Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu yaz da yapacaklar m z iflte bu bileflim alma ifllemini genellefltirecek. 1. Özdefllefltirmek. Matematikte, her fleyi daha basit ve daha kullan fll k lan özdefllefltirmek diye bir fley vard r. S k s k baflvurulur özdefllefltirmeye, MD de de baflvurmufltuk geçmiflte. Bir A kümesi, bir baflka kümenin A ya çok benzeyen bir altkümesiyle özdefllefltirildi i, böylece eflit olamayan elemanlara eflit muamelesi çekildi i olur. Yap lan özdefllefltirme genellikle o kadar do ald r ki, ortalama bir vatandafl fark na varmaz bile. Örne in bir n tamsay s, n/1 kesirli say s yla özdefllefltirilir. Kesirli say lar infla ederken aynen bunu yapm flt k [MD-2006-IV, sayfa 39] ve böylece her tamsay bir kesirli say olarak görebilmifltik. Oysa tamsay lar kümesiyle kesirli say lar kümesini en baflta birbirinden ayr k kümeler olarak infla etmifltik. Bir baflka örnek: Her gerçel say hemen hemen her zaman sabit bir polinomla özdefllefltirilir. Sabit polinomlarla gerçel say lar aras nda bir ayr m gözetilmez, ki asl nda gözetilmesi gerekir, ne de olsa gerçel say gerçel say d r, polinom da polinom. iselerde her polinom (en az ndan katsay lar gerçel say lar kümesindeyse) bir fonksiyon olarak görülür. Burada da asl nda (gerçek matematikçiler aras nda pek ra bet görmeyen) bir özdefllefltirme sözkonusudur. Bir polinom asla bir fonksiyon de ildir. Ama her polinom bir fonksiyon yarat r ve kimi zaman polinomu yaratt fonksiyon olarak görmekte bir sak nca yoktur. Bir lise matematik kitab nda nin kümesinin altkümesi oldu u yaz yordu. Bu tamamen yanl flt r. Yazar n yapt yanl fl anlamak zor de il, yazar muhtemelen gençli inde karmafl k say lara biraz fazla odaklanm fl (gerçekten de r gerçel say s r + 0i karmafl k say s yla özdefllefltirilir) ve kimseye haber vermeden, le nin {0} altkümesini özdefllefltirmifl. Oysa le, örne in, {(x, x) : x} A a ƒ altkümesini de özdefllefltirebilirdi... Dolay s yla yazar hiç de bariz olmayan bu özel özdefllefltirmeyi yapt n söylemesi gerekiyordu. flöyle bir fleydir: A ve B iki küme olsun ve ƒ, A dan B ye giden birebir bir fonksiyon olsun. ƒ, elbette A ile ƒ(a) kümeleri aras nda bir eflleme tetikler. Bu eflleme kimi zaman öylesine do al olabilir ki, A n n bir a eleman yla B nin ƒ(a) eleman aras nda bir ayr m yapmak içimizden gelmez, tam tersine ayr m yapmak nerdeyse günah kategorisine girer. Bu durumda, B kümesi yerine (B \ ƒ(a)) A kümesi al n r, yani B den ƒ(a) kopar l p yerine A yap flt r l r. Eskiden ƒ(a) eleman n n B de gördü ü görevi, bu yeni kümede a eleman görür. Bu ifllemi, ƒ(a) y kesip yerine A y dikmek olarak ya da ƒ(a) daki elemanlar n adlar n de ifltirmek olarak görülebilir, hatta bu son yorum daha kullan fll d r. flin püf noktas flu: Eski B unutulur ve art k B yerine (B \ ƒ(a)) A kümesiyle çal fl l r, hem de sanki B eski B imiflçesine... Biraz saçma olacak ama, sanki ƒ(a) = a ve B = (B \ ƒ(a)) A eflitlikleri geçerliymifl gibi davran l r. Bu yap lana, A ile ƒ(a) kümelerini ƒ efllemesi kullanarak özdefllefltirmek denir (oysa asl nda altkümelerden öte elemanlar özdefllefltiriliyordur). fiimdi bir ad m daha gidelim. Afla daki flekilden izleyin. Sadece A ve B kümeleri ve ƒ : AB birebir fonksiyonu de il, bir de ayr ca C kümesi ve g : BC birebir fonksiyonu verilmifl olsun. A y ƒ(a) ile efllefltirip elde edilen yeni B yi g(b) ile efllefltirmek ifl- B ƒ(a) ƒ(a) 119
