ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedisik Mimrık Fkütesi İşt Mühedisiği Böümü E-Post: oghmettopc@gmicom We: http://mmfogedtr/topc Bigisr Desteki Nümerik Aiz Ders otrı 0 Ahmet TOPÇ A m Üst üçge mtris At üçge mtris Kre mtris DENKEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ DOOITTE CROT CHOESKY Mric Hsc Dooitte80-) Prescott Dr Crot 07-8) Adré-ois Choesk 87 8)

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY öümde verie idirgeme ötemi GASS oriji çözümüdür, ze sit GASS ötemi de deir Bsit GASS ötemi hem ktsır mtrisii hem de krşı trf vektörüü ı d değiştirerek ktsır mtrisi üst üçge o eşdeğer ir dekem sistemie döüştürür gmd ise, çoğ kez, krşı trf vektörüü idirgeme sırsıd değiştirimesi g omz Ktsır mtrisi ei ike krşı trf vektörü heüz iimior ve zm zm değişior oiir Çrpr ırm ötemeri A dekem sistemii A ktsır mtrisii A sğck şekide, ir ower) t üçge ve ir pper) üst üçge mtrisi çrpımı döüştürürer Çrpr ırm işemi sırsıd krşı trf vektörü i iimesie gerek oktr B ötemere göre A ei ise ve üçge mtriseri A ı eemrıd A ) eşitiği sğck şekide hespırr ve eiredikte sor de ei oc çözüm içi A erie ) Eşdeğer dekem sistemi kıır B içi ğıtısıd döüşümü pıır:, ) B döüşüm soc ktsır mtrisi üçge o şğıdki iki dekem sistemi oşr: de hespır, de erie kor ve hespır ) rd erie kor t üçge üst üçge A ktsır mtrisi t üçge üst üçge iimeeer vektörü krşı trf vektörü Ykrıd şğı doğr hesp pırk r Aşğıd krı doğr hesp pırk r

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY İk kışt ir erie iki dekem sistemii çözüeceği, işem sısıı d ktcğı sıiir B doğr değidir Çrpr ırm ötemi ie sit GASS ötemi rsıd gerçekte işem sısı çısıd hiçir frk oktr Tek frk, çrpr ırm sırsıd vektörüe gerek ommsıdır Çrpr ırm ötemeri, sit GASS idirgeme ötemii irz değişik şekidir, çok z frk ie irirerie çok ezerer gmd tercih kı DOOITTE, CROT ve CHOESKY ötemeri rd ee ıck, verimiş ir A mtrisii ve üçge çrprı sı rıcğı çıkcktır DOOITTE, metodd mtrisii ütü digo eemrı ii ıır, stırd pivot eem rır, gerekirse, koor er değiştiriir, ii 0 omsı sğır CROT metodd mtrisii ütü digo eemrı ii ıır, kood pivot eem rır, gerekirse, stırr er değiştiriir, ii 0 omsı sğır CHOESKY metod sdece simetrik ve pozitif tımı mtriser içi öze ir ötemdir, digo eemr ii ii, ii ii ıır ve T dr, pivot rm pımz DOOITTE metod A verimiş os, det A 0 omk ve ii ımk kdı A ğıtısı sğck şekide dımd hem hem de tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd öce ir stırı sor i ir koo hespır Adım: A Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, koorıa ı stırıdır stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, koorıa ı stırıdır / / / i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr + + + + + + ) / ) / ) / Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI,, koorı A ı stırıdır i koo hesı: i,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr + + + + + + + + ) / ) / Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI kooa ı stırıdır i koo hesı: + + + + Mric Hsc Dooitte80-), Amerikı: 878 de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Gee formüer: dım:,,,, i dım: i stırı: i ij ij ik k j, j i,i +,, k i stırı A ı irici stırı ie ı i ikoo:, ii ji ji jk ki ) / ii k, j i +, i +,,, ii 0 i dım şemtik hesp: Koo değiştirme vektörü,,, i- dımrd hespmış stırrı i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi sodki sırçarpi ij i üstüdeki sır ij i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ij de çıkr ve soc ij i odğ ere z i,,, i- dımrd hespmış koorı,,, i dımrd hespmış stırrı i stırıd pivot r dı Koo değiştirme vektörü Stırd pivot rm: ii 0 omıdır ii i mtk değerce çok küçük omsı d istemez Gerekirse koor er değiştirierek ii i mtk değerii mümkü o e üük sı omsı sğır B içi; stırd pivot r, ii, i,i+,, i eemrıd mtk değerce e üük oı B eem k kood ise i koo ie k koo değiştir Koo değiştirme vektörüü ı o koorıı d değiştir Koo değiştirme sısıı depodığı değişkei, dı p os, değerii rtır: pp+ Koo değiştirme vektörü,,, i dımrd hespmış stırrı i i koo hesı: ji ji - Σdigoi üstüdeki sır ÇARPI ji i sodki sır) BÖÜ ii i i dımd hespck koo ji i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ji de çıkr, ii digo eemı ö ve soc ji i odğ ere z Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 i digo eemrı, ii, depomz ve üçge mtriseri A ı üzerie depoır Digoi tıdki eemr e, digo ve üstüdeki eemr ittir Koo değiştirme vektörü Koo değiştirme vektörü çrpr ırm işemi sırsıd hgi koorı ererii değiştiği igisii içerir Arıc, her koo değişikiği determitı işretii değiştireceğide, kç def koo değiştiridiği de p gii ir değişkede depoır,,, eemrı çrpr ırm işemi sırsıd seçimiş pivot eemrdır Det Adet det dr det ve det -) p odğd Det A -) p dir Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd, pivot eem mzs, i ii 0 ise, Det A0 dır A tekidir, rkı ri- dir, r stır ve koo doğrs ğımsız gerie k d-r stır ve koo doğrs ğımıdır Örek: 8 0 A,?,? 8 Mtrisi DOOITTE metod ie ve üçge çrprı rıcktır Çrpr ırm işemie şmd öce koo değiştirme vektörü,,, ie dodrr ve koo değiştirme sısıı skcğı p değişkei sıfırır [ ] A 8 0 8 Koo değiştirme vektörü şgıç değereri p0 koo değiştirme sısı şgıç değeri) Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 8

