OHÜ Müh. Bilim. Derg. / OHU J. Eng. Sci. ISSN: 147-01X Ömer Halisdemir Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 6, Saı 1, (017), 76-8 Omer Halisdemir Universit Jurnal f Engineering Sciences, Vlume 6, Number 1, (017), 76-8 Araştırma / Research DEĞİŞKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ Faruk Fırat ÇALIM * İnşaat Mühendisliği Bölümü, Mühendislik ve Dğa Bilimleri Fakültesi, Adana Bilim ve Teknlji Üniversitesi, Adana, Türkie Geliş / Received: 1.04.016 Düeltmelerin gelişi / Received in revised frm: 0.07.016 Kabul / Accepted:.07.016 ÖZ da, değişken kesitli kirişlerin serbest titreşimleri incelenmiştir. Değişken kesitli çubukları idare eden denklemler Timshenk çubuk terisi kullanarak elde edilmiştir. Frmülasnda, eksenel ve kama defrmasnu, dönme ataleti ve kesit değişkenliği etkileri gö önüne alınmıştır. Laplace uaında elde edilen skaler frmdaki adi diferansiel denklemler, tamamlaıcı fnksinlar öntemi ardımıla saısal larak çöülmektedir. Değişken kesitli çubukların serbest titreşim analii apılmıştır. Kesit değişim parametresi, sınır şartlarının serbest titreşime etkisi araştırılmıştır. da elde edilen snuçların snuçları ile uum içinde lduğu görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Serbest titreşim, değişken kesitli kirişler, tamamlaıcı fnksinlar metdu FREE VIBRATION ANALYSIS OF TIMOSHENKO BEAM WITH VARIABLE CROSS-SECTION ABSTRACT The free vibratin f beams with variable crss-sectin was investigated. The gverning equatins fr beams with variable crss-sectin were btained using Timshenk beam ther. The effect f aial and shear defrmatins, rtar inertia and nn-unifrmit crss-sectin were cnsidered in the frmulatins. Ordinar differential equatins in scalar frm btained in the Laplace dmain were slved numericall using the cmplementar functins methd. The free vibratin f beams with variable crss-sectin was analsed. The effects f nn-unifrmit parameter, bundar cnditins n free vibratin were investigated. The results btained in this stud were fund t be in gd agreement with thse btained frm. Kewrds: Free vibratin, nn-unifrm beams, cmplementar functin methd 1. GİRİŞ Değişken kesitli kirişlerin dinamik davranışı önemli bir mühendislik prblem larak güncelliğini krumaktadır. Değişken kesitli kirişler apı sistemlerinde agın larak kullanılmaktadır. Cranch ve Adler [1] değişken kesitli kirişlerin dğal frekansları için kapalı bir çöüm sunmuşlardır. Chen ve Xie [] değişken kesitli çubukların dğal frekanslarını hesaplaabilmek için eni bir saısal öntem önermişlerdir. Eisenberger ve Reich [3] değişken kesitli kiriş prblemlerinin analii için snlu elemanlar öntemini kullanmışlardır. Unifrm kesitli kirişlerin deplasman fnksinunu kullanarak rijitlik ve tutarlı kütle matrislerini elde etmişlerdir. Jategankar ve Chehil [4] kirişlerin dğal frekanslarını incelemişlerdir. Eisenberger [5] değişken kesitli kirişlerin çöümü için eni bir frmülasn sunmuşlardır. Nakahira ve ark. [6] değişken kesite sahip kirişlerin titreşimini Stdla- * Crrespnding authr / Srumlu aar. Tel.: +90 3 455 0000; e-mail/e-psta: f_calim@ah.cm 76
DEĞİŞKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ Newmark öntemini kullanarak incelemişlerdir. Leung ve Zhu [7] farklı sınır şartlarına sahip değişken kesitli Timshenk kirişini anali etmek için dinamik rijitlik matrisi öntemini kullanmışlardır. Tng ve ark. [8] kefi değişken kesitli Timshenk kirişinin serbest ve rlanmış titreşimlerini araştırmışlardır. Abrate [9] değişken kesitli kirişler için kesin çöüm sunmuştur. Arıca, değişken kesite sahip kirişlerin titreşimini anali etmek için genel bir prsedür geliştirmiştir. değişken kesite sahip itrpik kirişlerin titreşimini araştırmışlardır. Calim [11] değişken kesite sahip kmpit kirişlerin serbest ve rlanmış titreşim analiini incelemiştir. Zhu ve Cheung [1] değişken kesite sahip kirişlerin titreşim karakteristiklerini çalışmışlardır. Kang ve Leissa [13] dairesel kesite sahip değişken kesitli çubukların serbest titreşim ve md şekillerini araştırmışlardır. lut [14] peridik larak değişken hılarda dönen değişken kesitli kirişlerin dülemine dik eğilme titreşimlerini incelemiştir. Banerjee ve Jacksn [15] dönen değişken kesitli Raleigh kirişinin serbest titreşim analii için dinamik rijitlik metdunu geliştirmişlerdir. Baghani ve ark. [16] elastik emine turan değişken kesitli kirişlerin serbest titreşim analiini çalışmışlardır. Lee ve Lee [17] taşıma matrisi öntemi kullanarak değişken kesite sahip Bernulli-Euler kirişinin serbest titreşimini incelemişlerdir. da farklı sınır şartlarına sahip değişken kesitli kirişlerin serbest titreşim analii için etkin bir saısal öntem kullanılmıştır. Frmülasnda, eksenel ve kama defrmasnu etkileri de gö önüne alınmıştır. Kannik frmda Laplace uaında elde edilen adi diferansiel denklemlere tamamlaıcı fnksinlar öntemi ugulanarak prblemin dinamik rijitlik matrisi hesaplanmıştır., genel sınır şartlarına sahip prblemlerin çöümünde büük avantajlar sağlamaktadır. Snlu elemanlar önteminde, prblemi çk fala saıda eleman ile tanımlamak gerekirken, önerilen bu öntemde sadece birkaç elemanla tanımlaarak istenilen hassasiette kesin snuçlar elde edilmektedir. Değişken katsaılı adi diferansiel denklemler de tamamlaıcı fnksinlar öntemi ardımıla Laplace uaında çöülebilmektedir.. MATERYAL VE METOT.1. Denklemler Çubuk ekseni üerinde herhangi bir nktada er değiştirme U (, t) ve bu nktadaki kesitin dönmesi (, t) larak gösterilsin. T ve M ise iç kuvvet ve mment vektörü larak gösterilsin. Defrmasnların çk küçük lduğu kabul edilen çubuğun malemesi hmjen, lineer elastik ve itrp lup çubuk gemetrisi Şekil 1 de gösterilmektedir. Laplace uaında kannik frmda değişken kesitli kirişlerin serbest titreşimini idare eden diferansiel denklemler d U d Ω k G A() T (1a) d Ω d d Ω d 1 M E I ( ) 1 M E I ( ) (1b) (1c) d T d d ρ A() s U M ρ I () s Ω (1e) d d M d ρ I () s Ω T (1f) (1d) lup burada, kütlesel ğunluk, A kesit alanı, E ve G elastik sabitler, k kama düeltme faktörü, I burulma, I ise eğilme atalet mmentleridir. Y(, t) kln matrisi, Y (, t ) U,,, T, M, M T () 77
F. F. ÇALIM Şekil 1. Değişken kesitli dğru eksenli çubuk larak tanımlanmaktadır. () ifadesinin amana göre Laplace dönüşümü, t>0 için L Y (, t ) Y (, s ) ise s t Y (, s ) Y (, t) e dt (3) 0 lup burada, Laplace dönüşüm parametresi lan s kmpleks bir saıdır. Harmnik titreşim kabulü ile U,, T ve M vektörleri denklem (4) de verilmektedir. * iω t U (, t ) U () e, * iω t * iω t * iω t Ω (, t ) Ω () e, T (, t ) T () e, M (, t ) M () e (4) * Eğer, deplasmanlar ve bunlara karşılık gelen kuvvetler, Y ( ) kln matrisinin bileşenleri larak düşünülürse, bu 6 adet denklem matris frmunda aşağıdaki şekilde aılabilir. d Y * ( ) * F (, ω) Y ( ) (5) d Sistem dinamik rijitlik matrisinin determinantını sıfır apan değerleri prblemin dğal frekanslarını temsil etmektedir... Tamamlaıcı Fnksinlar Yöntemi ile Diferansiel Denklemlerin Çöümü Sabit katsaılı 6 adet diferansiel denklem 1a-f eşitliklerinde verilmiştir. denklemlerin her biri ere göre birinci mertebe türevleri içermektedir. 