Fzk 101: Ders 19 Gündem Açısal Momentum: Tanım & Türetmeler Anlamı nedr? Sabt br eksen etrafında dönme L = I Örnek: 2 dsk Dönen skemlede br öğrenc Serbest hareket eden br csmn açısal momentumu Değneğe çarpan kurşun Top fırlatan öğrenc
Ders 19, Soru 1 Rotasyon Atlı karıncaya bnen br çocuk daresel br yörüngede sabt w hızı le dönerken elnde tuttuğu br topu serbest bırakır. Yukarıdan bakınca top hang yolu zler? (a) (b) (c) (d)
Ders 19, Soru 1 Çözüm Bırakmadan hemen önce topun hızı daresel yörüngeye teğettr.
Ders 19, Soru 1 Çözüm Hızı değştrecek etk eden başka kuvvet olmadığından bırakıldıktan sonra aynı yolda devam eder.
p = mv Açısal Momentum: Tanımlar & Türetmeler Çok parçacıklı br sstem çn : F DIŞ dp dt F DIŞ 0 se momentum korunur. Buna rotasyonda karşılık gelen nedr?? Kuvvete rotasyonda karşıklık gelen tork r F Çzgsel momentumun p, rotasyon analoğunu açısal momentum olarak L r p şeklnde tanımlayalım.
Tanımlar & Türetmeler... Önce Ldek değşm mktarına bakalım: dl dt d dt r p d dt r dr p dt p r dp dt 0 v mv dl dp r dt dt (ne yan...?)
Tanımlar & Türetmeler... d L d r p dt dt Anımsatma: F DIŞ dp dt dl dt r F DIŞ DIŞ Sonuç olarak: dp F ye anolog F DIŞ!! dt DIŞ dl dt
Bu Ne Demek? dl dt burada ve τ DIŞ L r p Dış tork un olması durumunda τ DIŞ τ DIŞ dl dt 0 r F DIŞ Toplam açısal momentum korunur
Sabt br eksen etrafında katı br csmn açısal momentumu: Şeklde gösterldğ gb x-y düzlemnde z eksen etrafında dönen noktasal parçacıkların katı dağılımını dkkate alalım. Orjn etrafındak toplam açısal momentum her br parçacığın açısal momentumunun toplamına eşttr: L r p m r v L nn yönü z yönünde dr.. v = r kullanarak L L m r I kˆ 2 m r v benzer p = mv!!! kˆ v 2 (r ve v brbrne dk olduğundan) m 2 r 2 m 3 j r 3 v 3 v 1 r 1 m 1
Sabt br eksen etrafında katı br csmn açısal momentumu: Genelde, sabt br (z) eksen etrafında dönen br csm çn L Z = I yazablrz. L Z nn yönü sağ el kuralı le verlr. ( le aynı ). Kolaylık olması açısından z ndsn kaldırıp, L = I yazarız. z L Z I
Örnek: İk Dsk Kütles M ve yarıçapı R olan br dsk z eksen etrafında açısal hızı le dönmekte ken durgun olan özdeş knc dsk brncs üzerne düşer. İk dsk arasında sürtünme mevcuttur. Sonunda her k dsk f açısal hızı le dönmeye başlar. z z f
Örnek: İk Dsk Öncelkle her k dske dıştan etk eden br tork olmadığının altını çzelm! Başlangıçtak toplam açısal momentum alttak dönen dsk yüzündendr: z 2 L I 1 1 1 2 MR 2 0 1
Örnek: İk Dsk Dışardan her k dskede etk eden tork olmadığından Açısal momentum korunur! Sondak toplam açısal momentum her k dskn brden dönmesnden dolayıdır: z L f I 1 1 I 2 2 MR 2 f 2 1 f
Örnek: İk Dsk Zra L = L f 1 2 f MR 1 2 2 MR 2 f Sürtünmeden dolayı E korunmadığından nelastk br çarpışmadır! z z L L f f
Örnek: İk Dsk z z L L f f
Örnek: Dönen skemlede Ellernde ağırlıklar taşıyan br öğrenc kollarını gererek br taburede oturmaktadır. Öğrencnn açısal dönme hızı ve eylemszlk momentumu I olarak verlyor. Sonra kollarını vucuduna değecek şeklde büker ve son eylemszlk moment I f olur. Son durumdak açısal hızı f nedr? f I I f
Örnek: Dönen skemlede... Burada da öğrenc skemle sstemne etk eden dış tork olmadığından açısal momentum korunur. Başlangıçta: L = I Sonunda: L f = I f f f I I f f I I f L L f
Örnek: Dönen skemlede... Br öğrenc w 1 açısal hızı le serbestçe dönmekte olan br skemleye kolları gergn olarak oturuyor. Öğrenc sonra kollarını kavuşturur ve açısal hızı w 2 ye çıkar. Bunu yapmakla knetk enerj: f I I f L L f
Ders 19, Soru 2 Açısal Momentum Br öğrenc w 1 açısal hızı le serbestçe dönmekte olan br skemleye kolları gergn olarak oturuyor. Öğrenc sonra kollarını kavuşturur ve açısal hızı w 2 ye çıkar. Bunu yapmakla knetk enerj: (a) artar (b) azalır (c) aynı kalır 1 2 I 1 I 2 L L
