Ortaöğretim MTEMTİK 9. Sınıf. Kitap Yazarlar Komisyon EVLET KİTPLRI İRİNİ SKI,0
MİLLÎ EĞİTİM KNLI ĞI YYINLRI... : 589 ERS K İTPLRI İZİSİ... : 6 06 Y000 6 u kitap Millî Eğitim akanlığı, ilim, Sanayi ve Teknoloji akanlığı ile TÜİTK arasında imzalanan Eğitimde İşbirliği protokolü kapsamında hazırlanmıştır. Kitabın her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim akanlığı na aittir. Kitabın düzeni, metni, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir şekilde alınıp yayımlanamaz. EĞİTİM MTERYLLLERİ GELİŞTİRME EİTÖRLERİ (lfabetik sırada) r. yhan Kürşat ERŞ r. ülent ÇETİNKY r. ülent GÜVEN r. İlhan KRTŞ r. Zübeyir ÇINKIR r. li OZKURT r. Enver TTR r. Fatih KRKUŞ r. Hasan TİK r. Muharrem KTÜMEN r. Rahmet SVŞ EREN r. Serkan ÖZEL r. Temel KÖS r. Tolga K EĞİTİM MTERYLLLERİ GELİŞTİRME GRUU (lfabetik sırada) Öğrt. Gör. Özkan GÜNER Öğretmen elal KRTŞ rş. Gör. vni YILIZ Öğretmen Faruk ÜŞÜNELİ rş. Gör. Erdem ÇEKMEZ Öğretmen Kadir İLHN rş. Gör. Mahmut KERTİL Öğretmen Mehmet YIN rş. Gör. Murat KOL Öğretmen Orhan ÇİFTÇİ Öğretmen bdullah ydın ÜNLÜ Öğretmen Salih EKTŞ Öğretmen dem KOŞ Uzman Yrd. Halil İbrahim TŞOV Öğretmen rif ORUÇ Uzman Yrd. Ramazan LKN Öğretmen arış YYLI İL UZMNI r. Mehmet kif ÇEÇEN GÖRSEL TSRIM UZMNI Semih Volkan PİŞKİN PROGRM GELİŞTİRME UZMNI r. Selçuk ÖZEMİR ÖLÇME EĞERLENİRME UZMNLRI r. urcu TR r. engü ÖRKN REHERLİK VE PSİKOLOJİK NIŞMNLIK UZMNI r. Yasin ÖZTÜRK ISN: 978-975--77-9 Millî Eğitim akanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun.07.0 gün ve 00 sayılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, estek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 07.08.0 gün ve 0678 sayılı yazısı ile birinci defa.000 adet basılmıştır.
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl! Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl. Hakkıdır Hakk a tapan milletimin istiklâl. en ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım! Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım. Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım. Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar, enim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar, Medeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar? rkadaş, yurduma alçakları uğratma sakın; Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın. oğacaktır sana va dettiği günler Hakk ın; Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın astığın yerleri toprak diyerek geçme, tanı: üşün altındaki binlerce kefensiz yatanı. Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı: Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı. Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda? Şüheda fışkıracak toprağı sıksan, şüheda! ânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda, Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda. Ruhumun senden İlâhî, şudur ancak emeli: eğmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli. u ezanlar -ki şehadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli. O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım, Her cerîhamdan İlâhî, boşanıp kanlı yaşım, Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na şım; O zaman yükselerek arşa değer belki başım. algalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl! Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl. Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl; Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet; Hakkıdır Hakk a tapan milletimin istiklâl! Mehmet Âkif Ersoy
GENÇLİĞE HİTE Ey Türk gençliği! irinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk umhuriyetini, ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir. Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. u temel, senin en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahların olacaktır. ir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düşersen, vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin! u imkân ve şerait, çok namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili olabilirler. ebren ve hile ile aziz vatanın bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgal edilmiş olabilir. ütün bu şeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini, müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düşmüş olabilir. Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi vazifen, Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır. Muhtaç olduğun kudret, damarlarındaki asil kanda mevcuttur. Mustafa Kemal tatürk
Sembol ve Gösterimler Kitabımızı Tanıyalım Ön Söz İÇİNEKİLER VIII IX X 5. ÜNİTE: İK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİ, ÜÇGENİN LNI VE VEKTÖRLER ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri 89 5... ik Üçgen 8 5... ik Üçgende ar çıların Trigonometrik Oranları 87 5... Kosinüs Teoremi 89 ölüm eğerlendirme 906 ölüm 5.. Üçgenin lanı 909 5... Üçgenin lanı 9 5... Sinüs Teoremi 99 ölüm eğerlendirme 958 ölüm 5.. Vektörler ve Vektörlerde İşlemler 96 5... Vektörler 965 5... Vektörlerde İşlemler 975 ölüm eğerlendirme 985 Ünite eğerlendirme 989 6. ÜNİTE: VERİ, SYM VE OLSILIK ölüm 6.. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 00 6... Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 00 ölüm eğerlendirme 0 ölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi 07 6... Grafikleri Yorumlama 00 6... Serpme Grafiği 050 6... Kutu Grafiği 060 ölüm eğerlendirme 07 ölüm 6.. Olasılık 08 6... asit Olayların Olasılıkları 085 ölüm eğerlendirme 0 Ünite eğerlendirme 0 EVP NHTRI 9 SÖZLÜK 0 VII