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Adım: [ ] 0 8 0 8 Koo değişikiği pımdı, p0 stırı A ı stırı ie ı Stırdki mtk değerce e üük sı zte digode odğd koo değiştirmeğe gerek oktr i koo: digo tıdki sır pivot eem öüdü Adım: [ ] 0 0 8 Koo değişikiği pımdı, p0 stırı: Digoi sodki sı rdki sıı üstüdeki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Stırdki mtk değerce e üük sı - zte digode odğd koo değiştirmeğe gerek oktr i koo: Digoi üstüdeki sı rdki sıı sodki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı, soç pivot eem öüdü Adım: [ ] 0 0 8 Koor değiştiriecek stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Stırdki mtk değerce e üük sı - pivot dıdır koo ie koo er değiştiriecek i koo: heüz hespmdı koo ie koo [ ] er değiştiridi, p [ ] 0 0 8 Koo değişikiği sorsı stırı 0 0 i koo: Digoi üstüdeki sır rdki sıı sodki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı, soç pivot eem öüdü Adım: [ ] 0 0 stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 70 70 Soç: Koo değiştirme vektörü: [ ] Koo değiştirme sısı: p ve mtriseri: 0 0, Determit: Det A-) -) -) -) Rk A: r Doğrs ğımsız koo ve stır sısı: Doğrs ğımı koo ve stır sısırk rtığı): d-r-0 DOOITTE ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii ve çrprı iidiğide frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı doğr ve şğıd krı doğr hesp pırk çözüeiir Aşğıd iki örek verimiştir Örek :? A, 8 0 8 A ktsır mtrisi krıd ve çrprı rımıştı: Ack; koor er değiştiridiği de tmmıdır Koo değişimi iimeeeri erii değiştirmek mıddır [ ] vektörü ve koorı değiştiridiğii göstermektedir B edee dekem sistemi ve ciside zıırs 0 0 A ' ' or Brd vektörü hespmk istee iimeeer vektörüü ve iimeeerii ereri değiştirimiş şekidir ' deirse, ğıtısıd, krıd şğı doğr hesp ie, r, ' ğıtısıd d, şğıd krı doğr hesp ie, r ve değişkeeri ereri değiştirierek r vektörü oştrr B dımr şğıd gmıştır: 0 0 ) ) 0) ) ) 0 X