ten bile de ildir. Yukarda yapt m z iki defa yapmak yeterlidir. Böylece C nin g(ƒ(a)) eleman a eleman yla özdeflleflir ve g(b) \ g(ƒ(b)) nin bir g(b) eleman b ile özdeflleflir. A a E er üç yerine dört küme olursa, ifller belki biraz daha zorlafl r ama her seferinde zorlukla kolayca bafla ç kabiliriz. Daha karmafl k özdefllefltirmeler de olabilir. Diyelim A, B ve C diye adland r lm fl üç kümemiz ve ƒ : A C ve g : B C birebir fonksiyonlar - m z var. ƒ yi kullanarak A ve ƒ(a) kümelerini özdefllefltirebiliriz. g yi kullanarak B ve g(b) kümelerini de özdefllefltirebiliriz. Ama ƒ(a) g(b) nin elemanlar na ne olacak? Bu elemanlar A n n m yoksa B nin mi eleman yla özdeflleflecekler? Yan t: Her ikisiyle birden özdeflleflecekler. A B D E F ƒ A b a B ƒ h B ƒ(a) ƒ(a) b ƒ g C G g C ƒ(a) ƒ(a) g(b) g(b) k g C g(b) g(ƒ(a)) gƒ(a) g(b) H Afla daki flekildeki gibi çok daha karmafl k durumlar da olabilir. Afla daki durumda, imgeleri bir zaman sonra eflit olan elemanlar özdefllefltirilirler. Örne in aaile ddelemanlar g(ƒ(a)) = k(h(b)) eflitli ini sa l yorsa, A n n a eleman yla D nin d eleman efllefltirilmek istenebilir. Asl nda özdefllefltirmenin gerçekleflmesi için fonksiyonlar n birebir olmalar na gerek yok. Fonksiyonlar birebir olmasalar da özdefllefltirmeleri yapabiliriz. Hatta kümelerin birbirinden de iflik olmalar na da gerek yok, kümelerin hepsi ayn bile olabilirler. Yapmak istedi imiz flu: Baz kümeler ve bu kümeler aras nda baz fonksiyonlar verilmifl. Verilen tüm kümelerin bileflimini almak istiyoruz, ancak görüntüleri bir zaman ayn olan elemanlar bileflim kümesinde sanki tek bir elemanm fl gibi görmek, yani matematikte yayg n olarak kullan lan deyimle, bu elemanlar birbirleriyle özdefllefltirmek istiyoruz. Özdefllefltirmek yerine büzüfltürmek de diyebilirdik. Ama dikkat, gere inden fazla eleman özdefllefltirmek istemiyoruz. Örne in, abart p, tüm kümelerdeki tüm elemanlar tek bir elemana büzüfltürebilirdik... Özdeflleflmesi gereken elemanlar özdeflmeli ama özdeflleflmemesi gereken elemanlar da özdeflmemeli. Yani k vam tutturmal y z. ki örnek alal m. Birincisi uydurma bir örnek, ikincisiyse klasik. Örnek 1. I = olsun ve bildi imiz s ralamayla s ralanm fl olsun. Her iiiçin, X i = ve : X i X i+1 fonksiyonu (x) = x + 1 formülüyle tan mlanm fl olsun. Kümelerin ve fonksiyonlar n resimleri afla da: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120
X 0 n 0 eleman yla X 1 in 1 eleman ve X 2 nin 2 eleman ve X 3 ün 3 eleman ve genel olarak X n in n eleman özdefllefltirilecekler çünkü 0, X 0 n 0 eleman n X 1 in 1 eleman na götürüyor, 1, X 1 n 1 eleman n X 2 nin 2 eleman na götürüyor vs. Bunun gibi X 1 in 0 eleman yla X 2 in 1 eleman, X 3 ün 2 eleman, X 4 ün 3 eleman ve genel olarak X n in n1 eleman özdeflleflecekler. fiekillerdeki her okun üstünden geçti i noktalar birbirleriyle özdeflleflip nihai kümede (bileflim kümesinde) tek bir eleman olacaklar. Yani nihai kümede her ok için ayr bir eleman olacak. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Elde edilecek nihai küme, art 1 fonksiyonlar n da kale al nca, belli ki ye benzeyecek. X 0 daki (yani ilk kümesindeki) her eleman için nihai kümede bir eleman gerekiyor, çünkü bu elemanlar birbirleriyle özdeflleflemezler. Bir de nihai kümede, her i > 0 için, 0 X i eleman n n özdeflleflece i ayr bir eleman gerekiyor, çünkü bunlar ne aralar nda ne de daha öncekilerle özdeflleflebilirler. Resmi yukarda. Örnek 2: Prüfer p-grubu. Teoriye giriflmeden önce çok basit olmayan bir örnek verelim. Her k > 0 do al say s ve her x tamsay s için k ([x] k ) = [px] k+1 formülüyle tan mlanm fl olan k : /p k /p k+1 fonksiyonunu ele alal m. Burada [x] k, x in /p k kümesindeki imgesini temsil etmektedir. k fonksiyonlar n n birebir olduklar n kan tlamak zor de- ildir. Afla daki flekilde p = 2 ve k = 1, 2, 3 için k fonksiyonlar n göstermeye çal flt k. Amac m z, örne in,... 