ve veya = eşittir ise, gerektirme çift gerektirme (ancak ve ancak) eşit değildir denktir elemanıdır elemanı değildir alt küme alt küme değil birleşim kesişim, { } boş küme [a, b] (a, b) [a, b) (a, b], / a b a, b kapalı aralığı a, b açık aralığı a dan kapalı, b den açık aralık a dan açık, b den kapalı aralık ve kümelerinin kartezyen çarpımı ve kümelerinin farkı; fark b sayısı, a sayısını (tam) böler a b (mod m) modül m ye göre a ve b sayıları denktir a a nın denklik sınıfı Z/m S N N + Z Z + Z Q m modülüne göre kalan sınıflarının kümesi sayma sayıları kümesi doğal sayılar kümesi sayma sayılar kümesi tam sayılar kümesi pozitif tam sayılar kümesi negatif tam sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesi Sembol ve Gösterimler Q irrasyonel sayılar kümesi R R R n gerçek sayılar kümesi Kartezyen koordinat sistemi karekök n. dereceden kök < küçüktür küçük veya eşittir > büyüktür br cm m km dk. sn. sa L büyük veya eşittir in mutlak değeri birim santimetre metre kilometre dakika saniye saat litre ml mililitre a: b, a b a nın b ye oranı a c = b d orantı % yüzde X aritmetik ortalama S Q Q Q standart sapma lt çeyrek Ortanca Üst çeyrek f: kümesinden kümesine tanımlı f fonksiyonu f() değişkenine bağlı f fonksiyonu Grafik (f) Koordinat düzleminde f fonksi yonu sağlayan noktaların kümesi I() f() = c irim fonksiyon Sabit fonksiyon f() = m + n oğrusal fonksiyon f() = 0 f() = Kökü f fonksiyonun -eksenini kestiği noktayı veren denklem Mutlak değer fonksiyonu Zg ( ), ] a f ( ) = [ h ( ), a < < b ] k ( ), b \ Parçalı tanımlı fonksiyon - bire bir // paralellik ^ diklik benzer yaklaşık eş [] doğru parçası doğru parçasının uzunluğu [ ışını % açısı % m ( ) açısının ölçüsü derece W açısı $ yayı K.. K. kenar-açı-kenar. K.. açı-kenar-açı K. K. K. kenar-kenar-kenar üçgeni ( ) üçgeninin alanı Ç( ) üçgeninin alanı n açısının açıortayı v kenarının kenarortayı h kenarının yüksekliği sin sinüs cos kosinüs tan tanjant cot kotanjant VIII
KİTIMIZI TNIYLIM Neler Öğreneceğiz? İlgili başlık altında öğrenilmesi amaçlanan temel konu ve kavramlar Sembol ve Gösterimler Konuyla ilişkili temel sembol ve gösterimler nahtar Terimler Konuyla ilişkili temel kavram ve terimler ikkat Konuyla ilişki dikkat edilmesi gereken uyarılar MTEMTİK TÖLYESİ Konuyu keşfederek öğrenmenizi sağlayacak şekilde, adım adım yapılandırılmış, kimi zaman bilgi iletişim teknolojilerinin de entegre edildiği etkinlikler. nahtar ilgi Konu içinde geçen kavramlarla ilgili temel ilişki ve bilgiler unu biliyor muydunuz Konuyla ilişkili gerçek hayattan merak uyandıracak ilginç bilgiler Konu ve kavramların daha iyi anlaşılmasını sağlayacak temel alıştırma ve uygulamalarla bunların çözümleri Konu dı KENİMİZİ SINYLIM İnceleyelim Matematik Tarihi Konu içinde geçen kavramlarla ilişkili bilgileri geliştirmek için internet vb. kaynakları kullanarak araştırma yapmayı gerektirecek durum ve görevler Konuyla ilişkili matematik tarihinden kişi ve olaylar Konu bittikten sonra konuyu pekiştirecek türde kavram yoklama ve muhakeme, alıştırma, uygulama ve problem çözme türünden sorular ÖLÜM ÖZETİ İlgili bölümde geçen temel kavram, ilişki ve bilgilerin bir özeti ölüm Numarası ölüm dı HZIR MIYIZ? Konuya başlamadan önce konuyla ilişkili hazır bulunuşluğu belirlemek için hazırlanmış sorular ölüm Numarası ölüm dı ÖLÜM EĞERLENİRME İlgili bölümde işlenen konuları birbirleriyle ilişkilendirerek pekiştirmeyi amaçlayan sorular aşlarken Konuyla ilgili günlük hayatta karşılaşılabilecek örnek durumlar Ünite Numarası Ünite dı ÜNİTE EĞERLENİRME İlgili ünitedeki tüm bölümleri ve konu/ kavramları içerecek şekilde klasik ve/ veya test türünde sorular IX
eğerli Öğrenciler ve Öğretmenler, ÖN SÖZ Toplumsal değişim ve gelişimin giderek ivme kazandığı, bilgi ve iletişim teknolojilerinin insan hayatının her anını etkilediği bir çağda yaşamaktayız. Yeni bilgiler, fırsatlar ve araçlar matematiğe bakış açımızı, matematikten beklentilerimizi, matematiği kullanma biçimimizi ve hepsinden önemlisi matematik öğrenme ve öğretme süreçlerimizi yeniden şekillendirmektedir. Teknolojik gelişmelerle birlikte, daha önceki kuşakların karşılaşmadığı yeni problemlerle karşılaşılan günümüz dünyasında, matematiğe değer veren, matematiksel düşünme gücü gelişmiş, matematiği modelleme ve problem çözmede kullanabilen bireylere her zamankinden daha çok ihtiyaç duyulmaktadır. Ortaöğretim Matematik ersi (9, 0, ve. Sınıflar) Öğretim Programı na uygun olarak hazırlanan bu kitap, öğrencileri sosyal ve mesleki hayata hazırlamayı ve yüksek öğrenimde gerekli olan temel matematiksel bilgi ve becerilerle donatmayı amaçlamaktadır. ncak, bunun gerçekleşmesi öncelikle matematiği yararlı, uğraşmaya değer bulma ve özenle ve sebat ederek çalışmayla mümkündür. Kitabın içeriğinde, konular ele alınırken, kavramsal anlamanın yanı sıra işlemsel akıcılığın kazandırılması; öğrenilen bilgilerin matematiksel iletişimde, problem durumlarını modelleme ve çözmede etkin kullanımına önem verilmektedir. Konu ve kavramların öğrenciler tarafından yapılandırılması sürecine eşlik etmek ve öğrencilerin güçlü matematiksel anlamlar geliştirmelerine yardımcı olmak için kitapta aşağıdaki türden deneyim ve ögelere yer verilmiştir: Merak, sebep-sonuç dahilinde sorgulama ve keşfetme. eğişkenler arasındaki ilişkileri gözlemleme. Özel durumlardan hareketle genellemelere ulaşma. Matematiksel yapıların ortak özelliklerinden yola çıkarak soyutlama yapma. Verileri sınıflandırma, analiz etme ve yorumlama. Matematiği, modelleme ve problem çözme sürecinde aktif olarak kullanma. Yeni bilgileri mevcut bilgilerle ve farklı disiplinlerle ilişkilendirme. Ulaşılan sonuçları matematiksel dilde ifade etme, gerekçelendirme ve paylaşma. ilgi ve iletişim teknolojilerinden aktif olarak yararlanma. ir insan ürünü olarak matematiğin konu ve kavramlarının tarihsel gelişimi ve bu bağlamda öne çıkan matematikçileri tanıma. u kitabın içeriği, öğrencilerin aşağıdaki hedeflere ulaşmalarını sağlayacak şekilde yapılandırılmıştır: Sayılar ve ebir Küme kavramını örneklerle açıklama, kümeler üzerinde yapılan işlemleri anlama, kümelerin temel özelliklerini belirleme ve gerçek/gerçekçi durumların modellemesini içeren problemlerin çözümünde kümelerden yararlanma Sayı kavramını gerçek sayıları oluşturacak şekilde genişletme; birinci dereceden denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulma; denklem, yüzde, oran-orantı ve bir sayının kuvveti kavramlarını kullanarak sözel problemleri çözme Fonksiyonu; bağımlı, bağımsız değişkenler arasındaki ilişki olarak açıklama ve ilgili problem durumlarını fonksiyonların tablo, grafik ve cebirsel gösterimlerinden yararlanarak inceleme X