1a-f denklemleri matris frmunda aşağıdaki gibi ifade edilebilir. d Y (, s) d F (, s) Y (, s) B (, s) (6) Uasal çubuklar için, durum vektörünün elemanları 7 ifadesinde tanımlanmaktadır. Y (, s ) U (, s ), Ω (, s ), T (, s ), M (, s ) T (7) Tamamlaıcı fnksinlar öntemi, başlangıç şartları ardımı ile 6 numaralı denklemin çöümüne daanmaktadır. öntem ardımı ile sınır değer prblemi başlangıç değer prblemine indirgenmektedir. 6 numaralı denklemin genel çöümü Y (, s ) C 6 m 1 m ( U ( m ) (, s )) V (, s ) (8) 78
DEĞİŞKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ şeklindedir. rada, U ( m ) (, s ) ifadesinin m inci bileşenine 1, diğerlerine sıfır değeri verilerek elde edilen hmjen çöümü göstermektedir. V (, s ) ise başlangıç şartları sıfır alınarak elde edilen öel çöümdür. C m integrasn sabitleri ise sınır şartlarından elde edilmektedir. 3. BULGULAR VE TARTIŞMA 3.1. Saısal Ugulama da, değişken kesitli kirişlerin serbest titreşimini anali etmek için genel amaçlı Frtran dilinde bir bilgisaar prgramı haırlanmıştır. Öel larak, prblemin serbest titreşim frekansları, Laplace parametresi s erine i parametresi knularak hesaplanmaktadır. Tamamlaıcı fnksinlar öntemine daalı başlangıç değer prbleminin çöümü için tcher ın beşinci mertebe Runge-Kutta algritması kullanılmıştır. Elde edilen serbest titreşim frekansları aşağıdaki ifade ardımı ile butsu hale getirilmektedir. 4 A L / E I (9) i i Snlu elemanlar öntemine daalı prgramı ile çöüm aparken düğümlü 6 serbestliğe sahip 3 butlu çubuk eleman mdeli (BEAM 188) kullanılmıştır. da önerilen öntemle prblem iki vea üç eleman ile mdellenmesine karşın, snlu elemanlar öntemine daalı prgramı ile çk fala saıda dğru eksenli çubuk elemanına ihtiaç duulmaktadır. 3.1.1. Örnek 1 Farklı sınır şartlarına sahip gemetrisi epnansiel larak değişen bir kiriş prblemi incelenmiştir (Şekil ). Ankastre-ankastre (AA), sabit-sabit mesnet (SS) ve ankastre-bş (AB) sınır kşulları dikkate alınmıştır. Kirişe ait gemetri ve maleme öellikleri: L= 0,381 m ve L / b = 8,87, h= h = sabit ve b()= b e β (1-/ L), elastisite mdülü E= 10 GPa, kama mdülü G= 80 GPa, Reissner s düeltme faktörü k = 1, larak alınmıştır. Epnansiel daralan kirişe (β=1) ait dülemine dik butsu serbest titreşim frekansları hesaplanmış lup Tabl 1 de verilmiştir. tsu larak ilk beş serbest titreşim frekansı Timshenk ve Bernulli-Euler kiriş terileri kullanılarak elde edilmiş ve literatürdeki snuçlarla karşılaştırılmıştır. Tabl 1 incelendiğinde, önerilen mdel ardımıla elde edilen snuçlar ile literatür ve snuçları ile uumlu ldukları görülmektedir. Şekil. Epnansiel aalan dğru eksenli kiriş 79
F. F. ÇALIM Tabl 1. Knsl kirişe ait dülemine dik butsu serbest titreşim frekansları (β= 1) Md Cranch ve Adler [1] Kesin çöüm Tng ve Tabarrk [8] Bernulli Timshenk Bernulli Bernulli Timshenk Bernulli Timshenk 1 4,7350 4,7347 4,791 4,730 4,7340 4,79 4,7335 4,79 4,03 4,01 4,041 4,0 4,165 4,040 4,16 4,040 3 63,850 63,861 6,868 63,865 63,64 6,863 63,617 6,870 4-13,091 119,638 13,098 1,38 119,60 1,4 119,643 5 - - - 0,069 199,80 193,9 199,796 193,81 Arıca farklı sınır şartlarına sahip gemetrisi epnansiel larak aalan kirişe ait butsu serbest titreşim frekansları Tabl de verilmektedir. Tabl incelendiğinde, elde edilen snuçların birbirleri ile uumlu ldukları