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 /2 nin [1] eleman n /4 nin [2] eleman n /8 nin [4] eleman n birbirleriyle özdefllefltirmek. (Gereksiz göstergeçleri att k.) Bunun gibi, /4 nin [3] eleman n /8 nin [6] eleman n /16 nin [12] eleman n... birbirleriyle özdefllefltirmek istiyoruz. Bir baflka deyiflle, /2 k kümelerinin tüm k lar için bileflimini 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 al p, bu bileflimdeki her [a] k /2 k eleman n [2a] k+1 /2 k+1 eleman yla özdefllefltirmek istiyoruz. Her maksimum ok silsilesini tek bir eleman olarak görmek de diyebiliriz yapmak istedi imiz fleye; böylece bileflimdeki her eleman, içinde bulundu u (yegâne) ok silsilesiyle özdefllefltirebiliriz. Örne in, [24] 6 /2 6 eleman n [3] 2 [6] 4 [12] 5 [24] 6 [48] 7... maksimal ok silsilesiyle özdefllefltirebiliriz. (Tam bunu yapmayaca z ama yapabilirdik; buna çok benzer bir fley yapaca z.) Tam ne yapaca m z ç tlatal m: 0 a < 2 k için, /2 k kümesinin [a] k eleman n a/2 k kesirli say s yla özdelefltirece iz. Bafll yoruz: 2, [0, 1) aral ndaki, paydas 2 nin bir kuvveti olarak yaz labilen kesirli say lar kümesi olsun. Bir baflka deyiflle 2 = {a/2 k : k\ {0} ve a = 0, 1,..., 2 k 1} olsun. fiimdi her k ve her a = 0, 1, 2,..., 2 k 1 için /2 k kümesinin [a] k eleman n 2 kümesinin a/2 k eleman yla özdefllefltirelim. Söylediklerimiz daha iyi anlafl ls n diye, k : /2 k 2 fonksiyonunu 121
k ([a] k ) = a/2 k kural yla tan mlayal m ve /2 k kümesinin bir [a] k eleman n 2 kümesinin k ([a] k ) = a/2 k eleman yla özdefllefltirelim. 2 1 2 3 4... /2 1 /4 2 /8 3 /16 4... 2 /2 k kümelerinin bir anlamda bileflimidir; k fonksiyonlar yla birbirlerine ba lant lanm fl elemanlar, 2 kümesinde tek bir elemanm fl gibi gösterilmifllerdir ler özdefllefltirme fonksiyonlar d r. Her k için k+1 k = k+1 eflitli i sa lan r. Böylece istedi imiz olur çünkü (yukardaki flekilden yapt klar m z takip edebilirsiniz), 1) Hem /2 k kümesinin [a] k eleman, hem de /2 k+1 kümesinin [2a] k eleman, 2 kümesinin ayn eleman yla, a/2 k eleman yla özdefllefltirilmifltir. 2) 2, k (/2 k ) kümelerinin bileflimidir. Bu yapt klar m z 2 den herhangi bir p asal na genellefltirmek iflten bile de ildir. Hatta p nin asal olmas na bile gerek yoktur. (Ama uygulamada p hep bir asald r.) Birazdan bütün bunlar kuramsal olarak yapaca z. Sayfan n en alt ndaki flekildeki gibi bir durum sözkonusu olacak ve fleklin en sa ndaki soru iflaretli kümeyi bulmaya çal flaca z. fiekilde ayn küme birçok kez belirebilir, her kümenin de iflik olmas na neden yok. Özdefllefltirmek diyen asl nda denklik iliflkisi der, çünkü a ile b elemanlar n n özdefllefltirildi ini absimgesiyle gösterirsek, belli ki flu önermeler do ru olur (ya da olmal ): aa, abise ba, abve bcise ac, ki bunlar da bir denklik iliflkisinin tanm n n koflullar d r. Okura yeterince sezgi kazand rd m z düflünerek art k matemati e geçelim. Elde edece imiz nihai kümeye kümeler ve fonksiyonlar sisteminin direkt ya da tümevar msal limit ad verilir. 2. Direkt imit. Önce verilerimizi toparlayal m. I yar s ral bir küme olsun, yani I üstünde, her i, j, ki için, i i, i j ve j ii= j, i j ve j ki k özelliklerini sa layan bir ikili iliflkisi olsun. (Yukarda verdi imiz örnekte I = ve s ralama da bildi- imiz s ralamayd.) Bir de ayr ca I n n yar s ralamas n n yönlendirilmifl oldu unu, yani her i, j I için, i k ve j k eflitsizliklerini sa layan bir k I oldu unu varsayal m. Bu I kümesi göstergeç kümemiz olacak. fiimdi de kümelerimizi ve aralar ndaki fonksiyonlar belirleyelim. (X i ) ii herhangi bir küme ailesi olsun. Her i j göstergeçi için : X i X j bir fonksiyon olsun. Ve bu ( ) ij fonksiyon kümesi...? 122
