ø/(5ø0$7(0$7ø., DERS NOTLARI

4ø/5ø$7$7ø., DES NOTLAI UI'UgPHU/ WIL'H LUPHQFL 6

.. Fosiyo DizileriQGH<DNÕQVDNOÕN 7HULPOHULIQNVL\QODUGDQOXúDQGL]LOHUHIQNVL\QGL]Lsi deir. Bir osiyo dizisi u, u,..., u vey { u } úhnloohulqghq ELUL LOH J VWHULOLU Burd, u,,... IQNVL\QODUÕ D\QÕ bir DE OJHVLQGHWDQÕPOÕYHEHOOL ]HOOLNOHUHVDKLSIQNVL\QODUGÕU Diziside yerie herhgi bir o D VD\ÕVÕ\D]ÕOGÕ ÕQGD{ u o } VD\ÕGL]LVLHOGHHGLOLUYHEXVD\ÕGL]LVLV ]NQXVXDE OJHVLQGH\DNÕQVDN\DGD ÕUDNVDN ODELOLU guqh LQ { } diziside yerie, - YH \D]GÕ ÕPÕ]GD, VÕUDVÕ\OD { } ve VD\Õ GL]LOHULQL HOGH HGHUL] %XQODUGDQ ELULQFLVL ÕUDNVDNLNHQLNLQFLVL\DNÕQVDNGL]LGLU lim. u 7DQÕP Tüm X ve ler içi u < M,,... ODFDN úhnlogh EHOOL ELU M! VD\ÕVÕ YDUVD GL]LVLQH X D ümeside VÕQÕUOÕ GL]L GHQLU HUKDQJL ELU N PHGH VÕQÕUOÕ OPD\DQ GL]LOHUH VÕQÕUVÕ] GL]L GHQLU%LUGL]LQLQVÕQÕUOÕOGX XN PHELUNDSDOÕDUDOÕN\DGDVQOXYH\DVQVX] DoÕN\DUÕDoÕNDUDOÕNODELOLU guqh LQ { } dizisi [-@DUDOÕ ÕQGDVÕQÕUOÕM ie,] y d [, DUDOÕNODUÕQGD VÕQÕUVÕ]GÕU N PHVLQGHVÕQÕUOÕGÕUM. si dizisi ise,, 7DQÕP Tüm X D ve ler içi u < u HúLWVL]OL LVD ODQÕUVD, { u } dizisie, XN PHVLQGHDUWDQGL]LGHQLU HU u > u

HúLWVL]OL LVD ODQÕUVDbu durumd d { u } dizisie, X ümeside zl dizi deir. u u HúLWVL]OL LQLQVD ODQGÕ ÕGL]LOHUHD]DOPD\DQ u u HúLWVL]OL LQLQVD ODQGÕ ÕGL]LOHUHGHX ümeside rmy dizi deir. guqh LQ { } dizisldudoõ ÕQGDD]DODQLNHQ, DUDOÕ ÕQGDise r dizidir. Bir D N PHVLQGHQ DOÕQDQ o VD\ÕODUÕQGDQ ED]ÕODUÕ LoLQ { } u dizisi \DNÕQVDN\DGDÕUDNVDNODELOLU HU { u } dizisi, bir o VD\ÕVÕLoLQ\DNÕQVDN ise { u } dizisie, o QNWDVÕQGD \DNÕQVDNWÕU GHQLU o VD\ÕVÕQD LVH GL]LQLQ \DNÕQVDNOÕNQNWDVÕGHQLU%HQ]HUODUDNH HU { u } dizisi, bir o VD\ÕVÕLoLQ ÕUDNVDN LVH { u } dizisie, o QNWDVÕQGD ÕUDNVDNWÕU GHQLU %X GXUXPGD o VD\ÕVÕQD GD GL]LQLQ ÕUDNVDNOÕN QNWDVÕ GHQLU HU { u } dizisi, bir X N PHVLQLQ W P QNWDODUÕQGD \DNÕQVDN ÕUDNVDN LVH { u } dizisie, X N PHVLQGH\DNÕQVDNÕUDNVDNdizi deir. HU{ u } dizisi, bir XN PHVLQGH\DNÕQVDNLVHEXGXUXPGD, X içi limu OLPLWL YDUGÕU YH bu limi, geel olr H ED OÕ ELU u osiyoudur. u osiyou, { u } dizisii, X ümesidei limii deir ve lim u u úhnolqgh \D]ÕOÕU guqh LQ { } o GL]LVL DUDOÕ ÕQÕQ W P QNWDODUÕQGD \DNÕQVDNWÕUYH lim GÕU$\QÕGL]L QNWDVÕQGDGD\DNÕQVDNOPDVÕQD NDUúÕQEXQNWDdi limii dir. 7DQÕP Her X D ve eyiε > ve ε, VD\ÕODUÕ LoLQ > o ε, NúXOXQXVD OD\DQW P ler içi o > u u < ε

NúXOX VD ODQÕUVD { u } dizisisie, X ümesigh \DNÕQVDN GL]L YH u osiyou d bu dizii limii deir. Öre. dizisii, DoÕNDUDOÕ ÕQGDNL\DNÕQVDNOÕ ÕQÕLQFHOH\HOLP Çözüm. D\GDVÕ KLo ELU ]DPDQ OPD\DFD ÕQGDQ GL]LQLQ Jeel erimi her \HUGHWDQÕPOÕGÕU LoLQGL]LQLQVÕIÕUD\DNÕQVDGÕ ÕDoÕNWÕU, DUDOÕ ÕQGD dizi úhnolqgh\d]õodelolu%xgxuxpgd lim olur. Diziyi,, DUDOÕ ÕQGDLVH lim úhnolqgh\d]delohfh LPL]GHQ OXUùLPGLEXOLPLWOHULOLPLWWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNJ VWHUHOLP, DUDOÕ ÕQGDPXWODNGH HUWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQÕUVDN u u < ε ε HúLWVL]OL LQL elde ederiz. Bu göre > o ε, NúXOXQXVD OD\DQW P ε GH HUOHUL LoLQ GL]LQLQ KHU WHULPL LOH OLPLW GH HUHL ODQ - VD\ÕVÕ DUDVÕQGDNL IDUNÕQ PXWODN GH HUL ε GDQ N o N NDODFD ÕQGDQ GL]LQLQ, DUDOÕ ÕQGDNL limii - dir. Bezer bir liz, DUDOÕ ÕLoLQ\DSÕODELOLU%XGXUXPGD u u < ε ε HúLWVL]OL LQLHOGHHGHUL]%XQDJ UH > o ε, NúXOXQXVD OD\DQW P ε GH HUOHUL LoLQ GL]LQLQ KHU WHULPL LOH OLPLW GH HUHL ODQ VD\ÕVÕ DUDVÕQGDNL

IDUNÕQ PXWODN GH HUL ε GDQ N o N NDODFD ÕQGDQ GL]LQLQ, DUDOÕ ÕQGDNL limii dir. Bu göre lim,,, H HU H HU H HU,, sig dir. si Öre. iceleyelim. dizisii, DoÕN DUDOÕ ÕQGDNL \DNÕQVDNOÕ ÕQÕ si Çözüm. si OGX XQGDQ lim u lim OXUùLPGLEXQX OLPLWWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNJHUoHNOH\HOLP si u u < ε HúLWVL]OL L > ε, NúXOXQX VD OD\DQ KHU GH HUL LoLQ ε gerohnohqhfh LQGHQOLPLW GÕU %X UQHNWHEXOGX XPX] o VD\ÕVÕ\DOQÕ]ε DED OÕLNHQ QFHNL UQHNWH bulu o VD\ÕVÕ KHP ε, hem de H ED OÕ LGL Bu duruml ilgili olr DúD ÕGDNLWDQÕPYHUilir. 7DQÕP X ve eyi bir ε! VD\ÕVÕ LoLQ \DOQÕ]FD ε D ED OÕ ELU ε VD\ÕVÕYDUVDYH > ε NúXOXVD ODQGÕ ÕQGD u u < ε HúLWVL]OL L VD ODQÕ\UVD { u } dizisie, X ümeside u osiyou G ]J Q\DNÕQVD\DQGL]LGHir. QN o N VWVÕQÕUWDQÕPÕQDJ UHW P X içi u u c sup u u X OGX XQGDQ\XNDUÕGDNLWDQÕPÕHúGH HUODUDNúXúHNLOGHGHLIDGHHGHELOLUL] 4

7DQÕPD HU lim c lim sup u u X ise, { u } dizisie, X ümeside uiqnvl\qxqdg ]J Q\DNÕQVD\DQGL]L deir. Burd, c LOHWDQÕPODGÕ ÕPÕ]VD\Õ u u osiyou msimum GH HULGLU YH EX GH HUL EXOPDN LoLQ u u osiyouu birici W UHYLQLQVÕIÕUOGX X de HUOHULQLGLNNDWHDOPDPÕ]JHUHNLU ' ]J Q\DNÕQVDNOÕ ÕQJHPHWULNODUDN\UXPXQHGLU" Öre. u, [,] b u,, GL]LOHULQLQYHULOHQDUDOÕNODUGDNLG ]J Q\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕLQFHOH\LQL] [,] içi lim u lim lim GÕU%XQHGHQOH [,] [,] lim c lim sup u u lim sup olur. g WDQÕPODPDVÕ\DSDUVDN g ideside ve [ ] NULWLNGH HUOHULHOGHHGLOLU7DQÕPDUDOÕ ÕQGD g, g ve g > GH HUOHULQLGLNNDWHDOÕUVDN lim c lim sup u u lim sup lim [,] [,] lim lim e lim elde edilir. O hlde, söz ousu dizi [,] DUDOÕ ÕQGD G ]J Q \DNÕQVDNWÕU YH OLPLWL GÕU 5

Teorem Diziler içi Cuchy ölçüü. { u } dizisii verile bir X N PHVLQGH G ]J Q \DNÕQVDN OPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NúXO ε > ve m N NH\ILELUVD\ÕOPDN ]HUH, X içi u m u < ε 4 NúXOXu gerçeleye > ε > s\õoduõqõqyduopdvõgõu øvsdw Gerelili. { u } dizisi, bir X ümeside uiqnvl\qxqdg ]J Q\DNÕQVDN olsu. Bu durumd ε > ve m N NH\ILELUVD\ÕOPDN ]HUH X ε u u < ve u ε u < m ODFDNúHNLOGH > ε > VD\ÕODUÕYDUGÕU%XUDGDQ içi u m u u m u u u u m ε ε u u u < ε elde ederiz \DQLHúLWVL]OL LG UXODQPÕúOXU Yeerlili. X LoLQ HúLWVL]OL LQLQ VD ODQGÕ ÕQÕ NDEXO HGLS { } u dizisii X ümeside u IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVDN ODFD ÕQÕ göserelim. 4HúLWVL]OL L X LoLQJHUoHNOHQGL LQGHQ X VD\Õ GL]LVL \DNÕQVDNWÕU { } edelim. HúLWVL]OL LQGHQ u içi { } VD\Õ GL]LVLQLQ OLPLWii u olgx XQX NDEXO u u u u u u < ε m yzbiliriz. { } u m GL]LVL \DNÕQVDN OGX XQGDQ OLPLW GXUXPXQGD GDKD G UXVX > ε > NúXOXQXQVD ODQGÕ ÕKHUGH HULLoLQ u m ODFD ÕQGDQ u u u u u u u m < ε ve burd d 6

u ε u < < ε \D]DELOLUL] %X HúLWVL]OLN X LoLQ JHUoHNOHQGL LQGHQ { u } osiyo dizisii X ümeside uiqnvl\qxqdg ]J Q\DNÕQVDGÕ ÕDQODúÕOÕU Teorem Diziler içi Weiersrss ölçüü. { u } osiyo ve pozii erimli bir { `VD\ÕGL]LVLYHULOPLúOVXQ HU lim 5 ve N ve X içi u u 6 NúXOODUÕ VD ODQÕ\UVD { u } osiyo dizisi X ümeside düzgü \DNÕQVDNWÕUYHOLPLWLGHu osiyoudur. øvsdw /LPLW WDQÕPÕ YH ED ÕQWÕVÕQD J UH ε > VD\ÕVÕ LoLQ OH ELU ε > VD\ÕVÕEXOXQDELOLUNL > ε NúXOXQXVD OD\DQKHUVD\ÕVÕLoLQ < ε { `I]LWLIWHULPOLELUVD\ÕGL]LVLOGX XQGDQ olur. Bu durumd, > ε NúXOXQX VD OD\DQ W P ler içi, 6 HúLWVL]OL LQGHQ u < ε yzbiliriz. Bu d bize, { u } osiyo dizisii X ümeside düzgü \DNÕQVDOGX XQXYHOLPLWLQLQGHuIQNVL\QXOGX XQXJ VWHULU Öre 4. $úd ÕGDNLGL]LOHULQG ]J Q\DNÕQVDNOGXNODUÕQÕJ VWHULQL] u cos ; b cos IQNVL\Q GL]LVL W P VD\Õ HNVHQLQGH \DQL, sosuz DoÕNDUDOÕ ÕQGDWDQÕPOÕGÕUYH 7

u cos cos OGX XQGDQ IQNVL\Q GL]LVL UHHO VD\ÕODU N PHVLQGH u osiyou düzgü ydnõqvdnwõu b OGX XQGDQ olur. u ]GHúOL LQGHQ\DUDUODQÕUVDN ODFD ÕQGDQ u elde ederiz. O hlde osiyo dizisi, VQVX] DoÕN DUDOÕ ÕQGDWDQÕPOÕYHu IQNVL\QXQDG ]J Q\DNÕQVDNWÕU 8\DUÕ 7DQÕP E OJHVLQGH ELU { } u IQNVL\Q GL]LVLQLQ \DNÕQVDNOÕ Õ DUDúWÕUÕOÕUNHQ[ HELUSDUDPHWUHJLELEDNÕODUDN lim DUDúWÕUÕOÕU u Öre 5. dizisii limiii buluuz, YH,. vey GXUXPXQGDOLPLWLQODFD ÕDoÕNWÕUùLPGL YH GXUXPODUÕQÕGLNNDWHDODOÕP olur. lim u lim lim e 8