Geometri Üçgenin temel elemanları, yardımcı elemanları ve bunlar arasındaki ilişkileri neden-sonuç ilişkisi içerisinde açıklama ik üçgende dar açıların trigonometrik değerlerini belirleme ve bu oranları problem çözme sürecinde kullanma Sinüs ve kosinüs teoremlerini anlama ve bunların uygulamalarını bağlamsal bir yaklaşım çerçevesinde yapma İki üçgenin eş veya benzer olmasını sağlayan asgari koşulları belirleme ve üçgenlerin eşliğini ve benzerliğini gerçek yaşam problemlerinin çözümünde aktif olarak kullanma Farklı problem durumlarında kullanılabilecek en uygun üçgen alan bağıntısının hangisi olduğuna karar verme ve üçgenin alan bağıntılarını problem çözme sürecinde kullanma ik üçgendeki temel uzunluk ilişkilerini problem çözme sürecinde kullanma Vektörler aracılığı ile koordinat düzleminde geometri yapmak için yeni bir bakış açısı geliştirme Veri, Sayma ve Olasılık Verileri uygun grafiklerle temsil etme irden fazla veri grubunu karşılaştırma ve yorumlamada merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini ve grafikleri kullanma Olasılıkla ilgili temel kavramları açıklama ve eş olasılıklı olayların olasılık değerlerini hesaplama Kitaptaki kavram ve konular ele alınırken Ortaöğretim Matematik ersi Öğretim Programı nın 9. sınıfta öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği beceriler aşağıdaki gibi ilişkilendirilmektedir. Modelleme / Problem Çözme Kümeleri, denklem-eşitsizlikleri, fonksiyonları, üçgenlerde benzerliği ve dik üçgende trigonometrik oranları gerçek/gerçekçi hayat durumlarını modelleme ve problem çözmede kullanma Modelleme / Problem çözme Kümeleri, denklem-eşitsizlikleri, fonksiyonları, üçgenlerde benzerliği ve dik üçgende trigonometrik oranları gerçek/gerçekçi hayat durumlarını modelleme ve problem çözmede kullanma Matematiksel Süreç ecerileri kıl Yürütme Matematiksel İletişim İlişkilendirme İspat, orantısal akıl yürütme ve olasılıklı düşünme becerisi kazanma Üçgenin özelliklerini neden-sonuç bağlamında inceleme Kümeler, denklem ve eşitsizlikler, fonksiyonlar, üçgen, vektör, veri ve olasılığa özgü terim ve sembolleri matematiksel düşünceleri ifade etmede kullanma Küme, denklem, eşitsizlik ve fonksiyon kavramlarının birbirleriyle olan ilişkilerini açıklama; bu kavramlar arasındaki cebirsel ve geometrik temsil ilişkilerini fark etme Üçgenin temel ve yardımcı elemanları arasındaki ilişkileri açıklama ilgi ve İletişim Teknolojileri ir fonksiyonun cebirsel gösterimi ile grafik gösterimi arasındaki ilişkileri belirleme, Geometrik ilişkileri keşfetme vb. amacıyla bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanma u kitabın öğretmen ve öğrencilerimiz için önemli bir kaynak ve öğretim materyali olacağı ümidindeyiz. Eğitim Materyalleri Geliştirme Editörleri XI
Ünite 5 İK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİ, ÜÇGENİN LNI VE VEKTÖRLER ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri u ölümde Neler Öğreneceğiz? Pisagor Teoremini 0 80 arasındaki açıların trigonometrik değerlerini irim çemberi Kosinüs Teoremini Neden Öğreneceğiz? Matematikteki en önemli teoremlerden biri olan Pisagor Teoremi, Eski Mısır da arazi ölçümlerinde sıklıkla kullanılmıştır. Günümüzde de uzunlukları ölçmede ve dik açıları oluşturmada birçok meslek grubu Pisagor Teoremi nden yararlanmaktadır. Trigonometri, haritacılardan grafik tasarımcılara, deprem bilimcilerden astronomiyle ilgilenenlere kadar birçok disiplinde kullanılmaktadır.
ölüm 5.. ik Üçgen ve Trigonometri HZIR MIYIZ?. şağıda verilen sayıları a b şeklinde yazınız. a. 5 b. c. 75. şağıda verilen ifadelerin değerlerini hesaplayınız. a. 5 b. c. ( ) ç. 6. şağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. + 6 = 5 + b. ( + 5) + = (+). şağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. 6 0, b. 0 0, c. 0,75 55 ç. d. 6, e. 8, 0, 58 09, 5. Yandaki şekilde üçgenine benzer iki üçgen bulunuz. + +...... 6. şağıdaki oranlardan birbirine eşit olanları belirleyerek eşleştiriniz. a. 6 0 b. 0 c. 8 0 ç. 8 0 d. 5 5 e. 7 7. şağıdaki aralıkların hangisinde tamsayı bulunmaz? a. 6, 7@ b. 65, 50@ c. ^, h ç. 6, 5@ d. ( 6, 7) 8. şağıdaki noktaları dik koordinat sisteminde gösteriniz. a. (, 0) b. (, ) c. (, ) ç. 0 (, 5) 80 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
MTEMTİK TÖLYESİ u atölye çalışmasında bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: Kareli kâğıt, cetvel, makas dım Kareli kâğıt üzerine yandaki gibi tabanları aynı doğru üzerinde bulunan ve birer kenarları çakışık, kenar uzunlukları a ve b olan iki kare çiziniz. u karelerin alanları toplamını aşağıya yazınız.... a FG b E dım karesinin kenarı üzerinde, köşesinden uzaklığı küçük karenin bir kenarının uzunluğu kadar olacak şekilde H noktası belirleyerek H ve HEF dik üçgenlerini oluşturunuz. H nu c olarak isimlendiriniz. Üçgenlerin eşliği bilgilerinizi kullanarak H = HF olduğunu gösteriniz. dım H üçgenini keserek, bu üçgenin kenarını büyük karenin kenarı üzerine ve noktası noktasıyla çakışacak şekilde yerleştiriniz. a b c H c c H b FG b E dım a HEF üçgenini keserek, üçgenin EF kenarını küçük karenin GF kenarı üzerine ve E noktası G noktasıyla çakışacak şekilde yerleştiriniz.... a c c FG b dım 5 Oluşturduğunuz HFH dörtgenin hangi özel dörtgen olduğunu belirleyiniz. u dörtgenin alanını veren ifadeyi aşağıya yazınız. H c H E... a c Sonuç Yaptığınız çalışmalar sonucunda ilk baştaki karelerin alanları toplamı ile son adımda oluşturduğunuz karenin alanı arasında nasıl bir ilişki vardır? u ilişki aynı zamanda H dik üçgeninin kenarları arasındaki ilişki midir? çıklayınız. a c c FG b...... H E Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 8
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Neler Öğreneceğiz? ik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ik üçgende dik kenarlar, yükseklik ve yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan herhangi ikisinin uzunluğu verildiğinde diğer uzunlukları bulmayı ik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu ile hipotenüs uzunluğu arasındaki ilişkiyi nahtar Terimler ik üçgen Hipotenüs ik kenar Pisagor Teoremi 5... ik Üçgen aşlarken M.Ö. 570 ile M.Ö. 95 yılları arasında yaşadığı bilinen Pisagor un ortaya attığı teorem geçmişte tarım alanlarının paylaşılması, arazi sınırlarının belirlenmesi gibi konularda kullanılmıştır. ncak bu teoremin ve karşıtının Pisagor dan çok daha önceleri de kullanıldığı bilinmektedir. Örneğin eski Mısırlılar bir ipi eş parçaya ayırarak, ve 5 birim uzunluktaki iplerle dik açı elde etmişlerdir. ir dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenarlar denildiğini önceki yıllarda öğrenmiştik. u bölümde dik üçgenlerin kenar uzunlukları ve hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkileri öğreneceğiz. 