üzerine flu varsay m yapal m: Her i < j < k göstergeci için, i = Id Xi ve k = k. Tüm bu veri, (X i, ) i<ji olarak simgelenir ve ad na direkt sistem denir. Amac m z bu X i kümelerinin bileflimini almak ama fonksiyonlar alt nda ayn elemana giden elemanlar aras nda bir ayr m gözetmemek, yani bunlar birbirleriyle özdefllefltirmek. a b X i X j ik k a b c De iflik i ler için X i kümeleri kesiflebilirler, hatta Örnek 1 de oldu u gibi X i kümelerinin baz lar ayn küme olabilirler. Bunu engellemek için X i yerine X i {i} kümesini al p bu ayr k kümelerin bileflimini alal m. X = I (X i {i}) olsun. (Özdefllefltirmek yerine ayr flt rd m z n fark nday z, özdefllefltirmeye birazdan geçece iz. Amac m z de iflik göstergeçlerle ifade edilmifl X i kümelerinde bulunan ayn elemanlar özdefllefltirmek de il, bunu yapmak oldukça kolayd r, bunun için X i lerin bileflimini almak yeterdir; amac m z fonksiyonlar alt nda imgesi ayn olan, ya da imgesi bir zaman sonra ayn olan elemanlar özdefllefltirmek.) X kümesi üzerine flu ikili iliflkiyi tan mlayal m: (x, i) (y, j) ancak ve ancak i ve j den büyükeflit bir k için, k (x) = k (y) ise. E er i j ise (liflkisinin tan m nda k = j al n), (x, i) ( (x), j) iliflkisinin do ru oldu unu dikkatlerinize sunar z. Tan mlad m z bu iliflki bir denklik iliflkisidir. Nitekim: Her iiiçin i (x) = Id Xi (x) = x oldu undan, her xx i için (x, i) (x, i) olur. E er (x, i) (y, j) ise ve k i ve k j eflitsizliklerini sa layan bir k göstergeci için k (x) = k (y) oluyorsa, ayn k göstergeci (y, j) (x, i) denkli ini göstermek için de kullan labilir. X k c = k (a) = k (b) (x, i) (y, j) ve (y, j) (z, k) olsun. u ve v göstergeçleri u (x) = u (y) ve v (y) = kv (z) eflitliklerini sa las n. w I, hem u hem de v den büyük bir göstergeç olsun. O zaman, w (x) = ( uw u )(x) = uw (u (x)) = uw (u (y)) = ( uw u )(y) = w (y) = ( vw v )(y) = vw (v (y)) = vw ( kv (z)) = kw (z) olur, dolay s yla (x, i) (z, k) olur. Böylece liflkisinin bir denklik iliflkisi oldu u kan tland. (x, i) X i {i} eleman n n denklik s n f n [x, i] olarak gösterelim: [x, i] = {(y, j) : yx j ve (x, i) (y, j)}. Demek ki her i j için, [x, i] = [ (x), j] olur. Son olarak X/ kümesini alal m: X/ = {[x, i] : ii, xx i } flte bu, tam istedi imiz kümedir! Bu bölümün devam nda okuru buna ikna etmeye çal flaca z. X i kümesinin bir x eleman n, X/ kümesindeki [x, i] eleman yla özdefllefltirece iz. Bu özdefllefltirmeyi matematiksel olarak ifade edebilmek amac yla, : X i X/ fonksiyonunu (x) = [x, i] formülüyle tan mlayal m. X i nin x eleman n n X/ kümesinin (x) eleman yla özdefllefltirilmifl oldu- unu hayal edin. flte bu X/ kümesi arad m z kümedir. Yaz n n bafl nda amaçlad m z hedefe ulaflt - m z göstermek için iki fley kan tlamal y z: A1) E er fonksiyonlar birebirse, fonksiyonu da birebirdir. Nitekim x, yx j için (x) = (y) olsun. O zaman [x, i] = [y, i], yani (x, i) (y, i), yani bir k i için k (x) = k (y) olur. Ama k birebir oldu undan, bundan x = y ç kar. A2) X/ kümesi (X i lerin olmasa da) (X i ) lerin bileflimidir. Yani X/ = I (X i ) eflitli i geçerlidir. 123