görülmektedir. Tabl. Farklı sınır şartlarına ait dülemine dik butsu serbest titreşim frekansları Ankastre-Bş (AB) Ankastre-Ankastre (AA) Sabit-Sabit (SS) β Md 0 1 1 3,516 3,515 3,515,37,36,36 9,870 9,865 9,865,04,00,00 61,67 61,53 61,53 39,48 39,40 39,40 3 61,70 61,46 61,46 10,9 10,3 10,3 88,83 88,43 88,43 4 10,9 10,1 10,1 199,9 198, 198, 157,9 156,7 156,7 5 199,9 197,6 197,6 98,6 94,7 94,7 46,7 43,8 43,8 1 4,73 4,734 4,733,51,50,50 9,773 9,768 9,768 4,0 4,17 4,16 61,86 61,7 61,7 39,57 39,49 39,49 3 63,87 63,6 63,6 11,1 10,5 10,5 88,97 88,58 88,58 4 13,1 1, 1, 00,0 198,4 198,4 158,1 156,9 156,9 5 0,1 199,8 199,8 98,8 94,9 94,9 46,9 43,9 43,9 1 6,59 6,6 6,60,94,9,9 9,487 9,483 9,48 6,58 6,55 6,54 6,4 6,8 6,8 39,85 39,78 39,77 3 66,38 66,13 66,1 11,7 11,1 11,1 89,41 89,01 89,01 4 15,7 14,8 14,8 00,7 199,0 199,0 158,6 157,4 157,4 5 04,7 0,4 0,4 99,4 95,6 95,5 47,5 44,5 44,5 Arıca ankastre-ankastre (AA) ve sabit-sabit (SS) sınır kşullarında kesit değişim parametresi (β) değeri serbest titreşim frekanslarını çk a etkilemektedir. Ancak ankastre-bş (AB) sınır kşulunda ise kesit değişim parametre değerinin artması serbest titreşim değerlerini arttırmaktadır. davranış mesnetlerin rijitliği ile ilişkilidir. 3.1.. Örnek Farklı sınır şartlarına sahip kesiti lineer aalan kiriş prblemi incelenmiştir (Şekil 3). Ankastre-ankastre (AA), sabit-sabit mesnet (SS) ve ankastre-bş (AB) sınır kşulları dikkate alınmıştır. Kirişe ait gemetri ve maleme 80
DEĞİŞKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ öellikleri: L= 0,381 m ve L / h = 10, b= b = sabit ve h ( ) h 1 / L, elastisite mdülü E= 10 GPa, kama mdülü G= 80 GPa, Reissner s düeltme faktörü k =1,5 larak alınmıştır. Farklı sınır şartları ve kesit değişim parametresini içeren kesiti lineer değişen kirişe ait butsu halde dülemine dik serbest titreşim frekansları Tabl 3 te verilmektedir. Tabl 3 incelendiğinde, önerilen mdel ardımıla elde edilen snuçlar ile literatür ve snuçlarının uumlu ldukları görülmektedir. Arıca, kesit değişim parametresi arttıkça ankastre-ankastre (AA) ve sabit-sabit (SS) sınır şartlarında serbest titreşim frekansları aalırken, ankastre-bş (AB) sınır şartında ise artmaktadır. Şekil 3. Lineer aalan dğru eksenli kiriş Tabl 3. Farklı sınır şartlarına ait dülemine dik butsu serbest titreşim frekansları β 0 0,5 0,5 0,75 Md Ankastre-Bş (AB) Ankastre-Ankastre (AA) Sabit-Sabit (SS) Tng ve Tabarrk [8] 1 3,483 3,483-0,67 0,67 9,676 9,676 0,70 0,70-5,31 5,30 36,68 36,68 3 53,91 53,91-93,49 93,48 76,47 76,46 4 96,76 96,74-108,8 108,8 108,8 108,8 1 3,605 3,605-18,33 18,3 8,448 8,448 19,7 19,7-47,15 47,14 3,49 3,49 3 49,09 49,09-85,55 85,54 68,73 68,73 4 88,57 88,56-108,7 108,7 108,7 108,7 1 3,794 3,794 15,64 15,63 15,63 7,043 7,043 17,63 17,63 40,9 40,87 40,87 7,78 7,78 3 43,46 43,46 75,54 75,40 75,40 59,54 59,5377 4 78,54 78,53 116,9 116,7 116,7 99,89 99,87 1 4,147 4,147-1,34 1,34 5,309 5,309 15,75 15,75-3,76 3,76,17,17 3 36,60 36,60-61,5 61,51 47,98 47,98 4 65,55 65,55-96,95 96,95 81,65 81,65 4. SONUÇLAR da, değişken kesitli kirişin serbest titreşim analii için etkin bir öntem sunulmuştur. Değişken kesitli kirişleri idare eden denklemler Timshenk çubuk terisi kullanılarak elde edilmiştir. Frmülasnda, kesit değişim parametresi, eksenel ve kama defrmasnu etkileri gö önüne alınmıştır. Skaler frmdaki adi diferansiel denklemler tamamlaıcı fnksinlar ve rijitlik matrisi öntemi ardımıla saısal larak çöülmüştür. Değişken kesitli dğru eksenli çubukların serbest titreşim analii için literatürde farklı öntemler kullanılarak incelenen örnekler ele alınmıştır. Anı amanda snlu elemanlar öntemine daalı prgramı ile de çöümler apılmıştır. prgramı ile çöüm apılırken istenilen hassasiette snuç alabilmek için prblem 81