5 Hipotenüs ik kenar Yandaki şekilde kenar uzunlukları, ve 5 birim olarak verilen dik üçgenin, dik kenarları üzerine kurulan karelerin alanları ile hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının tam olarak doldurulabildiğini önceki yıllarda öğrenmiştik. aşka bir ifadeyle büyük karenin alanı küçük karelerin alanları toplamına eşittir. ik kenar şağıda bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem yer almaktadır. u teorem Pisagor Teoremi olarak bilinir. Pisagor Teoremi Teorem b a ir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Yandaki dik üçgeninde c a = b + c dir. 8 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen İspat Verilenler: nde m( W ) = 90, = c, = b, = a İstenen: a = b + c b İfade c. + olup = a dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliği çizelim. Yüksekliğin hipotenüsü kestiği noktayı olarak isimlendirelim. Gerekçe.. benzerlik kuralı. = İçler dışlar çarpımı unu biliyor muydunuz Pisagor Teoreminin sadeliği ve kullanışlılığı tarih boyunca birçok uygarlığın ve kişinin dikkatini çekmiştir. undan dolayı Pisagor Teoremine yönelik birçok ispat yapılmıştır 90 yılında Elisha Scott Loomis, Pythagorean Proposition (Pisagor İspatları) kitabında, matematiğe duyduğu sevginin verdiği bir kuvvetle, 67 adet Pisagor ispatını bir araya toplamıştır. Wells,. (0). Geometrinin gizli dünyası. oruk Yayınları.. + olup =.. benzerlik kuralı. = İçler dışlar çarpımı 5. + = + ve numaralı eşitliklerin toplamı 6. b + c = ( + ) b + c = a a Ortak çarpan parantezine alma b + c = a 6 Şekildeki gibi duvara dayalı duran merdivenin ucunun yerden yüksekliği 6 m, ucunun duvara uzaklığı m olduğuna göre merdivenin uzunluğunu bulalım. [] [] olduğundan üçgeninde Pisagor Teoremi ne göre = + 6 olacağından = 0 ve buradan = 0 m olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 8
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Matematik Tarihi 7 5 0 Yandaki şekilde m( V) = m( W ) = 90 = 7 br = 5 br = 0 br olduğuna göre = uzunluğunu hesaplayalım. M.Ö. 570 ile M.Ö. 95 tarihleri arasında yaşadığı bilinen Pisagor un sahip olduğu matematiksel bilginin kaynağı, gençlik yıllarında Mısır ve abil e yaptığı ziyaretlerden ileri gelmektedir. u ziyaretlerin sonucunda edindiği bilgiyi öğretme adına, bugünkü İtalya coğrafyasının güney sahilinde yer alan bölgede bir okul kurmuştur. Pisagor un Mısır ve abil den öğrendiği matematiksel bilgi, mantıksal temelden yoksun, yalnızca günlük hayatta karşılaşılan sorunları çözmek için kullanılan pratik bilgilerden oluşmaktaydı. Pisagor ve öğrencilerinin geometriye katkısı bu edindikleri pratik bilgileri mantıksal bir temele oturtmaya çalışmaları olmuştur. 7 8 0 5 Yandaki şekilde görüldüğü gibi ve noktaları birleştirilirse ve dik üçgenleri elde edilir. dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa; = + = 9 + 5 = 7 olarak elde edilir. üçgeninde Pisagor Teoreminden; = + 7 = + 0 = 8 br olarak bulunur. Yandaki şekilde ve birer dik üçgen = 8 cm = cm = olduğuna göre = değerini bulalım. oyer,.., Merzbach, U.. ve simov, I. (99). History of Mathematics. John Wiley & Sons. = = y olsun. dik üçgeninde Pisagor teoreminden + y = 8 dir.... (*) dik üçgeninde Pisagor Teoreminden + y = olup y = olur. u değer (*) eşitliğinde yerine yazılırsa, + = 6 = = cm olarak bulunur. 8 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen 5 cm Şekilde 5 cm lik ipe bağlı sarkaç düzeneği () konumundan (yere dik konum) () konumuna getirildiğinde yatayda cm yol alıyor. una göre sarkacın ilk duruma göre kaç cm yükseldiğini bulalım. cm 9 cm 5 cm m m m 5 5 cm cm h cm m m m E m m Sarkacın iki numaralı konumda şekildeki dik üçgenini oluşturulup Pisagor Teoremi yazılırsa + = eşitliğinden + = 5 olup + = 5 ve = 8 den = 9 cm bulunur. Sarkaç ipinin uzunluğu 5 cm olduğundan sarkaç h = = 5 9 = 6 cm yükselir. Yandaki şekilde kıyıdan m uzaklıktaki noktasında bulunan bir kişi, kıyıdan m uzaklıkta noktasındaki yanmakta olan çadırı söndürmek istiyor. unun için önce denize gidip elindeki kovayı su ile doldurması gerekiyor. = m olduğuna göre bu kişi çadırı söndürmek için en az kaç metre yol gitmelidir? noktasının kıyıya göre simetriği noktası olsun. Kıyı üzerinde uğrayacağı nokta E olmak üzere E + l E olduğundan E = E dir. O halde E + E = E + E olur. u durumda dik üçgeninde Pisagor Teoreminden, = 5 + olup = 69 ve = tür. E = E olduğundan E + E toplamı m olarak bulunur. nahtar ilgi F E G noktasından [] üzerinde herhangi bir noktaya uğrayarak noktasına en kısa yoldan gidecek birinin [] üzerindeki uğrayacağı nokta E noktası olmalıdır. Çünkü E noktası, noktasının [] na göre simetriği olan noktasından, noktasına çizilen doğru parçasının [] nı kestiği noktadır. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 85
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri 6 Verilen şekilde = cm = cm % % = cm ve m ( ) = m ( ) = 90 dir. Verilenlere göre = değerini hesaplayalım. % üçgeninde m ( ) = 90 olduğundan Pisagor Teoremine göre, = + dir. uradan = + = 5 = 5 cm olarak bulunur. enzer şekilde üçgeni dik üçgen olduğundan Pisagor Teoremine göre, = + = 5 + = 69 ve = cm bulunur. 7 8 6 E 6 8 0 F Yukarıda verilen ile EF arasındaki ilişkiyi inceleyelim. Yukarıdaki ile EF nde Pisagor Teoreminden, = 6 + 8 ve = 0 br bulunur. nin karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan bu üçgenlerin köşeleri arasında bire bir eşleme yapıldığında K. K. K. eşlik kuralına göre, FE elde edilir. Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eş olduğundan m( W ) = 90 olur. 86 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen Sonuç unu biliyor muydunuz b c a Pisagor teoreminin karşıtı da doğrudur. aşka bir ifadeyle kenar uzunlukları a, b, c birim olan bir üçgenin kenar uzunlukları arasında a + b = c şeklinde bir ilişki varsa, m( W ) = 90 dir. İnşaatlarda dik açılar Pisagor Teoremi nin karşıtı kullanılarak uzunlukları 60-80-00 cm olan ipler yardımıyla oluşturulur. u sonuca göre kenar uzunlukları, ve 5 (5 = + ) ; ve, ve 5 şeklinde olan üçgenler dik üçgen olup, kenar uzunlukları, ve ; ve 5, 8 ve 0 şeklinde olan üçgenler dik üçgen değildir. 8 6 Yandaki şekilde,, noktaları doğrusal = cm = cm = 6 cm nahtar ilgi İkizkenar dik üçgende hipotenüs uzunluğu eş olan kenarlardan birinin uzunluğunun katına eşittir. = cm ve = değerini bulalım. nde ( ) = + olduğundan Pisagor Teoreminin karşıtı gereği m ( ) = 90 % olur. 6,, noktaları doğrusal olduğundan % m ( ) = 90 olacaktır. nde Pisagor Teoreminden = + 6 eşitliğinden = 0 ve = 0 = 0 cm olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 87