.. Dü]J Q<DNÕQVDN'L]LOHULQg]HOOLNOHUL... Fosiyo Dizilerii /LPLWOHULQLQ6 UHNOLOL L Bir { } u IQNVL\Q GL]LVLQLQ KHU WHULPL GL]LQLQ WDQÕPOÕ OGX X DUDOÕNWD V UHNOL LNHQ OLPLW IQNVL\QX V ] NQXVX DUDOÕNWD V UHNOL OPD\DELOLU Öre GH LQFHOHGL LPL] dizisii her bir erimi, DoÕN DUDOÕ ÕQGD V UHNOLOPDVÕQDNDUúÕQOLPLWIQNVL\QX lim,,, H HU H HU H HU,, olup, QNWDVÕQGD V UHNVL]GLU HU V ] NQXVX GL]L\L, y d, DUDOÕNODUÕQGD LQFHOH\HFHN OXUVDN KHP GL]LQLQ WHULPOHUL KHP GH OLPLW IQNVL\QXEXDUDOÕNODUÕQKHUELULQGHV UHNOLOXUODU Teorem. Terimleri X ümeside süreli ol bir { u } osiyo dizisi, bu roõnwdbir uiqnvl\qxqdg ]J Q\DNÕQVDUVD]DPDQOLPLWIQNVL\QXGD X ümeside süreli olur. øvsdw { u } osiyo dizisisii erimleri bir X ümeside süreli ve dizi bir uiqnvl\qxqdg ]J Q\DNÕQVDNOVXQ%XGXUXPGD, X içi \HWHULQFH N o N OGX XQGD u u i de yeeri dr üçü ODFD ÕQÕJ VWHUHOLP u u u u u u u u u u u u u u u ovl\qoduõqõq KHU ELUL X ümeside süreli ve { u } osiyo dizisi, u IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVDN OGX XQGDQ ε > VD\ÕVÕ LoLQ OH ELU ε > VD\ÕVÕ EXOXQDELOLU NL > ε NúXOXQX VD OD\DQ KHU VD\ÕVÕLoLQ ε ε u u < ; u u < 9

HúLWVL]OLNOHUL YDUGÕU ùlpgl EX HúLWVL]OLNOHULQ VD ODQGÕ Õ GH HUOHULQL GLNNDWH DODOÕP%X GXUXPGD u IQNVL\QXV UHNOLOGX XQGDQHOHDOÕQDQ ε > sd\õvõ LoLQ OH ELU δ ε > VD\ÕVÕ EXOXQDELOLU NL EX GXUXPGD < δ ε NúXOXQXVD OD\DQW P ler ve olur. Böylece, X içi ε u u < u u < ε HOGH HGLOPLú OXU NL EX GD EL]H u i, X ümeside süreli bir osiyo OGX XQXJ VWHULU Öre. IQNVL\QXQXQV UHNOLOL LQLLQFHOH\LQL] IQNVL\Q GL]LVLQLQ G ]J Q \DNÕQVDNOÕ ÕQÕ YH OLPLW QNWDVÕQGD dizii düzgü \DNÕQVDN YH OLPLWLQLQ de u OGX X DoÕNWÕUùLPGLGH GXUXPXQDEDNDOÕP lim lim OGX XQGDQGL]LW PUHHOVD\ÕODUGD\DNÕQVDNYHOLPLWLVÕIÕUGÕU. Ac -{} ümeside ]GHúOL LQGHQ\DUDUODQÕUVDN lim c lim sup u u lim sup { } { } elde ederiz i, bu d bize, osiyo dizisii -{} ümeside G ]J Q \DNÕQVDN OPDGÕ ÕQÕ J VWHULU 6 ] NQXVX IQNVL\Q GL]LVL UHHO VD\ÕODUGDG ]J Q\DNÕQVDNOPDPPDVÕQDNDUúÕQOLPLWIQNVL\QXOD u IQNVL\QXUHHOVD\ÕODUGDV UHNOLELUIQNVL\QGXU.

8\DUÕ. 7HUHP GHNLG ]J Q\DNÕQVDNOÕNNúXOXOimi osiyouu süreli OPDVÕ LoLQ \HWHUOL IDNDW JHUHNOL GH LOGLU <DQL, bir X ümeside düzgü \DNÕQVDN OPD\DQ ED]Õ IQNVL\Q GL]LOHULQLQ OLPLW IQNVL\QODUÕ, WDQÕP DUDOÕ ÕQGDV UHNOLODELOLU..QNVL\Q'L]LOHULQLQ7HULPWHULPøQWHJUDOOHQHELOLUOL L 7DQÕP{ u } dizisi içi lim u lim u 4 G G ise, { u } dizisie [ o, ] roõ ÕQGDWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOLUGL]LGHQLU Teorem. Terimleri [, b@dudoõ ÕQGDV UHNOLODQIQNVL\QODUGDQOXúDQELU { } u GL]LVL EX DUDOÕNWD u IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVDUVD ]DPDQ [ b],, olm üzere, \DNÕQVDU u G dizisi de [, b@dudoõ ÕQGD u G osiyou düzgü øvsdw [, b@ DUDOÕ ÕQGD { u } dizisi u IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVDN OGX XQGDQ ε > VD\ÕVÕ LoLQ OH ELU ε > VD\ÕVÕ EXOXQDELOLU NL > ε NúXOXQXVD OD\DQKHUVD\ÕVÕYHW P [, b] içi u ε < 5 b HúLWVL]OL L VD ODQÕU 7 P u ler ve u, [, b@ GH V UHNOL OGX XQGDQ Teorem e göre u G ve u G LQWHJUDOOHULYDUGÕUHúLWOL LQLGLNNDWH DOÕUVDNW P ε > ve üm [, b] u u G G IDUNÕQÕGH HUOedirelim. içi

[ ] u u u u G G G ε ε ε G G b b u u elde ederiz. Bu göre, u G dizisii limii u G osiyoudur. %XQDJ UH7HUHPJHUH LQFH [ ] b,, olm üzere, u u u G G G lim lim 6 \D]DELOLUL]HúLWOL LEL]HWHULPOHULEHOOLELUDUDOÕNWDV UHNOLIQNVL\QODUGDQ OXúDQELUGL]LQLQWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOHFH LQLLIDGHHGHU 8\DUÕ Bir osiyo dizisii erim erim iegrlleebilmesi içi bu dizii verile DUDOÕNWD G ]J Q \DNÕQVDPDVÕ \HWHUOLGLU IDNDW JHUHNOL GH LOGLU Yi, G ]J Q \DNÕQVDN OPD\ÕS GD \DOQÕ]FD \DNÕQVDN ODQ ED]Õ GL]LOHU GH LOJLOL DUDOÕNWDWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOLU olbilirler. Bu bir öre verelim. Öre. { } dizlvlqlq > @ DUDOÕ ÕQGD G ]J Q \DNÕQVDN YH WHULP WHULP LQWHJUDOOHQHELOLUOXSOPDGÕ ÕQÕLQFHOH\LQL] Çözüm. <, lim OGX XQGDQ GL]L > @ DUDOÕ ÕQGD \DNÕQVDNWÕU IDNDW G ]J Q \DNÕQVDN GH LOGLU ede?. Buul birlie, lim lim lim Q G G u ve

limu ε G lim lim G ε lim G OGX XQGDQ lim u G lim u elde edilir. Bu göre { } G birlie, erim erim iegrlleebilir bir dizidir. GL]LVL>@DUDOÕ ÕQGDG ]J Q\DNÕQVDNOPDPDNOD... Fosiyo Dizilerii Terim erim 7 UHYOHQHELOLUOL L 7DQÕP%LUDUDOÕNWD{ u } dizisi içi lim u limu oluyors, { } deir. u GL]LVLQH V ] NQXVXDUDOÕNWD WHULP WHULP W UHYOHQHELOLU GL]L 7 Teorem. Terimleri [, b] DUDOÕ ÕQGD ürevleebile IQNVL\QODUGDQ OXúDQ bir { u } GL]LVL EX DUDOÕNWD u IQNVL\QXQD \DNÕQVÕ\U YH { } u ürev dizivl D\QÕ DUDOÕNWD ELU v IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVÕ\Us, o zm, u v dir, yi dir. v lim u lim u u 8 øvsdw{ u } ürev dizisi, [, b@dudoõ ÕQGDvIQNVL\QXQDG ]J Q\DNÕQVDN OGX XQGDQ7HUHP \HJ UH,, [, b] yi, G v G u limu G olm üzere, lim 9 [ u u ] u u lim v G

\D]DELOLUL]HúLWOL LQLQW UHYLDOÕQÕUVD elde edilir. u v limu Öre. dizisii, ; b, DUDOÕNODUÕQGDWHULPWHULP ihjudoohqheloluol LQLYHW UHYOHQHELOLUOL LQLLQFHOH\LQL] Çözüm Dizii erimleri, DUDOÕ ÕQGDV UHNOLYHJHQHOWHULPLQOLPLWL lim u lim GLU$\UÕFD lim c lim sup, u u lim sup, lim sup, OGX XQGDQ dizisi, DUDOÕ ÕQGDG ]J Q\DNÕQVDNWÕUYHOLPLWL de u osiyoudur. Bu göre dizi erim erim iegrlleebilirdir ve,, olm üzere, lim G lim G G dir. ùlpglghgl]lqlqw UHYOHQHELOLUOXSOPDGÕ ÕQÕDUDúWÕUDOÕP lim u,, > < 4

OGX XQGDQW UHYGL]LVLG ]J Q\DNÕQVDNGH LOGLUKDOGH, DUDOÕ ÕQGDWHULPWHULPW UHYOHQHELOLUGL]LGH LOGLU dizisi, b Dizii, DUDOÕ ÕQGD WHULP WHULP LQWHJUDOOHQHELOLU OGX X DoÕNWÕU 'L]LQLQ EX DUDOÕNWD WHULP WHULP W UHYOHQHELOLU OGX XQX J VWHUPHN LoLQ W UHY GL]LVLQLQD\QÕDUDOÕNWDG ]J Q\DNÕQVDNOGX XQXJ VWHUPHPL]JHUHNLU, DUDOÕ ÕQGD lim dir. <DQLV ]NQXVXDUDOÕNWDW UHYGL]LVL\DNÕQVDNWÕU u ùlpgl\dnõqvdnoõ ÕQG ]J QOXSOPDGÕ ÕQÕDUDúWÕUDOÕP lim c lim sup, u u lim sup, lim sup, lim sup, lim dir. O hlde, ürev dizisi,, DUDOÕ ÕQGDG ]J Q\DNÕQVDNWÕUYHEXQHGHQOH dizisi,, DUDOÕ ÕQGDWHULPWHULPürevleebilir dizidir. QNVL\Q6HULOHULQGH<DNÕQVDNOÕN 7HULPOHUL KHUKDQJL ELU E OJHGH WDQÕPOÕ IQNVL\QODUGDQ OXúDQ VHUL\H osiyo serisi deir ve u u... u... vey u 5