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7 7 ' ) / ) )) / ) ) / ) ) / ) ) Örek :? A, 0 8 8 0 8 0 0 8 8 ' 0 ) 0/ 07 ) 0) / 0 0 ) 07) / 0 8 7 )) / ) 07 0 8 0 8 0 0 0 0) 8 0) 8 ) 0 8 8 0 8 8 0 8 0 8 0 0 A ' ' 07 0 0 7 0 0 8 8

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 CROT metod A verimiş os, det A 0 omk ve ii ımk kdı A A ğıtısı sğck şekide dımd hem hem de tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd öce i ir koo sor ir stırı hespır Adım: Adım: + + + i koo hesı: i,,,stırrı ÇARPI kooa ı koodr i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr + + + / / / stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, kooa ı stırıdır stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, kooa ı stırıdır )/ ) / ) / Adım: i koo hesı: i,,, stırr ÇARPI koo A ı koodr stırıı hesı: i stırı ÇARPI,, kooa ı stırıdır + + + + + + + + ) / ) / Adım: i koo hesı: i stırı ÇARPI kooa ı stırıdır: + + + + stırıı hesı: Prescott Dr Crot 07-8), Amerikı: de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Gee formüer: dım:,,,, i dım: i ikoo: i ii, ji ji jk k i, j i,i +,, i istırı: ij ij ik kj ) / ii k, j i +, i +,,, ii 0 i dım şemtik hesp: Stır değiştirme vektörü k i koo A ı irici koo ie ı,,, i- dımrd hespmış stırrı i i koo hesı: ji ji - Σ digoi üstüdeki sır ÇARPI ji i sodki sır) ji i hespmk içi: i,,, i- dımrd hespmış koorı i i dımd hespck koo Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ji de çıkr ve soc ji i odğ ere z Stır değiştirme vektörü i ikood pivot r dı,,, i- dımrd hespmış stırrı Kood pivot rm: ii 0 omıdır ii i mtk değerce çok küçük omsı d istemez Gerekirse stırr er değiştiriir ii i mtk değerii mümkü o e üük sı omsı sğır B içi; kood pivot r, ii, i,i+,, i eemrıd mtk değerce e üük oı B eem k stırd ise i stır ie k stırı değiştir Stır değiştirme vektörüü ı o stırrıı d değiştir Stır değiştirme sısıı depodığı değişkei, dı p os, değerii rtır: pp+,,, i- dımrd hespmış stırrı i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi sodki sır ÇARPI ij i üstüdeki sır BÖÜ ii ij i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ij de çıkr, ii digo eemı ö ve soc ij i odğ ere z i,,, i dımrd hespmış koorı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 digo eemrı, ii, depomz ve üçge mtriseri A ı üzerie depoır Digo ve tıdki eemr e, digoi üstüdeki eemr ittir Koo değiştirme vektörü Stır değiştirme vektörü çrpr ırm işemi sırsıd hgi stırrı ererii değiştiği igisii içerir Arıc, her stır değişikiği determitı işretii değiştireceğide, kç def stır değiştiridiği de p gii ir değişkede depoır,,, eemrı çrpr ırm işemi sırsıd seçimiş pivot eemrdır Det Adet det dir det -) p ve det, odğd Det A -) p dir Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd, pivot eem mzs, i ii 0 ise, Det A0 dır A tekidir, rkı ri- dir, r stır ve koo doğrs ğımsız gerie k d-r stır ve koo doğrs ğımıdır Örek: 8 0 A A?, 8? Mtrisi CROT metod ie ve üçge çrprı rıcktır Çrpr ırm işemie şmd öce stır değiştirme vektörü,,, ie dodrr ve stır değiştirme sısıı skcğı p değişkei sıfırır Stır değiştirme vektörü şgıç değereri, A 8 0 8 p0 stır değiştirme sısı şgıç değeri) Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Adım: i koo: A ı koo ie ı dı stırd, ve stırr değiştiriecek, kood pivot r 8 dı 0 8 Stırr değiştiriecek, 8 Stır değiştiridikte sor, p 0 8, 07 0 08 8 stırı: Digoi sğıdki sır pivot eem öüdü Adım:, 07 00000 0 000000 0 dı 08 8 Stırr değiştiriecek i koo: Digoi üstüdeki sı rdki sıı sodki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı dı stırddır, ve stırr değiştiriecek, 07 0 00000 000000 0 Stır değiştiridikte sor, p 08 8, 07 0 00000 000000 0 0888 08 00 8 stırı: Digoi sodki sı rdki sıı üstüdeki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı ve pivot eem öüdü Adım:, 07 0 00000 000000 0 0888 07 i koo: Digoi üstüdeki sır rdki sıı sodki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı eem stırd, ve stırr değiştiriecek 08 00 8 dı, 07 0 000000 00000 0 0888 07 Stır değiştiridikte sor, p 08 00 8, 07 0 000000 00000 0 0888 07 08 00 stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı ve pivot eem öüdü Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Adım:, 07 0 000000 00000 0 0888 07 08 00 077 i koo: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Soç: Stır değiştirme vektörü:, Stır değiştirme sısı: p ve mtriseri: 0 0 00000 00000 0 7, 0 77 0 7 0 0 888 0 8 0 0 Determit: Det A-) -0) 077 0000 Rk A: r Doğrs ğımsız koo ve stır sısı: Doğrs ğımı koo ve stır sısırk rtığı): d-r-0 CROT ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii ve çrprı iidiğide ktsır mtrisi A o frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı ve şğıd krı hesp pırk çözüeiir Aşğıd iki örek verimiştir Örek : A 8 0,? 8 A ktsır mtrisi krıd ve çrprı rımıştı: Ack; stırr er değiştiridiği de tmmı, çözüme şmd öce sğ trf vektörüü stırrı değiştirimeidir Stır değiştirme vektörü [ ] T odğd, sğ trf vektörü [ - - ] T erie ' [ - - ] T sistemi ve ciside zıırs ımıdır B edee dekem A ' ' 0 000000 00000 07 077 07 0 0888 08 00 Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 77 or deirse, ' ğıtısıd, krıd şğı doğr hesp ie, r, de de, şğıd krı doğr hesp ie, r B dımr şğıd gmıştır 0 0 00000 00000 0 7 0 77 / 7 7) / 0) 88 ) 7 000000) 88) / 8 7 00000 88 07 8))/ 077 0 7 88 8 0 0 7 0 0 888 0 8 7 0 0 88 8 0 7 08 0 0 0008) 07) 0 00007 88 00) 0 0888) 0008) 0 8 ) 0 0008 0 00007 0 0008 0 Örek : 8 A 8 0 0,? 8 Stır değiştirme vektörü [ ] T odğd, sğ trf vektörü [ 8 0 -] T erie ' [ 0-8 ] T edee dekem sistemi ve ciside zıırs ımıdır B A ' ' 0 000000 00000 07 077 07 0 0888 08 0 00 8 0 000000 00000 07 0 077 8 0/ ) / 0) 788 ) 000000) 788) / 008 8 00000 788) 07 008) / 077 0700 788 008 0700 Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 77