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri 9 Yandaki şekilde 8 0 6 [] = 8 cm = 6 cm = 0 cm % % m ( ) + m ( ) = 70 dir. u verilenlere göre m ( % ) = değerini bulalım. üçgeninin kenar uzunlukları dikkate alındığında, = + % olduğundan Pisagor Teoremi nin karşıtına göre m ( ) = 90 dir. üçgeninin iç açı ölçüleri toplamının 80 ye eşit olduğu göz önüne alınırsa, % % % % m ( ) + m ( ) + m( ) + m( ) = 80 olduğundan 90 + + 70 = 80 ve bu son eşitlikten = 0 olarak bulunur. unu biliyor muydunuz 0 E Yandaki şekilde = br = br 5 0 6 8 = 5 br = 6 br E = 8 br E = 0 br ve,, noktaları doğrusal olduğuna göre E = değerini hesaplayalım. E üçgeninde 5 = + olduğundan m( V ) = 90 dir. Pisagor un doğduğu yer olarak bilinen, Ege enizi nde yer alan Sisam dası ndaki (Samos) Pythagorion Kasabasında Pisagor un anıtı bulunmaktadır. 5 0 6 8 enzer şekilde E üçgeninde 0 = 8 + 6 olduğundan m( W ) = 90 dir. ve E üçgenlerinin kenar uzunlukları incelendiğinde = = = olup K. K. K. benzerlik E E kuralı gereği + E dir. 88 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen enzer üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan m ( % ) = me ( % ) dir. üçgeninde m ( % ) + m ( % ) = 90 % % ve m ( ) = me ( ) olduğundan % % m ( ) + me ( ) = 90 elde edilir.,, noktaları doğrusal olduğundan % % % me ( ) = 80 -( m ( ) + me ( )) = 90 dir. E nde Pisagor Teoremi uygulanırsa, E = + E = 5 + 00 ve buradan = 5 5 br olarak elde edilir. aha önceki bölümlerde bir üçgenin açı ölçüleri ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi incelemiştik. u incelemeler sonunda ölçüsü büyük olan açı karşısında uzun kenar ve ölçüsü küçük olan açı karşısında kısa kenar olduğu sonucuna ulaşmıştık. şağıdaki üçgenlerde uzunlukları verilmeyen kenarların uzunluklarının alabileceği değerlerin neler olabileceğini inceleyelim. K unu biliyor muydunuz E F L M () m V 9 () m V E9 = 0 () m UL9 0 0 Yukarıdaki üçgenlerden EF nde E açısı dik açı olduğundan Pisagor Teoremine göre F = 5 olduğunu kolaylıkla söyleyebiliriz. nde, üçgen eşitsizliğine göre kenarının alabileceği değerler < < + şeklinde, yani < < 7 olmalıdır. ununla birlikte ve EF üçgenlerinin ikişer kenar uzunlukları eşit ve nin açısının ölçüsü EF nin E açısının ölçüsünden büyük olduğu için > F dir. u durumda kenarının uzunluğu için 5 < < 7 yazılabilir. enzer şekilde KLM nde L açısının ölçüsü EF nin E açısının ölçüsünden küçük olduğundan KM < F olur. u durumda KM kenarının uzunluğu için < KM < 5 yazılabilir. Sonuç ir nde m( ) = 90 m ( ) > 90 m ( W ) < 90 c a b a = b + c c a b a b + c a c b a b + c ir dik üçgenin dik kenarlarının üzerine kurulan düzgün çokgenlerin alanları toplamı hipotenüs üzerine kurulan düzgün çokgenin alanına eşittir. Pisagor Teoreminin gösteriminde en sık kullanılan düzgün çokgen ise karedir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 89
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Yanda verilen nde 8 6 = 8 br % = 6 br olup m ( ) > 90 dir. u verilenlere göre kenarının uzunluğunun alabileceği değerlerin hangi aralıkta olduğunu bulalım. Üçgen eşitsizliğinden nde = uzunluğunun alabileceği değerlerin aralığı 8 6 < < 8 + 6 yani < < şeklindedir. ununla birlikte m( W ) > 90 olduğundan, > + olması gerekir. olayısıyla > 6 + 8 ve bu eşitsizlikten > 00 ve > 0 elde edilir. u eşitsizlik, üçgen eşitsizliği ile birlikte düşünüldüğünde = uzunluğunun alabileceği değerlerin aralığı 0 < < olarak bulunur. 5 Şekildeki = 5 br nde 7 = 7 br % m ( ) < 90 dir. u verilenlere göre = uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım. Üçgen eşitsizliğinden 7 5 < < 7 + 5 yani < <... (*) olur. iğer taraftan m( W ) < 90 olduğundan, nde = uzunluğunun alabileceği değerlerin aralığı < + yani 7 < + 5 ve 9 5 < ise <... (**) olmalıdır. (*) ve (**) dan = uzunluğunun alabileceği değerlerin aralığı < < olur. u aralıktaki en küçük tam sayı değeri istendiğinden = 5 br olarak elde edilir. 850 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen Kenarları Tamsayı Olan ik Üçgenler Pisagor teoremi bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesinin, dik kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu ifade etmektedir. şağıda kenar uzunlukları tamsayı olan bazı dik üçgenler verilmiştir. k pozitif bir reel sayı olmak üzere, kenar uzunlukları aşağıdaki gibi verilen üçgenler dik üçgenlerdir. k k 5k 5k k k 8k 5k 7k 7k k 5k 5 5 8 5 7 7 5 6 8 0 0 6 6 0 8 50 9 5......... 6 0......... z y 7 5 Yandaki şekilde = cm = 5 cm E = cm E = 7 cm olup E % m ( ) = 90 dir. u verilenlere göre =, E = y, = z uzunluklarını bulalım. bir dik üçgen ve dik kenar uzunlukları 5 cm ve cm olduğundan bu üçgen 5-- dik üçgeni olup = cm dir. unu biliyor muydunuz a c Pisagor teoremini sağlayan pozitif tam sayı üçlülerine Pisagor Üçlüleri denir. Örneğin; --5 ve 8-5-7 sayıları Pisagor üçlüleridir. ajori F. (90). history of elementary mathematics. London: Macmillan. b E dik üçgeninin dik kenar uzunlukları 9 cm ve cm olduğundan bu üçgen 9--5 dik üçgenidir ve y = 5 cm olarak bulunur. dik üçgeninde dik kenar uzunlukları cm ve 6 cm olduğundan bu üçgen -6-0 dik üçgeni olup z = 0 cm elde edilir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 85
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Yanda verilen üçgeninde = 8 cm 8 0 = 0 cm olup % m ( ) = 90 ve [], açısının açıortayıdır. u verilenlere göre = değerini bulalım. nde iç açıortay teoremine göre = n ve = 5n elde edilir. = orantısından 8 = olup 0 bir dik üçgen, dik kenarlarından birinin uzunluğu 8 cm ve hipotenüsünün uzunluğu 0 cm olduğundan bu üçgen k-k-5k dik üçgenlerinden biri olan 8--0 üçgenidir. olayısıyla = cm dir. = + olduğundan = n + 5n n = bulunur. uradan = = 5 = 5 cm elde edilir. unu biliyor muydunuz PİSGOR ĞI Pisagor ağacı, karelerden oluşturulan ve her bir adımda Pisagor teoremini sağlayan bir fraktaldır. ik Üçgende azı İlişkiler ir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde dik üçgenin içinde oluşan yeni dik üçgenler arasındaki ilişkileri inceleyelim. β α H α β u durumda.. benzerlik kuralına göre H + H olur. dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliği çizdiğimizde dik üçgenin içinde H ve H dik üçgenleri oluşur. H dik üçgeninde mh ( % ) = a ve H dik üçgeninde mh ( % ) = b için a + b = 90 olduğundan H ve H üçgenlerinde iç açı ölçüleri toplamından mh ( % ) = b % ve mh ( ) = a olur. üçgeninin iç açılarının ölçülerinin de a, b ve 90 olduğu göz önünde bulundurulduğunda + H + H benzerliklerine ulaşılır. 85 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen 5 6 0 y H Yanda verilen şekilde = 6 cm = 0 cm H = cm H = y cm olduğuna göre y oranını bulalım. H + H olduğundan iki üçgenin kenar uzunlukları arasında H = eşitliği yazılabilir. H Orantıda verilen uzunluk değerleri yerine yazılırsa u eşitlik sadeleştirilirse y = olarak bulunur. 5 6 = elde edilir. 0 y ir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde, oluşan dik üçgenlerin benzerliği kullanılarak hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları cinsinden hesaplanabilir. şağıdaki teorem, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu ile bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirtmektedir. Teorem h ir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir. p H k h = p$ k Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 85