Bunun do rulu u tan mlardan hemen ç k yor: X/ = {[x, i] : ii, xx i } = { (x) : ii, xx i } = I (X i ). Önemli bir özellik daha: A3) Her i ji için, =. X/ Nitekim her xx i için, ( )(x) = ( (x)) = [ (x), j] = [x, i] = (x) olur. Bu son özellikten flu ç kar: x X i eleman yla (x) X j eleman, X/ kümesinin ayn eleman yla, (x) eleman yla özdefllefltirilmifltir. X/ kümesine (X i, ) i<ji direkt sisteminin direkt ya da tümevar msal limiti ad verilir ve X/ yerine lim (X i, ) i<ji yaz l r. E er kolayl k olacaksa ve kar fl kl a neden olmayacaksa lim (X i, ) i<ji yerine lim X i yaz l r. Biz bir süre - gerçek tan m verinceye dek - X/ yaz l m n kullanaca z. fonksiyonlar na özdefllefltirme fonksiyonlar ad verilebilir. Yaz n n en son bölümünde direkt limitin tan - m n hafifçe de ifltirece iz ve yukardaki X/ kümesi direkt limitlerden sadece biri olacak. Okur, umar z, direkt limitin tan m n n ne kadar do al oldu unu görmüfltür. Nerdeyse bileflim kadar do al. O kadar do al ki tan m baflka türlü yap lamazd!.. Bu kadar do al bir tan m n baz ola anüstü sonuçlar olmal. 3. Evrensel Özellik. Yukardaki gibi bir (X i, ) i<ji direkt sistemi verilmifl olsun. X/ kümesi ve : X i X/ fonksiyonlar da bir önceki bölümde tan mland klar gibi olsun. Her i ji için, bir önceki bölümde kan tlad m z = X i X j Her i j için = eflitli i sa lan r. eflitli ini an msay n. Bütün bunlar n d fl nda herhangi bir Y kümesi ve her i ji için = eflitliklerini sa layan : X i Y fonksiyonlar verilmifl olsun. (Bkz. afla daki flekil.) X/ X i X j Öyle bir : X/Y fonksiyonu bulaca z ki, her iiiçin = eflitli i sa lanacak. (Bkz. afla daki flekil.) Y X/ Bu özellik, direkt limitin evrensel özelli i olarak bilinir. Sa lanmas n istedi imiz = eflitli i bize asl nda : X/ Y fonksiyonunun tek bir biçimde tan mlanmas gerekti ini söylüyor. Nitekim, madem ki = eflitli i sa lanmal, o zaman her xx i için (x) = ( )(x) = ( (x)) = ([x, i]) olmal, yani : X/Y fonksiyonu ([x, i]) = (x) formülüyle tan mlanmal. Bunun gerçekten bir tan m oldu unu gösterelim. xx i ve yx j için [x, i] = [y, j] olsun. O zaman (x, i) (y, j) olur ve tan ma göre i ve j den büyükeflit bir k I X i X j Y 124
için k (x) = k (y) olur. Demek ki, (x) = ( k k )(x) = k (k (x)) = k (k (y)) = ( k k )(y) = (y), yani (x) = (y). Sonuç olarak, [x, i] = [y, j] (x) = (y) önermesini kan tlad k. Bundan da, ([x, i]) = (x) formülünü yazmaya hakk m z oldu u ç kar. Böylece tan mlanan : X/ Y fonksiyonu elbette her iiiçin = eflitli ini sa lar. Direkt limitin dördüncü özelli ini kan tlad k: A4) E er bir Y kümesi ve = eflitliklerini sa layan : X i Y fonksiyonlar verilmiflse, o zaman her i I için = eflitli ini sa layan bir ve bir tane : X/Y fonksiyonu vard r. Örnek 3. Yaz n n ta bafl nda verdi imiz en basit örne e geri dönelim. X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. E er her i j için X i X j ise, : X i X j fonksiyonu (x) = x olarak tan mlans n. O zaman lim X i aynen X i kümelerinin bileflimidir ve (x) = x olarak tan mlan r. Örnek 4. E er I n n en büyük eleman varsa ve bu elemana m dersek, yukarda bulunan lim X i kümesinin bu X m den pek bir fark yoktur ve = m olarak al nabilir. Ana Teorem 1. i. Bir (X i, ) i<ji direkt sistemi verilmifl olsun. k k X i X j X k i = Id Xi Veri : i = Id Xi ve k = k Öyle bir kümesi ve her i ji için = eflitliklerini sa layan öyle : X i fonksiyonlar vard r ki, X i X j her M kümesi ve = eflitliklerini sa layan her : X i M fonksiyon ailesi için, = eflitliklerini sa layan bir ve bir tane : M fonksiyonu vard r. [Evrensel özellik] = X i X j M ii. E er (, : X i ) i ailesi yukardaki evrensel özelli i sa l yorsa ve : herhangi bir efllemeyse, o zaman (, : X i ) i ailesi de evrensel özelli i sa lar. Veri : = X i X j M X i X j 125