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 78 07 0 0888 08 00 788 008 0700 08 0700 0 00077 07) 7 78 788 00) 0700 0888) 00077 7 008 ) 0700 00077 0700 78 7 00077 0700 CHOESKY T metod CHOESKY metod sdece simetrik ve pozitif tımı mtriser içi öze ir ötemdir Bsit, ümerik çıd sti, eek gereksiimi düşük ve progrmmsı kodır rmk, stır ve koo değiştirmek gerekmez Simetrik pozitif tımı mtris edir? Mekik tım Mtemtik tım: Simetrikik koş AA T dir Eemrıı e z iri sıfırd frkı o, dışıd tmme kefi ir 0 koo vektörü os P T A çrpımı sit ir sı or Eğer P>0 ise A pozitif tımıdır positive defiit) P<0 ise A egtif tımıdır egtive defiit) P 0 ise A rı pozitif tımıdır positive semidefiit) P 0 ise A rı egtif tımıdır egtive semidefiit) deir Herhgi ir mtrisi pozitif tımı op omdığıı geede mtrisi görüümüde mk sit değidir Çoğ kez mtrisi mekik mı ormrk krr verieiir Öreği, so eemr metod dege dekemerii ktsır mtrisii ve e küçük kreer metod ktsır mtrisii dim pozitif tımı odğ iimektedir Öreker: A 0 0,, p T A 0 0 [ ] + odğd, 0 ve 0 odğ sürece p>0 dır, doısı A pozitif tımıdır 0 T 0 B,, p B 0 0 dır 0 ve 0 içi p 0 ocğıd B pozitif tımı değidir Mekik tım: P ½) T A [ ] + ğıtısı mekikte depomış şeki değiştirme eerjisidir Şeki değiştirme eerjisi dim pozitif odğd p>0 dır Örekemek gerekirse, so eemr metodd sistemi go düğüm er değiştirme vektörü depsm vektörü), A sistemi go rijitik mtrisidir A dim simetrik, i AA T dir P sistemde depomış şeki değiştirme eerjisiiç kvveteri işi) mıddır ve dim pozitiftir Doısı A mtrisi de dim pozitif tımıdır B prtik mı şdr A ı digo eemrı dim pozitiftir ve CHOESKY metod ie üçge çrpr ırm işemi sırsıd dim pozitif kırr Digo eemrd iri egtif ve sıfır ors sistem idir d rijitik mtrisi htı krmştr, çözüm mz mı geir Adré-ois Choesk 87 8), Poo sıı Frsız: Çışmsıı 0- civrıd hzırdığı sımktdır Dü svşıd ödü Çışmsı öümüde sor, de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 78