úhnolqgh J VWHULOLU 6HULQLQ WHULPOHULQLQ KHUKDQJL ELU D E OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH EHOOL ]HOOLNOHUH VDKLS OGXNODUÕQÕ YDUVD\DOÕP yerie belli bir o VD\ÕVÕ \D]ÕOGÕ ÕQGD VHULVLQLQ u o VD\Õ VHULVLQH G Q úhfh L DoÕNWÕU HU u o VD\ÕVHULVL\DNÕQVDNLVH u osiyo serisie, oqnwdvõqgd \DNÕQVDNVHULYH o QNWDVÕQDGDVHULQLQELU\DNÕQVDNOÕNQNWDVÕGHQLU HUELU osiyo serisi herhgi bir X D N PHVLQLQ W P QNWDODUÕQGD \DNÕQVDN oluyors, seriye, XN PHVLQGH\DNÕQVDNVHULGHQLU HU IQNVL\Q VHULVL ELU X N PHVLQGH \DNÕQVDN YH EX N PHQLQ GÕúÕQGDNL KHU QNWDGD ÕUDNVDN LVH X N PHVLQH \D GD DUDOÕ ÕQD VHULQLQ \DNÕQVDNOÕNN PHVL\DGD\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕGHQLUgUQH LQ osiyo serisi, < NúXOXQX VD OD\DQ W P GH HUOHUL LoLQ VQVX] D]DODQ ELU JHPHWULN GL]LQLQ WSODPÕ OGX XQGDQ\DNÕQVDNWÕU NúOXQX VD Oy GH HUOHULLoLQVHVHULÕUDNVDNWÕUKDOGH VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNN PHVL-, DUDOÕ ÕGÕU Bir osiyo serisi LQKLoELUGH HULLoLQ\DNÕQVDNOPD\DELOLU % \OHELUVHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕEúN PHGLUgUQH LQ serisii \DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕEúN PHGLUd QN içi lim GÕU 7DQÕP. serisii il WHULPLQLQWSODPÕQDVHULQLQNÕVPL WSODPÕGHQLUYH s u u... u úhnolqgh J VWHULOLU $\UÕFD { } oplmlr dizisi deir. s IQNVL\Q GL]LVLQH GH VHULQLQ NÕVPL 7DQÕP. Herhgi bir { } X D ümeside, u osiyo serisii s NÕVPL WSODPODU GL]LVL \DNÕQVDN LVH u serisie, X ümeside \DNÕQVDNVHULGHQLU X OPDN ]HUHNÕVPLWSODPODUGL]LVLQLQ lim s s 6

OLPLWLQHGHVHULQLQWSODPÕGHQLU 7DQÕP. HUVHULVL\DNÕQVDNLVHNÕVPLWSODPWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDN s u u... u... s biçimide yzbiliriz. Burd, u u... u OXSVHULVLQLQNDODQWHULPLODUDNDGODQGÕUÕOÕUVHULVLQLQ\DNÕQVDNOPDVÕ durumud lim olur. Bu durumd siqnvl\qxvhul\hdoõopõúwõughqlu No: HUELUsIQNVL\QXQXWHULPOHULDUGDUGDLúDUHWGH LúWLUHQELUVHULQLQ il erimi ile emsil ederse, \DSPÕúODFD ÕPÕ]KDWD. erimde üçü OXU%DúNDELUGH LúOHWHULPOHULDUGDUGDLúDUHWGH LúWLUHQVHULOHUGH dir. < u 7DQÕP 4. u serisi, bir X D N PHVLQGH \DNÕQVDN OGX XQGD u serisie, X N PHVLQGH PXWODN \DNÕQVDN VHUL GHQLU 6D\Õ VHULOHULQGH OGX X JLEL PXWODN\DNÕQVDN IQNVL\Q VHULOHUL GHD\QÕ]DPDQGD\DNÕQVDNWÕU %XQXQWHUVLG UXGH LOGLU<DQL\DNÕQVDNODQELUVHULD\QÕ]DPDQGDPXWODN \DNÕQVDNOPD\DELOLU%XQXELU UQHNOHJ VWHUHOLP Öre. olup, VHULVLQLGLNNDWHDODOÕP-, DUDOÕ ÕQGD < ve < JHPHWULN VHULVL PXWODN \DNÕQVDN OGX XQGDQ E \OHFH 7

JHPHWULNVHULVL\DNÕQVDNWÕU VHULVLGH\DNÕQVDNWÕU -QNWDVÕQGDLVH seri, ELoLPLQGHLúDUHWLQLDUGDUGDGH LúWLUHQELUVHULGLUYH\DNÕQVDNWÕU O hlde, serisi [, DUDOÕ ÕQGD\DNÕQVDNWÕUDOEXNL -QNWDVÕQGD PXWODN \DNÕQVDN GH LOGLU Çüü bu durumd hrmoi VHULVLHOGHHGLOLUYHKDUPQLNVHULÕUDNVDNWÕU KDOGH ]HWOH\HFHN OXUVDN PXWODN \DNÕQVDN VHULOHU D\QÕ ]DPQGD \DNÕQVDN VHULOHULNHQ\DNÕQVDNVHULOHUD\QÕ]DPDQGDPXWODN\DNÕQVDNOPD\DELOLUOHU 7DQÕP 4. u serisi, bir X D N PHVLQGH \DNÕQVDN LNHQ u VHULVLÕUDNVDNOX\ULVH u serisie, XN PHVLQGHNúXOOX\DNÕQVDNVHUL GHQLU %XQD J UH \XNDUÕGD LQFHOHGL LPL]L serisi, - DUDOÕ ÕQGD PXWODN\DNÕQVDN[, DUDOÕ ÕQGDLVHNúXOOX\DNÕQVDNELUVHULGLU Öre. ; b e ; c e DUDOÕ ÕQÕYH\DNÕQVDNOÕNW U Q EHOLUOH\LQL] VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN Çözüm 6HULQLQ\DNÕQVDNODELOPHVLLoLQG $OHPEHUW Oo W QHJ UH u lim < u NúXOXVD ODQPDOÕGÕU%XQDJ UH lim lim < 8

lim < < elde edilir. O hlde seri, < GXUXPXQGD \DNÕQVDN > durumud ise ÕUDNVDNWÕU durumud OXUYHVHULÕUDNVDNWÕU - durumud ise lere serisi elde edilir ve geel eulpl VÕIÕUD JLWWL LQGHQ \DNÕQVDNWÕU 6QXo ODUDN VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ YH \DNÕQVDNOÕNDUDOÕ Õ[, ür. b Serii geel erimi u e olup,, DUDOÕ ÕQGD WDQÕPOÕ YH dim poziiir. d Alember ölçüüe göre u lim e lim e lim e < u e ve burd d < elde ederiz. Bu göre seri, DUDOÕ ÕQGD\DNÕQVDN VHUL S]LWLI WHULPOL OGX XQGDQ D\QÕ ]DPDQGD PXWODN \DNÕQVDNWÕU, DUDOÕ ÕQGDLVHÕUDNVDNWÕU6HUL GDQLoLQÕUDNVDNWÕU" [ c6huls]lwliwhulpolglu&dxfk\ Oo W Q X\JXOD\DOÕP lim u lim e lim e OGX XQGDQVHULÕUDNVDNWÕU Öre. ; b l VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQÕ YH e \DNÕQVDNOÕNW U Q EHOLUOH\LQL] 9

Çözüm Seri,, DUDOÕ ÕQGD WDQÕPOÕ ODQ YH WHULPOHUL DUG DUGÕQD LúDUHW GH LúWLUHQ ELU VHULGLU %X QHGHQOH QXQ WHULPOHULQLQ PXWODN GH HUOHULQGHQ OXúDQ l l VHULVLQLGLNNDWHDODOÕP%XUDGD p l WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN l p p serisii elde ederiz. p VHULVLQLQ \DNÕQVDN ODELOPHVL LoLQ p > OPDVÕ JHUHNWL LQL ELOL\UX] %XQD J UH p serisi, l > y d > e durumud \DNÕQVDN, e] GXUXPXQGD GD ÕUDNVDNWÕU KDOGH EL]LP ULMLQDl serimiz de e, DUDOÕ ÕQGD PXWODN \DNÕQVDN OXU ùlpgl VHULPL]LQ, e] DUDOÕ ÕQGD NúXOOX\DNÕQVDNOXSOPDGÕ ÕQÕDUDúWÕUDOÕP l osiyou < içi egi, > içi poziiir. Bu edele öce, ] DUDOÕ ÕQGDLQFHOH\HOLP, ] ve l OGX XQd lim l OXU%XGXUXPGDVHULQLQJHQHOWHULPLVÕIÕUDJLWPHGL LLoLQÕUDNVDNWÕU, e] DUDOÕ ÕQGD LVH l > OGX XQGDQ WHULPOHULQLQ LúDUHWL DUG DUGÕQD GH LúHQELUVHULLOHNDUúÕNDUúÕ\DNDOÕUÕ]%X serii geel erimi içi lim l ODFD ÕQGDQ VHUL \DNÕQVDNWÕU %XQD J UH osiyo serisi, l, e e, UDOÕ ÕQGD LVH DUDOÕ ÕQGD \DNÕQVDN ] DUDOÕ ÕQGD NúXOOX \DNÕQVDN PXWODN\DNÕQVDNWÕU.4QNVL\Q6HULOHULQGH' ]J Q<DNÕQVDNOÕN Terimleri herhgi bir X D E OJHVLQGHWDQÕPOÕODQ u u... u... IQNVL\QVHULVLQLQNÕVPLWSODPODUGL]LVL{ } s

olsu. s u u... u 7DQÕP..ÕVPL WSODPODU GL]LVL KHUKDQJL ELU X D ümeside düzgü \DNÕQVDNODQIQNVL\QVHULVLQHEXN PHGHG ]J Q\DNÕQVDNVHULGHQLU7DQÕP JHUH L ise DY s s X s u u... u... 4 X OXU.DODQWHULPWDQÕPÕQÕGDNXOODQDUDNVQHúLWOL L s s 5 úhnolqgh\d]delolul]%xqdj UHLIDGHVL\HULQHQXQODGHQNODQ DY X yi limsup X 6 LIDGHVLQL \D]DELOLUL] KDOGH G ]J Q \DNÕQVDN ELU IQNVL\Q VHULVLQLQ NDODQ WHULPL V ]NQXVX E OJHGH VÕIÕUD G ]J Q \DNÕQVDU /LPLW WDQÕPÕ NXOODQÕODUDN G ]J Q\DNÕQVDNOÕ ÕQWDQÕPÕDúD ÕGDNLJLELGHYHULOHELOLU 7DQÕPD. Keyi bir ε > VD\ÕVÕQDNDUúÕOÕN ε, olm üzere, X içi, o > s s < ε 7 HúLWVL]OL LVD ODQDFDNúHNLOGH > ε VD\ÕODUÕEXOXQDELOL\UVDVHULVLQHX ümeside düzgüq\dnõqvdniqnvl\qvhulvl ve s e de serii limii deir. Öre. 6HULOHULQLQG ]J Q\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕDUDúWÕUÕQÕ] 4 ; b...... Çözüm Seri, DUDOÕ ÕQGDWDQÕPOÕYHV UHNOLOXSDUGDUGÕQDLúDUHW GH LúWLUHQWHULPOHUHVDKLSWLU%XQHGHQOHNDODQWHULPLLoLQ

u,, olur. Bu göre, limsup lim,, HOGHHGHUL]KDOGHNDODQWHULPVÕIÕUDG ]J Q\DNÕQVDGÕ ÕQGDQV ]NQXVXVHUL, DUDOÕ ÕQGDG ]J Q\DNÕQVDNWÕU b Seri, DUDOÕ ÕQGDWDQÕPOÕYHV UHNOLOXSNÕVPLWSODPÕ s 4... dir. > LoLQVHULQLQÕUDNVDNOGX X durumud ise lim s lim,,, H HU H HU H HU, <, oldu X DoÕNWÕU %XQD J UH V ] NQXVX VHUL [, ] WSODPÕGD, s,, H HU H HU H HU dir. Serii limii, [, ], <, DUDOÕNWDG ]J Q\DNÕQVDNGH LOGLU DUDOÕ ÕQGD \DNÕQVDN YH DUDOÕ ÕQGD V UHNOL OPDGÕ ÕQGDQ VHUL V ] NQXVX DüzJ Q\DNÕQVDNOÕ ÕQWDQÕPÕYH\XNDUÕGDNL UQHNGLNNDWHDOÕQDUDNYHULOHQELU DUDOÕNWD \DNÕQVDN ODQ ELU IQNVL\Q VHULVLQLQ EX DUDOÕNWD G ]J Q \DNÕQVDN OPD\DELOHFH LQL EHOLUWHOLP ' ]J Q \DNÕQVDN VHULOHU LVH D\QÕ ]DPDQGD \DNÕQVDNWÕUODU Teorem Cuchy ölçüü. u serisii herhgi bir X ümeside G ]J Q \DNÕQVDN OPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NúXO ε > ve m N eyi VHoLOHQVD\ÕODUOPDN ]HUH X içi