iii. E er (, : X i ) i ailesinin sa lad bu evrensel özelli i bir de ayr ca (, : X i ) i ailesi de sa l yorsa, o zaman öyle bir : efllemesi vard r ki, her iiiçin, = olur. Kan t: i. Teoremin birinci k sm n zaten kan tlam flt k: kümesi X/ olsun ve : X i fonksiyonlar n daha önce tan mlad m z gibi al n. ii. (, : X i ) i ailesi evrensel özelli i sa las n ve: bir eflleme olsun. (, : X i ) i ailesinin de evrensel özelli i sa lad n kan tlamak istiyoruz. Elbette, ( ) = ( ) = eflitli i sa lan r. fiimdi M bir küme ve : X i M fonksiyonlar = eflitliklerini sa las n. X i X j M X i X j 1 Yukardaki flekilden takip edin. 1 : M fonksiyonuna bakal m. Her i için, ( 1 ) ( ) = = olur. stedi imiz kan tlanm flt r. iii. fiimdi de hem (, : X i ) i ailesinin hem de (, : X i ) i ailesinin evrensel özelli- i sa lad n varsayal m. Birinci sistem evrensel özelli i sa lad ndan, evrensel özelli in tan m nda M = ve = alarak, = eflitliklerini sa layan bir : fonksiyonunun oldu unu buluruz. kinci sistem de evrensel özelli i sa lad ndan, evrensel özelli in tan m nda bu sefer M = ve = alarak, = eflitliklerini sa layan bir : fonksiyonunun oldu unu buluruz. X i X j fiimdi : fonksiyonu, her i için, ( ) = ( ) = =, yani ( ) = eflitli ini sa lar. Ayr ca Id : fonksiyonu da, her i için, Id = eflitli ini sa lar. X i X j Ama evrensel özelli e göre (tan mda M = ve = al n) bu tür eflitlikleri sa layan fonksiyon biriciktir. Demek ki = Id olmal. Ayn nedenden = Id olur. Demek ki ve birbirinin tersi efllemelerdir. = alal m. stenen = eflitli i elbette sa lan r. Verilmifl bir (X i, ) i<ji direkt sistemi için, bu özelli i sa layan bir (, : X i ) i ailesi ana teoremde görüldü ü gibi çok güçlü bir anlamda biriciktir. Böyle bir aileye (X i, ) i<ji direkt sisteminin direkt limiti ad verilir. Direkt limiti Id 126
lim (X i, ) i<ji olarak yazaca z (direkt limitlerden herhangi biri anlam nda). E er kolayl k olacaksa ve kar fl kl a neden olmayacaksa lim (X i, ) i<ji yerine lim X i yaz l r. Sonuç 2. Yukardaki varsay m ve yaz l mlarla, i. = I (X i ) eflitli i geçerlidir. ii. E er fonksiyonlar birebirse, fonksiyonlar da birebirdir. iii. ax i ve bx j olsun. (a) = (b) eflitli- i için yeter ve gerek koflul, hem i den hem de j den büyükeflit bir k için k (a) = k (b) eflitli inin geçerli olmas d r. Birinci Kan t: Tüm söylenenler = X/ ve (x) = [x, i] fonksiyonlar için geçerlidir. Dolay - s yla Ana Teorem den dolay ayn özellikler herhangi bir direkt limit için de geçerlidir. Bu kan t n ayr nt lar n okura b rak yoruz. (i) in bir baflka kan t : X i lerin en az birinin boflküme olmad n ve de 1 den fazla eleman oldu unu varsayabiliriz. = I (X i ) ve : X i fonksiyonu (x) = (x) eflitli iyle verilmifl olsun. Evrensel özelli e göre, = eflitli ini sa layan bir ve bir tane : vard r. E er olsayd, o zaman bir u\ çin, di er de erlere dokunmadan, (u) tan m n de iflik biçimlerde yapabilirdik ve = eflitli i bozulmazd ; ki bu da n n biricikli iyle çeliflir. Dileyen okur, direkt limitin kümesini en baflta tan mlad m z gibi X/ olarak alabilir; tabii o zaman (x) = [x, i] olarak tan mlanmak zorundad r. Afla da direkt limiti X/ olarak almayaca z, bunun yerine Sonuç 2 ye baflvuraca z. Do rusu direkt limiti X/ olarak alsayd k kan tlar m z birazc k daha somut ve anlafl l r olurdu. Cebirsel Yap larda Direkt imit. E er her X i kümesi üzerinde grup, halka, cisim, R-modül, R- cebiri gibi cebirsel bir yap varsa ve X i ler aras ndaki fonksiyonlar söz konusu olan yap ya göre birer morfizmaysa (eflyap fonksiyonlar ise), o zaman lim X i direkt limiti üzerine olabilecek en do- al biçimde ayn cebirsel yap tan mlanabilir ve bu yap ya göre bir önceki bölümde bulunan fonksiyonlar birer morfizma olur. Ayr ca geçen bölümde sözünü etti imiz evrensel özellik bu kapsama da uyum sa lar. Bir baflka deyiflle, Ana Teorem deki küme yerine grup, halka, modül gibi uygun olan cebirsel yap y yazarsak ve fonksiyon yerine uygun cebirsel yap n n morfizmas n yazarsak, teorem geçerlili ini korur. Bu sonucu sadece gruplar için yaz p kan tlayaca z. Di er yap lar için kan t çok benzerdir ve okura b rak