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 CHOESKY metodd A üçge çrprıı digo eemr ii ii, ii ii ıır Simetride doı T ve T dr Simetrik ve pozitif tımı A mtrisi A T sğck şekide üçge çrprı rıır dımd tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd ir stırı hespır T A T A dım / / / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,,, koorı A ı stırıdır dım + + + ) / ) / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,,, koorı A ı stırıdır dım + + + + ) / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,, koorı A ı stırıdır dım stırıı hesı: T i stırı ÇARPI koo A ı stırıdır + + + + Kkrd A T, A T, A T, A T şeki de de gösteriir, hepsi de ı mddır Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 7

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 80 Gee formüer: dım:,, /,, / /, >0) idım: Digo eem: ii ii i k Digoi sğıdki eemr: ik i k, kök içideki ifde>0 omı) i ij ij ikkj) / ii, j i +, i +,, k i dım şemtik hesp:,,, i- dımrd hespmış stırrı i digoii hesı: ii ii - Σ digoi üstüdeki sırı KARESİ) ii i hespmk içi: Reki koodki sırı kresii ii de çıkr, soc kreköküü ve soc ii i odğ ere z i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi üstüdeki sır ÇARPI ij i üstüdeki sır) BÖÜ ii ij i hespmk içi: Reki ögedeki sırı çrp, ii de çıkr, digo eem ö ve soc ij i odğ ere z A ı sdece digoi ve üstüdeki sırı depoır üçge mtrisi A ı üzerie depoır T depomz Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd ii i ik k i k 0 ise, krekök ımz, işeme devm ediemez B drm, A ı pozitif tımı omdığı mıddır Det Adet T det dr det A or Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 80

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 Örek: A 7 7 7, 7 A T? 7 7 A ı sdece digoi ve üstüdeki sır ie çışıck Digo tıdki sır kımcğı içi zımdı Simetrik mtrisi CHOESKY metod ie T ve üçge çrprı rıcktır A ı pozitif tımı odğ iidiği vrsımktdır Adım: i hesı: i krekökü ııp r zıdı 7 7 j i hesı: Brdki ij sırı e öüdü Adım: i hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı 7 j i hesı: digoi üstüdeki sı j i üstüdeki sı ie çrpıdı, j de çıkrtıdı, e öüdü ve soç r zıdı Adım: ü hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı j i hesı: digoi üstüdeki sır j i üstüdeki sır ie çrpıdı, j de çıkrtıdı, e öüdü ve soç r zıdı Adım: ü hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı Soç: T T A, - - - A Pozitif tımıdır: Çükü ii digo eemrı hespırke krekökü ıck sır pozitif kmıştır Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 8