s m m s u < ε 8 HúLWVL]OL LVD ODQDFDNúHNLOGH > ε VD\ÕODUÕQÕQYDUODELOPHVLGLU > 7DQÕP. Herhgi bir XN PHVLQGHWDQÕPOÕ u HU N içi serisiiglnndwhdodoõp u < 9 NúXOX VD ODDFDN úhnlogh S]LWLI WHULPOL \DNÕQVDN bir VD\Õ VHULVL bulubilirse, o zm u serisie XN PHVLQGHVÕQÕUODQDQVHULYH \DNÕQVDNVD\ÕVHULVLQHGHQXQVÕQÕUOD\DQÕGHQLU si guqh LQ N içi < OGX XQGDQ si VÕQÕUODQDQGÕUYH \DNÕQVDN serisi deqxqvõqõuod\dqõgõu serisi Teorem. Weiersrss ölçüü HUKDQJL ELU N PHGH VÕQÕUO seri, o N PHGHPXWODNYHG ]J Q\DNÕQVDNWÕU øvsdw. u serisii bir XN PHVLQGH VÕQÕUODQDQOGX XQXNDEXOHGHOLP %XGXUXPGDNúXOXVD ODQDFDNúHNLOGHELU J UH NDUúÕODúWÕUPD Oo W JHUH LQFH u VD\Õ VHULVLYDUGÕU%XQD VHULVL \DNÕQVDNWÕU %DúND ELU GH LúOH, u osiyo serisi, X ümeside PXWODN \DNÕQVDNWÕU ùlpgl, V ] NQXVX VHULQLQ G ]J Q \DNÕQVDN ODFD ÕQÕ J VWHUHOLP HU NúXOX VD ODQÕ\UVDNH\ILEir m N VD\ÕVÕYH X içi s m m m m s u u < <

yzbiliriz. Burd, VD\Õ VHULVLQLQ NDODQ WHULPLGLU YH serisi \DNÕQVDNOGX XQGDQNH\ILELUε > VD\ÕVÕLoLQ \OHELU ε VD\ÕVÕYDUGÕU > i, > ε NúXOXQX VD OD\DQ W P ler içi < ε VD ODQÕU O hlde, s m m s u < ε GÕUve Cuchy ölçüüe göre u serisi, XN PHVLQGHG ]J Q\DNÕQVDNWÕU Öre. VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕ ÕQÕLQFHOH\LQL] 4 Çözüm. serisi,, DUDOÕ ÕQGD WDQÕPOÕ V UHNOL YH S]LWLI 4 erimli bir seridir. Serii, QNWDVÕQG \DNÕQVDGÕ Õ DoÕNWÕU ùlpgl, durumuu iceleyelim. < 4 dir ve VD\Õ VHULVL p serisi, p \DNÕQVDN OGX XQGDQ Weiersrss ölçüüjhuh LQFH osiyo serisi de, DUDOÕ ÕQGDG ]J Q 4 \DNÕQVDNWÕU Öre. DUDúWÕUÕQÕ] serisii, [,] DUDOÕ ÕQGD\DNÕQVDN OXS OPDGÕ ÕQÕ DUDOÕ ÕQGD ve OGX XQGDQ Çözüm. [,], [,] 4

olur. VD\Õ VHULVL \DNÕQVDN OGX XQGDQ Weiersrss ölçüü JHUH LQFH osiyo serisi, [,] DUDOÕ ÕQGDG ]J Q\DNÕQVDNWÕU.5. Dü]J Q<DNÕQVDN6HULOHULQg]HOOLNOHUL %X NÕVÕPGD IQNVL\Q VHULOHULQLQ V UHNOLOLN GLIHUDQVL\HOOHQHELOLUOLN YH LQWHJUDOOHQHELOLUOLNNúXOODUÕQÕLQFHOH\HFH L] Teorem. u serisii erimleri bir X ümeside süreli osiyolr olsu. HUVHULEXN PHGHG ]J Q\DNÕQVDNLVHD\QÕ]DPDQGDV UHNOLGLU øvsdw u lim serisi olur. Bu durumd, X LoLQG ]J Q\DNÕQVDNOGX XQGDQWDQÕPJHUH L u u u s OXU Q VD GDNL WHULP VQOX VD\ÕGDNL V UHNOL IQNVL\QODUÕQ WSODPÕ OGX XQGDQNHQGLVLGHV UHNOLGLUKDOGH s oplm osiyou sürelidir. $OWHUQDWLI ODUDN YH GDKD VÕQÕUOÕ ELU X\JXODPD DODQÕ ODQ DúD ÕGDNL WHUHPL LVSDWVÕ]YHUOLP Teorem Dii Teoremi. u ler bir X ümeside süreli ve egi OPD\DQIQNVL\QODUOPDN ]HUHH HU u serisi, sözü edile ümede süreli bir siqnvl\qxqd\dnõqvduvdd\qõ]dpdqgdg ]J Q\DNÕQVDNWÕU Teorem 7HULPOHULELU;N PHVLQGHVÕQÕUOÕUHHOGH HUOLYHLQWHJUDOOHQHELOLU IQNVL\QODUGDQ OXúDQ u VHULVL EX DUDOÕNWD ELU s osiyou G ]J Q \DNÕQVÕ\U LVH WHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOLUGLU <DQL KHUKDQJL ELU, b DUDOÕ ÕLoLQ [ ] X b b b b s d u d u d... u d... 5

\DGDNÕVDFD dir. b b u d u d øvsdw. ' ]J Q \DNÕQVDN s u u... u... serisii, l erimi ciside ide edere b b b b u d u d u d d \D]DELOLUL] 6QOX VD\ÕGDNL WHULPOHULQ WSODPÕQÕQ LQWHJUDOL WHULPOHULQ LQWHJUDOOHULQLQWSODPÕQDHúLWOGX XQGDQLQWHJUDO ]HOOLNOHULVQHúLWOL L b b b u d u d d biçimide yzbiliriz. Burd, LoLQOLPLWDOÕQÕUVD b b u d u d OXU EXUDGD G ]J Q \DNÕQVDN s serisi içi, lim OGX XQX GLNNDWHDOÕ\UX] Öre. serisii, [, ] [, DUDOÕ ÕQGD WHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOLUOGX XQXJ VWHULSLQWHJUDOLQLEXOXQX] Çözüm. [, içi u ve \DNÕQVDN OGX XQGDQ, ve V ]NQXVXDUDOÕNWDWHULPWHULPLQWHJUlleebilirdir. Böylece, uvve serisi p> serisi, [, DUDOÕ ÕQGD G ]J Q \DNÕQVDNWÕU 6

d l l, d < < elde edilir. Burd, l \DNÕQVDN OGX XQX EHOLUWHOLP d QN V ] NQXVX DUDOÕNWD v l serisii de [, DUDOÕ ÕQGD düzgü IQNVL\QODUÕ V UHNOL YH lim v GÕU KDOGH l D\QÕDUDOÕNWDWHULPWHULPHLQWHJUDOOHQHELOLUGLU serisi de Teorem 4. u, DUDOÕ ÕQGD W UHYOHQHELOHQ IQNVL\QODUÕQ, bir [ b] X ELU VHULVL OVXQ HU u serisi c [, b] LoLQ QNWDVDO \DNÕQVDN YH u serisi de bir g IQNVL\QXQD G ]J Q \DNÕQVDN LVH V ] NQXVX DUDOÕNWD u VHULVLG ]J Q\DNÕQVDNWÕUYH u u dir. øvsdw. g u, b DUDOÕ ÕQGD G ]J Q \DNÕQVDN OGX XQGDQ 7HUHP JHUH LQFH EX DUDOÕNWDWHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOLUGLU %XQD J UH [ c ] [, b] serisi [ ], olm üzere, 4 c g d u d [ u u c ] c 7

8 elde ederiz. Teorem e göre [ ] c u u serisi de [ ] b, DUDOÕ ÕQGD G ]J Q \DNÕQVDNWÕU hvwholn WHUHPLQ NúXOX JHUH LQFH c u serisi de \DNÕQVDNWÕU %XUDGDQ u serisii de düzgüq \DNÕQVDN OGX X DQODúÕOÕU % \OHFHHúLWOL LQL c c s s c u u d g 5 biçimide yzbiliriz. Sol ri ide e göre ürevleebilirdir ve ürevi g u d u d u d u d g c c c c GLUKDOGHHúLWOL LQLQVD WDUDIÕGDW UHYOHQHELOLUOPDOÕGÕU% \OHFH HúLWOL LQLQKHULNL\DQÕQÕQW UHYLDOÕQDUDN s g 6 elde edilir. g osiyou, [ ] b, DUDOÕ ÕQGD V UHNOL OGX XQGDQ s osiyou d sürelidir ve...... u u u s 7 olur..6..xyyhw6hulohulyh<dnõqvdnoõn<duõodsoduõ 7DQÕP....... úhnolqgh WDQÕPODQDQVHULOHUH ³NXYYHW VHULOHUL GHQLU%XUDGD...,, i i ler uvve serisiiqndwvd\õoduõgõu

9 Teorem Abel Teoremi. uvve serisi herhgi bir QNWDVÕQGD \DNÕQVDNVD < NúXOXQX VD OD\DQ W P ler içi de PXWODNYHG ]J Q\DNÕQVDNWÕU øvsdw. uvve serisi, QNWDVÕQGD \DNÕQVDN OVXQ Bu durumd lim olur ve bu edele, üm ler içi M HúLWVL]OL LVD ODQDFDNúHNLOGHELUM!VD\ÕVÕbulubilir. Her < içi, Mq M yzbiliriz. Burd, < q dir. Mq JHPHWULN VHULVL \DNÕQVDN OGX XQGDQ, Weiersrss eoremie göre...... VHULVLG ]J Q\DNÕQVDNWÕU O hlde, < NúXOXQXVD OD\DQW P ler içi VHULVL PXWODN YH G ]J Q \DNÕQVDNWÕU Bu göre, Abel WHUHPLQGHQúXVQXoODUÕoÕNDUDELOLUL]. uvve serisi herhgi bir QNWDVÕQGD ÕUDNVDNVD > NúXOXQXVD OD\DQW P OHULoLQGHÕUDNVDNWÕU. %LU NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ Õ \D o QNWDVÕGÕU \D GD > olm üzere -, DUDOÕ Õ úhnolqghglu VD\ÕVÕQD NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕGHQLU GXUXPXQGD\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ Õ, olur.. %LUNXYYHWVHULVL\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕLoHULVLQGHNLKHUKDQJLELUDUDOÕNWDPXWODN YHG ]J Q\DNÕQVDNWÕU uvve serisi G Q ú PLOH......

biçimie geirilebilir. Üseli, YHVHULOHULQLQKHULNLVLQLQGH\DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSODUÕD\QÕGÕU Bu edele,exqgdqvqudnlnõvõpgdelolplqghnlnxyyhw VHULOHULQLGLNNDWHDODFD Õ] Teorem. uvve serisii \DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ lim 4 dir. øvsdw ' $OHPEHUW Oo W QHJ UH\DNÕQVDNELUVHULLoLQ lim lim < dir.kdoghnxyyhwvhulvlqlq\dnõqvdnogx XW PGH HUOHULLoLQ < lim olur i, EX GD \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ LoLQ 4 ED ÕQWÕVÕQÕQ JHoHUOL OGX XQX göserir. 8\DUÕ D Alember ölçüüe göre, bir seri lim GXUXPXQGDGD\DNÕQVDNODELOLUKDOGH\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ4ED ÕQWÕVÕQGDQ buludu sor, uvve serisii - ve QNWDODUÕQGD\DNÕQVDNOXS OPDGÕ ÕDUDúWÕUÕOÕU6QXoODUDNH HU\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕVÕIÕUGDQIDUNOÕ LVH uvve serisii \DNÕQVDNOÕNDUDOÕ Õ,,, ], [, [, ] DUDOÕNODUÕQGDQELULolur. y d