lacakt r. Örnek 2 deki p (ki asl nda bir gruptur, Prüfer p-grubu olarak bilinir) asl nda yapacaklar m za verilebilecek en standart örnektir. Teorem 3. (X i, ) i<ji bir direkt sistem olsun. Ayr ca her X i nin bir grup oldu unu ve her : X i X j fonksiyonunun bir grup homomorfizmas oldu unu varsayal m. (, : X i ) i ailesi bu sistemin bir direkt limiti olsun. O zaman üzerine öyle bir ve bir tek grup yap s konulabilir ki : X i fonksiyonlar grup morfizmalar olur. Ayr ca her M grubu ve = eflitliklerini sa layan her ( : X i M) i grup morfizmas ailesi için öyle bir ve bir tane : M grup morfizmas vard r ki her iiiçin = olur. Ayr ca e er (, : X i ) i bu özelli i sa layan bir baflka sistemse, Ana Teorem iii te bulunan bir grup izomorfizmas olur. Kan t: üzerinde bir grup yap s tan mlayaca- z ve daha sonra lerin bir grup homomorfizmas olduklar n gösterece iz. Grup yap s tan mlamak biraz zaman alacak., olsun. diye bir eleman tan mlamak istiyoruz, ki üzerine bir grup yap s ndan bahsedebilelim. Önce bir sav: Sav 1., ise öyle bir iigöstergeci ve a, bx i elemanlar vard r ki,, (a) = ve (b) = a, b X olur. i Kan t: = I (X i ) eflitli ini an msayal m (A2 özelli i). Bu eflitlikten dolay öyle i, j I ve a i X i, b j X j vard r ki, (a i ) = ve (b j ) = olur. E er i = j olsayd ve kan t m z biterdi, ama öyle olmayabilir. Hem i den hem de j den büyük 127
bir kibulal m. O zaman, k (k (a i )) = (a i ) = ve k (k (b j )) = (b j ) = olur. fiimdi k (a i ), k (b j ) X k ve bu elemanlar n k imgeleri s ras yla ve ya eflit. Demek ki, k (a) = ve k (b) = eflitliklerini sa layan a = k (a i ) X k ve b = k (b j ) X k elemanlar bulduk. Sav m z kan tlanm flt r. Sav n Kan t na Dair Not: Burada önemli olan a ve b nin ayn X k kümesinde seçilmifl olmalar. (Daha önceki a i ve b j nin biri X i de öbürü X j deydi.) Sav 1 in varsay mlar ndan devam edelim. X i bir grup oldu undan, a ve b elemanlar n çarp p gene X i grubunda bir eleman elde edebiliriz ve bu çarp m n imgesini alarak den bir eleman bulabiliriz. Niyetimiz = (ab) tan m n yapmak ama önce böyle bir tan ma hak kazand m z kan tlamal y z, (ab) nin sadece ve ya göre de iflti ini, seçilen a, b ve i den ba ms z oldu unu kan tlamal y z. a X i, b X j k k k k k k (a) = a 1 a 1 b 1 X k k (b) = b 1, olsun. a X i ve b X j elemanlar (a) = ve (b) = eflitliklerini sa las n. k i, j olsun. a 1 = k (a) ve b 1 = k (b) olsun. O zaman k (a 1 ) = ve k (b 1 ) = olur. çarp m n k (a 1 b 1 ) olarak tan mlamak istiyoruz. Sav 2. a, bx i ve a 1, b 1 X j elemanlar, (a) = (a 1 ), (b) = (b 1 ) eflitliklerini sa las nlar. O zaman (ab) = (a 1 b 1 ) olur. Kan t: (a) = (a 1 ) oldu undan, Sonuç 2 ye göre, bir k i, j göstergeci için, k (a) = k (a 1 ) olur. Ayn nedenden, bir i, j göstergeci için, (b) = (b 1 ) 128 a, b, ab X i X j a 1, b 1, a 1 b 1 (a) = (a 1 ) (b) = (b 1 ) olur. fiimdi m k, olsun. Yukardaki iki eflitlikteki terimlerin s ras yla km ve m morfizmalar alt nda imgelerini alal m. Örne in birincisinden, m (a) = km (k (a)) = km (k (a 1 )) = m (a 1 ) elde ederiz. Benzer flekilde, ikinci eflitlik bize m (b) = m (b 1 ) verir. fiimdi, m (a), m (a 1 ), m (b), m (b 1 ) elemanlar n n hepsi X m grubunda. Dolay s yla m (ab) =m (a)m (b) =m (a 1 )m (b 1 ) =m (a 1 b 1 ) bulunur. Bundan da - gene Sonuç a göre (ab) = (a 1 b 1 ) ç kar. Sav m z kan tlanm flt r. fiimdi, için, Sav 1 e göre (a) = ve (b) = eflitliklerini sa layan herhangi bir i I göstergeci ve a, bx i elemanlar seçelim ve çarp m n = (ab) olarak tan mlayal m. Sav 2 ye göre tan m i nin ve a ve b nin seçimlerinden ba ms zd r. Bu ifllemin üzerine bir grup yap s tan mlad - çok belli. Ayr ca çarp m n tan m ndan dolay (a) (a) = = (ab) olur, yani : X i fonksiyonlar art k birer grup homomorfizmas olurlar. Böylece teoremin birinci k sm kan tland. Gelelim ikinci k sm na. M bir grup ve : X i M grup morfizmalar ve her i ji için = eflitliklerini sa las nlar. Öyle bir : M grup morfizmas bulaca z ki her iiiçin = olacak. = koflulundan dolay, e er, varsa, her xx i için (x) = (x), yani ( (x)) = (x) eflitli ini sa lamal. Dolay s yla, Sonuç a göre, y tan mlaman n tek bir yolu vard r: Verilmifl bir (ab) = (a 1 b 1 )