F. F. ÇALIM çk fala elemanla mdellenmesi gerekebilmektedir. Ele alınan prblemler, önerilen öntem ve ile çöülmüş lup diğer öntemlerle karşılaştırılmış ve snuçların birbirleri ile uum içinde ldukları görülmüştür. da önerilen öntemle prblem birkaç eleman ile mdellenirken, prgramı ile çk fala saıda dğru eksenli çubuk elemanına ihtiaç duulmaktadır. Arıca kesit değişim parametresi ve farklı sınır şartlarının değişken kesitli dğru eksenli çubukların serbest titreşim frekanslarına etkisi araştırılmıştır. İncelenen örneklerde, kesit değişim fnksinlarının, kesit değişim parametresinin ve sınır kşullarının serbest titreşim frekansları üerinde etkili ldukları açıkça görülmektedir. KAYNAKLAR [1] CRANCH, E.T, ADLER, A.A., "Bending Vibratin f Variable Sectin Beams", Jurnal f Applied Mechanics, 3(1), 103-108, 1956. [] CHEN, Y.Z., XIE, J.R., "Evaluatin f Natural Frequencies f Nn-Unifrm Beams b Numerical Integratin", Cmputers & Structures, 9(4), 693-697, 1988. [3] EISENBERGER, M., REICH, Y., "Static, Vibratin and Stabilit Analsis f Nn-Unifrm Beams", Cmputers & Structures, 31(4), 567-573, 1989. [4] JATEGAONKAR, R., CHEHIL, D.S., "Natural Frequencies f a Beam with Varing Sectin Prperties", Jurnal f Sund and Vibratin, 133(), 303-3, 1989. [5] EISENBERGER, M., "Eact Slutin fr General Variable Crss-Sectin Members", Cmputers & Structures, 41(4), 765-77, 1991. [6] NAKAHIRA, N., OZAWA, K., MIZUSAWA, T., "Vibratin f Beams with Varing Crss-Sectins b the Stdla-Newmark Methd", Cmputers & Structures, 43(5), 999-1004, 199. [7] LEUNG, A.Y.T., ZHOU, W.E., "Dnamic Stiffness Analsis f Nn-Unifrm Timshenk Beams", Jurnal f Sund and Vibratin, 181(3), 447-456, 1995. [8] TONG, X., TABARROK, B., YEH, K.Y., "Vibratin Analsis f Timshenk Beams with Nn- Hmgeneit and Varing Crss-Sectin", Jurnal f Sund and Vibratin, 186(3), 81-835, 1995. [9] ABRATE, S., "Vibratin f Nn-Unifrm Rds and Beams", Jurnal f Sund and Vibratin, 185(4), 703-716, 1995. [10] ECE, M.C., AYDOGDU, M., TASKIN, V., Vibratin f a Variable Crss-Sectin Beam, Mechanics Research Cmmunicatins, 34, 78-84, 007. [11] CALIM, F.F., "Free and Frced Vibratins f Nn-Unifrm Cmpsite Beams", Cmpsite Structures, 88, 413-43, 009. [1] ZHOU, D., CHEUNG, Y.K., The Free Vibratin f a Tpe f Tapered Beams, Cmputer Methd in Applied Mechanics and Engineering, 188, 03-16, 000. [13] KANG, J.H., LEISSA, A.W., Three-dimensinal Vibratinal Analsis f Thick Tapered Rds and Beams with Circular Crss-Sectin, Internatinal Jurnal f Mechanical Sciences, 46, 99-944, 004. [14] BULUT, B., Effect f Taper Rati n Parametric Stabilit f a Rtating Tapered Beam, Eurpean Jurnal f Mechanics A/Slids, 37, 344-350, 013. [15] BANERJEE, J.R., JACKSON, D.R, Free Vibratin f a Rtating Tapered Raleigh Beam: A Dnamic Stiffness Methd f Slutin, Cmputers & Structures, 14, 11-0, 013. [16] BAGHANI, M., MAZAHERI, H., SALARIEH, H., Analsis f Large Amplitude Free Vibratins f Clamped Tapered Beams n a Nnlinear Elastic Fundatin, Applied Mathematical Mdelling, 38, 1176-1186, 014. [17] LEE, J.W., LEE, J.Y, Free Vibratin Analsis using Transfer-Matri Methd n a Tapered Beam, Cmputers & Structures, 164, 75-8, 016. 8