Öre. buluuz. VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕQÕ YH \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQÕ 7HUHPJHUH LQFH lim GLUKDOGH\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ lim lim lim GLUùLPGLGL]LQLQ - ve QNWDODUÕQGDNL\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕDUDúWÕUDOÕP -QNWDVÕQGD VD\ÕVHULVLQLHOGHHGHUL]%XVHULQLQNDODQWHULPL GÕU YH Leibiz ölçüü VD ODGÕ ÕQGDQ NDODQ WHULPLQ PXWODN GH HUL QXQ LON WHULPLQLQPXWODNGH HULQGHQE \ NGH LOGLU<DQL Bu göre seri, -QNWDVÕQGD\DNÕQVDNWÕU<DQL -QNWDVÕ\DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQD GDKLOGLU ùlpgl GH VHULQLQ QNWDVÕQGDNL \DNÕQVDNOÕ ÕQÕ DUDúWÕUDOÕP%XGXUXPGDIQNVL\QVHULPL] KDUPQLNVD\ÕVHULVLQHG Q ú UNLKDUPQLNVHULQLQÕUDNVDNOGX XQXELOL\UX] ödev6qxoodudn\dnõqvdnoõndudoõ Õ[, DUDOÕ ÕGÕU

Öre. 5 l gqfh\dnõqvdnoõn\duõodsõqõexodoõp VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQÕEXOXQX] lim 5 l lim 5 l l 5lim l 5 \DQL VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ GLU ùlpgl \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQÕQ Xo QNWDODUÕQGD VHULQLQ \DNÕQVDN OXS OPDGÕ ÕQÕ DUDúWÕUDOÕP - QNWDVÕQGD seri, 5 5 l l lere VD\Õ VHULVLQH G Q ú U YH /HLEQL] Oo W QH J UH \DNÕQVDNWÕU?. 5 QNWDVÕQGDLVHIQNVL\QVHULPL] 5 5 l l pozii erimli VD\ÕVHULVLQHG Q ú UùLPGLEXVHULQLQ\DNÕQVDNOÕ ÕQDEDNDOÕP Buu içi iegrl ölçüüü ullbiliriz.øqwhjudo Oo W QHJ UH l olm üzere, d özel olmy iegrli ile pozii erimli l VD\ÕVHULVLD\QÕ]DPDQGD\DNÕQVDN\DGDÕUDNVDNWÕUODU d d l liml A A lim l A d l [ A l ] d l lim l A A d l l Bu göre seri de QNWDVÕQGD ÕUDNVDNWÕU KDOGH VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ Õ[ 5, 5 DUDOÕ ÕGÕU

Teorem. uvve serisii \DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ dir. 5 lim øvsdw 6D\ÕVHULOHULLoLQCuchy ölçüüe göre, lim lim < durumud, pozii erimli...... VHULVL\DNÕQVDNWÕU Bu göre, GH HUleri içi, NXYYHWVHULVLQLQ\DNÕQVDNOGX XW P < lim elde edilir. Öre. VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQÕEXOXQX] lim lim lim 7-7 ve QNWDODUÕQGDVHULPL]LQJHQHOWHULPLQLQPXWODNGH HUL

9 9 9 9 9 olup, lim 9e lim9 OGX XQGDQ -7 ve QNWDODUÕ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQD GDKLO GH LOGLU 6QXoODUDNVHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ Õ 7, 7 DoÕNDUDOÕ ÕGÕU.7. Kuvve Serilerii Özellileri...... NXYYHW VHULVLQL GLNNDWH DODOÕP Kuvve serileri,, DUDOÕ ÕQGD WDQÕPOÕ V UHNOL YH KHU PHUWHEHGHQ W UHYOHQHELOLUGLUOHU ùlpgl NXYYHW VHULOHUL LOH LOJLOL özellileri eoremler hlide görelim. Teorem. uyyhw VHULVL \DNÕQVDNOÕN E OJHVLQGHNL KHUKDQJL ELU ρ, ρ DUDOÕ ÕQGDVÕQÕUODQDQGÕU [ ] øvsdw NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ > olm üzere, serii, [ ρ, ρ], DUDOÕ ÕQGD VÕQÕUODQDQ OGX XQX J VWHUHOLP < ρ < OGX XQGDQVHULVL ρ QNWDVÕQGDPXWODN\DNÕQVDNWÕUKDOGH ρ ρ... ρ... Q S]LWLI WHULPOL VD\Õ VHULVL \DNÕQVDNWÕU Bu edele, her < ρ GH HULLoLQ VD\ÕVHULVLNXYYHWVHULVLQLQVÕQÕUOD\DQÕGÕU uvve serisii, DUDOÕ ÕQGD\DNÕQVDNYHWSODPÕQÕQGDs OGX XQXYDUVD\DOÕP Bu durumd, s,, 4

\D]ÕOÕúÕQD s osiyouu, DUDOÕ ÕQGD NXYYHW VHULVLQH DoÕOÕPÕ deir. Teorem ve öcei eoremlere dyr, uvve serileri ile ilgili DúD Õdi özellileri söyleyebiliriz: i.xyyhwvhulohul\dnõqvdnoõndudoõ ÕLoLQGHNLKHUDUDOÕNWDG ]J Q \DNÕQVDNWÕU ii.xyyhwvhulvlqlqwsodpõ s\dnõqvdnoõne OJHVLQGHV UHNOLELU osiyodur. iii.xyyhw VHULVL \DNÕQVDNOÕN E OJHVLQGH WHULP WHULPH iegrlleebilirdir. Yi, s d,, 4 GLU$\UÕFDYHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕD\QÕGÕU Teorem. uvve serisi \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ Õ LoHULVLQGH KHU QNWDGD WHULP erime ürevleebilirdir ve, s, 5 dir.$\uõfdyhvhulohulqlq\dnõqvdnoõndudoõnoduõd\qõgõu øvsdw. ùlpglhúlwol LQLQG UXOGX XQXJ VWHUHOLP s, bir uvve serisi OGX XQGDQ, \XNDUÕGD YHUGL LPL] üçücü özelli edeiyle, \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQGDWHULPWHULPHLQWHJUDOOHQHELOLUGLU Bu göre, s d d d elde ederiz.%xudgdqvowdudiwdnllqwhjudodoõqõuvd s s elde ederiz. Hlbu i, s GÕUYHGOD\ÕVÕ\OH 5

s elde edilir. O hlde, 5 idesi s serisii ürevidir.ùlpglgh YHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSODUÕQÕQD\QÕOGX XQXJ VWHUHOLP s ve s VHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSODUÕVÕUDVÕ\OD ve * olsu. Bu durumd, * lim lim lim lim olur. <DQL YH VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSODUÕ GOD\ÕVÕ\OD d \DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕD\QÕGÕU 6QXo ODUDN ELU NXYYHW VHULVL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ Õ LoHULVLQGH NH\IL merebede üreve shipir ve s..., N 6 GÕUhVWHOLNGHYHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕGDD\QÕGÕU Öre., < HúLWOL LQGHQ\DUDUODQDUDN, < ; b, < HúLWOLNOHULQLG UXOD\ÕQÕ] Çözüm, < HúLWOL LQGH yerie \D]ÕOÕUVD, < elde edilir. < ie < ODFD ÕQÕGDGLNNDWHDODUDN, < elde ederiz. 6

7 b Bu seer yerie lr,, < yzbiliriz. < ie < ODFD ÕQÕGDGLNNDWHDODUD,, < elde edilir. Öre. <, rc HúLWOL LQLQ G UX OGX XQX göseriiz. Çözüm. %LUNXYYHWVHULVL\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQGDWHULPWHULPHLQWHJUDOOHQHELOH- FH LQGHQÖre b deyhulohqhúlwol LKHULNL\DQÕQÕQLQegrlii lr, < d d d ve böylece, rc rc rc elde edilir. rc ODFD ÕGLNNDWHDOÕQÕUVD rc HúLWOL LHOGHHGLOLU

Öre. l ; b π 4 eúlwolnohulqlqg UXOGX XQXJ VWHULQL] Çözüm, < HúLWOL LQLQLQWHJUDOLDOÕQÕUVD l l l elde edilir. Burd, l ODFD ÕGLNNDWHDOÕQÕUVD l HúLWOL LQLHOGHHGHUL]6QXoODUDN\XNDUÕGDNLHúLWOLNWH DOÕUVDN olur. l b rc HúLWOL LQGH DOÕUVDN burd d elde edilir. π rc 4 π 4 8

Öre 4. π VD\ÕVÕQÕQGH HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. π 4 HúLWOL LQGHQ\DUDUODQÕUVDN 4 <. HúLWVL]OL L VD ODQPDOÕGÕU DOEXNL \XNDUÕGDNL WSODP ELU DOWHUQH VD\Õ VHULVL OGX XQGDQ QXQ GH HUL LON WHULPLQi PXWODN GH HULQGHQ büyü olmz. O hlde, < 4 <. \D]DELOLUL] %X HúLWVL]OL L JHUoHNOH\HQ LON GH HUL dir. O hlde \XNDUÕGDNL IUP O NXOODQDUDN π VD\ÕVÕQÕQ GH HULQL GX\DUOÕNOD hesplybilmemiz içiq VHULQLQ LON WHULPLQL DOPDOÕ\Õ] %X LVH OGXNoD güç bir durumdur. Bu edele, π VD\ÕVÕQÕQGH HULQLKHVDSODPDNLoLQEDúNDELU VHULNXOODQPDPÕ]JHUHNLUùLPGL rc seriside DODOÕPBöylece, rc π 6 ve burd d π HOGHHGHUL]% \OHFH\XNDUÕGDNLVHULQLQNDODQWHULPLLoLQ olur ve Leibiz ölçüüe göre l erim. erimlq PXWODN GH HULQGHQ GDKDE \ NODPD\DFD ÕQd 9

< <. \D]DELOLUL]%XHúLWVL]OL LVD OD\DQLONGH HUL GLUKDOGHLVWHQHQGX\DUOÕNOD π elde edilir. 5 7 9 5 4 5 6 7.46 Öre 5.$úD ÕGDNLIQNVL\QODUÕ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQGDVHULOHULQHDoÕQÕ], ; b Çözüm Öre de, < OGX XQX ELOL\UX] HU LNL WDUDIÕQW UHYLDOÕQÕUVD, < WHNUDUW UHYDOÕQDUDNGD, < elde edilir.úlwol LQKHULNL\DQLLOHE lüürse, < serisi elde edilir. b Öre b de, < OGX XQXELOL\UX]%XUDGD yerie DOÕUVDN 4

4 < HOGHHGHUL]7 UHYDOÕQÕUVD, < ve burd d, < elde edilir. Yi...,... 5 < dir. Öre 6....... VHULWSODPÕQÕEXOXQX] Çözüm....... s HúLWOL LQLQWHULPWHULPLQWHJUDOLDOÕQÕUVD d d g d s, < g d s OXU<XNDUÕGDNLHúLWOL LQ HJ UHW UHYLDOÕQÕUVD, < s elde edilir.

