DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki katsayıların kesin olmadığı ve daha sonra ki dönemlerde değişime uğrayarak optimal çözümü ne derece etkileyeceği incelenir. Bu değişiklik sonucunda optimal çözümde bir farklılık olacağı gözleniyorsa, problemin yeniden çözülmesi gerekmektedir. Duyarlılık analizinde, amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı katsayılarındaki ve kaynak değerlerindeki değer değişiklikleri ile yeni bir değişken ve yeni bir kısıt eklenmesi halinde optimal çözümdeki değişiklik incelenir. Normal olarak düşünüldüğünde, kaynaklarda veya kısıtlardaki her hangi bir değişikliğin etkilerini, doğrusal programlama modelini yeniden çözerek bulmak mümkündür. Ancak, bu şekilde yeniden çözüm genellikle gereksizdir. Çünkü aynı temel değişkenli farklı bir optimal çözüme ulaşmak mümkündür. İşte duyarlılık analizi yeniden çözüme gitmeden bu gibi değişikliğin etkisini optimal çözüm tablosundan belirlemeye çalışır.
Kısaca Duyarlılık Analizinde; 1- Modeldeki amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılardaki katsayıların değişmesinin 2- Kaynak değerlerindeki değişimin etki ve sonuçları incelenir. Duyarlılık analizi; model parametrelerindeki yapılacak bu değişikliklerin; a-) etkisini, b-) etkinin yönünü c-) değişim aralığını belirlemede yardımcı olmaktadır.
Duyarlılık analizini aşağıdaki gibi 4 grupta toplamak mümkündür. Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi Amaç fonksiyonu katsayılarının (Ci) duyarlılık analizi çözüme giren temel değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayılarının D.A. çözüme girmeyen karar değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayılarının D.A. Yeni bir değişkenin eklenmesinin D.A.
1-) Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi Bir doğrusal programlama modelindeki kısıtlayıcı denklemlerin sağ taraf değerlerindeki her hangi bir değişikliğin amaç fonksiyonu ve çözüm kombinasyonuna olan etkisinin belirlenmesi işlemidir. Simpleks yöntem sonucunda elde edilen optimal çözüm tablosundaki her bir değerin bir anlamı bulunmaktadır. Özellikle indeks satırındaki değerler çok önemlidir. Bu değerler; 1. İndirgenmiş maliyet 2. Gölge fiyat
Sonuç Simpleks Tablosu: Duyarlılık Analizi: İndirgenmiş maliyet Gölge fiyat=fırsat maliyeti
İndirgenmiş maliyet : Yapısal değişkenlerin indeks satırındaki değerleridir. Bu değerler, çözüme girmeyen karar değişkenlerinin çözüme girebilmesi için katsayılarında yapılması gereken minimum değişikliği göstermektedir. Bu konuyu aşağıdaki örnekle açıklamaya çalışalım: Z max= 5X 1 +X 2 +10X 3 X 1 +X 3 100 X 2 1 X 1, X 2, X 3 0
İndirgenmiş Maliyet: Öncelikle sonuç simpleks tablosuna bakalım: İndeks satırında X 1 temel değişkeni altında yer alan -5 değeri indirgenmiş maliyet değerini göstermektedir. Yani, X 1 değişkeninden 1 birimlik üretim yapılması durumunda amaç fonksiyonunda meydana gelecek değişim -5 kadardır. Şöyleki: X 1 =0 X 2 =1 X 3 = 100 bu durumda; Zmax= 0x5+1x1+10x100 = 1001 1 Birim X 1 den üretilmesi yani X 1 in çözüme girmesi durumunda Zmax -5 azalacak. Zmax=1001-5 = 996 (yeni Zmax değeri). Peki bu değer nasıl hesaplandı: Çözüme girmeyen değişken olan X 1 sütununda X 3 değişkeni karşısında yer alan 1 değeri, X 1 in çözüme girmesi durumunda X 3 değişkeninde meydana gelecek azalmayı göstermektedir. Yani X 3 =100 idi. Yeni X 3 = 100-1 = 99 Zmax=1x5+1x1+10x99 = 996
Gölge fiyat : Aylak ve yapay değişkenlerin indeks satırındaki değerleri, ekonomik anlamda gölge fiyatları veya fırsat maliyetlerini göstermektedir. Eğer kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu değişimin amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar değişecektir. ve = B+1 B-1 B+1 B-1 Zmax + - - + Zmin - + + -
1-) Zmax şeklindeki bir amaç fonksiyonunda; a) veya = olması durumunda - STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar. - STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır. b) olması durumunda - STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır. - STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar. 2-) Zmin şeklindeki bir amaç fonksiyonunda; a) veya = olması durumunda - STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır. - STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar. b) olması durumunda - STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar. - STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır.
Örnek: Z max= 5X 1 +X 2 +10X 3 X 1 +X 3 100 X 2 1 Z max= 5x0+1x1+10x100=1001 X 1 +X 3 100 şeklindeki kısıtlayıcı koşulu X 1 +X 3 101 haline dönüştürürsek; Zmax=1001 olan değer, birinci kısıtlayıcı koşula ait yapay değişkenin altında yer alan gölge değer kadar değişir. Burada amaç fonksiyonu Zmax ve işaret olduğundan, amaç fonksiyonu değeri artacaktır. Z max= 1001+10 = 1011 olur. Bunuda X 3 değişkeninin katsayısındaki +1 lik değişme ile sağlamaktadır.