Ders 19, Soru 2 Çözüm K 2 1 L I 2 (L = I kullanarak) 2 2I L korunur: I 2 < I 1 K 2 > K 1 K artar! 1 2 I 1 I 2 L L
Ders 19, Soru 2 Çözüm Öğrenc kollarını bükmek çn br kuvvet uygular ve poztf br ş yapar! İş/KE enerj teoremne göre sstemn KEs artacaktır! 1 2 I 1 I 2 L L
Serbestçe hareket eden br parçacığın açısal momentumu Br parçacığın orjne göre açısal momentumu tanımı: L r p Bu tanım parçacığın daresel hareket etmesn gerektrmez! Bu parçacığın sabt br açısal momentumu vardır! y x v
Serbestçe hareket eden br parçacığın açısal momentumu... Kütles m ve v hızı le y = -d doğrusunda hareket eden br parçacığı dkkate alalım. Orjnde (0, 0) ölçülen açısal momentum nedr? y d m x v
Serbestçe hareket eden br parçacığın açısal momentumu... Bulmamız gereken L r p Açısal momentumun büyüklüğü: L rp rpsnθ pd p y mesafe p rsnθ r ve p nn her ksde x-y düzlemnde olduğundan, L nn yönü z dr (sağ el kuralı): L pd mvd y Z d r p=mv x
Serbestçe hareket eden br parçacığın açısal momentumu... Gördük k L nn yönü z eksen yönündedr, ve büyüklüğü L Z = pd = mvd le verlr. Açıkca L korunumludur, zra d (parçacığın orjne olan en yakın uzaklığı) ve p (momentumun korunumu) sabttr. y d x p
Örnek: Sopaya çarpan kurşun Kütles M ve uzunluğu D olan br sopa merkeznde dönecek şeklde yerleştrlmştr. Kütles m olan br kurşun sopayı dönme noktası ve ucu arasında tam ortadan vurur. Kurşunun lk hızı v 1, ve son hızı v 2 dr. Çarpışmadan sonra sopanın açısal hızı F nedr? (gravtasyon hmal edlyor.) M m D D/4 F v 1 v 2 önce sonra
Örnek: Sopaya çarpan kurşun... Dönme eksen (z-eksen) etrafında açısal momentum korunur! Çarpışmadan önce sopa dönmedğnden toplam açısal momentum sadece kurşundan dolayıdır. M L p x ( en yakın mesafe) mv 1 D 4 m D D/4 v 1 ntal
Örnek: Sopaya çarpan kurşun... z-eksen etrafında açısal momentum korunur! Çarpışmadan sonra toplam açısal momentum hem kurşundan hem de sopadan dolayı mevcuttur. L mv D I f 2 F burada I sopanın dönme eksen 4 etrafındak eylemszlk moment. D/4 F v 2 sonra
Örnek: Sopaya çarpan kurşun... L korunumundan L = L f I 1 12 2 MD mv D mv D 1 2 1 2 MD 4 4 12 F v F 3m MD v 1 2 M m D D/4 F v 1 v 2 önce sonra
Örnek: İskemleden top fırlatmak Serbestçe döneblen br skemleye br öğrenc oturur. Öğrenc ve skemle sstemnn eylemszlk moment I olarak verlr. Öğrenc kütles M olan ağır br topu v hızı le öyle fırlatır k hız vektörü skemlenn dönme eksennden d mesafesnden geçer. Öğrenc topu fırlattıktan sonra öğrenc ve skemle sstemnn açısal hızı F nedr? M v F d I I Önce (tepeden) sonra
Örnek: İskemleden top fırlatmak... Dış tork olmadığından toplam açısal momentum korunumludur: L = 0 L f = 0 = I F - Mvd F Mvd I M v F d I I Önce (tepeden) sonra
Ders 19, Soru 3 Açısal Momentum Br atlı karıncada sabt w hızı le dönmekte ken elnde tuttuğu br topu serbest bırakan çoçuğun açısal momentum nasıl değşr? (a) artar (b) azalır (c) aynı kalır 1
Ders 19, Soru 3 Çözüm Çocuk atlı karınca ve top sstemnn toplam açısal momentumu: L NET = L AK + L ÇCK + L TOP v R aynı 2 Önce: L Iω mr mvr sonra TOP L TOP mvr R v m v m
Ders 19, Soru 3 Çözüm Önce & sonra L TOP aynı olduğundan, w aynı kalmalıdır k sstemn toplam L NET değşmesn.
Ders 19, Soru 3 Kavramsal Çözüm Topu bırakmak atlı karıncaya hç br kuvvet uygulamayacağından açısal momentumunun değşmes söz konusu değl.
Özet Açısal Momentum: Tanım & Türetmeler Anlamı nedr? Sabt br eksen etrafında dönme L = I Örnek: 2 dsk Dönen skemlede br öğrenc Serbest hareket eden br csmn açısal momentumu Değneğe çarpan kurşun Top fırlatan öğrenc