4 Öre 7. VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕLOHWSODPÕQÕEXOXQX]YH. d s LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. olup, lim lim lim olur. QNWDVÕQGDVHUL olup ÕUDNVDNWÕU QNWDVÕQGDise seri olup yie ÕUDNVDNWÕUO hlde,\dnõqvdnoõndudoõ Õ, DoÕNDUDOÕ ÕGÕU, < s seriside y G Q ú P \DSDUVDN, < y y y g y s HúGH HUVHULVLQLHOGHHGHUL]7HULPWHULPHLQWHJUDODOÕQÕUVD y y y y d d y u d g burd d, < y y y u y u d g y elde ederiz. u OGX XQXGLNNDWHDOÕUVDN

u y y y y y, y y < OXUùLPGLW UHYDOÕQÕUVD u y g y, y < y ve y oulr d g s, < elde edilir... s d d iegrlide - u d du G Q ú P \DSÕOÕUVD..6 s d du u u.6.6.4.6 elde edilir..8. Tylor Serisi Alizde, EHOOLELUDUDOÕNWDV UHNOLYH-ci derecede ürevleebilir osiyolr yerie VÕNOÕNODQODUÕ WHPVLO HGHQSOLQPODU NXOODQÕOPDNWDGÕUBuu edei SOLQP ]HOOLNOHULQLQ on L\L ELOLQPHVL YH NXOODQÕP NOD\OÕ ÕGÕU HU odoõúõodq ELU DUDOÕN \D GD QNWD FLYDUÕQGD osiyou ile ou emsil ede p SOLQPXQXQ GH HUOHULDUDVÕQGDNLIDUNLVWHQLOGL L NDGDU N o NVH EX QNWDGD osiyou yerie psolqpxnxoodqõodelolu Böylesi bir poliom ile uyumlu poliom deir. HU...... NXYYHW VHULVL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ ÕQGD ELU WSODPD VDKLS YH EX WSODP IQNVL\QXLVHEXGXUXPGD\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕLoHULVLQGHNLKHUGH HULLoLQ IQNVL\QXQXQ EX QNWDGDNL GH HULQL YHULU KDOGH\XNDUÕGDNLVHUL\DNÕQVDN OPDVÕKDOLQGH 4

44,, : úhnolqgh ELU IQNVL\Q WDQÕPODU \D]ÕOÕPÕQD osiyouu FLYDUÕQGDVHUL\H DoÕOÕPÕGHQLU Acb serii i L NDWVD\ÕODUÕ LOH osiyou UDVÕQGDQDVÕOELULOLúNLYDUGÕU" DoÕOÕPÕQGDQNOD\FDDQODúÕODFD Õ ]HUH GÕU%XQGDQEDúNDDoÕOÕPÕQÕQW UHYLDOÕQÕUVD...... burd OGX XDQODúÕOÕU7HNUDUW UHYDOÕQÕUVD...... 6 ve burd d! EXOXQXU 7 UHY DOPD LúOHPL GHYDP HWWLULOLUVH VHULQLQ NDWVD\ÕODUÕ LOH IQNVL\QXDUDVÕQGD!,...,!,!,, LOLúNLOHULQLQYDUOGX XDQODúÕOÕU%XQDJ UHVHULDoÕOÕPÕQÕ! 4 úhnolqgh\d]delolul] 7DQÕP osiyou QNWDVÕ FLYDUÕQGD V UHNOL YH süreli olr ürevleebilir bir osiyo ise,!

VHUL DoÕOÕPÕQD osiyouu QNWDVÕ FLYDUÕQGDNL 7D\OU DoÕOÕPÕ deir. Özel olr, ise, bu durumd elde edile 5! idesie de IQNVL\QXQXQDFODXULQDoÕOÕPÕGHQLU 7DQÕP. HU ELU osiyouu DoÕOÕPÕQGD OGX X JLEL VQVX] ELU seri yerie -ci derecede bir poliom ile emsil ederse,, l erim OPDN ]HUHDoÕOÕPÕQÕ 6! \D]ÕOÕPÕQD NDODQ WHULPOL 7D\OU ormülü deir. Burd e, osiyouu 7! úhnolqgh -FL GHUHFHGHQ ELU SOLQPLOH WHPVLO HWPHNOH \DSÕODQ KDWD J ] \OH EDNÕOPDOÕGÕU ùlpgl EX KDWDQÕQ KHVDSODQPDVÕQGD \DUD\ÕúOÕ ODQ ELU WHUHP verelim. Teorem. HU, QNWDVÕQÕ LoLQH DODQ ELU DUDOÕNWD -ci derecede ürevleebilir bir osiyo ise, Tylor ormülüdei l erimi! d 8 ED ÕQWÕVÕ\ODverilir. øvsdw 7 PHYDUÕP\ QWHPLQLNXOODQDOÕP6 ile verile Tylor ormülüe göre, içi OXUùLPGL 45

46 d OGX XQXJ VWHUPHPL]JHUHNLU [ ] d olur.%xudgdnõvpllqwhjudv\qlolq u ve v - DOÕQÕUV, d d uv udv elde edilir. O hlde, 8 ormülü içi G UXGXU 8 ormülüü içi G UXOGX XQXNDEXOHGHOLP%XGXUXPGDNDODQWHULPWDQÕPÕQGDQ! yzbiliriz. Böylece, [ ] d d d d d!!!!!!! olur..õvpllqwhjudv\q LoLQ içi u ve d dv DOÕQÕUVD d d uv udv! HOGHHGLOLUYHE \OHFHIUP O Q QG UXOGX XDQODúÕOÕU

øqwhjudo KHVDEÕQ UWDODPD GH HU WHUHPLQGHQ \DUDUODQDUDN olm üzere, c d d!! yzbiliriz. Burd d < c < c! 9 elde edilir YH NDODQ WHULPLQ /DJUDQJH ELoLPL DGÕQÕ DOÕU. Burd, c θ, < θ < dir. 7DQÕP YH LOH YHULOHQ NDODQ WHULPOL 7D\OU IUP O JHUH LQFH ELU osiyouu FLYDUÕQGDWD\OUVHULVLQHDoÕObilmesi içi lim OPDVÕ gereir. NúXOXQXQ VD ODQPDVÕ GXUXPXQGD WD\OU VHULVL IQNVL\QXQD \DNÕQVDNWÕU GHQLU ùlpgl ELU 7D\OU VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕ Õ LOH ilgili bir eroem verelim. Teorem., X, DUDOÕ ÕQGDKHUPHUWHEHGHQW UHYHVDKLSELU IQNVL\QOVXQ HU X ve N içi A olfdnúhnloghs]lwlieluavd\õvõyduvd i FLYDUÕQGDNL ylor DoÕOÕPÕ, X içi e \DNÕQVDU øvsdw. Kl erimi 9LOHYHULOHQ/DJUDQJHELoLPLQLGLNNDWHDODOÕP c X ve < oldu XGLNNDWHDOÕQÕUVD A! olur. Burd, X DUDOÕ ÕQÕQ \DUÕ-JHQLúOL LGLU <eerice büyü GH HUOHUL ve içi! < HúLWVL]OL LJHoHUOLOGX XQGDQ 47

lim A lim! elde edilir. Bu göre, 6 ormülüde LoLQOLPLWDOÕQÕUVD! elde edilir. Bu ise X içi IQNVL\QXQD\DNÕQVDGÕ ÕDQODPÕQDJHOLU! serisii Öre. 5 ise, ve.5gh HUlerii buluuz. Çözüm. 7D\OUVHULVLQGHJHQHONDWVD\Õ dir. ormüllerie göre 5 5 55! 5 5! 5 OXU$\UÕFD < olm üzere, lim olur. Bu göre elde edilir. 4.5.5 5 4 JHPHWULNVHULVL\DNÕQVDNWÕUYH Öre. e IQNVL\QXQXQ7D\OUDoÕOÕPÕQÕEXOXQX] 48

Çözüm. e osiyou,, DUDOÕ ÕQGDV UHNOLYHKHUPHUWHEHGHQ üreve shipir. Üseli,!KHUKDQJLELUVD\ÕOPDN ]HUH-, DUDOÕ ÕQGD e < e M OGX XQGDQ 7D\OU VHULVLQH DoÕODELOLU QNWDVÕdi DoÕOÕPÕ, e osiyouu e......!!!!! olur.6hulqlq\dnõqvdnoõndudoõ Õ, dir. Öre.. e GH HULQLEHúEDVDPDNGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. HúLWOL LQGH DOÕQÕUVD e...!!.!....!....! içi DODQWHULPLQ/DJUDQJHELoLPLQLGLNNDWHDODOÕP c! e!.! c 5 < <, < c <..5 elde edilir Burd c.5 ve e. NDEXO HGLOPLúWLU %X VQ HúLWOL L JHUoHNOH\HQHQN o NG DOVD\Õ ür. O hlde, -5 GX\DUOÕNOD e...!!.!..5.7.57. elde edilir.hvdspdnlqdvõloh e. 579 elde edilir. Öre 4. e osiyouu FLYDUÕQGDVHUL\HDoÕQÕ] Çözüm. e ; e ; e ;...; e OGX XGLNNDWHDOÕQÕUVD 49

e; e; e; e;...; e YH7D\OUDoÕOÕPÕGD e e! elde edilir. <XNDUÕGDNL DoÕOÕPÕQ G UX ODELOPHVL LoLQ NDODQ WHULPLQ VÕIÕU IQNVL\QXQDG ]J Q\DNÕQVDPDVÕJHUHNLU Buu içi Kl erimi Lgrge ELoLPLQLGLNNDWHDODOÕPc < olm üzere, c e!! ve FLYDUÕQGD c GÕU c lim e lim! Öre 5. DoÕQÕ] si ve cos osiyooduõqõ FLYDUÕQGDVHUL\H Çözüm. si ve si M OGX ud, si IQNVL\QX7D\OUVULVLQHDoÕODELOLU QNWDVÕQGDNLW UHY GH HUOHULLoLQ π π si ; cos ; si ; cos ; ÕY si ; ; ; ; ; ÕY idelerii elde ederiz. Bu görejhqhoohph\dsõodudn,,,, H HU H HU H HU H HU Mod 4, Mod 4,,,,,... Mod 4, Mod 4 5

yzbiliriz. 5 ile verile DFODXULQIUP O Q NXOODQÕUVDN 5 7 si...! 5! 7!...! elde edilir. 6HULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQÕQ, OGX XDoÕNWÕU %HQ]HUúHNLOGH cos IQNVL\QXVHUL\HDoÕOÕUVD! 4 6 cos...! 4! 6!...!! elde edilir. Öre 6. e LQ VHUL DoÕOÕPÕQGDQ ID\GDODQDUDN VHULDoÕOÕPÕQÕEXOXQX] sih osiyouu e e Çözüm. 7DQÕP ODUDN sih dir ve, DUDOÕ ÕQGD WDQÕPOÕGÕU $\QÕ DUDOÕNWD WDQÕPOÕ YH V UHNOL ODQ e i ile verile seri DoÕOÕPÕQÕGLNNDWHDOÕUVDN e......!!!!! burd yerie yzr e...!!!...!! elde ederiz. O hlde, sih e e 5......! 5!! olur.6hulqlq\dnõqvdnoõndudoõ Õ, dir. Öre 7. l IQNVL\QXLoLQVHULDoÕOÕPEXOXQX]! Çözüm. \DNÕQVDNYH JHPHWULN VHULVLQL HOH DODOÕP < içi serii düzgü 5

OGX XQX ELOL\UX] O hlde, seri,, iegrlleebilirdir. Buu yprs, d l l l d, < DUDOÕ ÕQGD WHULP WHULP elde edilir. Seri, - QNWDVÕQGD \DNÕQVDN DOWHUQH VHri ie ovõqgdõudnvdnwõuhrmoi seri.kdogh\dnõqvdnoõndudoõ Õ[, dir. l LQVHULDoÕOÕPÕQGD G Q ú P yprs l l,, < lere serisii elde ederiz. Bu seri, -QNWDVÕQGDÕUDNVDNQHGHQ"LNHQ QNWDVÕQGD \DNÕQVDNWÕU DOWHUQH VHUL 6HULQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ Õ ve bu, dir. DOÕQDUDN od ] l...... 4 elde edilir. Öre 8OQ QLQGH HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Öcei problemde l...... 4 5

5 HOGHHWPLúWLN<XNDUÕGDNLVHULDOWHUQHVHULOGX XQGDQQXQNDODQWHULPLLoLQ. < < ε OXUKDOGHLVWHQHQGX\DUOÕ ÕQHOGHHGLOHELOPHVLLoLQ 9998. > > OPDOÕGÕU<DQLOQ QLQGH HULQLGX\DUOÕNODHOGHHGHELOPHNLoLQVHULQLQ LON WHULPLQL DOPDOÕ\Õ] * U OG JLEL \XNDUÕGDNL VHUL OGXNoD \DYDú \DNÕQVD\DQ ELU VHULGLU %X QHGHQOH GDKD KÕ]OÕ \DNÕQVD\DQ ELU VHUL NXOODQPDN gereir., l < ve, l < DoÕOÕPODUÕQGDQ\DUDUODQDUDN,...... 5...... 5...... l l l 5 5 < elde ederiz. Burd DOÕQÕUVD l \DNÕQVDNVD\ÕVHULVLelde edilir. Burd l erim içi

