olaydan olayının gerçekleştiği bilindiği durumda olayının gerçekleşmesi olasılığına olayının şartlı olasılığı denir. / ile gösterilir. / nın gerçekleştiği bilindiğinde nin ortaya çıkma olasılığı; / /. /. 37 Örnek: ir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70 i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a ir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b ir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma T 0,70 S 0,35 a T/S0,40 T S? T S T/S S T S T/S *S 0,40*0,35 0,4 b T U S T + S - T S 0,70 + 0,35-0,4 0,9 38 9
0 Şartlı Olasılıkların ilindiği Durumlarda Tek ir Olayın Olasılığının ulunması şağıdaki şekilde olayının birbiriyle ayrık olan 5farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür. 5 39 3 4 olayı her bir olayı ile kesişimleri cinsinden ifade edildiğinde;birbirini engelleyen olayların birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre... 5 + + +. / i i i 40 / / / / / 5 5 4 4 3 3 + + + +
Örnek: ir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.. Fabrikanın üretimi. ve 3. fabrikaların üretiminin katıdır. yrıca. ve. fabrikalar %, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı? i Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi + 3 + + 3 olduğundan; 050 0,50 3 0,5 olarak elde edilir. / + / + / 3 3 0.00.5+0.00.5+0.040.50,05 Depodan seçilen 000 ürünün 5 tanesinin hatalıdır. 4 ayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında ayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır. i / / i i i k / i i i 4
Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; / / / + / + / 3 3 0.00.5 / 0,40 0.00.5 + 0.00. 5 + 0.040. 5 43 ağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. /. /. ve olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle olayının meydana gelme olasılığı olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise; / ve / olur. Sonuç olarak ve olayları bağımsız iseler. eşitliği elde edilir. ynı şekilde.iseve 44 olayları bağımsızdır denir.
Örnek: li ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,65ve0,40olarakverilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir? li nin hedefi vurması 0,65 C Can ın hedefi vurması C 0,40 UC? U C + C C li ile Can nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan; C. C 0,65 * 0,40 0,6 U C 0,65 + 0,40 0,6 0,79 45 Kesikli ve Sürekli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları eklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 46 3
Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve x,x,..,x n bu tesadüfi değişkenin alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi bir x değerini alma olasılığı {X r{xx} şeklinde gösterilir. u olasılık X in dağılım ya da olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. ir dağılımın kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için. x 0,tümx değerleri için. x Tümx şartlarını sağlaması gerekir. 47 Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst yüze gelen sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin olasılık fonksiyonunu elde ediniz. S { x /,,3,4,5,6 } X x i /6 X 3 4 5 6 X x i / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 X 6 6 6 x 6 6 6 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 d. d İki farklı şekilde ifade edilen x şans değişkeninin dağılımına bakıldığında X i 0 ve tüm x değerleri için Xx şartları sağlandığı görülmekte ve Xx in bir olasılık fonksiyonu olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır. 48 4
eklenen Değer ir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans değişkeninin beklenen değeridir. ğ X şans değişkeninin beklenen değeri; ile gösterilir. Ex ir şans değişkenin beklenen değeri o şans değişkeninin ortalamasına eşittir. Exµ 49 eklenen Değer Kullanarak Varyansın Elde Edilmesi Ex :xşans değişkeninin karesinin beklenen değeri Var x E x [ E x ] σ E x [ E x ] Var x E x μ 50 5
Kesikli Şans Değişkenleri İçin eklenen Değer ve Varyans E x x x Tümx Tümx i x i E x x i x i Var Var x x E x [ E x ] x i xi tüm x tüm x x x i i 5 Örnek: ir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir. X 0 3 4 5 6 7 8 X 0,0 0,08 0,5 0,9 0,4 0,7 0,0 0,04 0,0 u dağılışa ğ ş göre bayinin; a 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz X 6 + X 7 + X 8 0,5 b Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız. x x i EX 00,0+0,08+0,5+.+80,0 3,7 ayinin 00 günde 37 araba satışı yapması beklenir. c Satışların varyansını bulunuz. x x i EX 0 0,0+ 0,08+.+ 8 0,0 6,68 VarX EX - [EX] 6,68-3,7,84 5 6
Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk ğ fonksiyonu, veya sadece yoğunluk fonksiyonu denir. Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu fx ile gösterilir. Herhangi bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için; X in tanım aralığı için fx i 0, x dx şartlarını sağlaması gereklidir. tüm x f 53 Sürekli Şans Değişkenleri İçin Olasılık Sürekli bir değişkenin tanımlı olduğu aralıkta sonsuz sayıda değer vardır. Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma olasılığı olur. 0 u sebepten dolayı, sürekli değişkenlere ait olasılık fonksiyonları, kesikli değişkenlerin aksine bu değişkenin belirli bir değeri alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez. u fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine belirli bir aralıkta değer alma olasılığının hesaplanması yoluna gidilir. Sürekli bir x şans değişkenin a ile b arasında olma olasılığı; b a < x < b f x dx şeklinde hesaplanır. a 54 7
Örnek: fx fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun 3 x, x f x 7 0, diger x' ler icin a fx olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur? f tüm x 3 7 x dx x dx x 7 ise fx olasılık yoğunluk fonksiyonudur. 3 olduğundan fx olasılık yoğunluk fonksiyonudur. b,5 < x <,8?, 83,5 < x <,8 x, 57 8 7 7 3 x dx 7, 8, 5,8 7,5 7 0,04 55 Sürekli Şans Değişkenleri İçin eklenen Değer ve Varyans E x x f x dx E Var x x x f x tüm x dx x f x dx tüm x tüm x x f x dx 56 8