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri unu biliyor muydunuz İspat: Verilenler: m( W ) = 90, 6H@ = 6@, H = p, H = k, H = h İstenen: h = k p p h nde hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan H ve H üçgenlerinin açıları eş olduğundan.. benzerlik kuralına göre H + H olur. k ik üçgenleri kullanarak herhangi bir nesnenin boyunu ölçebiliriz. u yöntemde göz seviyesinde tutulan bir dik üçgenle, nesne dik kenarların uç noktaları arasına denk gelecek şekilde nesneye doğru ilerlenir. u konumda iken ağaca uzaklığı (h) ve göz seviyesinin yerden yüksekliği (k) bulunup h = k p bağıntısı yardımıyla nesnenin göz seviyesinden yukarıda kalan kısmı (p) hesaplanabilir. u şekilde nesnenin boyu (p + k) bulunur. h p H k enzer üçgenlerde eş açılar karşısındaki kenarlar orantılı olduğundan H H H = orantısından H = H H ve buradan h = p k elde edilir. H y 6 z Yanda verilen üçgeninde = cm = cm % % m ( ) = m ( ) = 90 dir. Verilenlere göre =, = y ve = z uzunluklarını hesaplayalım. bir dik üçgen ve [] hipotenüse ait yükseklik olup, yüksekliğin hipotenüs üzerinde belirlediği uzunluklar arasındaki ilişki dikkate alınırsa; = y = ve buradan da y = cm olarak bulunur. dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa, = + = + ve buradan enzer şekilde dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa, = + z = + ve buradan = 5 cm olarak elde edilir. = 5 cm olarak bulunur. 85 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen c b h p k H a ve Yukarıdaki ispata benzer şekilde dik üçgeninin hipotenüsüne ait yüksekliğin oluşturduğu dik üçgenler yardımıyla H + H + benzerliklerini oluşturup aşağıdaki sonuca ulaşılabilir. c b c = p$ a h b = k$ a p k H a Sonuç ir dik üçgende, bir dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan kendi tarafında olanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. nahtar ilgi azı kaynaklarda dik üçgenler için bu bölümde ele alınan h = p k c = p a b = k a ilişkileri Öklid bağıntıları olarak ifade edilir. 7 0 y Yandaki dik üçgeninde m( W ) = 90 [] [] 5 = 0 cm = 5 cm olduğuna göre = ve = y değerlerini bulalım. üçgeninde yukarıdaki sonuçtan 0 = 5 (5 + ) eşitliği yazılabilir. uradan 00 = 5 + 5 olduğundan 5 = 75 ve = 5 cm bulunur. Yukarıdaki sonuç kullanılarak benzer işlemler kenarı için yazılırsa; y = 5 (5 + 5) eşitliğinden y = 00 ve y = 0 cm olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 855
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri 8 Yandaki şekilde, E, F, noktaları doğrusal 8 E F = 8 cm E = cm F = cm % % % % m ( ) = me ( ) = me ( ) = mfe ( ) = 90 dir. Verilenlere göre = değerini bulalım. bir dik üçgen ve [E] hipotenüse ait yükseklik olup, dik kenar uzunlukları ile yüksekliğin hipotenüs üzerinde belirlediği uzunluklar arasındaki ilişki dikkate alınırsa; = E 6 = den = 6 cm ve buradan E = cm elde edilir. enzer şekilde E dik üçgeninde; = F E = = = 6 cm olur. 9 Yanda verilen üçgeninde 8 6 = = 8 cm % = 6 cm, m ( ) = 90 dir. Verilenlere göre = değerini bulalım. üçgeni ikizkenar olduğundan kenarına ait yükseklik çizilirse H = H olur. 8 a 6 H a H = a olsun. bir dik üçgen ve [H] hipotenüse ait yükseklik olduğundan = H eşitliğinden 6 = a 8 eşitliği elde edilir. u eşitlikten a = cm ve buradan H = 8 = 6 cm bulunur. H = H olduğundan = = 6 = cm olur. 856 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen 0 8 m 0 m, 5 m a. = değerini H E Yandaki şekilde kamyonun kasasının durumu verilmiştir. [] [] [H] [] = 8 m = 0 m ve kamyonun kasasının kapalı halde yerden yüksekliği,5 m olduğuna göre, b. Kamyonun kasası yükselmiş halde iken noktasının yerden yüksekliği olan H nu bulalım. nahtar ilgi Üçgenin alanı, herhangi bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısı olduğundan bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları çarpımı hipotenüs uzunluğu ile hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir. c H a h b c = a h b a. dik üçgeninde Pisagor Teoremi yazılırsa + 8 = 0 olup + 6 = 00 eşitliğinden = 6 ve = = 6 m bulunur. b. [E] [] olduğundan üçgeninin alanını veren ilişki 8 m 0 m, 5 m E iki farklı şekilde yazılırsa E ( ) = = ve buradan = E olur. H 8 6 = 0 h buradan h =,8 m bulunur. O halde noktasının yerden yüksekliği H =,8 +,5 = 6, m bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 857
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri MTEMTİK TÖLYESİ şağıdaki atölye çalışmasında bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu ile hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu arasındaki ilişki incelenmiştir. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir dik üçgen çiziniz. dım Çizdiğiniz dik üçgende hipotenüsün orta noktasını belirleyerek hipotenüse ait kenarortayı çiziniz. dım 6 Yazılımın uzunluk ölçme özelliğini kullanarak kenarortay uzunluğunu ve hipotenüs uzunluğunu ölçünüz. dik üçgeninin farklı durumları için bu uzunlukları karşılaştırınız. Sonuç: ir dik üçgende hipotenüs uzunluğu ile hipotenüse ait kenarortay uzunluğu arasında nasıl bir ilişki vardır? şağıya yazınız.......... Yukarıdaki atölye çalışmasından aşağıdaki sonuca ulaşabiliriz. Sonuç ir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun yarısı kadardır. 858 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgen 6 Yandaki dik üçgeninde = = cm = 6 cm % m ( ) = 90 olduğuna göre = uzunluğunu bulalım. üçgeninde Pisagor Teoreminden; = + = + 6 = 5 = cm bulunur. [] hipotenüse ait kenarortay olduğundan, uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olup = cm olur. nahtar ilgi G Yandaki şekilde dik üçgen ve G noktası üçgenin ağırlık merkezidir. [] [],, uzunlukları birbirine eşit ise m( W ) = 90 dir. = cm ve G = cm verildiğine göre = uzunluğunu bulalım. G [G] nı doğrusal uzatarak [] nı kestiği noktayı olarak isimlendirelim. G, üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan [] kenarortay olur. ğırlık merkezi kenarortayı : oranında böldüğünden G = cm olur. yrıca [] hipotenüse ait kenarortay olduğundan = = olup = 6 = cm elde edilir. m( W ) = 90 iken,, uzunluklarından herhangi ikisi birbirine eşit ise üçüncü de bu ikisine eşittir. dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa; ( ) + = = 0 cm olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 859