için önce = (x) eflitli ini sa layan bir xx i seçilir; sonra () = (x) olarak al n r. Demek ki, varsa ancak böyle tan mlanabilir. fiimdi yukardaki tan m n caiz oldu- unu, (x) = (y) için (x) = (y) oldu unu kan tlayal m. Nitekim, (x) = (y) oldu undan, Sonuç a göre, i ve j den büyük bir k için k (x) = k (y) olur. Her iki tarafa da k uygulayal m: k (k (x)) = k (k (x)) buluruz. ler üzerine yap lan varsay mdan dolay, bundan da (x) = (y) ç kar. Teorem tamamen kan tlanm flt r. Yukardakinin nerdeyse ayn s n n t pk s hemen hemen her türlü cebirsel yap da yap labilir: Halkalarda, cisimlerde, modüllerde (ayn halka üzerine)... Direkt limit de do al olarak ayn yap ya sahiptir. Hatta nesnelerimiz s ral kümeler, morfizmalar m z da s ralamay koruyan fonksiyonlar olabilir. Birinci örne imiz bu türden zaten. Dikkat ederseniz, o örnekte s ral bir küme olan yi elde ettik. Al flt rma. Her i do al say s için X i = 0 olsun. Her i < j için, ƒ ij (x) = x 2ji olsun. Bu verilerin bir direkt sistem tan mlad n kan tlay n. Direkt limiti bulun. Direkt limit üzerine Ana Teorem de kan tlanan do al grup yap s nedir? Direkt limit üzerine bir s ralama bulun. Göstergeçleri yerine de alsayd k ne de iflirdi? Topolojik Yap larda Direkt imit. fiimdi her X i kümesinin bir topolojik uzay ve her : X i X j fonksiyonunun sürekli oldu unu varsayal m. Teorem 1 in ya da 3 ün bir benzerini topolojik uzaylar ve sürekli fonksiyonlar için kan tlamak istiyoruz. Direkt limitin kümesi ve fonksiyonlar zorunlu olarak eskileri olacak Teorem 4. (X i, ) i<ji bir direkt sistem olsun. Ayr ca her X i nin topolojik bir uzay oldu unu ve her : X i X j fonksiyonunun sürekli oldu unu varsayal m. (, : X i ) i ailesi bu sistemin bir direkt limiti olsun. O zaman üzerine öyle bir ve bir tek topoloji yap s konulabilir ki : X i fonksiyonlar sürekli olur ve ayr ca her M topolojik uzay ve = eflitliklerini sa layan her ( : X i M) i sürekli fonksiyon ailesi için öyle bir ve bir tane : M sürekli fonksiyon vard r ki her iiiçin = olur. Ayr ca e er (, : X i ) i bu özelli i sa layan bir baflka sistemse, Ana Teorem iii te bulunan bir homeomorfizmad r. Bu teoremin kan t n ayr nt l vermeyece iz. nin topolojisini aç klamakla yetinece iz. Asl nda nin topolojisinin ne olmas gerekti i belli. Her fleyden önce tüm fonksiyonlar n sürekli k lan bir topoloji olmal. Öte yandan bu koflulun yeterli olmayaca da belli çünkü üzerine en kaba topolojiyi al rsak sadece fonksiyonlar de il, ye giden tüm fonksiyonlar sürekli olur; ayr ca bu topoloji X i lerin topolojisinden ba ms zd r; ki bu da kaba topolojinin koflullar sa layamayaca n n bir göstergesidir. nin evrensel özelli i (sürekli bir : M fonksiyonun bulunmas gereklili i) nin topolosinin çok kaba olmamas gerekti ini, hatta olabilecek en ince topoloji olmas gerekti ini kula m za f s ld yor olmal. Nitekim bu fikir problemi çözüyor. üzerine tüm fonksiyonlar n sürekli k lan en ince (yani en zengin) topolojiyi alal m. Daha net olarak nin bir V altkümesi, ancak ve ancak her i I için 1 (V) kümesi X i de aç ksa aç k olsun. Teoremde yazan her fleyin do ru oldu unun kan t n okura b rak yoruz. Merakl okur mutlaka yapmal. 129