ε <. NúXOXQXQVD ODQPDVÕQÕLVWL\UX]øQWHJUDO Oo W Q X\JXODUVDN d d < < <. burd ve burd d d < l. <. HOGH HGHUL] %X HúLWVL]OL L JHUoHNOH\HQ HQ N o N G DO VD\Õ LVH dür. O hlde,lvwhqhqgx\duoõnod l. 5 5 [.5.8]. 69 dir.hvdspdnlqdvõlvhg UWEDVDPDNGX\DUOÕNODVQXFXQÕYHUPHNWHGLU.9. Biom Serisi m m! ELU JHUoHO VD\Õ OPDN ]HUH, DUDOÕ ÕQGDWDQÕPOÕYHV UHNOL OXS 7D\OU VHULVLQH DoÕODELOLUQNVL\QXQ -ci derecede ürevii osiyou m m m... m m ve ürevi QNWDVÕQGDNLGH HULQLQGH m m m... m OGX XDoÕNWÕU%XQDJ UH 54

m... m m m! m m m m m m!! m m... m...! serisi elde edilir ve biom serisi deir. HU m ELU S]LWLI WDPVD\Õ LVH DoÕOÕPÕQGDm-FLWHULPLQGHQVQUDNLE W Q WHULPOHULQLQ NDWVD\ÕODUÕ VÕIÕU OXU YH bu durumd serisi... m m m m... m! m m m m m m... m!! m m 4 úhnolqhg Q ú U ve Newo biom ormülü deir. m QLQKHUKDQJLELUJHUoHOVD\ÕOGX XQX J ] Q QHDODUDN VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕNDUDOÕ ÕQÕEXODOÕP.HVLP.6 GDNL7HUHPJHUH LQFH lim m m... m! lim.! m m... m lim m elde edilir. O hlde, ile verile biom serisi, DUDOÕ ÕQGD\DNÕQVDNWÕU Biom ormülüde m \H ohúlwol GH HUOHU YHULOHUHN YH g úhnolqgh G Q ú POHU\DSÕODUDNoHúLWOLIQNVL\QODUÕQ QNWDVÕQGDNL7D\OUDoÕOÕPODUÕ elde edilebilir. %X G Q ú POHU Voucud seri ± QNWDODUÕQGD \DNÕQVDN \DGDÕUDNVDNODELOLU Öre %LQP VHULVL \DUGÕPÕ\OD DoÕOÕPÕQÕEXOXQX] osiyouu Tylor Çözüm. Öcelile g IQNVL\QXQXQ DoÕOÕPÕQÕ HOGH edelim. Buu içi, seriside, m DOÕS G Q ú P Q X\JXOD\DOÕP 55

56...! 5......! 5!...!......! elde ederiz. O hlde,...,! 5......! 5! 4 < olur. Öre. Biom ormülüde yrrlr rc osiyouu QNWDVÕQGDNL7D\OUDoÕOÕPÕQÕHOGHHGLQL] Çözüm. rc dir. O hlde, öce g IQNVL\QXQXQ DoÕOÕPÕQÕ EXODOÕP IUP O QGH m DOÕS G Q ú P Q X\JXlrs...,......!......! 4 4 < serisii ve iegrl lr d...,... 5 rc 5 < serisii elde ederiz. Öre. Biom ormülüde yrrlr 7 LUUDV\QHOVD\ÕVÕQÕQ \DNODúÕN GH HULQLKHVDSOD\ÕQÕ]

Çözüm %X KHVDSODPD\Õ ypbilme içi öcelile 7, < ODFDNúHNLOGH\D]PDOÕ\Õ]Burd VD\ÕVÕVÕIÕUDQHNDGDU\DNÕQLVHEXOXQDFDN VHULQLQ\DNÕQVDPDKÕ]ÕGDUDQGD\ NVHNOXU%XQDJ UH 4 5 5 8 5 5 7 7 4 5 5 5 5 lbiliriz. Bu durumd ile verile biom ormülüde lõqõuvd m ve 5 5...... 5! 5!... 5! 5! 5 9 7... 5! 65! 565 elde edilir. O hlde, 7 5 5 9 7... 5 5! 65! 565 olur. Serii WHULPLQLQGH HUL 5 7! 565. 5... YHVHULDOWHUQHVHULOGX XQGDQ 4 <. dür. O hlde,.gx\duoõnod 7 5 5 5 5 5 9! 65 [..6.8]. 6455 GLUKHVDSPDNLQDODUÕ 7. 64575 vermeedir. Öre 4. cos D VD\ÕVÕQÕGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Öcei oulrd 57

4 6 cos...! 4! 6!...!! OGX XQXELOL\UX]6HULDOWHUQHVHULOGX XQGDQNDODQWHULPLLoLQ < <.! VD ODQPDOÕGÕU π D D.6667.6667 8.5 UDG bul ederse.5 <! <. HúLWVL]OL LQLVD OD\DQHQN o NWDPVD\Õ dir. O hlde, isee duyrlõnod D.5 cos cos.5 rd!.9775 OXUKHVDSPDNLQDVÕise D cos cos.5 rd.97754 GH HULQLYHUPHNWHGLU π Öre 5. si d LQWHJUDOLQLQGH HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Öcei oulrd si! 5 5! 7... 7!...!! OGX Xu biliyoruz. Burd si! 5 5! 4 7 7! 6......! elde ederiz. Böylece sözousu iegrl içi 58

59...!... 5! 5!...!... 5! 5!...!... 5! 5!...!... 5!! si 5 5 5 5 4 5 d d π π π π π π π π DOWHUQDWLIVHULDoÕOÕPÕQÕHOGHHGHUL]%XUDGD.! < < π NúXOXVD ODQPDOÕGÕU

. BÖLÜM *hù$<yh**/5ø $5.7/5ø *LULú * QHúVLVWHPLQLQ \HOHUL,QLVSHWHQ\DNÕQOGXNODUÕQGDQYHKHSVL dej QHúHWUDIÕQGD\ U QJH KDUHNHWL \DSWÕNODUÕQGDQ GOD\Õ X]DN J N FLVLPOHULQH QD]DUDQ GDKD NDUPDúÕN ELU J U Q P sergilerler. * QHúVLVWHPLQGHNLW P \HOHU J QHú HWUDIÕQGDNQLN\ U QJHOHUGHGODQÕUODU %X \ U QJHOHULQ DUDúWÕUÕOPDVÕ J N PHNDQL LQLQ NQXVXGXU %Lz bu bölümde, oi \ U QJHOHULQ ]HOOLNOHGHHOLSV\ U QJHOHULQ ]HOOLNOHULQHNÕVDFDGH LQGLNWHQVQUDJ QHúLQ ve gezegeleri J N N UHVLQGHNL J ]OHQHQ KDUDNHWOHULQL LQFHOH\HFH L] * U Q U KDUHNHW GH LQFHDNODLONJHOHQJ QO NKDUHNHWWLU%XOGXNoDJHQHOELUGXUXPGXUYHND\QD Õ\HULQ NHQGL HNVHQL HWUDIÕQGD G QPHVLGLU ønlqfl E O PGH GH DQODWÕOGÕ Õ ]HUH W P J N FLVLPOHUL g QO NKDUHNHWHNDWÕOÕUODUYHELUJ QLoHULVLQGH,HúOH HSDUDOHO ol çember yörügelerde m ELU GODQÕP \DSPÕúOXUODU Bu bölümde, sõudvõ\od J QHúD\ YH JH]HJHQOHULHOHDODFDN YH JH]HJHQOHULGHLoYHGÕúJH]HJHQOHUOPDN ]HUHLNLNÕVÕPGDLQFHOH\HFH L].HSOHU\DVDODUÕJ QHúLQJ U Q U yörügesi *H]HJHQOHULQKDUHNHWOHULQHLOLúNLQG UXYH\HWHUOLLONWDQÕPODPD\ ]\ÕOGDEXNQXGD o QHPOL \DVD\Õ UWD\D N\DQ -KDQQHV.HSOHU WDUDIÕQGDQ UWD\D NQPXúWXU Kepler \DVDODUÕODUDNDGODQGÕUÕODQEX o\dvdvõudvõ\odú \OHGLU i ii iii *H]HJHQOHULQJ QHúHWUDIÕQGDNL\ U QJHOHULELUHUHOLSVWLUYHJ QHúEXHOLSVOHULQ GDNODUÕQGDQELULQGHEXOXQXU *H]HJHQOHU \ U QJHOHULQGH DODQ \DVDVÕQD X\DFDN úhnlogh GODQÕUODU \DQL JH]HJHQLJ QHúHELUOHúWLUHQ\DUÕoDSYHNW U HúLW]DPDODUGDHúLWDODQODUWDUDU *H]HJHQ \ U QJHVLQLQ \DUÕ-E \ N HNVHQ X]XQOX XQXQ N E \ U QJH GODQPD G QHPLQLQ NDUHVL LOH UDQWÕOÕGÕU %XQD J UH \DUÕ-E \ N HNVHQ X]XQOX X YH GODQPDG QHPLVÕUDVÕ\OD, P ve, P ol ii gezege durumud, Kepleri o QF \DVDVÕQÕ P P. biçimide yzbiliriz. 'DKDVQUDHZWQ XQDQDOLWLNODUDNUWD\DN\GX X ]HUH, üçücü \DVDDQFDNJH]HJHQOHULQN WOHOHULJ QHúLQN WOHVL\DQÕQGDLKPDOHGLOGL L]DPDQJHoHUOLGLU Bu göre J N PHNDQL LQGHQGH ELOGL LPL] G ]HOWLOPLú o QF.HSOHU \DVDVÕQÕ GLNNDWH DOÕUVDNUDQWÕVÕ\HULQH P P M m M m. LIDGHVLQLQNXOODQÕOPDVÕJHUHNLU, burd MJ QHúLQm ve m de gezegeleri üleleridir. 5

<DUÕ-E \ N HNVHQ X]XQOX X, GÕúPHUNH]OL L e ol elips yörügei delemi, gö PHNDQL LQGHQGHELOLQGL L ]HUH e r. ecosv úhnolqghglu %XUDGDv JHUoHN D\UÕNOÕN DGÕQÕ DOÕS \DUÕoDS YHNW U Q Q HQEHUL G UXOWXVX\OD pozii \ QGH\DSWÕ ÕDoÕODUDNWDQÕPODQÕU ùlpglùhnloe dej VWHULOGL Lgibi, J QHúLQ\HUHWUDIÕQGDNLgörüür yörügesii die DODOÕP Bu yörüge ùhnlo GH \HQLGHQ J VWHULOPLúWLU ùhnlogh \HUGHQ EDNÕOGÕ ÕQGD No QNWDVÕ G UXOWXVX LúDUHWOHQPLúWLU %XQD J UH HQEHUL QNWDVÕQÕQ WXWXOXP E\ODPÕ λ o ile J QHúLQWXWXOXPE\ODPÕúHNLOGHJ VWHULOGL LJLELGLU ùhnloghqj QHúLQJHUoHND\UÕNOÕ Õν ile WXWXOXPE\ODPÕDUDVÕQGD ùhnlo* QHúLQ\HUHWUDIÕQGDNLJ U Q U\ U QJHVL v 6 λ λ o y d v λ λo \D]ÕODELOHFH LNOD\FDJ U OPHNWHGLU QEHULE\ODPÕλ o, sroomi lm, λ 8 5. 689. T ''. 6 T.4 bd ÕQWÕVÕ\OD YHULOLU, burd T GDQ EHUL JHoHQ \ ]\ÕO VD\ÕVÕGÕU %XQD J UH UQH LQ TDOÕQDUDNLoLQHQEHULE\ODPÕ o.4 olr elde edilir... Pergel oõ OoHUYHFHWYHOullr elips çizimi <DUÕ-E \ NYH\DUÕ-N o NHNVHQX]XQOXODUÕVÕUDVÕ\OD ve bodqholsvlshujhodoõ OoHUYH cevel ullr çizme\hohoõúdoõpgqfhùhnlo GHJ VWHULOGL LJLELO merezli, ve b \DUÕoDSOÕoHPEHUOHULoL]HOLPDh sor, \DUÕoDSOÕoHPEHULQKHUKDQJLELUABoDSÕQÕYHb 5