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri E 0 Yandaki şekilde m( W ) = 0 E = E = E olduğuna göre m ( % ) = değerini bulalım. % üçgeninde E = E = E olduğundan m ( ) = 90 olur. üçgeninde iki iç açının ölçüleri toplamı bu açılara komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşit olduğundan + 0 = 90 eşitliği elde edilir. u eşitlikten = 50 olarak bulunur. Yanda verilen şekilde = α m ( % ) = m ( % ) ve [] [] olduğuna göre m ( % ) = a değerini bulalım. [] ve [] nı doğrusal uzatarak kesiştikleri noktayı E olarak isimlendirelim. E,, noktaları doğrusal α % olduğundan me ( ) = 90 olur. E dik üçgeninde = olduğundan [] kenarortaydır. E u durumda E = = olur. E üçgeninde [] hem kenarortay hem de açıortay olduğundan bu üçgen ikizkenar üçgendir. u durumda [], E üçgeninin yüksekliği olacağından a = 90 olur. 860 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KENİMİZİ SINYLIM ik Üçgen Kavrama ve Muhakeme. şağıdaki ifadelerin yanlarına doğru olanlar için, yanlış olanlar için Y yazınız. a. (...) ir dik üçgende hipotenüs en uzun kenar olmayabilir. b. (...) ir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu dik kenarların uzunluğundan daha büyüktür. c. (...) ir üçgenin kenar uzunlukları olan a, b, c arasında c + b = a bağıntısı varsa m( W ) = 90 dir. ç. (...) ir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. d. (...) ir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçaları eş ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.. Yukarıdaki üçgeninde [] olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi veya hangileri daima doğrudur? % a. = = ise m ( ) = 90 % b. m ( ) = 90 ve = ise [] [] dir.. şağıdaki ispatta = olduğu gösterilmiştir.. c h p k b Yukarıda verilen dik üçgenine göre boşlukları doldurunuz. a. h = p... b. c = p... c. b =... (p + k) ç. b + c =... d. h + p =... e. b... = c p f. b c = h... İspatta boşluk olan kısımları tamamlayınız. noktasından [] na paralel çizelim. E Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 86
ik Üçgen KENİMİZİ SINYLIM İfade. [E] // [] Gerekçe ir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.. % m( E ) =... Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.. E = E....... 5. = [E], üçgeninde hem açıortay hem de yüksekliktir..... şağıdaki dik üçgenlerde verilen uzunluklara göre, y, z değerlerini bulunuz. a. b. y z c. R L H 8 E T F N y =... y =... z =... =... y =... z =... y z z lıştırmalar. şağıdaki üçgenlerde verilen uzunluklara göre değerlerini bulunuz. a. b. K c. ç. L M 5 N E T F S V Z S =... y =... z =.... şağıda verilen üçgenlerden hangisi veya hangileri dik üçgendir? a. 5 E b. 5 F c. L 7 K M 86 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KENİMİZİ SINYLIM ik Üçgen. şağıdaki şekillerde verilenlere göre değerlerini bulunuz. a. b. 5 6 0. Uygulama ve Problem çözme 8 Y Z Yandaki şekilde 8 dik üçgen olduğuna göre değeri kaçtır? c. 5 6 K 5. şağıdaki üçgenlerde ve açılarının ölçüleri 90 den büyük olduğuna göre in alabileceği en küçük tamsayı değerini bulunuz. a. b.. 5 5 y F E 8 Yandaki şekilde = 5 cm = cm E = 5 cm FE = 8 cm, = ve F = y olduğuna göre y değeri kaçtır? E F 6. şağıdaki üçgenlerde ve açılarının ölçüleri 90 den küçük olduğuna göre in alabileceği en büyük tamsayı değerini bulunuz. a. b. E F. 5 5 E = 5 cm, = 5 cm, E = 9 cm olduğuna göre = kaçtır? 9 Yandaki şekilde,, E noktaları doğrusal = cm = cm E = cm Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 86
ik Üçgen KENİMİZİ SINYLIM. şağıdaki şekillerde ile noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. 7. şağıda üçgenlerde ve noktalarının sırasıyla ve EF kenarlarına olan uzaklığını bulunuz. a. b. 8 c. 5 5 a. b. 5 E 6 9 F 6 0 8. 6 5. 5 Yandaki şekilde ve dik üçgenler = cm = 5 cm % ve [] nın Yukarıdaki üçgeninde = 6 cm, = cm % = ve m ( ) = 90 olduğuna göre = kaçtır? açıortayı olduğuna göre = kaçtır? 6. 5 metre uzunluğundaki merdivenin noktasındaki ucu duvardan 5 metre uzaklıktadır. Merdivenin noktasındaki diğer ucu metre aşağı yönde kaydırıldığında noktasındaki ucu kaç metre sağa kayar? 9. şağıdaki şekillerde verilenlere göre değerlerini bulunuz. a. b. 8 E F E 6 86 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KENİMİZİ SINYLIM ik Üçgen 0. Yandaki şekilde. Yandaki şekilde = 9 cm E = cm ve 9 m( W ) = 90 olduğuna göre = kaçtır? E 0 6 Verilenlere göre E = kaçtır? = = 0 cm = 6 cm % m( E) = 90 ve [E] açısının açıortayıdır.. Yandaki şekilde 0 E = 0 cm E E = 6 cm 6 = ve % me ( ) = m( W ) = 90 olduğuna göre E = kaçtır?. 5 G 0 Yandaki şekilde G noktası üçgeninin ağırlık merkezi [G], açısının açıortayı G = 5 cm dir. Verilenlere göre G = kaçtır?. Yandaki şekilde b = cm ve m( V ) = 90 dir. 5. Yandaki şekilde bir dik üçgen ve a, b a + Z olduğuna göre a b kaçtır? 5 [], açısının açıortayıdır. = 5 cm 0 = 0 cm olduğuna göre = kaçtır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 865
ik Üçgen KENİMİZİ SINYLIM 6. Yandaki şekilde 9. Yandaki şekilde α [] [] 0 = % m ( ) = 0 olduğuna göre m ( ) = a 8 E F [] [] [F] [F] [] [] [EF] [] = 8 cm = cm E = cm 7. dik üçgen 0 E α % m ( ) = 90 = = E % me ( ) = 0 olduğuna göre me ( % ) = a kaç derecedir? 0. olduğuna göre EF = kaçtır? Yandaki şekilde [] [] [] [] 8. Yandaki şekilde olduğuna göre oranını bulunuz. = 0 E dik üçgen % m ^ h= 90 α E = E =,, doğrusal ve % m ( ) = 0. 0 Yandaki şekilde [] [] [H] [] olduğuna göre me ( % ) = a kaç derecedir? H H = cm = 0 cm olduğuna göre = değerini bulunuz. 866 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KENİMİZİ SINYLIM ik Üçgen.. Yandaki şekilde 0 m 8 m 6 F E [] [] FE dikdörtgen, F, E doğrusal noktalar [F] [] m Yandaki şekilde noktasında bulunan bir kuş doğrusal bir yol izleyerek noktasına uçmuştur. Kuşun aldığı yol kaç metredir? F = 6 cm F = FE olduğuna göre FE dikdörtgeninin alanı kaç cm dir?. 0 cm 0 cm 5. N Yandaki şekilde [P] [] [N] [] [] 6 basamaklı bir merdivenin her bir basamağının yüksekliği 0 cm, basamak genişliği ise 0 cm dir. una göre ile noktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir? P P = cm N = cm = 8 cm olduğuna göre P + N toplamının en küçük değeri kaçtır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 867