Amaç fonksiyonu: Z min = 95x 1 +80x 2 +35x 3 Kısıtlar: 228x 1 +210x 2 +144x 3 600.000 228x 1 +210x 2 +144x 3 850.000 x 1 1500 x 2 1440 x 3 1260
2-) Amaç Fonksiyonu katsayılarının duyarlılık analizi a) Çözüme girmeyen karar değişkenlerinin duyarlılık analizi Eğer bir değişken çözüme girmemiş ise, bu değişkenin amaç denklemindeki Katsayısı yeterli büyüklükte değil demektir. Dolayısıyla bu katsayının sonsuza kadar azaltılması sonucu etkilemeyecektir. Peki nereye kadar arttırılabilir? Bu sorunun cevabı da sonuç simpleks tablosundaki indeks satırında çözüme girmeyen değişkenin altındaki değer kadardır. Nasıl Hesaplanır: Örnek tabloda çözüme girmeyen karar değişkeni X 1 dir. Yani X 1 karar değişkeninin amaç fonksiyonundaki katsayısı (Cj) olan 5 değeri bu karar değişkeninin çözüme girebilmesi için yeterli büyüklükte değildir. Yani bu değerin daha da azaltılması durumunda X 1 karar değişkeni yine çözüme girmeyecektir. Dolayısıyla da optimal çözüm değişmeyecektir. Ne kadar arttırılabilir: İndeks satırında X1 karar değişkeni altında yer alan (-5) değeri kadar değişebilir. Bu da: Cj-Zj=-5 5-Zj=-5 Zj=10 olarak hesaplanır. Bunun anlamı; X1 kadar değişkeninin katsayısı en fazla 10 olabilir. Yani katsayı 10 dan küçük olduğu sürece optimal çözüm değişmez. Kısaca en fazla 5 birim arttırılabilir.
b) Çözüme giren karar değişkenlerinin duyarlılık analizi Optimal çözümün geçerli olduğu amaç denkleminin katsayılarının maksimum ve minimum sınırlarının bulunmasıdır. Örnekte çözüme giren karar değişkenleri X 2 ve X 3 tür. Yani bu iki karar değişkenin optimal çözümü değiştirmeden değişebileceği maksimum ve minimum sınırların belirlenmesi gerekmektedir.
3-) Yeni bir karar değişkeninin eklenmesi Bu gibi durumlarda yeni bir karar değişkeninin eklenmesiyle optimal çözümün etkilenip etkilenmediğinin belirlenmesi gerekir. Bunun için de yeni eklenecek karar değişkeninin katsayısının hesaplanması gerekir. açıklayalım: Bunu bir örnekle Örnek: Bir firma ticari ve bilimsel olmak üzere 2 farklı modelde hesap makinası üretmek istemektedir. Her bir ticari hesap makinası için 4 diyot ve 2 digital ekran, bilimsel hesap makinası için de 2 diyot ve 4 digital ekrana ihtiyç vardır. Toplam diyot miktarı 600 ve digital ekran miktarı ise 480 dir. Ticari hesap makinasının net karı 8 $, bilimsel hesap makinasının net karı ise 6 $ dır. Karı maksimum yapan üretim modelini kurunuz.
Z max= 8X 1 +6X 2 4X 1 +2X 2 600 2X 1 +4X 2 480 Z max= 8X 1 +6X 2 Z max= 8x120 +6x60 = 1320 Bu durumda firma, 2 diyot ve 3 digital ekran kullanan net karı 6,5$ olan genel amaçlı yeni bir hesap makinası üretmek istemektedir. Firma bu ürünü üretmek için karar verme aşamasındadır. Bu yeni ürünün rasyonel olup olmadığını belirleyelim. Bu durumda gölge fiyatlar (fırsat maliyetleri) dikkate alınacaktır. 1. kısıtlayıcı koşul diyot kısıtı olduğundan : 2x(1,6667)= 3,33 $ 2. Kısıtlayıcı koşul digital ekran kısıtı olduğundan : 3x(0,6667)= 2 $ Toplam yeni maliyet = 5,33 $ Yeni hesap makinasının net karı 6,5 $ idi: 6,5 5,33 = 1,17$ bu değer pozitif olduğundan yeni model hesap makinasının üretimi karlı olacaktır.
Örnek: Z max= 6X 1 +7X 2 +10X 3 0.2X 1 +0.3 X 2 +0.4X 3 320 0.6X 1 +0.5 X 2 +0.4X 3 400 0.8X 3 160 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 6480.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 2.400000 X2 640.000000 0.000000 X3 200.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 48.000000 0.000000 3) 0.000000 14.000000 4) 0.000000 5.500000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 2.400000 INFINITY X2 7.000000 5.500000 2.000000 X3 10.000000 INFINITY 4.400000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 320.000000 INFINITY 48.000000 3 400.000000 80.000000 320.000000 4 160.000000 240.000000 160.000000
LINDO Çözüm Tablosunun Yorumlanması: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 6480.000 Amaç Fonksiyonu Değeri VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 2.400000 X2 640.000000 0.000000 X3 200.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 48.000000 0.000000 3) 0.000000 14.000000 4) 0.000000 5.500000 NO. ITERATIONS= 2 İndirgenmiş Maliyet Değerleri Karar Değişkenlerinin Çözüm Değerleri Gölge Fiyatı/Fırsat Maliyeti Aylak/Atık Kapasite RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 2.400000 INFINITY X2 7.000000 5.500000 2.000000 X3 10.000000 INFINITY 4.400000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 320.000000 INFINITY 48.000000 3 400.000000 80.000000 320.000000 4 160.000000 240.000000 160.000000 Karar değişkeni katsayıları için azami azalış miktarı Karar değişkeni katsayıları için azami artış miktarı Kaynak değerleri (STD) için azami azalış miktarı Kaynak değerleri (STD) için azami artış miktarı