\DUÕoDSOÕoHPEHULQAB ye di CDoDSÕQÕoL]HOLP -esei OAG UXOWXVXQGDYHy-esei de OC do UXOWXVXQGDODFDNúHNLOGHyNUGLQDWVLVWHPLQLNXUDOÕPùLPGLOA ile EDoÕVÕ\DSDQ ELU G UX ol]holp %X G UXQXQ ohpehuohul NHVLP QNWDVÕ VÕUDVÕ\OD M ve N olsu. M QNWDVÕQGDQAB ye ve NQNWDVÕQGDQGDCD ye çizile prleller PQNWDVÕQGDNHVLúVLQOHU ùhnloghqnod\fdj U OHELOHFH L ]HUHPQNWDVÕQÕQUGLQDWODUÕ cose, y bsie.5.5b dir ve b y.6 HOLSV GHQNOHPLQL VD ODGÕNODUÕQGDQ P QNWDVÕ \DUÕ-E \ N YH \DUÕ-N o N HNVHQ X]XQOXODUÕ VÕUDVÕ\OD ve b ODQ HOLSV ]HULQGHNL ELU QNWDGÕU $\QÕ LúOHPOHU GH LúLN E DoÕODUÕ LOH yieleere eolsvol]loplú OXU OQNWDVÕD\QÕ]DPDQGDHOLSVLQ GH PHUNH]LGLU \DUÕoDSOÕ çembere, elipsi sl çemberi ve b\duõodsoõohpehuh de elipsi yede çemberi deir. AB ye elipsi büyü esei ve CD ye de üçü esei deir.ùhnloghqghj U OHFH L ]HUHE \ N YHN o NHNVHQX]XQOXNODUÕVÕUDVÕ\OD ve b dir. OGHHGLOHQOLSVLQLNLWDQHGD ÕYDUGÕU %XQODUÕQ\HUOHUL,VÕUDVÕ\ODF c, ve F -c, GLUùHNLO GHGDNODUGDQ\DOQÕ]FDELUWDQHVL J VWHULOPLúFQNWDVÕYHDOWLQGLVNXOODQÕOPDPÕúWÕUcGH HULLOH ve bdudvõqgd ùhnlohujhodoõ OoHUYHFHWYHOLOHHOLSVoL]LPL 5

b c.7 LOLúNLVL YDUGÕU c \H GDN X]DNOÕ Õ GHQLU $\UÕFD ELU HOLSVLQ GDN X]DNOÕ Õ LOH \DUÕ-büyü HNVHQX]XQOX XDUDVÕQGDNL c e.8 UDQÕQDGDHOLSVLQGÕú PHUNH]OL LGHQLU'ÕúPHUNH]OLNFLQVLQGHQ, b ile DUDVÕQGD b - e.9 ED ÕQWÕVÕQÕQ OGX X NOD\FD J VWHULOHELOLU A QNWDVÕ HOLSV ]HULQGH GD D HQ \DNÕQ QNWDGÕU %X QNWD\D, geel olr, HQEHUL QNWDVÕ J QHú VLVWHPLQGH JH]HJHQ \ U QJHOHUL V ]NQXVXOGX XQGDLVHJ QEHULQNWDVÕGHQLU Bezer olr, BQNWDVÕGDHOLSVLQGD D HQ X]DN QNWDVÕGÕU YH JHQHO LVPL HQ WH QNWDVÕ OPDVÕQD NDUúÕQ, gezege yörügeleri GXUXPXQGD J Q WH QNWDVÕ DGÕQÕ DOÕU OLSV ]HULQGHNL GH LúNHQ P QNWDVÕQÕQ GD D X]DNOÕ ÕQÕr ile göserece olurs, r A - e r B e..b OGX XNOD\FDJ VWHULOHELOLU ùhnlo GHHOLSV ]HULQGHNLPQNWDVÕQÕF GD ÕQDELUOHúWLUHQ\DUÕoDSYHNW U Q Q-esei LOH S]LWLI \ QGH \DSWÕ Õ DoÕ\D, P QNWDVÕQÕQ JHUoHN D\UÕNOÕ Õ GHQLU Elipsi GD D J UH GHQNOHPLJHUoHND\UÕNOÕNFLQVLQGHQ. idesi ile verilir. NQNWDVÕHOLSV ]HULQGHNLELUP QNWDVÕQGDQE \ NHNVHQHLQGLULOHQGLNPHQLQX]DQWÕVÕQÕQDVDOoHPEHULNHVWL LQNWDGÕUYH EDoÕVÕGD, ON\DUoDSÕQÕQ, -esei ile pozii yöde ypwõ ÕDoÕGÕU PQNWDVÕHOLSV ]HULQGH GH LúWLNoHNQNWDVÕGDDVDOoHPEHULoL]HU%DúNDELUGH LúOH, vjhuohnd\uõnoõ Õ o ile 6 o DUDVÕQGD GH LúWL LQGH E DoÕVÕGD D\QÕ úhnlogh GH LúLU *HUoHN D\UÕNOÕ ÕQ o, 8 o ve 6 o OGX X QNWDODUGD, E DoÕVÕQÕQ GD D\QÕ GH HUOHUL DODFD Õ NOD\FD J U OHELOLU E DoÕVÕQD P QNWDVÕQÕQ GÕú D\UÕNOÕ Õ GHQLU * N PHNDQL LQGHQ GH ELOLQGL L ]HUH JHUoHN YH GÕú D\UÕNOÕNODUDUDVÕQGD LOLúNLVLYDUGÕU v e E. e OLSV GHQNOHPLQL GÕú D\UÕNOÕN ciside yzm d mümüdür. ùhnlo GH PFK di üçgeide PLVDJUED ÕQWÕVÕ\D]ÕOÕUPF r, FK - c ve PK yogx XGLNNDWHDOÕQÕUVD.5-b ve.8ed ÕQWÕODUÕQÕQGD\DUGÕPÕ\OD elde edilir. r ecos E. 5

.. Kepler delemi ùhnlo GHP elips üzeridei her hgi bir o ve N de, PQNWDVÕQGDQHOLSVLQE \ N HNVHQLQHLQGLULOHQGLNPHQLQDVDOoHPEHULNHVWL LQNWDolm üzere NK PK si E b si E b. OGX X olyc görülebilir. Elips üzeride hree ede bir cismi, T DQÕQGD HQEHUL QNWDVÕQGDQJHoHUHNDQÕQGD,úHildei P NQXPXQDJHOGL LQLYDUVD\DOÕP Yi cisim, - T V UHGH HQEHUL QNWDVÕQGDQ P QNWDVÕQD YDUPÕú OVXQ Burd T \H HQEHULGHQ JHoLú ]DPDQÕGHQLUùLPGL, Al PFA Al PFK Al PKA.4 ODQHúLWOL LQLGLNNDWHDODOÕP. Burd AlPFA\DUÕoDSYHNW U Q Q - TV UHGHWDUDGÕ Õ DODQDHúLWWLUYH.HSOHULQ\DVDVÕX\DUÕQFD T Al PFA π b.5 P yzbiliriz. Burd, π b HOLSVLQ DODQÕGÕU YH \DUÕoDS YHNW U EX DODQÕ P sürede rr. P ye dolm döemi deir. ùlpglpfk ojhqdodqõqõkhvdsod\doõpùhnohj UH, FK OK OF olup, OK sie ve OF c e dir. O hlde FK sie - e olur. <LQH úhnloghq GH görüohfh L ]HUHPK MH bsie dir. Souç olr Al PFK bsi Esi E e.6 olur. So olr PKAHOLSVSDUoDVÕQÕQDODQÕQÕ KHVDSOD\DOÕP..LOLúNLVLYHWHPHO DQDOL] ELOJLOHULPL]\DUGÕPÕ\OD b Al PKA Al NKA.7 yzbiliriz. Hlbui, NKA lõ NOA dire dilimii DODQÕ LOH NOK üçgeii loduõ IDUNÕQDHúLWWLU EPHUNH]DoÕOÕYH\DUÕoDSOÕNOAGDLUHGLOLPLQLQDODQÕ Al E π π NOA.8 GÕU Gelelim NOK ojhqlqlqdodqõqdùhnohj UHOK cose ve NK sie ve burd d GÕU O hlde, Al NOK si E cos E.9 54

E Al NKA π π si E cos E. ve.7 de Al E PKA π b π bsi E cos E. elde edilir..5 ve.6 ve. ideleri.4 dh\hulqhnqxuyhjhuhnolvdghohúwlu- PHOHU\DSÕOÕUVD E esi E π T P. Kepler delemi elde edilir. Burd π/p \DUÕoDSYHNW U Q QUWDODPDDoÕVDOKÕ]ÕOXS ile göserilir. Bu durumd, ToDUSÕPÕ d, FGD ÕHWUDIÕQGDVDELWDoÕVDOKÕ]ODGODQDQ ELU\DUÕoDSYHNW U Q Q, T sürede WDUDGÕ ÕDoÕJ ] \OHEDNDELOLUL] M T. QLFHOL LQH P QNWDVÕQD LOLúNLQ UWDODPD D\UÕNOÕN DGÕ YHULOLU *HUoHN D\UÕNOÕ ÕQ o ve 8 o OGX X GXUXPODUGD,yi cisim eqehul YH HQ WH QNWDODUÕQGD\NHQ JHUoHN D\UÕNOÕN GÕú D\UÕNOÕN YH UWDODPD D\UÕNOÕN GH HUOHULQLQ KHSVQLQ ELU ELULQH HúLW OGX X J U OPHOLGLU O hlde, MUWDODPDD\UÕNOÕ ÕFLQVLQGHQ.HSOHUGHQNOHPL E esi E M.4 úhnolqgh \D]ÕODELOLU 'HQNOHPLQ VO WDUDIÕQÕQ E GÕú D\UÕNOÕ ÕQÕQ KHP G UXVDO KHP GH WULJQPHWULNIQNVL\QODUÕQÕLoHUL\UOPDVÕQHGHQL\OH, Kepler delemii lii olr çözümü your. Buul birlie, esie < OPDVÕ ise,\dnodúõno ] POHULQHOGe edilmesie ODQDNVD OD\DQELUDYDQWDMODUDNNDUúÕPÕ]GDGXUPDNWDGÕU.4. Kepler delemii çözümü.hsohughqnohplqlq\dnodúõno ] P ELUoN\OGDQ\DSÕODELOLU. Bu yöemleri öemlileri J NPHNDQL LGHUVLQGHHOHDOÕQPDNWDGÕU%XUDGDLWHUDV\Q\ Qemi ile diersiyel düzelme \ QWHPLQLYHUHFH L].4.. Kepler delemii iersyo yöemi ile çözümü. Kepler delemii, E M e.5 i si E i 55

úhnolqghlwhudv\qiup O ODUDN\HQLGHQ\D]DOÕP esi E < OGX XQGDQELULON\DNODúÕP olr E o M DOÕQDUDNLWHUDV\QDGHYDPHGLOLUøVWHQHQGX\DUOÕNHOGHHGLOLQFHGÕúD\UÕNOÕN DoÕVÕEXOXQPXúOXU.4 y d.5ed ÕQWÕODUÕQÕQUDG\DQFLQVLQGHQ\D]ÕOGÕ ÕQDGLNNDW edilmelidir. Buul bluolnwh EX ED ÕQWÕODUÕ N o N ELU G ]HOWPH LOH GHUHFH FLQVLQGHQ GH yzbiliriz: 8 Ei M esi E i..6 π Öre: Yer i,j QHúHWUDIÕQGDNL\ U QJHVLQLQ\DUÕ-E \ NHNVHQX]XQOX X 49.6 6 m, GÕúPHUNH]OL Le.675 ve dolm döemi P J QOGX XQDJ UHeberi QNWDVÕQGDQJHoWLNWHQJ QVQUD, yörügesidei NQXPXQXKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm: 6 P o o.9856 gü, 98. 56 M T olur. E o M bul eder ve LWHUDV\QIUP O Q NXOODQÕUVDN E o 98 o.56, E 99 o.5, E 99 o.575, E 99 o.575, elde edilir.%xqdj UHGÕúD\UÕNOÕNEHúEDVDPDNGX\DUOÕNOD bulupxúoxu E QLQEXGH HUL LOHGÕúPHUNH]OLNGH HUL GHNXOODQÕODUDNJHUoHND\UÕNOÕN v o 7 olr elde edilir.%xdqgd\hulqj QHúHODQX]DNOÕ ÕGDED ÕQWÕVÕNXOODQÕODUDN r 5. 6 m ODUDNKHVDSODQÕU Bu öree, GÕúPHUNH]OLN OGXNoD N o N OGX XQGDQ, LWHUDV\Q IUP O KÕ]OD \DNÕQVDPÕúWÕU 'Õú PHUNH]OL LQ E \ N OPDVÕ GXUXPXQGD \DNÕQVDPD on GDKD \DYDú olpdnwdgõu. øwhudv\q \ QWHPLQH ELU DOWHUQDWLI ODUDN \DNÕQVDPDVÕ GDKD KÕ]OÕ ODQ diersiyel düzelme yöeminxoodqõodelolu.4.. Kepler delemii diersiyel düzelme yöemi ile çözümü.4 ile verile Kepler delemii ullr, E E esi E M.7 úhnolqgh GÕú D\UÕNOÕ D ED OÕ E IQNVL\QXQX WDQÕPOD\DOÕP E o, E osiyouu \DNODúÕN o ] P YH E o E GH JHUoH H GDKD \DNÕQ ELU o ] P OPDN ]HUH E osiyouu E o E clyduõqgdvhul\hdor, birici ürevde sori erimleri ihml ederse 56