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 8 8 Determit: Det ADet T det 00 CHOESKY ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii T ve çrprı iidiğide ktsır mtrisi A o frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı ve şğıd krı hesp pırk çözüeiir Aşğıd ir örek verimiştir Örek:? A, 7 7 7 7 7,? - - - A T, 7 - - - T 7 0 / ) ) / ) ) ) / ) 7 / 0 0 0 / / ) / ) ) ) / ) ) Determit hesı Bir A mtrisii determitıı tımı, ksik hesp metotrsrrs, Chio, pce) ve determit özeikerie öüm de er verimişti Arıc, öüm d verie A çrpr ırm metodrıd Dooitte, Crot, Choesk) det A ı Dooitte metodd: det A -) p Crot metodd: det A -) p ) Choek metodd det A ie hespcğı gösterimişti Brd p stır ve koo değiştirme sısıdır Determitı değeri çözümü vr op omdığı işret eder Det A 0 ise çözüm vrdır, det A0 çözüm oktr ve irde çok çözüm vrdır k: öüm, sf ) Determit mtrise it igiç ir sıdır Hem çok öemidir hem de hespmkt özee kçıırız Geeike dekem sistemii çözerke sdece kotro mcı kırız B kotro ifdeerideki ii ve ii digo eemrıd herhgi irii sıfır op omdığı kotro edierek pıır Herhgi iri sıfır ise determit sıfırdır T

ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 Determit hespcks ümerik sor çıkieceği iimeidir Dekem sistemi çok üük ise deki digo eemrı iriri ie çrpımı sı tşmsısıı igisr irim eeğie sığmmsı) ede oiir! Bsit ir örek vereim: Crot metodd dekem sısıı 00, p, i tüm digo eemrı iririe eşit ve odğ vrsım de: det A-) 00 788800080788787000007707800 gii çok üük ir sı orvrmış det A788800 0 ) gmd krşışı üük dekem sistemeride 00000, 00000000 oidiğie göre, deki ifdeerde determitı hespmsıı sı tşmsı ede ocğı progrmı çıkmz gireceği, ekide igisrı kiiteeceği) çıktır Determitı hespmsı zor o ir drmd, det A ı doğrd deki ifdeerde deği Det A -) p s t ğıtısı göre sdece s ve t sırıı hespmk sı tşmsıı öer Brd s gerçek sı, t tmsı değişkeidir s ve t değererii hesp sit ir BASIC progrmı prçsı verimiştir REM Determit içi s ve t i eire Wikiso ) s t 0 Bsit Gss, Dooitte, Crot metotrıd t ve üst üçge mtrisi FOR i TO digo eemrı A mtrisii digoide depomıştır s s * i, i) Choesk metodd d drm ıdır, ck Choesk metodd 0 t t + stır s s * i, i)^ ork değiştirimeidir IF ABSs) > THEN s s *00 : GOTO 0 0 t t - IF ABSs) <00 THEN s s * : GOTO 0 NEXT i rı: s ve t değereri erie kork progrmd det A -) p s t değeri hespmmıdır Aksi hde gee sı tşmsı ocktır s ve t progrmd eiredikte sor, det A-) p s t değeri progrm dışıd, Mthemtic ve MATAB ie d öze ir progrm ie, hespiir ----------------------------------- Jmes Hrd Wikiso 8), İgiiz T D ve T D çrpr ırm ötemi T D ve T D) ötemi simetrik mtriser içi ve Choesk metod irz frkı şekidir Mtrisi pozitif tımı omsı gerekmez Simetrik A mtrisi A T D ock şekide digo eemrı o üst üçge ve D dio mtrisie döüştürüür ve D şğıdki ğıtı sğck şekide eireir T D A d d d d T D A T D ötemi zı proemeri çözümüde dh g omktdır Yötemi detrı rd verimeecektir Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, http://mmfogedtr/topc/ 8