ik Üçgen KENİMİZİ SINYLIM 6. E [] [] [] [] E = cm 8. E = cm = E olduğuna göre = kaçtır? çadırındaki em, elindeki deniz yıldızını deniz kenarına bırakıp en kısa yoldan çadırındaki arkadaşının yanına gidiyor. 7. = 8 m ve em in deniz kenarında uğradığı nokta E ise m( E % ) = a kaç derecedir? m m m m li ile evi arasındaki birbirini dik kesen yollar şekildeki gibidir. li eve en kısa yoldan gitmek istemektedir. 9. 8 Yandaki şekilde [] [] [] [] = li yeşil alanlardan da yürüyebildiğine göre bu işi en az kaç m yürüyerek yapabilir? = cm = 8 cm olduğuna göre = kaçtır? 868 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KENİMİZİ SINYLIM ik Üçgen 0. Yandaki şekilde [] []. İstasyon addesi 6 E = cm = 6 cm, = 8 cm [] // [] olduğuna göre = kaç cm dir? E Kültür Sokak noktasındaki araç ok yönünde ilerleyerek noktasına ulaşmaktadır. me ^ h= 90, = 60 m, % = 00 m, = 0 m olup İstasyon caddesinin Kültür sokağına paralel olduğu bilinmektedir... u araç noktasından direkt İstasyon addesi ni kullanıp ye gitseydi kaç m daha az yol giderdi? 5 Şekil I 5 arış deniz kenarına 8 m mesafededir. Elindeki kovaya su doldurup kıyıdan 6 m uzaklıktaki ağacı sulayacaktır. u işi en az mesafe yürüyerek yapmak istemektedir. una göre; a. lacağı yol kaç m dir? b. eniz kenarında uğradığı nokta G,,, E, F noktalarından hangisidir? Şekil II eniz seviyesinde m yükseklikte bulunan iskelenin uç kısmında sabitlenmiş şekildeki oltanın uzunluğu 5 m dir. Su yüzeyinde iskelenin tabanından m uzaklıktaki noktasında oltaya yakalanan balık m ilerideki noktasına kadar kaçabiliyor. alığın tüm hareketi süresince olta teli gergin ve balığın tüm hareketi doğrusal olduğuna göre balık dan ye kaçarken oltadan kaç m tel açılmıştır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 869
ik Üçgen KENİMİZİ SINYLIM. 5 m Havuz m 8 m 9 m m 6 m an dan ye en kısa yoldan yürüyerek gitmek istiyor. Yeşil alanlardan da gidebildiğine göre en az kaç metre yürüyerek ye varabilir? 870 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
MTEMTİK TÖLYESİ u atölye çalışmasında dinamik geometri yazılımı kullanarak dik üçgenin kenar uzunluklarının birbirine oranlarını inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım inamik geometri yazılımında dar açı olacak şekilde,, noktaları belirleyerek ile ışınlarını çiziniz. dım ışını üzerinde bir noktası belirleyerek bu noktadan ışınına dik bir doğru çiziniz. Çizdiğiniz dik doğrunun ışınını kestiği noktayı E olarak isimlendiriniz. E dım Yazılımın uzunluk ölçme ve hesap makinesi özelliklerini kullanarak E dik üçgeninin kenar uzunluklarını ölçerek E E,, ve oranlarını bulunuz. E E E dım noktasını ışını üzerinde hareket ettirdiğinizde oluşan farklı E dik üçgenleri için yukarıda bulduğunuz oranların aldığı değerlerin değişimi hakkında ne söyleyebilirsiniz? dım 5 % nın farklı dar açı değerleri için yukarıdaki adımları tekrarlayarak E dik üçgenin kenarları arasındaki oranları inceleyiniz. Sonuç: Yaptığınız işlemler sonunda dik üçgenlerin kenar uzunluklarının oranları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız....... Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 87
ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Neler Öğreneceğiz? ik üçgende bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kontanjant değerlerini ik üçgende 0, 5 ve 60 lik açı ölçülerinin trigonometrik oranlarını Eşkenar üçgenin yükseklik uzunluğu ile kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi irim çemberi 0 ile 80 arasındaki açı ölçülerinin trigonometrik değerlerini 5... ik Üçgende ar çıların aşlarken Trigonometrik Oranları Günümüzde astronomi, geometri, fizik, optik ve haritacılık gibi alanlarda sıklıkla kullanılan trigonometrinin ortaya çıkışı eski çağlara dayanmaktadır. irçok bilim insanı Piri Reis in ünya haritasını hazırlarken trigonometriden yararlanmış olabileceğini dile getirmektedir. nahtar Terimler Trigonometri Trigonometrik oran Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant irim çember E Yukarıdaki şekilde verilen ve E dik üçgenlerinin karşılıklı açıları eş olduğun- dan.. benzerlik kuralına göre + E dir. u üçgenler için benzerlik oranı, Sembol ve Gösterimler sin cos tan cot = şeklinde yazılabilir. Orantının özellikleri kullanılarak E E = oran- tısı yazılabilir. ir diğer ifade ile dik üçgenin açıları değiştirilmedikçe ilgili kenarlarının uzunlukları arasındaki oranlar da değişmemektedir. ik üçgenin kenar uzunlukları arasında yer alan oranlara trigonometrik oranlar adı verilir. u bölümde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant isimleri ile bilinen trigonometrik oranlar incelenecektir. 87 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ik Üçgende ar çıların Trigonometrik Oranları ir dik üçgende bir dar açının sinüs değeri, açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. u değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne sin yazılarak gösterilir. Kar ı ik Kenar Uzunlugu b sin = = Hipotenüs Uzunlugu c ir dik üçgende bir dar açının kosinüs değeri, açıya komşu olan dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. u değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne cos yazılarak gösterilir. Komuik Kenar Uzunlugu a cos = = Hipotenüs Uzunlugu c nahtar ilgi Hipotenüs Karşı dik kenar Komşu dik kenar c b a ir dik üçgende bir dar açının tanjant değeri, açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğunun açıya komşu olan dik kenar uzunluğuna oranıdır. u değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne tan yazılarak gösterilir. Kar ı ik Kenar Uzunlugu b tan = = KomuikKenar Uzunlugu a 5 Yandaki dik üçgeninde = 5 cm = cm = cm olarak veriliyor. ir dik üçgende bir dar açının kotanjant değeri, açıya komşu olan dik kenar uzunluğunun açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğuna oranıdır. u değer, açının köşesinde bulunan noktayı gösteren harfin önüne cot yazılarak gösterilir. Komuik Kenar Uzunlugu a cot = = Kar ı ik Kenar Uzunlugu b una göre, açısının trigonometrik oranlarını bulalım. Matematik Tarihi Matematiğin önemli bir dalı olan trigonometri Yunanca üçgen (trigon) ve ölçüm (metrio) sözcüklerinin birleştirilmesiyle oluşup kökleri eski zamanlarda astronomi ve denizcilik alanında yapılan çalışmalara dayanmaktadır. Trigonometrinin kurucusu olarak M.Ö. 90 yılında İznik te doğmuş Yunan astronomu Hipparkhos kabul edilir. Topdemir, G. H. (0). Hipparkhos ve Trigonometrinin doğuşu. ilim ve Teknik, 58, (s.88-90) Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 87